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创意平板折叠桌
摘要
折叠桌更注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。首先，为了更好地描述折叠桌的动态变化过程，我们分别建立了折叠桌的平面状态模型和立体状态模型。通过解析折叠桌从平面状态模型到立体状态模型的动态变化，我们得到了L
区域的木条边缘端点的坐标解析式为x D z x Z x x D x X y Y O O +???
??
?
???
-=--==)600()(600，并通过Matlab 的曲线拟
合得到具体的三维图形。
其次，借助折叠桌的平面状态模型和立体状态模型，我们通过折叠桌的结构稳定分
析和结构受力分析，求出了最优的受力结构的表达式。这些表达式满足对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，都能讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。
最后，我们通过流程图给出了软件设计的过程，并画出了自己设计的创意平板折叠桌的9张动态变化过程的示意图。
关键词： 曲线拟合 结构 边缘线
一、问题重述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
试建立数学模型讨论下列问题：
1. 根据题目给定的长方形平板尺寸，试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
2.对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
二、模型假设
（1）不存在测量上的误差；
（2）沿木条有空槽以保证滑动的自由度；
（3）能够将实际的构件抽象为线段以忽略构件的宽度和体积的大小；
（4）模型一中所有的杆件的材料不影响计算结果，且其受力均匀；
（5）忽略木条与木条之间的空隙。
三、符号说明
四、问题分析
在问题一中，根据题目所给的资料和动画视频，我们可以知道折叠桌的初始状态是一块可进行折叠的长方形木板。木条通过铰链旋转，改变自身的形体结构，从而使之变成一台成形的桌子。于是，我们将整个过程分解为一个初状态，一个变化过程，一个末状态。根据题目所给的尺寸，分别建立模型解析初、末状态时的折叠桌，从中可得出各构件的尺寸大小和所处的空间位置以及其他的设计参数。
在问题二中，我们通过对问题一的解决，可以明晰地知道桌子的设计原理，从中可总结模型求解所得的结果，之后可以得出折叠桌设计的一般规律。从而从特殊到一般，得出不同尺寸大小桌子的设计参数。
在问题三中，由于软件的设计，原理上是运算程序的设计。即输入决定桌子外形的参数，软件通过一系列的运算，得出桌子所有部件的设计参数。因此我们先将软件的设计分为前端、中端和后端三部分。前端是数据输入端，将客户对桌子的要求转化为各个输入参数；中端是运算的核心，是将输入参数代入运算程序中运行，并得出各构件的设计参数；后端是设计结果的输出。
五、模型建立与求解
5.1平面状态模型建立与求解
5.1.1模型建立
由题意我们可知，折叠桌为一个有着动态变化的物体，于是我们将折叠桌分解成对三个状态下的求解。
首先，我们对折叠桌的初始状态进行了分析，得到如下的示意图（如图5-1），从中可以看出整一个桌面及两侧桌脚均由20根木条拼接而成，桌面圆的直径为d=500mm。
将整一个桌子分为三部分，分别记为L、M、R。将各木条从下往上按1~20排号。L部分的为L1~L20；M部分的为M1~M20；R部分的为R1~R20。L和R为相互对称的部分。
图5-1
忽略木的的宽度和体积，将木条抽象为与之等长的线段，其所在位置穿过木条的几何截面。
将图5-1放置于坐标系中进行分析。以桌面的圆心为坐标原点，木条的方向平行于x方向，建立直角坐标系。如图5-2所示：
图5-2
通过以上的假设和坐标系的建立，可以得到序号为n的木条中心线所在的位置的y 坐标值为：
-
=
?
-
25-
y
n
=n
25
262
5.
(
5.
12
10
)
而桌面上各木条的端点均在一个圆周上，于是可以通过木条端点的坐标值来求出木条的长度。根据圆的几何特性，可得：
4
2
2
2
d y x =+
换算得：
???
?
???≤--=>-=-
+0;40;42
2
22
x y d x x y d x 代入木条的序号，求出桌面上各木条端点的坐标值为：
??
?
?
???≤--=>-=-
+0;40;422
22
x y d x x y d x i i i i ， 其中]20,1[∈i ○
1求L 部分木条长度l : 由于L 部分各木条左端x 的坐标值均为-600，右端x 的坐标值为-i X 故序号为i 的木条i l 的长度为：
600)600(+=--=--i i Li x x l
○
2求M 部分木条长度l : 由于M 部分各木条左端x 的坐标值均为-i X ，右端的x 坐标值为+i X 故序号为i 的木
条Mi 的长度为：
-+-=i i Mi x x l
○
3求R 部分木条长度l ： 由于R 部分各木条左端的x 坐标值均为+i X ，右端的x 坐标值为600，故序号为i 的木条i l 的长度为
+-=i Ri x l 600
5.1.2模型求解
根据5.1.1中建立得出的各部分的木条长度的公式，代入10,3,2,1，
=n ，计算得出折叠桌各部件的长度（mm )如表5-1-所示。
用C 语言程序编程来计算折叠桌各部分的长度，输入源程序（见附录1）得出输出结果如图5-3所示。
用Matlab 命令来计算折叠桌各部分的长度。输入源命令得到输出结果如图5-4所示： 由上经对比可知，用CAD 画图计算得到折叠桌各部分的长度与用C 语言编写程序以及用Matlab 命令输出的结果是一样的，由此可见这个模型的精确度比较高。
图5-3
图5-4
5.2立体状态模型建立与求解
5.2.1模型建立
折叠桌折叠成形后应视为一个三维实体，而原来构成模型的二维坐标系已无法满足要求，木条的宽度和厚也不能忽略不计。故把木条当成实体构件，在三维坐标系下求解。
图5-5
为了方便起见，在建立模型时将桌子倒立放置，以二维模型为基础，建立三维坐标系，将XOY 平面提至桌子的桌面。由题目所给的信息可知，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，桌子的高度H 为mm H 530=。设桌子的厚度δ为mm 30=δ。构造出的木桌大致折叠情况如下图5-5所示：
设最外侧木条与地面所成的锐角为α，则有：
1
sin l H δ
α-=
1
sin r l H c a δ
α-=
由于钢条是垂直于XOZ 平面的，木条折叠所在的平面平行于XOZ 平面，故可以暂不考虑y 的取值。
将分别靠近x 轴正负方向的两根钢条分别记做-+Q Q ,，得到式子如下：
2
)
(cot δα--
=--H x x Q 2
)
(δ+=
-H z Q 2
)
(cot δα--
=++H x x Q 2)
(δ+=
+H z Q
上式表现为如图5-6中右图中的Q 点，点Q 与钢条实际的中心仍有一定的距离。在Q 点的基础上考虑木条厚度的影响，计算出钢条中心的真正的坐标。
图5-6
由木条在钢条铰接点的放大图（即图5-6中的左图）中，可以清晰地看出：
2
sin δ
α?
