直线和圆弧的生成算法

第3章直线和圆弧的生成算法

3.1直线图形的生成算法

数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近地似显示直线。当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个像素中，确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线顺序，对这些像素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。

由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能地快。本节我们介绍一个像素宽直线绘制的三个常用算法：数值微分法（DDA）、中点画线法和Bresenham算法。

3.1.1逐点比较法

3.1.2数值微分(DDA)法

设过端点P0(x0,y0)、P1(x1,y1)的直线段为L(P0,P1)，则直线段L的斜率

L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1(个像素)，用L的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取像素点(x,round(y))作为当前点的坐标。因为：

y i+1= kx i+1+b

= k1x i+b+k?x

= y i+k?x

所以，当 x =1; y i+1= y i+k。也就是说，当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。根据这个原理，我们可以写出DDA（Digital Differential Analyzer）画线算法程序。

DDA画线算法程序：

void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)

{ int x；

float dx, dy, y, k；

dx = x1-x0；dy=y1-y0；

k=dy/dx,；y=y0；

for (x=x0；x< x1；x++)

{ drawpixel (x, int(y+0.5), color);

y=y+k;

}

}

注意：我们这里用整型变量color表示像素的颜色和灰度。

举例：用DDA方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。

图3.1.1 直线段的扫描转换

注意：上述分析的算法仅适用于|k| ≤1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。当|k| 1时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加1/k。在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对y进行四舍五入后取整，这使得它不利于硬件实现。

动画演示：数值微分画线算法（DDA）

3.1.3中点画线法

假定直线斜率k在0~1之间，当前像素点为（x p,y p），则下一个像素点有两种可选择点P1（x p+1,y p）或P2（x p+1,y p+1）。若P1与P2的中点（x p+1,y p+0.5）称为M，Q为理想直线与x=x p+1垂线的交点。当M在Q的下方时，则取P2应为下一个像素点；当M在Q的上方时，则取P1为下一个像素点。这就是中点画线法的基本原理。

图3.1.2 中点画线法每步迭代涉及的像素和中点示意图

下面讨论中点画线法的实现。过点(x0,y0)、(x1, y1)的直线段L的方程式为F(x, y)=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q 点的上方还是下方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可。为此，我们构造判别式：

d=F(M)=F(x p+1, y p+0.5)=a(x p+1)+b(y p+0.5)+c

当d<0时，M在L(Q点)下方，取P2为下一个像素；

当d>0时，M在L(Q点)上方，取P1为下一个像素；

当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个像素；

注意到d是x p, y p的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率。

若当前像素处于d 0情况，则取正右方像素P1(x p+1, y p),要判下一个像素位置，应计算d1=F(x p+2, y p+0.5)=a(x p+2)+b(y p+0.5)=d+a，增量为a。

若d<0时，则取右上方像素P2(x p+1, y p+1)。要判断再下一像素，则要计算d2= F(x p+2, y p+1.5)=a(x p+2)+b(y p+1.5)+c=d+a+b ，增量为a＋b。画线从(x0, y0)开始，d的初值d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b，因F(x0, y0)=0，所以

d0=a+0.5b。

由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法程序。

中点画线算法程序：

void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color)

{ int a, b, d1, d2, d, x, y；

a=y0-y1；b=x1-x0；d=2*a+b；

d1=2*a；d2=2* (a+b)；

x=x0；y=y0；

drawpixel(x, y, color);

while (x

{ if (d<0) {x++；y++；d+=d2; }

else {x++；d+=d1;}

drawpixel (x, y, color);

} /* while */

} /* mid PointLine */

举例：用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。

x y d

0 0 1

1 0 -3

2 1 3

3 1 -1

4 2 5

5 2 15

图3.1.3 中点画线法

问题1：若上述算法往下取二步(i=2)，则算法和像素的取法将变成怎样？

问题2：与DDA法相比，中点法的优点是什么？

动画演示：中点画线算法

3.1.4 Bresenham算法

Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。仍然假定直线斜率在0~1之间，该方法类似于中点法，由一个误差项符号决定下一个像素点。

算法原理如下：过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列像素中与此交点最近的像素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求像素。

如图2.1.4所示，设直线方程为y i+1=y i+k(x i+1-x i)+k。假设列坐标像素已经确定为x i，其行坐标为y i。那么下一个像素的列坐标为x i＋1，而行坐标要么为y i，要么递增1为y i＋1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d0＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。一旦d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时，直线与垂线x=x i＋1交点最接近于当前像素(x i，y i)的右上方像素(x i＋1，y i＋1)；而当d<0.5时，更接近

于右方像素(x i＋1，y i)。为方便计算，令e＝d－0.5，e的初值为－0.5，增量为k。当e≥0时，取当前像素(x i，y i)的右上方像素(x i＋1，y i＋1)；而当e<0时，取(x i，y i)右方像素(x i＋1，y i)。

图3.1.4 Bresenham算法所用误差项的几何含义

○Bresenham画线算法程序：

void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color)

{ int x, y, dx, dy；

float k, e;

dx = x1-x0；dy = y1- y0；k=dy/dx；

e=-0.5；x=x0,；y=y0；

for (i=0；i

{ drawpixel (x, y, color);

x=x+1；e=e+k;

if (e0)

{ y++；e=e-1;}

}

}

举例：用Bresenham方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。

x y e

0 0 -0.5

1 0 -0.1

2 1 -0.7

3 1 -0.3

4 2 -0.9

5 2 -0.5

图3.1.5 Bresenham算法

上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换：2*e*dx。

改进的Bresenham画线算法程序：

void InterBresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color)

