第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 12 2-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程：
①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到 )(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0 ),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 0 2、 022 1 1≠b a b a ，?? ?=++=++00 222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5 --+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 71+=- ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的
全微分方程及积分因子
全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分?x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子：x N y M y M x N ??-??=? ???????-??μμμ1
)(x μ： N x N y M dx d ?? -??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??- ??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解：x N y M ?? ≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002 )0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y 解：x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23 232322)(32 )(32 )(32 既C y x x =-+23 2 2)(32 4）0)ln (3 =++dy x y dx x y
第二节 几类简单微分方程及其解法 本节将介绍可分离变量的微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程等一阶微分方程的解法. 一阶微分方程是微分方程中最基本的、最常见的一类方程.它的一般形式可表示为： 0)',,(=y y x F 或),('y x F y =， 其中)',,(y y x F 为,,'x y y 的已知函数，),(y x F 为,x y 的已知函数. 一、可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程),('y x F y =的等式右端能分解为： )()(),(y g x f y x F =， 即)()('y g x f y = (7.2.1) 则称方程(7.2.1)为可分离变量的微分方程. 设)(y g ≠0，则方程(6.2.1)改写为： dx x f dy y g )() (1=， 上式两边积分，可得 ??=dx x f dy y g )()(1. 上述将微分方程化成分离变量形式求解的方法，称为分离变量法. 注：在分离变量时，未知函数y 的函数和微分要写在等式的左边. 例1 求微分方程)3(2'+=y x y 的通解. 解1： 原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,3ln 12c x y +=+即.312-±=+c x e y 记1c e c ±=，则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 解2：
原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,ln )3ln(2c x y +=+即,3ln 2x c y =+23x ce y =+ 则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 注：为了简化运算，规定： （1） 微分方程中出现形为 ?u du 的积分时，可不按不定积分基本积分公式表写成 ln du u c u =+?，而是写成ln du u u =?； （2） 不定积分等式中至少有一个形为?u du 的积分时，任意常数不写成c ，而写成c ln 并放在等式右侧. 例2 求微分方程y xy ='的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 ,dy dx y x =?? c x y ln ln ln += cx ln = 则微分方程的通解为cx y = （c 为任意常数）. 例3 求微分方程dx e x dy x e y y )1(2)1(2+=+的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 dx x x dy e e y y ??+=+2121， c x e y ln )1ln()1ln(2++=+ )1(ln 2x c +=， ).1(12x c e y +=+ 则微分方程的通解为 ]1)1(ln[2-+=x c y （c 为任意常数）. 例4 求微分方程)'('2 y y a xy y +=-的通解.
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐 式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］ =dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程 解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1
y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ①f(x)=P m(x)eλx型 令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数 ②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型
1 / 3 4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法 (Power series solution to second order linear ODE ) [教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程. [教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response ）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. [教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标] 1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质. 3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. 1. 高阶方程降阶法 例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为l 的线一端是质量为m 的质点，另一端系于固定点O ，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角?的正方向， 质点运动加速度为22dt d m l ?，所受的力为?sin mg -. 于是单摆方程为??sin 22l g dt d -=. 下面考察如下柯西问题：??sin 22l g dt d -=，0)0(',)0(0==???. （2）令dt d v ?=，下面导出? d dv ，由??d dt dt dv d dv ?=知，dt d d dv dt dv dt d ???? ==22. 于是原方程化为 ??sin l g v d dv -=，这是一个一阶可分离变量型方程。 解得 C l g v +=?cos 212，再由初始条件0)0(',)0(0==???得到 )cos (cos 20??-± =l g v ，其中±号由摆运动位置确定. （3）将v 返回原变量得到 )cos (cos 20???-±=l g dt d ，这也是一个一阶可分离变量型方程。先考察摆从最大正角0?到0?-之间运动情形： )cos (cos 20???--=l g dt d l g t dt l g d t 22cos cos 000 -=-=-??? ? ???，特别地令?---=000 0cos cos 2????? d g l T ，
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?+ +-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210 a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-?， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36 347 01[1][] 232356 2356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++ ++++++ ?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个
任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。 例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?+ +-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0, ,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 5678911 11,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 5 213 2! !k x x y x x k +=+++ ++ 2 4 22 (1),2! ! k x x x x x xe k =+++ ++= 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方
微分方程的幂级数解法 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式称为：微分方程。对其进行研究，找寻未知函数，称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用解法 微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们就要寻求其它解法。常用的有幂级数解法和数值解法。本节我们简单地介绍一下微分方程的幂级数解法。