-=--Q O x x 2
cos δ
α?
-=--Q O z z 2
sin δ
α?+=++Q O x x 2
cos δ
α?
-=++Q O z z
如下图5-7所示，先根据已求出的桌面下表面木条端点的坐标与钢条中心的坐标，求出两点的坐标，再用勾股定理求出钢条中心在木条方向上距离铰接端点的距离。
图5-7
钢条中心距离木条端点的距离： L 部分：
22225.0)()(δδ--+-=----O i O z x x D
R 部分：
22225.0)()(δδ--+-=++++O i O z x x D
为求解各木条的开槽长度及开槽所在的位置，须求出钢条在各木条从初状态变化到末状态钢条在木条上走过的路径。
由于运动的相对性，为了研究方便，在研究某根木条在折叠的过程中钢条在木条上走过的路程，将木条看作是不动的。其他构件以其为参照作相应的运动。因此在表示木条上的开槽范围时可以沿用原先的平面坐标系，如下图5-8所示：
图5-8
沿用前面建立的平面坐标系，在此研究过程中，将钢条的中心记作P ，由于前面的论述钢条的中心在Z 方向的坐标不变，故可以在平面坐标系讨论，且可以暂不考虑方向Z 的坐标值，于是我们可以求得：
（1）在桌子未发生折叠时，L 和M 两部分中，钢条在各木条的坐标值是一致的，得：
2
1
1M L x p +-
=-
2
1
1R M x p +-
=+
（2）桌子折叠后，钢条所在各木条的坐标值为：
----=D x x i ip '
++++=D x x i ip '
从而我们可以得到：
（1）L 部分的开槽长度和开槽位置范围为： 开槽长度为：---=?pi p i
x x ，范围：],[--p ip x x
（2）M 部分的开槽长度和开槽位置范围为：
开槽长度为：++-=?p ip i x x ， 范围：],[++ip p x x
我们根据以上公式利用MATLAB 带入数据得出每个开槽长度，MATLAB 输出结果如下图5-9所示：
图5-9
5.3动态变化模型建立与求解
在求解折叠桌设计参数的模型中，木条的厚度和尺寸对设计参数有很大的影响，如果忽略木条实际尺寸的影响。仅仅只是把木条当作线段来看待，则有可能会导致按求解得出的设计参数制作出来的桌子无法使用。
与求解折叠桌的设计参数不同，桌脚的边缘曲线只是描述其大概的形状，忽略木条的厚度和宽度可以大大减少问题的复杂程度，其厚度和宽度造成的影响可以忽略不计。
在5.2模型的基础上，忽略木条实际尺寸的影响，只将木条当做线段处理。由于左右两边是对称的结构，两条桌脚边缘线的形状是一致的,所以只考虑右侧的情况。
又由于，
22
4
y d x -=
所以可以得知：
（1）对应的木条的长度为：
x l -=600 ..............................① （2）钢条中心所在的位置为：
2)
(cot δα--=H x x O ....................②
2
)
(δ+=H z O . ............................③
（3）钢条中心距离铰接点的距离为：
22)(z x x D O +-= .......................④
设木条边缘端点的坐标为（X ，Y ，Z ），得：
D
l
z Z x x x X O O ==-- .........................⑤ 联立以上 ~.⑤式，解得：
x D z x Z x x D x X y Y O O +???
?
??
??
?
-=--==)600()(600
5.3.2模型求解
根据坐标利用matlab 画出其三维图，如图5-10(见附录4)：
接着我们再把X 轴投放Y 轴方向得出一个关于X Y -的二维图象；我们利用曲线拟合来求得关于X Y -的关系式。经过我们不断拟合最终确定最高次为6次，次数再高的系数也太小，可以忽略不计，之后得出图5-11：
图5-10
图5-11
根据上述我们所得，则可以获得Y-X的等式为：
815.1191767267.248788.1216941.29.0707.4267686.1130912.7234
56+?-+?--?--?--?-+?-=y e y e y e y e y e y e X
同理，我们利用曲线拟合来求得关于Y-Z 的关系式。为保持一致，我们也取最高次为6次，得出如下图5-12（见附录5）：
图5-12
根据上述描述，则我们获得的Y-Z 的等式为：
3082
.3251685235.53.06000.2206670.28.09592.1251619.2139405.12
3456+-+?-+?--?-+?-+?--=y e y e y e
y e y e y e Z
5.4任意尺寸模型建立与求解
5.4.1结构稳定分析
折叠成形的桌子，需要承担来自桌面的荷载。而桌子自身的设计需保证在桌面存在荷载的情况下，桌子仍可以保持结构形状，不会重展开成平板状态。
