小波分析的形成
小波分析是一门数学分支,是继Fourier 变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历了三个发展阶段:
Fourier 变换阶段:
Fourier 变换是将信号在整个时间轴上进行积分,它将信号的时域特征和频域特征联系起来,分别进行分析。设信号()f t ,其Fourier 变换为:
()()i t F f t e dt ωω∞
--∞
=?
()F ω确定了()f t 在整个时间域上的频谱特性。但Fourier 变换不能对信号从时域和频
域结合起来分析,它是一种全局变换,在时间域上没有任何分辨率。
例:()1,(22)f t t =-<=<=,其Fourier 变换对应图如下:
短时Fourier 变换阶段:
短时Fourier 变换即加窗Fourier 变换,其思想是把信号分成许多小的时间间隔,用Fourier 分析每个时间间隔,以确定该间隔存在的频率,达到时频局部化目的。其表达式为:
(,)(),()()()j t j t f R
G f t g t e f t g t e dt ωωωτττ-=?-?=-?
式中,()g t 为时限函数,即窗口函数,j t
e
ω-起频限作用,(,)f G ωτ大致反映了()f t 在τ时、
频率为ω的信号成分含量。
由上式,短时Fourier 变换能实现一定程度上的时频局部化,但窗口函数确定时,窗口大小和形状固定,所得时频分辨率单一。
小波分析阶段:
为了克服上述缺点,小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加,即在频率宽上减小;在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小,而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细节上的分析。
小波的定义:
设2()()t L R ψ∈ (为能量有限的空间信号),其Fourier 变换为 ()ψω,若满足容许条件:
2
|()|||d ψωωω∞
-∞<+∞?
则称()t ψ为母小波,由容许条件可得: (0)()0t dt ψψ∞-∞
==?
,说明()t ψ具有波动性,在有限区间外恒为0或快速趋近于0.
以Marr 小波2
2
2())
t
t t e ψ-=-为例,如下图:
将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波,定义式如下:
,()(),0b a t b t a a ψ-=
>
其中a 为伸缩因子,b 为平移因子。
a
以Marr 小波为例,分别取伸缩平移因子a ,b 为0.5、1、2、4;-1、0、1,对应图形如下:
Daubichies小波
常见的小波有Daubechies、Symlets、Morlet、Mexican Hat、Meyer小波等,其对应的图形及性质如下:
Daubechies小波是正交小波,没有解析表达式(除Haar小波外)。其简写形式为dbN,N表示阶数,支集区间为(0,2N-1)。
Symlets小波与db小波的差别是sym小波有更好的对称性。
Morlet 小波不具备正交性,不存在紧支集,不能做离散小波变换,没有解析尺度函数,其小波函数为:
2
/2()cos(5)x x e x ψ-=
Mexican Hat 小波不具有正交性,不存在尺度函数,是高斯函数的二阶导数,小波函数为:
21/4/2
()
x x e ψ--=
Meyer 小波为在频域定义的具有解析形式的正交小波,不存在紧支集,但其频谱有限,
具有对称性。
小波函数的特点:
正交性:小波函数与自身内积为1,而与其伸缩平移后的小波系列内积为0。正交小波的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上,并且可以进行高效的离散小波变换。
对称性:不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真。
紧支性:具有紧支性的小波其小波函数仅在有限区间内是非零的,其局部化能力强,小波变换复杂度低。
正则性:用于刻画小波函数的光滑程度,正则性越高,函数越光滑。
消失矩:用于衡量小波逼近光滑函数时的能力。消失矩越大,压缩比越大。
尺度函数:若函数2()()t L R ?∈,其整数平移系列()()k t t k ??=-满足:
(),()k k kk t t ??δ''=
则称()t ?为尺度函数。
对尺度函数()t ?进行平移和伸缩,可得一个尺度和位移均可变的函数集合:
/2,()2(2)(2)j j j j k k t t k t ???---=-=
称每一个固定尺度j 上的平移系列(2)j k t ?-所张成的空间j V 为尺度j 的尺度空间:
{}(2),j j k V span t k Z ?-=∈
正交多分辨分析:Hilbert 空间2()L R 中,若一列闭子空间{}j j z V ∈满足如下性质:嵌套性:1,();j j V V j z -?∈ 逼近性:2{0},();j j j z
j z
V V L R ∈∈?=?=
伸缩性:1()(2);j j f t V f t V -∈?∈
平移不变性:()(),;j j f t V f t k V j Z ∈?-∈∈
正交性(Riesz 基):存在0()t V ?∈,使得{(),}t k k z ?-∈是0V 的标准正交基。 滤波器:在二尺度方程中,对系数系列{}k k z h ∈和1(1),k k k g h k z -=-∈作Fourier 变换得()H ω和()G ω,其中1()2ik k k z H h e ωω-∈=
∑,1()2ik k
k z
G g e ω
ω-∈=∑,称()H ω和()G ω分别为低通滤波器和高通滤波器。称{}k k z h ∈和{}k k z g ∈分别为低通滤波器系
数和高通滤波器系数。
小波变换
连续小波变换:设ψ为一母小波,2()()f t L R ∈,称
12
,()(,),||
()(
)a b t b
W f a b f a f t dt a
ψψψ∞
-
-∞
-=??=?