{ dx = x1-x0,；dy = y1- y0,；e=-dx;

x=x0；y=y0;

for (i=0; i

{drawpixel (x, y, color);

x++；e=e+2*dy;

if (e0) { y++; e=e-2*dx;}

}

}

动画演示：Bresenham画线算法：

3.2 圆弧的扫描转换算法

这一节我们来讨论圆弧的扫描转换算法。

3.2.1圆的特征

圆被定义为到给定中心位置(x c,y c)距离为r的点集。圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。若已知圆弧上一点(x,y),可以得到其关于四条对称轴的其它7个点，这种性质称为圆的八对称性。因此，只要扫描转换八分之一圆弧，就可以求出整个圆弧的像素集。

显示圆弧上的八个对称点的算法：

void CirclePoints(int x,int y,int color)

{ drawpixel(x,y,color); drawpixel(y,x,color);

drawpixel(-x,y,color); drawpixel(y,-x,color);

drawpixel(x,-y,color); drawpixel(-y,x,color);

drawpixel(-x,-y,color); drawpixel(-y,-x,color);

}

3.2.2中点画圆法

如果我们构造函数F(x,y)=x2+y2-R2，则对于圆上的点有F(x,y)=0，对于圆外的点有F(x,y)>0，对于圆内的点F(x,y)<0 。与中点画线法一样，构造判别式：d=F(M)=F(x p+1,y p-0.5)=(x p+1)2+(y p-0.5)2-R2

若d<0，则应取P1为下一像素，而且再下一像素的判别式为：

d=F(x p+2,y p-0.5)=(x p+2)2+(y p-0.5)2-R2=d+2x p+3

若d≥0，则应取P2为下一像素，而且下一像素的判别式为：

d=F(x p+2,y p-1.5)=(x p+2)2+(y p-1.5)2-R2=d+2(x p-y p)+5

我们这里讨论的第一个像素是（0,R），判别式d的初始值为：

d0=F(1,R-0.5)=1.25-R

图3.2.1 当前像素与下一像素的候选者

中点画圆算法：

MidPointCircle(int r int color)

{ int x,y;

float d;

x=0; y=r; d=1.25-r;

circlepoints (x,y,color);

while(x<=y)

{ if(d<0) d+=2*x+3;

else { d+=2*(x-y)+5; y--;}

x++;

circlepoints (x,y,color);

}

}

为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。

动画演示：中点画圆算法

DDA直线生成算法

实验报告 课程名称计算机图形学 实验名称DDA直线生成算法编程的实现实验类型验证型 实验地点计通学院304实验日期2010-03-29指导教师 专业 班级 学号 姓名 成绩 辽宁石油化工大学计算机与通信工程学院

实验报告说明 1、封面内容 （1）课程名称：实验所属的课程的名称。 （2）实验名称：要用最简练的语言反映实验的内容。要求与实验指导书中相一致。 （3）实验类型：说明是验证型实验、设计型实验、创新型实验还是综合型实验。 2、正文内容 实验报告的正文内容须包括以下内容： （1）实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验指导书中的要求。 （2）实验内容：说明本实验的主要内容。 （3）实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。 （4）实验环境：实验用的软硬件环境（配置）。 （5）实验方案：对于验证性型实验，写明依据何种原理、操作方法进行实验；对于设计型和综合型实验，写明依据何种原理、操作方法进行实验，并画出硬件组成图、软件流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明；对于创新型实验，除符合设计型和综合型实验要求外，还应注明其创新点、特色。（6）实验步骤：写明实验的实施步骤，包括实验过程中的记录、数据。 （7）实验结果与分析：写明实验的最终结果，并对结果进行分析，做出结论。（8）实验中遇到的问题及解决方法：写明实验过程中遇到的问题及所采取的解决方法。 （9）实验总结（在封底上）：写出对本次实验的心得体会、思考和建议。

实验原理：已知线段的起点坐标()11x y ，终点坐标()22x y ，直线的点斜 式方程为：y m x b =?+，斜率和截距分别为：2121y y m x x -= - ， 11b y m x =-? 。沿x 的增量为x ?，沿y 的增量为y ?，即： 1x y m ?= ??，y m x ?=??。当1m ≤时，取x 为一个像素单位长，即x 每次增加一个像素，然后利用公式计算相应的y 值：1k k k y y y y m x -=+?=+??，相反1m >时，可以通过质量y ?来计算相应的x 值：1k k k x x x x m y -=+?=+??。 实验内容：新建一个Win32 Application 的典型“Hello World ”程序，工程 命名为：DDA 直线生成算法，打开DDA 直线生成算法.cpp 文件， 在里面加入代码： void DDA_line(HDC hdc) { double x,y,dx,dy,L,x1=100,x2=400,y1=100,y2=400; if(abs(x2-x1)>=abs(y2-y1)) L=abs(x2-x1); else L=abs(y2-y1); dx=(x2-x1)/L; dy=(y2-y1)/L; x=x1,y=y1; for(int k=1;k<=L;k++) { SetPixel(hdc,x,y,RGB(255,0,255)); x=x+dx; y=y+dy; Sleep(10); } } 实验结果：调用程序运行得出一下结果：