对桌子折叠过程进行分析，我们知道桌子折叠的过程中，各构件位置会进行相对变化，包括充当桌脚的各木条围绕钢条旋转一定的角度以及充当桌脚和桌面的木条围绕连接在木条端点处的铰链进行一定角度的旋转都会改变。
然而若要桌子保持稳定，则要求要钢条的连接处各木条之间有足够的摩擦力。当对
桌面有荷载作用时，由钢条连接处的各木条接触面之间有相对滑动趋势，当物体处于要滑动而未滑动的临界状态时，此时所受的摩擦力为最大静摩擦力，即：
N s F f F =max
式中m ax F 为最大静摩擦力，FN 为接触面的法向约束力（也称为法向正压力）；fs 称作静滑动摩擦因数。
由上式可知木条间的最大静摩擦力是由钢条的预紧力决定的，因此可以通过调节钢条的松紧程度来调整摩控力，使之满足使用要求。而且钢条的预紧力应在合适的范围内，预紧力太小，则桌子在承担荷载时无法保持自身结构的稳定；预紧力太大，则完成折叠所需的旋转转矩太大，使一般人无法完成折叠过程。
而我们也可采用在钢条上设置方便使的紧力旋钮的方式。在折叠的过程中将其调松，折叠完毕后将其调紧。
5.4.2结构受力分析
桌子在实际的使用过程中，荷载通常是加载在桌子的桌面的，把加载在桌面的荷载简化成均匀分布在桌面的均匀荷载。由于折叠成形的是对称的结构，各作用杆对桌面产生的力均可以在对称的位置找到一个大小相同，方向相反的力与之相抵消。
以整一个桌子为研究对象，可以把桌面上的均匀荷载产生的合力当为0，均匀荷载的作用可以用一个合力F 来代替（图5-13）。
图5-13
由于力的矢量特点，利用平行四方形原则，对力的作用进行分析。分析结果显示，桌子最外侧木条与地面的夹角越接近直角，桌子所来承受的荷载就越大。
木条所能承受的力为：
A F l σ=
材料的许可应力σ是由材料本身决定，木条采用相同的尺寸，横截面积A 是也固定不变的，因此木条所能承受的力也是不变的。
桌面能承受的荷载的能力为：
αsin 4l F F =
当2
π
α=
时，αsin 取最大值1。此时桌子承受荷载的能力最大。
5.4.3最优的受力结构
在实际的情况下，桌承受的荷载不可能是对称的均匀荷载。若最外侧的木条呈直角，
则会导致桌子桌脚所围成的面积较小；当桌子承受侧向力时，则可能会导致桌子整体侧翻。
为避免这样的情况出现，可以通过减小最外侧木条与地面的夹角，扩大桌脚围成图形的面积来增加桌子的稳定性。
参考一般的桌子，可知当桌子与地面接触形成的支撑面的面积与桌面的面积最接近的时候，即取支撑面的边长等于桌面直径时，桌子的稳定性是最好的，此时也是用材最少的。
对于已经给定的折叠桌高度H 和圆形桌面直径d 的折叠桌，假设它的厚度为δ（在这里，所有单位都用毫米），并它有由20根木条组成的两组桌腿。则满足：
???? ??--=?--=--=--=--=d H d H d d H l d H l d H M M )39240(80arctan )39240(8040
392
222tan 11δαδδδδα
此时有：
2
22
1
22121403920)(2)(2)(???
? ??-+-=??? ??-+-=??? ??-+-=d H l d H l d H l M M L δδδ 此时平板的长为：
2039403920)(222
211d
d H l l l M L +???
? ??-+-=+=δ 为了加工方便，桌子的开槽长度应尽量短。当钢筋刚好穿过11,10L L 的端点时，桌子的开槽长度是最短的，此时木条20,19,,2,1L L L L 刚好互相平行。如图5-14，N 点就是钢筋在木条1L 上的位置，则有：
d l d d l l l L MN 40
399
240422
210-=??? ??--==
设开槽长度为K l ，则有αtan 10?=L K l l 。
图5-14
当mm d mm mm H 500,30,530===δ时，算得：
5.71500
)39240()
30530(80arctan
≈?--=α
当mm d mm H 800,700==时，设这张平板的厚度为mm δ，此时平板的长为：
39
40)3920(400)700(28002039800403920)700(22039403920)(2222
2
2
2
+-?+-=?+???? ???-+-=+???
? ??-+-=δδδd d H l
钢筋在1L 上位置离远点距离为：
399
203920)3920(400)700(800
403993920)3920(400)700(4039922222-+-?+-=?-+-?+-=-=δδd l l MN
开槽长度为：
39
20400)700(3920)3920(400)700(800)39240(700803920)3920(400)700()39240(80
)403992(tan 222210--???? ??+-?+-=
?--?