求一阶微分方程（1）满 足初始条件的特解，其中函数 f (x , y)是、的多项式： . 这时我们可以设所特解可展开为 的幂级数 (2） 其中是待定的系数，把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式 两端的同次幂的系数，就可定出常数 , 以这些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件 的特解。 例1求方程满足的特
解。 解这时，故设 ， 把及的幂级数展开式代入原方程，得 由此，比较恒等式两端x 的同次幂的系数，得 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 。 关于二阶齐次线性方程用幂级数求解的问题，我们先叙述一个定理： 定理如果方程（3）中的系数P(x)与Q(x)可在－R＜x＜R 内展开为x的幂级数那么
在－R＜x＜R内方程（3）必有形如 的解。 例 2 求微分方程的满足初始条件 , 的特解。 解这里在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成x的幂级 数（4） 由条件得。对级数（4）逐项求导，有 , 由条件得.于是我们所求方程的级数解及的形式已成为 （5） （6） 对级数（6）逐项求导，得
第四章 线性常微分方程的级数解法 4.1 常点邻域之级数解法 ① 常点邻域的级数解概念 ---- （二阶线性常微分方程的一般形式） 0)()(=+'+''w z q w z p w (4.1) ----（常点概念） 对于式(4.1)中,若)(z p 与 )(z q 在某点及其邻域内解析,则称此点为常点； 反之,若)(z p 与)(z q 至少一个在该点不解析,则称此点为奇点。 ----（常点邻域内解的存在定理） 若)(z p 与 ) (z q 在 R z z <-0内单值解析,则方程(4.1)在 R z z <-0内存在单值唯一的解析解。 ----（常点0z 邻域内之级数解的一般形式） 若 )(z p 与)(z q 在R z z <-0内单值解析,则对于式 (4.1),可设级数解∑∞ =-=0 0)(n n n z z a w ,再将 ) (z p 与 )(z q 在R z z <-0内展为泰勒级数,代入式(4.1)以 确定级数解之待定系数。 ② 勒让德方程之级数解 ----（勒让德方程形式）
0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x (4.2) ----（在常点0=x 邻域内的级数解） 分析： 由1 2)(2-= x x x p 及2 1) 1()(x l l x q -+=，可知0=x 为常点；故可设：∑∞ ==0 n n n x a y ， 相应：∑∞ =-='1 1 n n n x na y ，∑∞ =--=''2 2)1(n n n x a n n y ， 代入方程(4.2)，得： )1(2)1()1)(2(0 2=++--- ++∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =+n n n n n n n n n n n n x a l l x na x a n n x a n n ，即： n n a l l n n a n n )()1)(2(222--+=+++，或 n n a n n l n l n a ) 1)(2() 1)((2++++-=+；显然有： 02!2)1)((a l l a +-= ，13!3) 2)(1(a l l a +-=， 04! 4)12)(2)(1)((a l l l l a ++-+-=， 15! 5)4)(3)(2)(1(a l l l l a +-+-=，即 02)! 2() 12)(22()1)((a k l k l k l l a k +---+-= ， 012)! 12() 2)(12()2)(1(a k l k l k l l a k ++--+-= + ；相应级 数解为两个线性无关解的迭加： ∑∑∑∑∞ =++∞ =∞ =++∞ =+=+ = 1 21210 220 1 2120 22k k k k k k k k k k k k x A a x A a x a x a y (4.3)
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。
全微分方程的不定积分解法及其证明 一个一阶微分方程写成 P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy = 0 ⑴ 形式后，如果它的左端恰好是某一个函数u= u (x,y ) 的全微分： du (x,y ) = P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy 那么方程⑴就叫做全微分方程。这里 5u 5x = P (x,y ）， 5u 5y = Q (x,y ) 方程⑴就是du (x,y ) = 0,其通解为： u (x,y ) = C(C 为常数） 可见，解全微分方程的关键在于求原函数u (x,y ）。因此，本文将提供一种求原函数u (x,y ) 的简捷 方法，并给出证明。 1引入记号 为了表述方便，先引入记号如下： 设M (x,y ) 为一个含有变量x,y 项的二元函数，定义： ⑴“M (x q ,y ) ”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量x 的项; ⑵“M (x,y q ）”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量y 的项； 注意：常数项看作既不含变量x 也不含变量y 的项。 现举一例如下： 设：M (x,y ) = xy + x ey+ x 1- x + sinx+ co sx co sy + y 2+ 1 按记号定义有： M (x q ,y ) = M (x,y ) - (x y + x ey + x 1 - x + sinx + co sx co sy ) = y 2 + 1 M (x,y q ）= M (x,y ) - (x y + x ey + co sx co sy + y 2) = x 1 - x
+ sinx + 1 2u (x,y ) 的简捷求法 引理设开区域G 是一个单连通域，函数P (x,y ),Q (x,y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，则 P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy 在G 内为某一函数u (x,y ) 的全微分的充分必要条件是等式 5P 5y = 5Q 5x
各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程
令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的 连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2) 的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y Λ为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k Λ使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k Λ, 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土 01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我 们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法1可.分离变量的方程 dy g ( y )dy?f (x )dx ,或 ?f (x )g (y ) dx 其特点是可以把变量 x 和 y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例 1.求微分方程 dx?xyd?y 2 dx?ydy 的通解 . 解 2 先合并 dx 及 dy 的各项 ,得 y (x 1)dy ( y 1)dx ?? ? 设 2 1 0, 1 0, y dy? 1 dx y ? ? x ? ? 分离变量得 2 x?1 y ?1 两端积分 y dy? 1 dx 得 1 ln | 2 1| ln | 1| ln | | 2 x? 1 y ?1 2 2 2 ( x?1) 2 2 2 ?C ( x?1) 2 . 于是 y ?1 ??C 记 C??C , 则得到题设方程的通解y ?1 1 1 2.齐次方程 dy y （1） ?f ( ) dx x dy （2） ?f (ax?by?c )（a ，b 均不等于 0） dx 例 2 求解微分方程 dx dy . 2 2 ? 2 x ?xy?y 2 y ?xy y 2 y ? ?? dy 2 2? ? 解 原方程变形为 2y ?xy ? x x , ? 2 2 ? ? 2 dx x ?xy?y y y ? ? 1? ?? ? x x ? ? y dy du 2 du 2u ?u , 令 u? , 则 ?u?x , 方程化为 u?x ? 2 x dx dx dx 1 ?u?u ?1 ? 1 1 ? 2 1 ? dx 分离变量 得 ? ? ? ?? ? ?du? , ?2 ?u?2 u? u?2 u?1? x 两边积分得
二阶线性常微分方程的 幂级数解法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210 a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-?， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+， 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。 例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到
因而 最后得 21111(1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢级数的形式怎样其收敛区间又如何这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。 考虑二阶齐次线性微分方程 及初值条件00()y x y =及' '00()y x y =的情况。 不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。 定理10 若方程22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=中系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂 级数，且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=有形如 的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。