二阶线性常微分方程的幂级数解法
从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程
''0y xy -=的通解
解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……
为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到
x -∞<<∞2210
a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-=L
或一般的可推得
32356(31)3k a a k k =
?????-?L ，
1
3134673(31)
k a a k k +=
??????+L ，
其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：
这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到
00a =， 11a =，
因而
将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得
21111(1)!!
k a k k k +=
?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =L 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
考虑二阶齐次线性微分方程 及初值条件00()y x y =及'
'00()y x y =的情况。
不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。
定理10 若方程22()()0d y dy
p x q x y dx dx
++=中系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数，
且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dy
p x q x y dx dx
++=有形如
的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。
在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x -，2x -和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n 阶贝赛尔方程
这里n 为非负常数，不一定是正整数，（22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=）在此1
()p x x
=，
2
2
()1n
q x x =-
，显然它不满足定理10 的条件，因而不能肯定有形如
0n
n n y a x ∞
==∑的特解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。
定理11 若方程22()()0d y dy
p x q x y dx dx
++=中系数()p x ，()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，若00a ≠，则方程
22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=有形如0
n
n
n y x a x α∞==∑ 即
的特解，α是一个特定的常数，级数
0n n n y a x α
∞
+==∑也以||x R <为收敛区间。若00a =，或更一般的，0(0,1,2,1)i i m α==-L ，但0m
a ≠，则引入记号m βα=+，
k m k b a +=，则
n
m
k
k
n m k k n m
k k y x
a x x
a x x
b x α
αβ
∞
∞
∞
++======∑∑∑， 这里0
0m b a =≠，而β仍为待定常数。
例7 求解n 阶贝赛尔方程22
22
2
()0d y dy x x x n y dx dx
++-=。 解 将方程改写成 222
2210d y dy x n y dx x dx x
-++=， 易见，它满足定理11的条件（()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为
||x R <），且()()2221,xp x x q x x n ==-，按展成的幂级数收敛区间为x -∞<<∞，由定理
11，方程有形如
的解，这里
00a ≠，而k a 和α是待定常数，将
a k
k k y a x ∞
+==∑代入：
22
222
()0d y dy x x x n y dx dx
++-=中，得 2
20()0a k k k x n a x ∞
+=+-=∑，
把
x 同幂次项归在一起，上式变为
令各项的系数等于0，得一系列的代数方程
因为00a ≠，故从22
[]0a n α-=解得α的两个值 n α=和n α=-
先考虑n α
=时方程2
2222
()0d y dy x x x n y dx dx
++-=的一个特解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数k a 。把n α
=代入以上方程组，得到
2
(2)
k k a a k n k -=-+，2,3k =L
或按下标为奇数或偶数，我们分别有 从而求得 一般地
将k a 各代入
0a k
k k y a x ∞
+==∑得到方程22
22
2()0d y dy x x x n y dx dx
++-=的一个解 既然是求2
2222
()0d y dy x x x n y dx dx
++-=的特解，我们不妨令 其中函数()s Γ定义如下： 当s
>0时，()10s x
s x e dx +∞
--Γ=?；当
s
<0且非整数时，由递推公式
()1
()1s s s
Γ=Γ+定义。
()s Γ具有性质
()()1s s s Γ+=Γ; ()1!n n Γ+=
n 为正整数
而
()()()()02102112
!12k
n
k n k k a y a x
x k n n n k ∞
+=-=+?+++∑L 变为
注意到Γ函数的性质，即有
()n J x 是由贝塞尔方程2
2222
()0d y dy x x x n y dx dx
++-=定义的特殊函数，称为n 阶贝
赛尔函数。
因此，对于
n 阶贝塞尔方程，它总有一个特解()n J x 。为了求得另一个与
()n J x 线性无关的特解，我们自然想到，求
a n
=-时方程
2
2222
()0d y dy x x x n y dx dx
++-=的形如 的解，我们注意到只要n 不为非负整数，像以上对于n α=时的求解过程一样，
我们总可以求得
使之满足22022122
2[]0
[(1)]0[()]02,3,k k a n a n a k n a k ααα-?-=?+-=??+-+=??=?