???? ??+-?+-=--?-=?=δδδ
δδ
αd
H d l l l L K
5.5软件设计模型建立与求解
5.5.1软件设计步骤：
（1）输入桌面边缘的形状函数 （2）由（1）确定出桌面的宽度 （3）由（1）（2）计算最外侧木条与地面所成的夹角形成最佳受力分析 （4）输入桌子的高度 （5）由（3）、（4）计算出L1和R1的长度 （6）输入桌脚边缘线的函数
（7）由（4）（5）（6）计算得到其他木条的长度 （8）由（5）和（7）确定钢条折叠前后的位置
（9）由（5）-（8）计算出各木条的开槽位置和大小
其流程图如下：
5.5.2折叠桌的设计：
我们根据我们以上的模型以及我们的步骤设计了一款椭圆形桌面的折叠桌，我们的动态图如下：
桌面平面
1 2
3 4
5 6
7 8
B 题 创意平板折叠桌 摘 要 本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解. 对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为： 对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为 ()11=31.1322 a L x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。 关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks
一、问题的重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。 试建立数学模型讨论下列问题: 1. 给定长方形平板尺寸为120 ｃm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2。5 cｍ，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为5３ｃm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数(例如,桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线(图4中红色曲线)的数学描述。 ２. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少.对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数,例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高7０ cｍ，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数. 3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件,根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数,使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状.你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型,并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数,画出至少8张动态变化过程的示意图.（附件：视频） 二、基本假设 １、假设折叠桌木条间没有空隙，且木条间的摩擦不计。 2、假设折叠桌木材质量可靠，在受力状态下不会形变。 3、假设桌子各部分间衔接良好。 4、假设折叠桌的木条的宽度和折叠桌平板的厚度不变. 三、符号说明 1、r表示圆桌的直径 x圆桌上第i根木条的长度 2、 i p第ｉ根桌腿的长度 3、 i c第i根桌腿的槽长 4、 i
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：2014 年9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
创意平板折叠桌 摘要 本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。 针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。 针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部 分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。 针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。 关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何
一、问题重述 创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。 就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题： （1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。 （2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。 （3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。根据建立的模型设计创意平板折叠桌，并给出相应的设计加工参数及动态变化过程的示意图。 二、问题分析 本题研究的创意平板折叠桌问题，问题一至三，都是研究折叠桌在制作过程中的设计加工参数，本着同样的思想，建立数学模型，全面的考虑各方面的影响因素，求出最优解。 问题一是利用所给的已知条件，求解折叠桌在运动及设计方面的问题。首先使用已知量得出组成折叠桌的每条木条的长度，再利用等效替代[]2的思想建立模 型对折叠桌折叠的动态过程进行描述，最后观察总结求出设计加工参数以及桌角边缘线。 问题二是求最优设计加工参数的问题，在折叠桌制作过程中影响因素有很多个，选取用材最少作为目标函数，将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件， 建立模型，利用Lingo软件求取某些参数的最优解，借助这些最优参数，得出全 面的最优设计加工参数。 问题三是求适用于不同桌面形状的设计加工参数的模型的建立，首先建立不同形状桌面的求设计加工参数的模型，观察建立的模型，找出其中的共同处，建立通解模型，在任意输入折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的数据，求解，将得到的数据汇总，并用Matlab软件编程，绘制动态变化过程。
创意平板折叠桌数学建模竞赛获奖