一种椭圆曲线快速生成算法

一种椭圆曲线参数生成的快速算法 谷勇浩 刘勇 （北京邮电大学通信网络综合技术研究所） 摘要：椭圆曲线密码体制是公钥密码中的研究热点。该文介绍了椭圆曲线密码体制的基本概念及相关知识，讨论了目前基于离散对数问题的椭圆曲线密码的研究动态。本文的创新点是针对目前椭圆曲线研究重点之一——椭圆曲线参数生成算法，给出了一种生成参数a 、b 的快速算法。这种算法利用了Jacobi 符号和二次剩余的理论，并且用matlab 计算出利用这种算法生成一个椭圆曲线的平均时间，最后我们分析了今后椭圆曲线密码系统的研究方向和重点。 关键词：椭圆曲线；离散对数问题；Jacobi 符号；二次剩余；阶 1976年Diffie 和Hellman 提出公钥密码思想以来，国际上提出了许多种公钥密码体制的实现方案。一些已经被攻破，一些被证明是不可行的。目前，只有3类公钥密码体制被认为是安全有效的，按照其所依据的数学难题划分为：基于大整数分解问题（IFP ），如RSA 体制和Rabin 体制；基于有限域离散对数问题（DLP ），如Diffie-Hellman 体制和ElGamal 体制；基于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP ），如椭圆密码体制。椭圆曲线应用到密码学上最早是由Neal Koblitz 和Victor Miller 在1985年分别独立提出的。它是目前已知的公钥体制中，对每一比特所提供加密强度最高的一种体制。它具有安全性高、密钥量小、灵活性好的特点，受到了国际上的广泛关注。而SET(Secure Electronic Transaction)协议的制定者已把它作为下一代SET 协议中缺省的公钥密码算法。深入研究基于椭圆曲线离散对数问题的公钥密码具有很大的现实意义。 1建立椭圆曲线公钥密码体制 1.1椭圆曲线域的参数 在基于椭圆曲线的加解密和数字签名的实现方案中，首先要给出椭圆曲线域的参数来确定一条椭圆曲线。在 IEEE P1363标准中，定义其参数为一个七元组：T=(q,FR,a,b,G,n,h)，其中q 代表有限域GF(q)，q 为素数或 2 m ;FR 为域表示法，如f(x)为 2 m F 域元素的不可约 多项式的表示法；曲线的方程，当q 为素数时，方程为2 3 ax b y x =++，当q 为2m 时， 方程为 2 32 xy a b y x x +=++，a,b 是方程中的系数；G 为基点；n 为大素数并且等于点G 的阶，h 是小整数称为余因子且#()/q h E n F =。主要的安全性参数是n ，因此ECC 密钥 的长度就定义为n 的长度。 1.2椭圆曲线密码的密钥 选取了基域 q F 和椭圆曲线后，得到了在有限域 q F 上的曲线E 确定的具体形式，即 上述的椭圆曲线域参数的一个七元组。每个用户选取一个整数d(1≤d ≤n-1) 作为其私钥，而以点Q=dG(G 为基点)作其公钥，这样形成一个椭圆曲线公钥密码系统。在这个密码体制中，具体的曲线，基域 q F ，基点G 及其阶n ，以及每个用户的公钥都是该系统的公开参

Bresenham的直线生成算法和整圆生成算法完整代码

以下是Bresenham的直线生成算法和整圆生成算法，已调试过，没有任何问题。Bresenham直线生成算法 #include "stdio.h" #include "graphics.h" Bresenham_line(x0,y0,x1,y1,color) int x0,y0,x1,y1,color; { int x,y,dx,dy, i; float k,e; dx=x1-x0;dy=y1-y0; k=(dy*1.0)/dx; e=-0.5; x=x0; y=y0; for (x=x0; x<=x1; x++) { putpixel(x,y,color); e=e+k; if(e>=0) { y++;e=e-1;} } } int main() { int x0,y0,x1,y1,c; int driver=DETECT,mode=0; initgraph(&driver,&mode,"c:\\tc"); setbkcolor(BLUE); setcolor(YELLOW); printf("input x0,y0,x1,y1,c"); scanf("%d%d%d%d%d",&x0,&y0,&x1,&y1,&c); Bresenham_line(x0,y0,x1,y1,c); getch(); closegraph(); } 当取e=2*dy-dx时，可以消除浮点和除法运算 #include "stdio.h" #include "graphics.h" Bresenham_line(x0,y0,x1,y1,color)

int x0,y0,x1,y1,color; { int x,y,dx,dy, i,e; float k; dx=x1-x0;dy=y1-y0; k=(dy*1.0)/dx; e=2*dy-dx; x=x0; y=y0; for (x=x0; x<=x1; x++) { putpixel(x,y,color); e=e+2*dy; if(e>=0) { y++;e=e-2*dx;} } } int main() { int x0,y0,x1,y1,c; int driver=DETECT,mode=0; initgraph(&driver,&mode,"c:\\tc"); setbkcolor(BLUE); setcolor(YELLOW); printf("input x0,y0,x1,y1,c"); scanf("%d%d%d%d%d",&x0,&y0,&x1,&y1,&c); Bresenham_line(x0,y0,x1,y1,c); getch(); closegraph(); }

直线和圆弧的生成算法

第3章直线和圆弧的生成算法 3.1直线图形的生成算法 数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近地似显示直线。当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个像素中，确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线顺序，对这些像素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。 由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能地快。本节我们介绍一个像素宽直线绘制的三个常用算法：数值微分法（DDA）、中点画线法和Bresenham算法。 3.1.1逐点比较法 3.1.2数值微分(DDA)法 设过端点P0(x0 ,y0)、P1(x1 ,y1)的直线段为L(P0 ,P1)，则直线段L的斜率 L的起点P 的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1(个像素)，用L 的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取像素点(x,round(y))作为当前点的坐标。因为： y = kx i+1+b i+1 = k1x i+b+k x = y i+k x 所以，当x =1; y i+1 = y i+k。也就是说，当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。根据这个原理，我们可以写出DDA（Digital Differential Analyzer）画线算法程序。

DDA画线算法程序： void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) { int x； float dx, dy, y, k； dx = x1-x0； dy=y1-y0； k=dy/dx,；y=y0； for (x=x0；x< x1；x++) { drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k; } } 注意：我们这里用整型变量color表示像素的颜色和灰度。 举例：用DDA方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。 x int(y+0.5) y+0.5 0 0 0 1 0 0.4+0.5 2 1 0.8+0.5 3 1 1.2+0.5 4 2 1.6+0.5 图3.1.1 直线段的扫描转换 注意：上述分析的算法仅适用于|k| ≤1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。当|k| 1时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加1/k。在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对y 进行四舍五入后取整，这使得它不利于硬件实现。