L 中的一系列方程，因而
是22
222
()0d y dy x x x n y dx dx
++-=的一个特解。此时，若令 则
()()()()02202112
!12k
n
k n k k a y a x
x k n n n k ∞
--=-=+?-+-+-+∑L 变为
称()n J x -为阶贝赛尔函数。
利
用
达
朗贝尔
判别法不难验证级数
()()()()02102112
!12k
n
k n k k a y a x
x k n n n k ∞
+=-=+?+++∑L 和
()()()()02202112
!12k
n
k n
k k a y a x x k n n n k ∞--=-=+?-+-+-+∑L （在
()()()()02202112
!12k
n
k n k k a y a x
x k n n n k ∞
--=-=+?-+-+-+∑L 中0x ≠）都是收敛的，因此，当
n
不为非负整数时，()n J x 和
()
n J x -都是方程
22
22
2
()0d y dy x x x n y dx dx
++-=的解，而且是线性无关的，因为它们可展为由x 的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可能是常数。于是方程
22
222
()0d y dy x x x n y dx dx
++-=的通解可写为()()12n n y c J x c J x -=+ 这里1c ，
2c 是任意常数。此情形的()n
J x 和()n J x -称为第一类贝塞尔函数。
例8 求方程2'''
294025x y xy x y ??++-= ???的通解。
解 引入新变量2t
x =，我们有
222224d y d dy dt d y
dx dt dt dx dt
??=?= ???，
将上述关系代入院方程，得到
2222
9025d y dy t t t y dt dt ??++-= ???
， 这是，35n =的贝塞尔方程，由例7可知，方程2
2
229025d y dy t t t y dt dt ??++-= ???
的
通解可表为
()()1323
5
5
y c J t c J
t -=+，
代回原来变量，就得到原方程的通解
其中12,c c 是任意常数。
第二宇宙速度计算
作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在这个速度你下,物体将摆脱地球的引力,向地球一样绕着太阳运行,成为人造卫星.
让我们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程.以M 和m 分别表示地球和物体的质量.按牛顿万有引力定律,作用于物体的引力F (空气阻力忽略不计)为 这里r 表示地球的中心和物理体重心之间的距离，k 为万有引力常数。因为，物体运动规律应满足下面的微分方程 或
这里的负号表示物体的加速度是负的。
设地球半径为5(6310)R R m =?，物理发射速度为0v ，因此，当物体刚刚离开地球表面时，我们有0,
dr
r R v dt
==，即应取初值条件为 方程222
d r M
k dt r =-不显含自变量t 解得
注意到这时初值条件为 因而
因为物体运动速度必须始终保持是正的，即202v >，而随着r 的不断增大，量kM r 变得
任意小。因此，由220()22v v kM kM r R =
+-看到，条件2
02
v >要对所有的r 都成立，只有不
等式
202v kM
R
-
≥，
或 0v ≥
成立。因而最小的发射速度由下面式子决定: 在地球的表面，即r R =时，重力加速度为2
(9.81/)g g m s =，由此根据2
mM
F k r =，就
有2
M g k
R
=，于是2
kM gR =
。以此代入0v = 我们通常所说的第二宇宙速度指的就是011.2v km s =这个速度。
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
1 / 3 4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法 (Power series solution to second order linear ODE ) [教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程. [教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response ）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. [教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标] 1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质. 3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. 1. 高阶方程降阶法 例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为l 的线一端是质量为m 的质点，另一端系于固定点O ，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角?的正方向， 质点运动加速度为22dt d m l ?，所受的力为?sin mg -. 于是单摆方程为??sin 22l g dt d -=. 下面考察如下柯西问题：??sin 22l g dt d -=，0)0(',)0(0==???. （2）令dt d v ?=，下面导出? d dv ，由??d dt dt dv d dv ?=知，dt d d dv dt dv dt d ???? ==22. 于是原方程化为 ??sin l g v d dv -=，这是一个一阶可分离变量型方程。 解得 C l g v +=?cos 212，再由初始条件0)0(',)0(0==???得到 )cos (cos 20??-± =l g v ，其中±号由摆运动位置确定. （3）将v 返回原变量得到 )cos (cos 20???-±=l g dt d ，这也是一个一阶可分离变量型方程。先考察摆从最大正角0?到0?-之间运动情形： )cos (cos 20???--=l g dt d l g t dt l g d t 22cos cos 000 -=-=-??? ? ???，特别地令?---=000 0cos cos 2????? d g l T ，
一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程[1] . (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为 ()() dy f x dx g y =
变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组
微分方程的幂级数解法 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式称为：微分方程。对其进行研究，找寻未知函数，称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用解法 微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们就要寻求其它解法。常用的有幂级数解法和数值解法。本节我们简单地介绍一下微分方程的幂级数解法。
求一阶微分方程（1）满 足初始条件的特解，其中函数 f (x , y)是、的多项式： . 这时我们可以设所特解可展开为 的幂级数 (2） 其中是待定的系数，把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式 两端的同次幂的系数，就可定出常数 , 以这些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件 的特解。 例1求方程满足的特
解。 解这时，故设 ， 把及的幂级数展开式代入原方程，得 由此，比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 。 关于二阶齐次线性方程用幂级数求解的问题，我们先叙述一个定理： 定理如果方程（3）中的系数P(x)与Q(x)可在－R＜x＜R 内展开为x的幂级数那么
在－R＜x＜R内方程（3）必有形如 的解。 例 2 求微分方程的满足初始条件 , 的特解。 解这里在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成x的幂级 数（4） 由条件得。对级数（4）逐项求导，有 , 由条件得.于是我们所求方程的级数解及的形式已成为 （5） （6） 对级数（6）逐项求导，得
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy =
解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5 --+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
五邑大学学报 JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY 1999年 第13卷 第1期 Vol.13 No.1 1999 线性常系数微分方程的求解公式 陈新明 杨逢建 摘要 利用微分算子法给出了n阶线性常系数非齐次方程的求解公式。 关键词 微分方程线性；非齐次 中图分类号 O175.1 Formulas for solving the Linear Differential Equations with constants coefficients CHENXin-mingYANGFeng-jian (1.Dept.ofMath&Phys.,WuyiUniv,Jiangmen529020,China 2.Dept.ofMath.&Phys.,ZhongkaiAgric.&Technol.Inst.,Guangzhou510225,China) Abstract In this paper, using differential operater, we present five formulas for solving the n-th-order inhomogeneous linear differential equation with constant coefficients so～lution. Keywords differential equation;linear;inhomogeneouss 对n阶常系数线性非齐次方程 (1)记,并记A(D)=D n+P1D n-1++P n-1D+P n,则方程（1）可记成 A(D)y=f(x) (1')求方程（1）的通解的关键是求出其特解y*,为得出求特解y*的公式，先给出如下引理。 引理1
郑州航空工业管理学院 毕业论文（设计） 2015届数学与应用数学专业1111062班级 题目二阶常微分方程的降阶解法 姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号
二阶常微分方程的降阶解法 摘要 常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。 本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。 关键词 二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式
Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times differential equation and derivative operation and turn two order constant
一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1） 在变换 ( ) 1'12,,,,n n y y y y y y -=== （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=? ? （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常 系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组 ()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。
第四章 线性常微分方程的级数解法 4.1 常点邻域之级数解法 ① 常点邻域的级数解概念 ---- （二阶线性常微分方程的一般形式） 0)()(=+'+''w z q w z p w (4.1) ----（常点概念） 对于式(4.1)中,若)(z p 与 )(z q 在某点及其邻域内解析,则称此点为常点； 反之,若)(z p 与)(z q 至少一个在该点不解析,则称此点为奇点。 ----（常点邻域内解的存在定理） 若)(z p 与 ) (z q 在 R z z <-0内单值解析,则方程(4.1)在 R z z <-0内存在单值唯一的解析解。 ----（常点0z 邻域内之级数解的一般形式） 若 )(z p 与)(z q 在R z z <-0内单值解析,则对于式 (4.1),可设级数解∑∞ =-=0 0)(n n n z z a w ,再将 ) (z p 与 )(z q 在R z z <-0内展为泰勒级数,代入式(4.1)以 确定级数解之待定系数。 ② 勒让德方程之级数解 ----（勒让德方程形式）
0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x (4.2) ----（在常点0=x 邻域内的级数解） 分析： 由1 2)(2-= x x x p 及2 1) 1()(x l l x q -+=，可知0=x 为常点；故可设：∑∞ ==0 n n n x a y ， 相应：∑∞ =-='1 1 n n n x na y ，∑∞ =--=''2 2)1(n n n x a n n y ， 代入方程(4.2)，得： )1(2)1()1)(2(0 2=++--- ++∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =+n n n n n n n n n n n n x a l l x na x a n n x a n n ，即： n n a l l n n a n n )()1)(2(222--+=+++，或 n n a n n l n l n a ) 1)(2() 1)((2++++-=+；显然有： 02!2)1)((a l l a +-= ，13!3) 2)(1(a l l a +-=， 04! 4)12)(2)(1)((a l l l l a ++-+-=， 15! 5)4)(3)(2)(1(a l l l l a +-+-=，即 02)! 2() 12)(22()1)((a k l k l k l l a k +---+-= ， 012)! 12() 2)(12()2)(1(a k l k l k l l a k ++--+-= + ；相应级 数解为两个线性无关解的迭加： ∑∑∑∑∞ =++∞ =∞ =++∞ =+=+ = 1 21210 220 1 2120 22k k k k k k k k k k k k x A a x A a x a x a y (4.3)
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210 a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-=L 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-?L ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+L ， 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。 例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得
21111(1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i =L 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。 考虑二阶齐次线性微分方程 及初值条件00()y x y =及' '00()y x y =的情况。 不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。 定理10 若方程22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=中系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数， 且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=有形如 的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。 在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x -，2x -和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n 阶贝赛尔方程 这里n 为非负常数，不一定是正整数，（22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=）在此1 ()p x x =， 2 2 ()1n q x x =- ，显然它不满足定理10 的条件，因而不能肯定有形如 0n n n y a x ∞ ==∑的特解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。