创意平板折叠桌 摘要 本文围绕着平板折叠桌的最优加工参数问题，设计了不同的模型和算法。主要利用几何分析和空间向量运算，运用MATLAB软件，模拟了折叠桌的动态变化过程，求解出了给定条件下的加工参数，并给出了桌脚边缘线的数学描述。 问题一，折叠桌的圆形桌面存在外截和内截两种不同的截法。经计算得 到：圆形桌面的最外侧桌腿长度 150() l h cm >=，因此排出外截法，并记录了内截法下桌面内各木条的长度。分析了桌腿木条开槽产生的机理（见图5），并由勾股定理求出了桌子在收纳和展开两种状态下，钢筋所处的位置（槽线纵坐标），得出了桌腿木条开槽长度等于两个状态下钢筋的位置之差。利用MATLAB软件求解出了桌腿长度、桌腿倾角、斜边等各加工参数（见表1）及桌腿末端点的空间坐标（见表2），模拟出了折叠桌的动态变化过程（见图7，程序见附录1）。 问题二，从稳固性、加工方便、用材最少三个方面考虑。首先分析切割与和开槽的总费用，求出当其最小时，木条的最优宽度。然后对桌子受力分析得到：当桌腿水平方向总的合力为零时，折叠桌的稳固性最好。设比例系数k为钢筋位于在最外侧桌腿处的长度与最外侧桌腿长度之比，求解k与各加工参数的关系。根据木板长度与k的关系，求出当0.65 k=时，木板长度最小，木板尺寸为168.58803 cm cm cm ??，此时桌子的耗材最少。最后利用MATLAB软件模拟此桌子从平铺状态运动到稳定状态的变化过程。
问题三，在空间坐标系中，首先根据用户要求，建立了最接近客户所期望形状的数学描述模型，求出了任意尺寸平板的桌腿木条长度与平板长度和钢筋到圆心距离的函数关系。根据空间三维向量的运算关系，推出了桌角边缘线与钢筋到桌面的距离和钢筋到桌腿末端距离的参数方程，并以该参数方程为桥梁，在满足客户的要求前提下，以产品的稳固性、加工方便、用材最少为目的，求出平板折叠桌的尺寸。在该模型下，本文设计出了心形的折叠桌，并给出了10张动态变化示意图。 关键词：折叠桌最优加工参数动态变化桌脚边缘线开槽长度 一、问题重述 某公司发明了一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。建立数学模型讨论以下问题：
一种创意平板折叠桌的设计 文章针对折叠桌的加工设计问题，在三维直角空间坐标系中运用MATLAB 软件描绘出了折叠桌折叠后的三维图和长方形平板的俯视图，并对构建的模型进行了推广。 标签：折叠桌设计；三维坐标；几何分析法；动态变化 1 符号说明（表1） 2 模型的建立与求解 2.1 模型的建立与求解 2.1.1 模型准备 根据2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题[1]，首先以桌面下平面的几何中心为原点建立了三维空间直角坐标系。然后将圆边上任意一点到钢筋的向量及每根木条长度的向量在y、z平面上的投影用坐标表示。最后，根据折叠桌面与木条以及钢筋的空间几何关系运用MATLAB编程得到了每根木条的开槽长度和每根木条铰链端到圆形桌面直径的距离。并根据其中的一些参数画出了平板折叠前的俯视图。 2.1.2 模型假设 （1）木条平直时，各槽顶端均紧贴钢筋。（2）木条折叠完成后各槽底端紧贴钢筋。（3）木条宽的中间点与桌面圆相交。 2.1.3 模型建立 根据已知条件：木板宽50cm，则圆盘的半径为木板宽的一半即25cm。我们以桌面下平面的几何中心为原点建立三维空间直角坐标系。则桌面圆的方程为：■=25。将钢筋、木条、桌面垂直投影于y、z平面上（下面仅标出y、z坐标）。 则第一根木条与桌面圆相交的一点的坐标为：（■，0即（7.806，0）； 最长木条的长度2d为：A/2-■，d=26.097。 根据几何关系可得钢筋的坐标为：（dcos？坠+A/2-2d，dsin？坠）； 圆边上任意一点到钢筋的向量为：（dcos？坠+A/2-2d-■，dsin？坠）；（-25？燮x？燮25，-60？燮y？燮60）
基于 MATLAB 的平板折叠桌创意设计
史宝周 （陇东学院 机械工程学院 甘肃庆阳 745000；邮箱 1115107973@https://www.doczj.com/doc/9113471815.html,）
摘要：随着人们社会生活水平的不断提高，生活的艺术水平也有所发展。在 整个大的国际和国内的环境下发展的产品行业中，以及到我们生活中到处可以见 到的产品，都会体现一个国家在设计上的实力和发展，它们会给我们的生活带来 方便。
折叠桌就是其中之一，方便折叠，节省空间，通过更加灵活的设计，让原本 狭小的空间变得宽敞起来，让原本一成不变的家具灵动起来。使折叠桌的使用更 加便利生活。然而竞争激烈，人与产品的交流中家具等产品的设计，要想争强他 们对产品的拥有欲望，一定要在实用性的基础上注意外形的创新，因而人性化、 个性化的设计理念作为一种强大的设计语言和创新途径，会在未来的家居设计领 域中得到更广泛的应用。本文将对平板折叠桌作一研究创新。
问题一，根据给定的数据建立模型描述折叠桌的动态变化过程，并在此基础 计算出折叠桌计算参数。其中我们用图像模拟实体变化过程，用 MATLAB，并通 过建立函数及几何关系计算各种参数。
问题二，折叠桌的设计要做到产品稳固性好，加工方便，用材最少。我们通 过分析及实体模拟，根据折叠桌在要求高度范围内重心最低时确定其稳定性参 数，改变木板形状，并就其稳定性分析以最优解的方式得出加工方便与用材最少 时的参数。
问题三，根据客户任意设定的折叠桌高度，桌面边缘线形状和大小及桌角边 缘线的大致形状，我们将通过建模设计不同的折叠桌样式，并计算其参数，使折 叠桌样式及实用性争取满足人们的期望。
最后，对本文建立模型与求解发的不足给出了改进和推广，并结合实际情况 提出了建议。是折叠桌以最美的姿态走向实际生活。 关键词 ： 折叠 空间 移动 MATLAB 建模 创新设计 人性化
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B 题 创意折叠桌 摘要 为了节省室内存放空间，方便人们的生活，某公司生产了一种可折叠并且可随着铰链活动平摊成平板的圆形桌子。桌子的桌腿由两组分别用一条钢筋连接的若干根木条组成，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。 针对问题一，本文通过对所给的图片以及视频的分析，根据创意折叠桌的对 称性，我们选定三维空间中桌体的4 1 为研究对象，从其投影入手，将其转化到二 维平面中，采用数形结合的方法，构造直角坐标系，以最外侧木条旋转后与桌平面的夹角α为变量，把在折叠过程中各木条端点的位置放到坐标系中，分析各变量间的关系，从而建立数学模型。运用MATLAB 软件编程，得到每个木条的开槽长度和桌角边缘线的运动轨迹。 针对问题二，要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。我们将最外侧木条旋转后与桌平面的夹角α和最外侧木条的钢筋固定位置距桌腿与地面接触点的长度x 作为变量进行分析。首先，物体的稳固性（稳度）与其重心的高度、支撑面的面积有关，重心越低，稳度越高；支撑面的面积越大，稳度越高。其次，开槽的总长度决定了工作量和操作难度，开槽的总长度越长，操作越不便，坚固性越不好。最后，在不考虑材料厚度的情况下，由于折叠桌的宽度等于圆形桌面直径符合实际情况，所以长方形平板材料的多少取决于它的长度，长方形平板越短，所需的材料就越少。根据上述3个影响因素，我们使用多目标最优化模型，运用MATLAB 编程求解创意折叠桌的最优化参数。在该模型中，我们设立了三个变量321,,w w w 分别代表木材总长度，稳定系数（支撑面与桌面面积之差的平方）以及总开槽长度，通过分析相关限定条件进行建立模型与求解。从所得的结果来看，该模型基本准确。 针对问题三，除了考虑桌高，还要求考虑桌面边缘线的形状和大小以及桌脚边缘线的形状。为了描述桌面边缘线的形状和大小，我们规定了几个常见的形状及其属性（如，长，宽，半径，对角线长度等）。在给定桌面边缘线的形状和大小后，按照问题一的思路，寻找木材总长度1w ，稳定系数2w 以及总开槽长度3w 与 α和x 的关系以及变量的限定条件，建立多目标最优化模型，求解最优的α和x 值。绘制动态图时，将利用问题一求得的木条端点随α变化的动态坐标进行绘制。 本文给出了圆形桌面、正方形桌面、菱形桌面的GIF 格式的动画。 【关键字】创意折叠桌MATLAB 多目标最优化模型稳度