计算机图形学 直线的生成算法的实现

实验二 直线的生成算法的实现 班级 08信计2班 学号 59 姓名 分数 一、实验目的和要求 1.理解直线生成的基本原理。 2.掌握几种常用的直线生成算法。 3.利用Visual C++实现直线生成的DDA 算法。 二、实验内容 1.了解直线的生成原理，尤其是Bresenham 画线法原理。 2.掌握几种基本的直线生成算法：DDA 画线法、Bresenham 画线法、中点画线法。 3.利用Visual C++实现直线生成的DDA 算法，在屏幕上任意生成一条直线。 三、实验步骤 1.直线的生成原理： （1）DDA 画线法也称数值微分法，是一种增量算法。是一种基于直线的微分方程来生成直线的方法。 （2）中点画线法原理 以下均假定所画直线的斜率[0,1]k ∈，如果在x 方向上的增量为1，则y 方向上的增量只能在01 之间。中点画线法的基本原理是：假设在x 坐标为p x 的各像素点中，与直线最近者已经确定为(,)p p P x y ，用小实心圆表示。那么，下一个与直线最近的像素只能是正右方的1(1,)p p P x y +，或右上方的2(1,1)p p P x y ++，用小空心圆表示。以M 为1P 和2P 的中点，则M 的坐标为(1,0.5)p p x y ++。又假设Q 是理想直线与垂直线1p x x =+的交点。显然，若M 在Q 的下方，则2P 离直线近，应取2P 为下一像素点；若M 在Q 的上方，则1P 离直线近，应取1P 为下一像素点。 （3）B resenham 画线法原理 直线的中点Bresenham 算法的原理：每次在主位移方向上走一步，另一个方向上走不走步取决于中点偏差判别式的值。 给定理想直线的起点坐标为P0（x0，y0），终点坐标为P1（x1，y1），则直线的隐函数方程为： 0b kx y y)F(x,=--= （3-1） 构造中点偏差判别式d 。 b x k y y x F y x F d i i i i M M -+-+=++==)1(5.0)5.0,1(),(

数字积分圆弧第一二三四象限顺逆插补计算

数控技术课程设计说明书 设计题目：数字积分法圆弧插补计软件设计指导老师： 专业：机械设计制造及其自动化 班级：机 姓名： 学号：

目录 一、课程设计题目 (1) 二、课程设计的目的 (1) 三、课程设计使用的主要仪器设备 (1) 四、课程设计的任务题目描述和要求 (1) 五、数字积分法插补原理 (2) 5.1从几何角度来看积分运算 (2) 5.2数字积分圆弧插补 (3) 5.3数字积分法圆弧插补程序流程图 (5) 5.4插补实例 (6) 六、程序清单 (7) 七、软件运行效果仿真 (18) 八、课程小节 (21) 九、参考文献 (22)

一、课程设计题目 数字积分法第一、二、三、四象限顺、逆圆插补计算 二、课程设计的目的 《数控原理与系统》是自动化（数控）专业的一门主要专业课程，安排课程设计的目的是通过课程设计方式使学生进一步掌握和消化数控原理基本内容，了解数控系统的组成，掌握系统控制原理和方法，通过设计与调试，掌握各种功能实的现方法，为今后从事数控领域的工作打下扎实的基础。 1)了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。 2) 掌握数字积分法（DDA）插补的基本原理。 3）掌握数字积分法（DDA）插补的软件实现方法。 三、课程设计使用的主要仪器设备 1、PC计算机一台 2、数控机床实验装置一台 3、支持软件若干（选用VB环境） 四、课程设计的任务题目描述和要求 数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital Differential Analyzer)。数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点，应用比较广泛。其缺点是速度调节不便，插补精度需要采取一定措施才能满足要求。由于计算机有较强的计算功能和灵活性，采用软件插补时，上述缺点易于克服。 本次课程设计具体要求如下： （1）掌握数字积分插补法基本原理 （2）设计出数字积分（DDA）插补法插补软件流程图 （3）编写出算法程序清单算法描述（数字积分法算法在VB中的具体实现）（4）要求软件能够实现第一、二、三、四象限顺、逆圆插补计算 （5）软件运行仿真效果插补结果要求能够以图形模式进行输出

(1)直线生成算法.doc

课程名称：计算机图形学指导教师：罗晓辉 上机实践名称：基本图形（直线）生成算法 年级：2008 姓名：孔广波 学号：312008********* 上机实践成绩： 上机实践日期：2011-4-10 实验一: 直线生成算法 上机实践报告 一、实验目的 理解直线生成的基本原理，掌握儿种常见的直线生成算法，利用Microsoft Visual C++6.0实现直线生成的DDA算法。 二、实验内容： 1）了解直线的生成原理。 2）掌握儿种基本的直线生成算法：DDA画线法、Bresenham画线法、中点画线法。 3）利用Microsoft Visual C++6.0实现直线生成的DDA算法，在屏幕上任意生成一条直线。 三、实验步骤： 1）预习教材关于直线的生成原理。 2）仿照教材关于直线生成的DDA算法，使用Microsoft Visual C++6.0实现该算法。 3）调试、编译、运行程序。 四、实验分析、源程序和结果： （1.1）中点算法分析： 中点画线算法原理示意图

直线斜率：k属于[0, 1] 线段的隐式方程：F(x,y) = ax + by + c = 0 ((x0 , y0), ( xl , yl )为两端点，式中a = yO - yl , b = xl - xO , c = xO * yl - xl * yO) 直线上方的点：F(x , y) > 0 直线下方的点：F ( x , y ) < 0 构造判别式：d = F(M) = F(Xp+l,Yp + 0.5) 由d>0, V0 可判定下一个象素，d 的初始值：d0 = F( X0 + 1 , Y0 + 0.5 ) = F( X0 , Y0 ) + a + 0.5b 因(X0, YO)在直线上，F(X0 , YO ) = 0,所以，dO = a + 0.5b (1.2)具体实现代码： void CGView::Line_DDA(long plxjong ply,long p2x,long p2y,CDC *pDC)〃画直线算法实现 ( int a,b,del 1 ,del2,d,x,y; b=p2x-plx; a=ply-p2y; d=2*a+b; dell=2*a; del2=2*(a+b); x=plx; y=piy； pDC->SetFixel(x,y,mJPenColor)； while(xSetPixel(x,y-2,m_lPenColor); pDC->SetPixel(x,y-1 ,m_lPenColor); pDC->SetPixeI(x,y,m_lPenColor); pDC->SetPixel(x,y+1 ,m_IPenColor); pDC->SetPixel(x,y,m_lPenColor);