为f 的连续小波变换。
离散小波变换
离散小波:通过离散化连续小波变换中的平移因子b 和尺度因子a 得到,通
常取000,,,m m
a a
b nb a m n Z ==∈.
离散小波变换:2
,000()(,),||
()()m
m a b W f a b f a f t a t nb dt ψψψ∞
---∞
=??=-?
若取002,1a b ==,可以得到二进小波:/2,()2(2),,m m m n t t n m n Z ψψ--=-∈
信号的离散小波变换并不是直接由尺度函数()t ?和对应的小波()t ψ与信号内积来实现,而是利用滤波器组[]h n 和[]g n 来实现,用矩阵形式表述如下:
111[0][0][0][1][]000[1][1]00[0][1][]0[1][]0000[0][1][1]2j j j j j j c c h h h k c c h h h k n c n h k h h c ---??
????????????????=??
????????????--??????????
11
1[0][0][0][1][]000[1][1]00[0][1][]0[1][]0000[0][1][1]2j j j j j j d c g g g k d c g g g k n c n g k g g d ---??
????????????????=??????????????--??????????
其中,设滤波器长度为k 。并且两滤波器系数间有如下关系:
1(1),k k k g h k z -=-∈
2||2k
k z
h
∈=∑; 2k
k z h
∈=∑; 2211k
k k z
k z
h
h +∈∈==∑∑;
202,k n k
n k z
h
h n z δ-∈=?∈∑
以db5小波为例,其低通滤波器系数如下(这里取二尺度方程为
()(2)k k z
t h t k ??∈=-)所得的系数:
h[0]=0.160102397974;h[1]=0.603829269797;h[2]=0.724308528438; h[3]=0.138428145901;h[4]=-0.242294887066;h[5]=-0.032244869585; h[6]=0.0775********;h[7]=-0.006241490213;h[8]=-0.012580751999; h[9]=0.003335725285;
变换所得系数j c 和j d 分别为离散小波变换的不同尺度下的低频和高频系数。
小波逆变换即信号的重建运算,重构是从尺度最低的近似系数j c 和细节系数j d 开始,
通过低频和高频重构滤波器恢复出上一尺度的近似信号1j c -,继续这个过程,直到恢复原始信号。其计算公式为:
1,,,(2)(2),j m j k j k k
k
c c h m k
d g m k k Z -=-+-∈∑∑
离散小波变换与重构实例如下:
所采用的信号为添加白噪声的正弦信号,信号共1000个采样,采用db4小波做3层分解,其原始信号、低频系数、高频系数和重构信号如下图:
小波分析应用实例读文报告 一、小波分析的基本理论 小波分析(Wavelet Analysis )或多分辨分析(Multiresolution Analysis )是傅里叶分析仪发展史上里程碑式的进展,也是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶。其基础理论知识涉及到泛函分析、数值分析、统计分析,涉及到电子工程、电气工程、通信工程和计算机工程等,其同时具有理论深刻和工程应用十分广泛的双重意义。 小波(wavelet ),即小区域的波,是一种特殊的长度有限(紧支集)或快速衰减,且均值为0的波形。 1.小波函数 小波函数的确切定义为:设()t ψ为一平方可积函数,即2()()t L R ψ∈,若其傅里叶变换()ψω满足条件: ()R C d ωωωψψ=∞ (1-3) 则称()t ψ为一个基本小波或小波母函数。称式(1-3)为小波函数的可容许条件。把小波和构成傅里叶分析基础的正弦波做一个对比,傅里叶分析所用的正弦波在实践上没有限制,从负无穷到正无穷,但小波倾向于不规则和不对称。傅里叶分析是将信号分解成一系列的不同频率的正弦波德叠加,同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加,而这些函数都是有一个母函数经过平移与尺度伸缩得来的。信号局部的特性用小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好。 将小波母函数()t ψ进行伸缩和平移,就可以得到函数,()a t τψ: ,t ()a a t ττψ-=() a R a>0τ∈,; (1-4) 式中,a 为伸缩因子,τ为平移因子,,()a t τψ为依赖于参数a 和τ的小波基函数,由于尺度因子a 和平移因子τ是连续变化的值,因此称,()a t τψ为连续小波基函数。它们是由同一组母函数()t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数序列。 小波奇函数的窗口随尺度因子的不同而伸缩,当a 逐渐增大时,基函数,()a t τψ的时间
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾,了解一下常见的小波函数,混个脸熟,知道一下常见的几个术语,有个印象即可,这里就当是先作一个备忘录,以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换,根据小波母函数的不同,小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点: 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间,是当时间或频率趋向于无穷大时,Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长,一般需要耗费更多的计算时间,且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波,因为支撑长度太长会产生边界问题,支撑长度太短消失矩太低,不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念,通俗来讲,对于函数f(x),如果自变量x在0附近的取值范围内,f(x)能取到值;而在此之外,f(x)取值为0,那么这个函数f(x)就是紧支撑函数,而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外,函数为零,即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波,在图像处理中可以很有效地避免相位畸变,因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中,对基本小波往往不仅要求满足容许条件,对还要施加所谓的消失矩(Vanishing Moments)条件,使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数,这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大,就使更多的小波系数为零。但在一般情况下,消失矩越高,支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上,我们必须要折衷处理。