创意平板折叠桌建模 布慧楠1402214026 侯爽 1402214025 张力琨 1402214041
摘要 折叠家具突破传统家具的设计模式，通过折叠可以将面积或体积较大的物品尽量压缩。细细品味，会发现一种独特的美感，更别说他们还无一例外地兼具到了实用主义。或拥有灵活自由的使用方式，或功能多样化，为居室腾出不少空间。某公司设计了一款折叠桌，并以此为背景提出了三个问题，本文利用受力分析、几何知识、以及非线性优化模型等解决了问题。 针对问题一，给定了给定了一块木板的长度、宽度和高度、木条的宽度，以及折叠桌的高度，利用折叠桌的对称性，以任一桌脚为原点，建立空间直角坐标系通过几何模型观察桌面与桌脚木条角度的关系，计算出每条桌角木条顶点处的坐标。利用Matlab程序，画出桌脚边缘线的变化。最后根据桌角边缘线的变化，画出折叠桌的动态变化。 针对问题二，针对稳定性好、加工方便、用料最少三个限制条件求出非线性规划的目标函数和限制函数。由于要求稳定性好，所以桌子应该能承受最大的力量。在保证稳定性的条件下，如何用最少的木条和选择最佳设计加工参数。 针对问题三，公司开发出一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌长度、高度、桌面边缘线的形状大小、桌脚边缘线的大致形状，给出所需材料的形状、尺寸，以及切实可行的加工参数。 最后，对建立的模型和求解方式做一个客观评价，并指出改进方式。
关键字：折叠桌非线性规划目标规划受力分析 1、问题重述 1.1引言 创意折叠木制品为了表现木制品的优雅和设计师所要表达的优雅和功能性。为了增大有用面积，将木板的宽为直径做圆的直径，将剩余部分成了若干长短不同的木条。分别用两根钢筋固定两侧的木条，使用者只需提起木板两侧，便可在重力作用下成为桌子。 1.2问题的提出 （1）给定长方形平板尺寸120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数。 （2）折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。 （3）公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出
创意平板折叠桌问题的模型设计与优化 一、摘要 本文在充分考虑实际设计需求的基础上，讨论了某公司生产的创意平板折叠桌的动态变化过程和一定条件下最优加工参数的设计问题。通过建立空间直角坐标系进行几何分析，构造非线性规划模型，并利用Matlab和Lingo软件编程求解，得出各种条件下的设计参数结果。 在问题一中，本文从桌子的稳固性出发，从物理学的角度，根据受力分析，寻找稳固性条件下的约束条件，构建非线性规划模型，并利用Lingo求得单侧 20根桌腿情况下的开槽长度、桌腿边缘线等参数，在此基础上描述了折叠桌折 叠运动的动态过程。 由于问题一采用了构建非线性规划的方法，因此在求解第二题的过程中，本文依然通过寻找约束条件和修改目标函数来优化模型，根据给出的桌面直径和桌子的高度，可以用Matlab求出各个需求的加工参数，所以此模型能够很好地满足设计者及生产者的需求。根据题目中给定的桌面高度70cm和桌面直径80cm 的条件，用Matlab编程求解得出从外侧第2根木条到第10根槽长分别为 cm， cm，cm， cm， cm， cm， cm，。 针对问题三，根据客户要求的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，结合实际情况，发现现实生活中主要的桌面形状是分偶数边正多边形和椭圆形两种情况考虑，通过几何图形分析，分别建立非线性规划模型，根据题意寻找约束条件，优化模型，用Matlab编程求解。 关键词：非线性规划几何分析受力分析空间直角坐标系 ·
二、问题重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。 本文根据给定的各种数据研究以下几个问题： 1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽 2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。 2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。 3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 & 三、问题分析 针对问题一，题目给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，折叠后桌子的高度为53cm，在此问中为简便计算，我们暂不考
最具创意年会小游戏 年会上，好玩的年会小游戏是必须的，由于好玩的年会小游戏能活跃整个会场的气氛，增加年会的乐趣。年会选择什么的年会小游戏呢？下面提供几个： 闻“歌”起舞 这个题目也是由闻鸡起舞想到的。每两人一组，最好是一男一女，让女士唱歌，必须唱主持人提出特定要求的歌，比如歌词中要带动物的、“春”字的等等，在女士唱歌的同时，她的搭档要根据歌词舞蹈。在规定时间内，想不出歌曲的一组即被淘汰。 有个游戏是表演一段小天鹅的芭蕾舞。不知是不是故意，被抽中的4位男士竟全是五短身材、矮矮胖胖的，本来做那些踮脚尖等高难度的动作已很为难了，主持人居然还要他们换腿，结果4个大男人很滑稽地全部撞到一起，场面非常搞笑。还有一个游戏，要几个员工想办法全部站在一张A4纸上，地方太小了，几个人只好全部选择“金鸡独立”，有啤酒肚的还得面朝外腆起肚子，而且还得保持这姿势20秒，同样也博得大家一阵狂笑。 游戏规则：一大帮人（最好5——8个）围在一起，各抽一张扑克牌，放（粘）在自己的额头上（自己不能看自己的牌），每个人都只能看见别人的牌而看不见自己的。中间摆一个大杯子，觉得自己的牌比别人大的可以往大杯里加啤酒（为了不伤到自己建议少加一点，当然假如你有心耍人而且能肯定自己的牌比别人的大可以加满）。加过一轮后，还可以稍微刁难一下，比如让他站在椅子圈，主持人敲鼓或放音乐时参加职员就沿着圆形顺时针或逆时针跑动（留意不能插队），当鼓声或音乐停下时参加职员要讯速找到一张凾8演一个歌名。歌名应该是事先预备好的，难易程度不一。也可以是表演者自己想的。 新型时装秀 一、活动名称：新型时装秀 二、活动目标： 1、促进成员间的多人合作概念。 2、感受个人在团队合作中发挥的作用。 三、活动过程： 1、每组出五人，并进行工作分工。三名设计师、一名模特、一名裁判 2、“设计师们”在规定的时间内以报纸为“模特”设计并制作全套的服装 3、“裁判”对个小组的完成情况做评判。以评分的高低和观众掌声的热烈程度作为决定胜败的因素。 四、说明：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下 载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B
我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 16019013
所属学校（请填写完整的全名）： 河南理工大学万方科技学院
参赛队员 (打印并签名) ：1.
赵志领
2.
王京广
3.