圆弧加减速插补算法

机电工程学院 数控加工技术课程设计——插补算法实现 学号：S311077006 专业：机械工程 学生姓名：胡晓锋 任课教师：李霞副教授 2011年4月

基于PC的圆弧曲线加减速算法实现 插补算法一直以来就是数控系统中的核心技术。从数控系统的原理来说，插补的本质问题就是对任意曲线进行分解，成为若干段微小的曲线，当对曲线的分解达到无穷级时，每一段曲线便成为微小的直线段。然后利用与相应微小曲线相类似的直线段代替，通过控制刀具按直线段行走进行加工，完成为整个曲线的插补运算加工。实际问题中不可能对任意曲线的分解达到无穷，因此总是存在相应的误差。然而在实际运用中对误差的容忍度有限，因此只需在满足精度的情况下进行曲线的分解。对曲线的分解过程即是将其坐标点进行密化，不但要保证精度，还需要在极短的时间内完成。受现代技术的限制，这一过程目前还存在一定的问题。由此而产生的对插补算法的研究也一直没有停止过，从经典的逐点比较法到现在的自由曲面直接插补法，各种算法层出不穷。 本次对圆弧的插补算法是基于PC技术的算法，利用MATLAB软件编写相应的插补程序，实现对插补轨迹的模拟与分析。 一、问题描述 本次设计针对圆弧曲线进行插补，采用加减速的方式完成刀具的行走过程。根据数据采样插补原理，实现数控轨迹的密化。本次插补的难点在于对刀具行走轨迹的自动加减速进行控制，由控制器发出相应指令，当刀具以不同速度运行到不同位置时，能够根据当前的状态判断下一个插补周期需要的状态，从而连续平滑的完成插补过程。 二、速度曲线的数学表达式 刀具在进行插补时的速度应该是一个加速-匀速-减速的过程，各个过程与时间的关系应该由相应的加速度来控制。因此曲线的形状呈现一定的抛物线形。 另初始进给速度为F1，末端进给速度为F2，指令速度为F，当前速度为V，减速距离为S，当前距离为CS，n为插补周期个数，t为当前时刻。则速度的数学表达式如下： (F1S)，起始时刀具加速运动。 F1=F/2,加速度为a= (F1>=F)&&(CS>10)，刀具做匀速运动。

直线和圆弧的生成算法讲课稿

直线和圆弧的生成算 法

第3章直线和圆弧的生成算法 3.1直线图形的生成算法 数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近地似显示直线。当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个像素中，确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线顺序，对这些像素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。 由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能地快。本节我们介绍一个像素宽直线绘制的三个常用算法：数值微分法（DDA）、中点画线法和Bresenham算法。 3.1.1逐点比较法 3.1.2数值微分(DDA)法 设过端点P0(x0,y0)、P1(x1,y1)的直线段为L(P0,P1)，则直线段L的斜率 L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1(个像素)，用L的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取像素点(x,round(y))作为当前点的坐标。因为： y i+1= kx i+1+b = k1x i+b+k?x = y i+k?x

所以，当 x =1; y i+1= y i+k。也就是说，当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。根据这个原理，我们可以写出DDA（Digital Differential Analyzer）画线算法程序。 DDA画线算法程序： void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) { int x； float dx, dy, y, k； dx = x1-x0； dy=y1-y0； k=dy/dx,；y=y0； for (x=x0；x< x1；x++) { drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k; } } 注意：我们这里用整型变量color表示像素的颜色和灰度。 举例：用DDA方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。 x int(y+0.5) y+0.5 0 0 0 1 0 0.4+0.5 2 1 0.8+0.5 3 1 1.2+0.5 4 2 1.6+0.5

基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法设计

二○一三届毕业设计 基于FPGA逐点比较圆弧插补算法设计 学院：电子与控制工程学院 专业：电子科学与技术 姓名：…….. 学号：……… 指导教师：…….. 完成时间：2013年5月 二〇一三年五月

摘 要 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 摘 要 本课题主要是研究基于VHDL 实现数控系统中的逐点比较圆弧插补，要求圆弧运动过程平滑，在各象限能顺利过渡，并有较小的设计误差，能与运动控制部分很好的集成，实现较高的切割频率。 本课题采用QuartusII 软件来调试程序，并进行波形仿真。主要的工作如下： 1） 理解数控系统中逐点比较圆弧插补算法的原理及其实现方法； 2） 通过硬件描述语言VHDL 在FPGA 上实现上述算法； 3） 完成圆弧插补的仿真与测试。 关键词：VHDL ，FPGA ，逐点比较法，QuartusII

ABSTRACT ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ABSTRACT This topic mainly studies based on VHDL realization of point by point comparison circular arc interpolation in nc system, the movement for arc process smooth, in each quadrant can smooth transition, and a relatively small design error, can very good integration with motion control part, realize the high frequency of cutting. This subject adopts software QuartusII to debug program and waveform simulation. The main work is as follows: 1. Understand CNC system the principle of point by point comparison in circular arc interpolation algorithm and its realization method 2. Through the hardware description language VHDL FPGA to realize the above algorithms. 3. Finish arc interpolation of simulation and test KEY WORDS : VHDL, FPGA, point-by-point comparison, QUARTUS II