《小波分析》试题 适用范围:硕士研究生 时 间:2013年6月 一、名词解释(30分) 1、线性空间与线性子空间 解释:线性空间是一个在标量域(实或复)F 上的非空矢量集合V ;设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合,且对V 已有的线性运算满足以下条件 (1) 如果x 、y V1,则x +y V1; (2) 如果x V1,k K ,则kx V1, 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。2、基与坐标 解释:在 n 维线性空间 V 中,n 个线性无关的向量,称为 V 的一组n 21...εεε,,,基;设是中任一向量,于是 线性相关,因此可以被基αn 21...εεε,,,线性表出:,其中系数 αεεε,,,,n 21...n 21...εεε,,,n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的,这组数就称为在基下的坐标,an ...a a 11,,,αn 21...εεε,,,记为 () 。an ...a a 11,,,3、内积 解释:内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。,()T n x x x x ,...,,21= ,令,称为x 与y 的内积。 ()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间 解释:线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。线性(linearity ):对任意 f , g ∈H ,a ,b ∈R ,a*f+b*g 仍然∈H 。完备(completeness ):空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积(inner product ):
摘要 近年来,对图像分割的研究一直是图像技术研究的焦点。图像分割是一种很重要的图像分析技术,它的目的是把图像分为具有各种特性的区域并把感兴趣的部分提取出来。它融合了多个学科的成果,并且成功应用于工业、农业、医学、军事等领域,得到了广泛的应用。 图像分割是一个经典的问题,实现方法有很多种,但是至今仍没有一种通用的解决方法。经过研究发现,区分真正的噪声和边缘是图像分割的难题之一,然而小波变换则可以解决这一问题,小波变换是一种时--频两域的分析工具。本文则基于小波变换对图像分割技术进行研究,主要介绍了小波阈值分割方法。文中通过直方图、建立模型等手段对这两种方法做出具体的讨论,并利用Matlab分别对两种方法进行仿真,并得到了有效的结果。根据仿真结果我们可以看出不同分割方法的不同分割效果,从而更好地理解这些方法。 关键词:图像分割;小波变换;阈值;
Abstract In recent years, the study of image segmentation has been the focus of imaging technology. Image segmentation is an important image analysis, its purpose is to take the various characteristics part out of the image. It combines the results of multiple disciplines, and successfully applied to such fields as industry, agriculture, medicine, military, and a wide range of applications. There are many ways to achieve image segmentation, but could not find a common solution. After the study found that the distinction between real noise and the edge of one of the difficult problem of image segmentation, wavelet transform can solve this problem, wavelet transform is a time - frequency domain analysis tools. In this paper, image segmentation technique based on wavelet transform to study the two wavelet segmentation method, the wavelet thresholding segmentation method. Histogram, the establishment of model and other means to make a specific discussion of these two approaches, and use the Matlab simulation, and the effective results of the two methods, respectively. According to the results of the simulation we can see the different segmentation results of different segmentation methods, in order to better understand these methods. Key words:Image; Wavelet transform; Threshold