郭涛
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 冯广庆
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期： 2014 年 9 月 12 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
设计说明书 作品名称:折叠桌 作品类别:新型实用型装置 参与学生: 指导教师:夏重 学校:西华大学 目录 摘要 (1) 绪论 (2) 1研制背景及意义 (2) 2设计方案 (3) 3使用方法 (8) 4创新点 (13) 参考文献 (15) 便携式折叠桌的设计 摘要 在日常生活中，桌子成为必不可少的生活用品，但是市面上的桌子结构单一，便携性差，整体占地面积大，给生活造成不便，本文设计的便携式折叠桌利用铰链机构解决了在实际生活中遇到的桌子很占地大,不易携带等问题，既方便携带，又节 约了家里的空间，也能满足桌子的稳固性。 关键词：折叠便携空间 绪论 目前市面上普遍是一体化的整体桌子，功能单一，家庭外出不易携带，而越来越多的家庭选择周末外出野炊郊游，都很需要具有便携特性的桌子，要求能放进私
家车不能太占空间，所以我们在设计时考虑到桌子的便携性，利用铰链机构能把桌子的支架收起来，桌面也能折叠减小占地面积.其次，现在房价非常昂贵，过节走亲访友家庭聚餐常常出现一桌不够的情况，所以家里还需有个桌子备用，但是平时收放不能太占空间，使用时桌面具有足够的面具满足用餐需求，也要满足放置时不会影响家里的清洁打扫.我们的设计充分考虑到以上的情况，满足消费者的需求，利用铰链机构做到折叠这一效果，使得桌子在折叠式具有便携性，节约了空间. 1研制背景及意义 1.1研制背景： 随着生活水平的不断提高，人们对一些产品要求的功能也越来越多，实际生活中的桌子太过笨重，携带困难，不方便人们外出携带，而且目前城市中房间空间小，一张桌子占地面积太大，浪费了本就狭小的空间，因而需要研制一种新型可以自由 折叠的桌子。 1.2研制意义： 生活中的桌子大多都是固定笨重的，当不使用时也只能放在房间，占用空间，并且外出时人们只能带一张布条铺在草地上，没有桌子很不方便。所以设计一款可 以自由折叠的桌子是很有市场价值的。 2设计方案 本设计由两部分构成：桌面和支架。其中桌面由两个木板组合而成，用铰链连接，可以使桌面实现转动从而折叠起来，脚架由三角形结构构成，当桌面转动时， 脚架能折叠重合在一起。如图： 创新点 1、使桌子能够折叠起来，不占用空间。 参考文献 [1] 朱龙根.《简明机械零件设计手册》机械工业出版社.1997.11
创意平板折叠桌的数学模型 摘要 本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB 进行模型求解。 针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动态变化及数学描述模型。利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB 解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度i K ，三维空间桌脚边缘线。 针对问题二，本文建立模型Ⅱ——设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K 和长方形平板面积S 必须达到最小，对于任意给定的高度H 和圆形桌面直径R 确定： ①决策变量：1a （桌面最外侧木条的半长），1 （最外侧桌腿的竖直偏角），p （最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值） ②目标函数 :K (开槽总长度)，S 长方形木板面积 用MATLAB 求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。 针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8”字形桌面。对于圆形桌面可参照模型Ⅱ；对于组合桌面，可在模型Ⅱ的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度1a 来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型Ⅱ的基础上改动来实现。 关键词：解析几何 MATLAB 多目标决策分析 EXLINK
1.问题重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。 试建立数学模型讨论下列问题： 1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽 2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。 2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。 3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 2.问题分析 2.1问题一的分析 问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学模型，再用MATLAB对模型求解得出设计加工参数，用EXLINK导出每根桌腿转过的角度。 2.2问题二的分析 问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模型确定决策变量和目标函数，用MATLAB确定最优设计加工参数。
创意平板折叠桌 摘要 本文围绕着平板折叠桌的最优加工参数问题，设计了不同的模型和算法。主要利用几何分析和空间向量运算，运用MATLAB软件，模拟了折叠桌的动态变化过程，求解出了给定条件下的加工参数，并给出了桌脚边缘线的数学描述。 问题一，折叠桌的圆形桌面存在外截和内截两种不同的截法。经计算得到： 圆形桌面的最外侧桌腿长度 150() l h cm >=，因此排出外截法，并记录了内截法下桌面内各木条的长度。分析了桌腿木条开槽产生的机理（见图5），并由勾股定理求出了桌子在收纳和展开两种状态下，钢筋所处的位置（槽线纵坐标），得出了桌腿木条开槽长度等于两个状态下钢筋的位置之差。利用MATLAB软件求解出了桌腿长度、桌腿倾角、斜边等各加工参数（见表1）及桌腿末端点的空间坐标（见表2），模拟出了折叠桌的动态变化过程（见图7，程序见附录1）。 问题二，从稳固性、加工方便、用材最少三个方面考虑。首先分析切割与和开槽的总费用，求出当其最小时，木条的最优宽度。然后对桌子受力分析得到：当桌腿水平方向总的合力为零时，折叠桌的稳固性最好。设比例系数k为钢筋位于在最外侧桌腿处的长度与最外侧桌腿长度之比，求解k与各加工参数的关系。根据木板长度与k的关系，求出当0.65 k=时，木板长度最小，木板尺寸为168.58803 cm cm cm ??，此时桌子的耗材最少。最后利用MATLAB软件模拟此桌子从平铺状态运动到稳定状态的变化过程。 问题三，在空间坐标系中，首先根据用户要求，建立了最接近客户所期望形状的数学描述模型，求出了任意尺寸平板的桌腿木条长度与平板长度和钢筋到圆心距离的函数关系。根据空间三维向量的运算关系，推出了桌角边缘线与钢筋到桌面的距离和钢筋到桌腿末端距离的参数方程，并以该参数方程为桥梁，在满足客户的要求前提下，以产品的稳固性、加工方便、用材最少为目的，求出平板折叠桌的尺寸。在该模型下，本文设计出了心形的折叠桌，并给出了10张动态变化示意图。 关键词：折叠桌最优加工参数动态变化桌脚边缘线开槽长度