OpenGL-实验2直线生成算法实现教学文案

实验2 直线生成算法实现 1.实验目的 理解基本图形元素光栅化的基本原理, 掌握一种基本图形元素光栅化算法, 利用0penGL 实现直线光栅化的DDA算法。 2.实验内容 (1)根据所给的直线光栅化的示范源程序, 在计算机上编译运行, 输出正确结果。 (2)指出示范程序采用的算法, 以此为基础将其改造为中点线算法或Bresenham算法,写 入实验报告。 (3)根据示范代码,将其改造为圆的光栅化算法,写入实验报告。 (4)了解和使用OpenGL的生成直线的命令,来验证程序运行结果。 3.实验原理 示范代码原理DDA算法。下面介绍OpenGL画线的一些基础知识和glutReshapeFunc（）函数。 (1)数学上的直线没有宽度,但0penGL的直线则是有宽度的。同时, OpenGL的直线必须是有限长度,而不是像数学概念那样是无限的。可以认为, OpenGL的“直线”概念与数学上的“线段”接近,它可以由两个端点来确定。这里的线由一系列顶点顺次连接而成, 有闭合和不闭合两种。 前面的实验已经知道如何绘“点”,那么OpenGL是如何知道拿这些顶点来做什么呢? 是依次画出来,还是连成线? 或者构成一个多边形? 或是做其他事情? 为了解决这一问题, OpenGL要求:指定顶点的命令必须包含在glBegin函数之后, glEnd函数之前(否则指定的顶点将被忽略),并由glBegin来指明如何使用这些点。 例如: glBegin(GL P0INTS) , glVertex2f(0.0f, 0.0f); glVertex2f(0.5f, 0.0f); glEnd(); 则这两个点将分别被画出来。如果将GL_POINTS替换成GL_LINES,则两个点将被认为是直线的两个端点, OpenGL将会画出一条直线。还可以指定更多的顶点, 然后画出更复杂的图形。另一方面, glBegin支持的方式除了GL_POINTS和GL_LINES,还有GL LINE STRIP、GL LINE L0〇P、GL TRIANGLES、GL TRIANGLE STRIP、GL TRIANGLE_FAN等几何图元。 (2) 首次打开窗口、移动窗口和改变窗口大小时, 窗口系统都将发送一个事件, 以通知程序员。如果使用的是GLUT,通知将自动完成,并调用向glutReshapeFunc注册的函数。该函数必须完成下列工作: ①重新建立用作新渲染画布的矩形区域。 ②定义绘制物体时使用的坐标系。 如: void Reshape(int w, int h) { glViewport(0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h);

§3.2圆、圆弧的生成—Bresenham算法

§3.2圆的生成——Bresenham算法 条件：给定圆心(x c,y c)和半径R 约定：只考虑圆心在原点，半径为整数R的圆x2+y2.=R2。对于圆心不在原点的圆，可先通过平移转换，化为圆心在原点的圆，再进行扫 描转换，把所得到的像素集合加上一个位移量，就可以把目标圆光 栅化。 在众多圆的生成算法，如逐点比较法、角度DDA法、Bresenham算法中，Bresenham画圆法是一种最简单有效的的方法。 首先注意到只要生成一个八分圆，那么，圆的其它部分就可以通过一系列的对成变换得到。 1 2 3 4 5 6 7 8 由算法生成 y=x 第一八分圆关于y=x对称变换 第一四分圆关于x=0对称变换 上半圆关于y=0对称变换 如果以点x=0，y=R为起点按顺时针方向生成圆，则在第一象限内y是x 的单调递减函数。 要在这三个像素中选择一个使其与理想圆的距离的平方达到最小，即下 列数值中的最小者。 R

(0,R) (R,0) x y 这样，从圆上任一点出发，按顺时针方向生成圆时，为了最佳逼近该圆，对于下一像素的取法只有三种可能的选择，即正右方像素、正下方像素和右下角像素，分别记作：m H、m V、m D。 (x i，y i) (x i，y i-1) (x i+1，y i) (x i+1，y i-1) m H m D m V m H=|(x i+1)2+(y i)2-R2| m V=|(x i)2+(y i+1)2-R2| m D=|(x i+1)2+(y I-1)2-R2| m H (x i,y i) (x i+1,y i) (x i+1,y i+1) (x i+1,y i-1) (x i-1,y i-1) (x i,y i-1) m V m D 1 2 3 5 4 圆与点(x i，y i)附近光栅格网的相交关系只有五种可能。

CG_实验2_基本图形元素(直线)生成算法的实现

实验二基本图形元素（直线）生成算法的实现 1．实验目的： 理解基本图形元素光栅化的基本原理，掌握一种基本图形元素光栅化算法，利用OpenGL实现直线光栅化的DDA算法。 2．实验内容： （1）根据所给的直线光栅化的示范源程序，在计算机上编译运行，输出正确结果； （2）指出示范程序采用的算法，以此为基础将其改造为中点线算法或Bresenham算法，写入实验报告； （3）根据示范代码，将其改造为圆的光栅化算法，写入实验报告； （4）了解和使用OpenGL的生成直线的命令，来验证程序运行结果。 3．实验原理： 示范代码原理参见教材直线光栅化一节中的DDA算法。下面介绍下OpenGL画线的一些基础知识和glutReshapeFunc()函数。

（1）数学上的直线没有宽度，但OpenGL的直线则是有宽度的。同时，OpenGL的直线必须是有限长度，而不是像数学概念那样是无限的。可以认为，OpenGL的“直线”概念与数学上的“线段”接近，它可以由两个端点来确定。这里的线由一系列顶点顺次连结而成，有闭合和不闭合两种。 前面的实验已经知道如何绘“点”，那么OpenGL是如何知道拿这些顶点来做什么呢？是一个一个的画出来，还是连成线？或者构成一个多边形？或是做其它事情呢？为了解决这一问题，OpenGL要求：指定顶点的命令必须包含在glBegin函数之后，glEnd函数之前（否则指定的顶点将被忽略），并由glBegin来指明如何使用这些点。 例如： glBegin(GL_POINTS); glVertex2f(0.0f, 0.0f); glVertex2f(0.5f, 0.0f); glEnd(); 则这两个点将分别被画出来。如果将GL_POINTS替换成GL_LINES，则两个点将被认为是直线的两个端点，OpenGL将会画出一条直线。还可以指定更多的顶点，然后画出更复杂的图形。另一方面，glBegin 支持的方式除了GL_POINTS和GL_LINES，还有GL_LINE_STRIP，GL_LINE_LOOP，GL_TRIANGLES，GL_TRIANGLE_STRIP，