创意平板桌 摘要 本题目中提供了若干折叠桌的图片，需要利用数学软件进行创意设计。对本文中的三个问题，利用MATLAB软件(由美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分，详细介绍请见附录1)，对图片进行灰度分析，转化为数据分析，并通过对matlab编程，在matlab中选出最优解，最后利用3dmax绘图，实现平板桌的设计。本文根据题目所给知识，利用运筹学基础理论、相关的数学建模知识以及相应的计算机软件，解决了如下问题： 问题1：由对每根木条长度的精确计算，建立折叠桌的动态模型，并计算出桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线等折叠桌的设计参数。 针对图中创意折叠桌：利用MATLAB对图片进行处理，转变为具体的空间直角坐标系，其中蓝色代表木条，棕色代表桌面，红色代表桌角边缘线（详细介绍请见附录2），空间直角坐标系中由最后数字的确立，即为视频中最后一张图片的演示结果。利用勾股定理法，使用CAD语言程序统计出剩下第一张图片和最后一张图片的所有木条个数，使其折叠桌的设计原理更加鲜明。建立由MATLAB进行编辑的的数学模型，木条分别为L1，L2，……，L20，再重复利用上述算法，找出折叠桌的各项参数。 问题2：先对桌子进行与问题1相同的参数计算。但由于要在70 cm，桌面直径80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。在计算的时候应考虑更多的稳固性、加工方面、用材的信息。这里除了计算参数外，另外引用折叠结构设计基本几何参数这个概念进行再次验证，以减小误差。最后再对得到的桌子参数进行人工验证(人工干预)，最大程度减小误差。 问题3：在问题二的理论分析验证的基础上，已经建立起最优化的数学模型，为了满足客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，应用MATLAB进行不断更新换算程序，得出八个时刻八张动态折叠桌折叠过程，（详细介绍请见附录3），使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。（详细介绍请见参考文献11） 关键词：MATLAB、CAD、运筹学、稳定性能、边缘线、归纳分析法
本技术新型公开了一种用于创意桌的可折叠结构，包括桌板、第一固定销柱、第一伸缩杆、螺纹孔、螺纹挤压杆、第二伸缩杆、贯穿孔、第一固定销轴、活动桌面、限位板、限位孔、第二固定销轴、连接杆、固定钢钉、放置板、抽屉框、放置抽屉和固定杆，所述桌板的两端均通过第一固定销柱固定安装有第一伸缩杆。本技术新型通过设置可以相互伸缩的第一伸缩杆和第二伸缩杆来调节桌板的高度，而可以旋转调节角度的活动桌板可以便于电脑或者书本的角度调节，而且第一伸缩杆和第二伸缩杆靠近至最近时，可以收藏至桌板的内部，归纳时只是一块桌板，归纳后占用空间小，折叠效果好，并且本技术新型结构合理，使用方便。 权利要求书 1.一种用于创意桌的可折叠结构，包括桌板(1)、第一固定销柱(2)、第一伸缩杆(3)、螺纹孔(4)、螺纹挤压杆(5)、第二伸缩杆(6)、贯穿孔(7)、第一固定销轴(8)、活动桌面(9)、限位板(10)、限位孔(11)、第二固定销轴(12)、连接杆(13)、固定钢钉(14)、放置板(15)、抽屉框(16)、放置抽屉(17)和固定杆(18)，其特征在于：所述桌板(1)的两端均通过第一固定销柱(2)固定安装有第一伸缩杆(3)，所述第一伸缩杆(3)的一侧开设有螺纹孔(4)，所述第二伸缩杆(6)的表面贯穿开设有贯穿孔(7)，所述螺纹挤压杆(5)的一端穿过贯穿孔(7)将第二伸缩杆(6)固定安装于第一伸缩杆(3)的一侧，所述螺纹挤压杆(5)的一侧固定安装于螺纹孔(4)的内部，所述第二伸缩杆(6)位于同一侧的两个利用固定杆(18)固定连接，所述桌板(1)的表面通过第一固定销轴(8)固定安装有活动桌面(9)，所述活动桌面(9)的底部通过第二固定销轴(12)固定安装有连接杆(13)，所述桌板(1)的顶部且对应连接杆(13)的位置开设有三组限位孔(11)，所述连接
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：数模教练组 日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
创意平板折叠桌 摘要 本文对创意平板折叠桌的折叠过程进行研究，用数学模型描述折叠桌的相关设计参数及其动态变化，用非线性优化模型确定最优设计参数，并给出折叠桌设计的程序。 问题一中，要求桌腿开槽的长度和桌脚边缘线。在整个变化过程中所有桌腿都由钢筋相连，且各桌腿与桌面连接点的相对位置不变。根据几何关系，由折叠后钢筋的位置及每根桌腿的长度即可计算每个桌脚边缘的位置。求出桌脚边缘的参数方程即可描绘桌脚边缘线。在折叠过程中，以桌高为参数，就可以描绘动态变化过程。分析发现，铺展时钢筋位于开槽的顶部，折叠时则位于底部。因此可由初末两个状态的钢筋与桌脚边缘距离之差计算开槽长度。结果是，从外到桌脚槽宽依次为：0, 8.4, 11.5, 14.1, 16.2, 17.9, 19.3, 20.3, 21.0, 21.3 （单位：cm）。 问题二只给定了桌面面积与桌高，需自主确定桌腿长与钢筋位置。本文从三个方面来决定桌子具体形状：是否节约材料、稳固性、加工难易。分析发现桌腿越长用材越多，但稳固性越好。而开槽长度越短则加工越容易。由力学分析得桌子受压后不会变形的前提是最中间桌腿与桌面的夹角小于90度，即向“凹”。为求得最优方案，本文采用非线性规划的方法，利用桌面面积和底面积建立目标函数，根据几何关系寻找约束条件，考虑实际赋予桌面与桌脚接触面积权值。用Lingo软件求得最优解。结果是桌脚接触面为正方形时达到最优。桌腿长度确定后，通过考察不同钢筋位置所形成的开槽长度来确定合适的钢筋位置。其中，槽长须为正且不超过相应的桌腿长。据此可以确定一个围，再根据槽长越短加工越易的原则确定最优钢筋位置。 问题三由用户自由选择桌高、桌面形状与桌角线大致形状。本文提供一种简单的思路使得能够尽量满足客户的任意组合。确定桌子形状后参照第二问的标准确定桌腿长与钢筋位置。本文的程序利用第一问描述的几何关系描绘图案并计算加工参数。在最后本文设计了椭圆型桌面及心形桌面的桌子并描绘折叠过程的示意图。 关键字：数学模型非线性规划加工参数边缘线设计优化
创意折叠椅论文 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛 规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下 载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上 咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其 他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用 处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示 （包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 01008014 所属学校（请填写完整的全名）：北京交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王蜀秋 2. 毛学耕 3. 陈浩威 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：王兵团 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）