圆的生成算法

圆的生成算法 利用直线坐标法和极坐标法生成圆周颇费时间，而圆的Bresenham算法则简捷很多。一．圆的Bresenham算法思想： 设圆的半径为r，先考虑圆心在（0,0），并从x=0、y=r开始的顺时针方向的1/8圆周的生成过程。在这种情况下，x每步增加1，从x=0开始，到x=y结束。即有 X i+1=X i+1 相应地yi+1则在两种可能中选择： Y i+1=y i或者y i+1=y i-1 选择的原则是考虑精确值y是靠近yi还是靠近yi-1,计算公式为 Y2=r2-(x i+1)2 d1=y i2-y2=y i2-r2+(x i+1)2 d2=y2-(y i-1)2=r2-(x i+1)2-(y i-1)2 令pi=d1-d2,并代入d1、d2，则有 P i=2(x i+1)2+y i2+(y i-1)2-2r2(1) Pi称为误差。如果Pi<0,则yi+1=yi，否则yi+1=yi-1.pi的递归式为 P i+1=p i+4x i+6+2(y i+12-y i2)-2(y i+1-y i) (2) P i的初值由式（1）代入xi=0,yi=r,而得 P1=3-2r (3) 根据上面的推导，圆周生成算法思想如下： (1)求误差初值，p1=3-2r，i=1,画点（0，r）； (2)求下一个光栅位置，其中x i+1=x i+1,如果p i<0,则y i+1=y i,否则y i+1=y i-1； (3)画点（x i+1,y i+1）； (4)计算下一个误差，如果p i<0，则p i+1=p i+4x i+6，否则p i+1=p i+4(x i-y i)+10； (5)I=i+1,如果x=y，则结束，否则返回步骤2； 虽然（1）式表示p i+1的算法很复杂，但因为y i+1只能y i或y i-1，使得步骤（4）的算法变得简单，只需做加法和乘4的乘法。 圆的Bresenham算法的程序实现如下： #include #include #include #include void BresenhemCircle(int centerx, int centery, int radius, int color, int type); void initgr(void) /* BGI初始化*/ {

椭圆生成算法的研究

计算机图形学课程设计 题目名称: 椭圆生成算法的研究 2012 年 1 月

椭圆生成算法的研究 摘要 作为计算机图形学中基本几何元素之一的椭圆，其生成算法在几乎所有计算机图形学相关领域都要用到，尤其在计算机辅助设计中经常涉及。因此，研究椭圆生成对计算机图形系统十分重要。目前，已有大量的文献讨论了如何高效生成误差小的椭圆。文献一中方法之一在扫描转换的同时复制椭圆宽度数个像素，这种方法比较简单，但造成椭圆切线斜率接近-1处显得很细。文献一中方法之二扫描转换两个同心的椭圆，内椭圆的两个半径分别为a-w/2，b-w/2 ；外椭圆的两个半径为a +w/2 ,b + w/2；然后填充它们间的间隙，在微分几何中有一个结论：沿着垂直椭圆弧的方向，将此椭圆上的点移动w/2的距离所形成的曲线与原椭圆同心的椭圆，而是由一个8次方程所描述的曲线，因此这种算法也有较大误差，特别是a 的值接近于w时。然而，对这样8次函数进行扫描转换，计算量非常大。圆弧绘制生成宽椭圆算法与椭圆中点扫描转换算法复杂度相当，且生成的椭圆效果较好，视觉感受不到明显缺陷。 本文主要对计算机图形学、椭圆的生成算法的具体实现及其应用进行综述，并简要讨论。 关键词：计算机图形学椭圆生成算法并行生成算法宽椭圆

1 一种宽椭圆生成算法 计算机辅助设计领域常涉及宽椭圆生成，宽椭圆生成算法的优劣直接影响 设计效果。为了生成一个圆心在原点的标准宽椭圆，每次用单像素宽的椭圆中点扫描转换算法，得到一个单像素宽椭圆上的一个点，填充一个以该点为中心，椭圆宽为直径的圆弧，扫描转换结束后，生成一个无明显视觉缺陷的第一象限12宽椭圆。 作为计算机图形学中基本几何元素之一的椭圆，其生成算法在几乎所有计算机图形学相关领域都要用到，尤其在计算机辅助设计中经常涉及。因此，研究椭圆生成对计算机图形系统十分重要。目前，已有大量的文献讨论了如何高效生 成误差小的椭圆。椭圆的扫描转换法[1]就是其中之一，该算法基于Da Silva 的算法[2]，运用二阶偏差分Pitteway[3]，Van Aken[4]、KAppel[5]等所用的一些技术，该算法生成的椭圆都是单像素宽的，而现实中更多时候要生成宽椭圆，宽椭圆一般定义为沿着垂直两半径为a 、b 的椭圆弧的两方向，将此椭圆上的点移动2w 的距离所形成的两条曲线中间部分，为了生成宽椭圆，文献一中方法之一在扫描转换的同时复制椭圆宽度数个像素，这种方法比较简单，但造成椭圆切线斜率接近-1 处显得很细。文献一中方法之二扫描转换两个同心的椭圆，内椭圆的两个半径分别为2a ? w ，2b ? w ；外椭圆的两个半径为2a + w ，2b + w ；然后填充它们间的间隙，在微分何中有一个结论：沿着垂直椭圆弧的方向，将此椭圆上的点移动2w 的距离所形成的曲线与原椭圆同心的椭圆，而是由一个8 次方程所描述的曲线[6]，因此这种算法也有较大误差，特别是a 的值接近于w 时。然而，对这样8 次函数进行扫描转换，计算量非常大。圆弧绘制生成宽椭圆算法与椭圆中点扫描转换算法复杂度相当，且生成的椭圆效果较好，视觉感受不到明显缺陷。 1.1 算法基本思想 主要考虑中心在原点的标准椭圆12222=+b y a x ，宽度w ，(a >b >w ，a ，b ，w ∈z )；对于中心不在坐标原点的椭圆，可先作相应的平移变换，变换为中心在原点的椭圆，把所得的像素坐标加上一个位移即可得到所求的像素坐标。此外，只讨论椭圆在第一象限内的生成算法，其他象限内的点利用椭圆的四分对称性即可得到。在第一象限内的四分之一椭圆分为两个区域来处理．两个区域之间以斜率为-1 的点(即法向量两个分量相等的点)作为分界。对于区域I ，以点(0，b )为始点，x 方向单位长作为步长。向右生成曲线。假设当前扫描计算得到的点为批p 0（x ，y ），扫描转换的下一个点p 1 可能为s 1=（x+1，y ）或s 2=（x +1，y -1）， 判断s 1、s 2 的中间点)2 1,21(--y x m 在椭圆的内还是外，选择下一个扫描点。 如果中点m 在内(m 点代入椭圆方程值小于1)，则下一个点p 1 为（x +1, y ），否则为（x +1, y -1）；当斜率变为小于-l 时，转向区域Ⅱ，此时以(a ，0)为始点。y 方向作为单位步长，向左生成曲线。假设当前扫描计算得到的点为p 0′(x ，

直线生成算法的实现

实验二：直线生成算法 班级 13软件+道铁1班学号 20132110050115姓名丁益 1.实验目的 a)通过实验，进一步理解直线段扫描转换的DDA算法、中点画线自算法 及bresenham算法的基本原理，掌握以上算法生成直线段的基本过程。 b)通过编程，掌握在C/C++环境下完成用DDA算法、中点画线算法及 bresenham算法对任意直线段的扫描转换，以及在C/C++环境下完成用中 点画圆及椭圆的绘制方法。 2.实验内容 c)阅读《openGL三维程序设计》（电子书）第二部分第四章，掌握OpenGL 基本建模方法，并调试其中程序。 d)参考教材第6章，编程实现整数DDA算法、中点画线法和Bresenham 画线法，绘制直线（直线宽度和线型可自定）。 2.1 DDA直线生成 2.1.1算法原理 已知过端点P0（x0,y0），P1（x1,y1）的直线段L(P0,P1)，斜率为k=(y1-y0)/(x1-x0)，画线过程从x的左端点x0开始，向x右端点步进，步长为1个像素，计算相应的y坐标为y=kx+B。计算y i+1 = kx i+B =kx i +B+kx =y i +kx 当x=1,y i+1=y i+k，即当x每递增1，y递增k。由计算过程可知，y与k可能为浮点数，需要取y整数，源程序中round(y）=(int)(y+0.5)表示y四舍五入所得的整数值。 2.1.2 算法流程

2.1.3 算法实现关键代码 #include #include void Init() { glClearColor(1.0,1.0,1.0,0.0); glMatrixMode(GL_PROJECTION); gluOrtho2D(0.0,200.0,0.0,150.0); } void lineDDA(int x0,int y0,int xEnd,int yEnd) { int dx=xEnd-x0,dy=yEnd-y0,steps,k; float xIncrement, yIncrement, x=x0, y=y0; if(fabs(dx)>fabs(dy)) steps=fabs(dx); else steps=fabs(dy); xIncrement=float(dx)/float(steps); yIncrement=float(dy)/float(steps); for(k=0;k

直线生成算法——Bresenham法

直线生成算法——Bresenham法 最近的研究涉及在像素图上作直线，自己也不想花时间摸索，于是在网上找到了Bresenham的直线生成算法，有一篇博客讲得清晰明了，但是算法上有些问题，我进行了改进和移植，下面讲解Bresenham的直线生成算法时也是参考这篇博文。 1.算法简介 图1 算法思想：图1中，连接M点和N点的直线经过点B，由于是像素图，所以实际上B 点应该由A点或者C点代替。当B点更靠近A点时，选择点A（x+1,y+1）；当B点更靠近C点时，选择点C（x+1,y）。 因此，当ε+m < 0.5时，绘制(x + 1, y)点，否则绘制(x + 1, y + 1)点，这里ε为累加误差，表达式为： 式中：表示在第n次计算时的值，表示在第n+1次计算时的值；m就是直线的 斜率。 由于斜率m的值有正有负，有可能为0，也可能为∞，为了避免分别讨论这些情况， 将上述公式两边都乘以dx, 并将ε*dx用ξ表示，则有 式中：表示在第n次计算时的值，表示在第n+1次计算时的值；dx为起 点和终点横坐标之差，dy为起点和终点纵坐标之差。 还需说明一点，由直线斜率的定义 故

值得注意的是，现在我们只考虑dx > dy，且x，y的增量均为正的情况，但实际上有8种不同的情况（但是算法思想不变），如图2所示 如图2 2.算法程序 前文提到的那篇博文提出了一种方法，能将这8种情况都考虑，很巧妙。但是实际应用时发现程序运行结果不是完全对，多次检查之后将程序进行了修改。 修改后的算法VB程序如下 ‘**************************************************************************** Type mypos '自定义数据类型 x As Integer y As Integer End Type ‘**************************************************************************** Function Bresenham(arr() As mypos, x1, y1, x2, y2) Dim x!, y!, dx!, dy!, ux%, uy%, eps! Dim cnt% ReDim arr(100) dx = x2 - x1 dy = y2 - y1 If dx >= 0 Then ux = 1 If dx < 0 Then ux = -1