第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求
初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点
(1) 关联矩阵
(2) 结点电压方程的矩阵形式
(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法
(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法
.三种主要关联矩阵形式：
①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；
a jk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；
a jk= 0，表示结点j与支路k不关联；
②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：
lⅹb
其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；
b jk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；
b jk= 0，表示回路j与支路k相不关联；
③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；
q jk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；
q jk= 0，表示割集j与支路k相不关联；
注意：
★对于结点关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。
★对于回路关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i = B T i l；i =[i i i2i3……i b]T。i l=[i l i i l2i l3……
i ll]T
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u =[u i u2u3……u b]T。
★对于割集关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =Q f T u t；u =[u i u2u3……u b]T。u t=[u t i u t2u t3……
u t(n-1)]T。
④三种矩阵之间的关系（略）
2. 三种分析方法的方程的矩阵形式
①回路电流方程的矩阵形式（略）
②割集电压方程的矩阵形式（略）
③结点电压方程的矩阵形式
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。结点电压方程的矩阵形式的形成过程：
第一步：建立复合支路：
由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k 条支路如下：
由基尔霍夫电流定律得：
所以：
对该式进行讨论，目的是得出一般规律。
⑴复合支路中无受控源时：
由KCL得：
变成将代入得：
又所以
对整个电路有：其中Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。
同理可以分析一下两种情况
⑵复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：
⑶复合支路中含有受控源时：
都可以推导出
第二步：写出A、Y、I S、U S等矩阵；
第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：
3、典型例题分析
【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。
电路如图（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图（b）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。
图（a）图（b）
解：由图（b）得节点关联矩阵A,
节点电压的列向量，
支路电流的列向量，
支路电压的列向量，
支路导纳矩阵，
节点导纳矩阵，
结点电压方程的矩阵形式为：
【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。
电路如图（a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。
图（a）图（b）解：方法 1直观法
KVL：
KCL ：
；
消去：；；
代入上式：
然后整理成矩阵形式（略）。
方法 2系统法
选图（b）中支路 1 、 3 、 4 、 6 为树支
含电感单连支回路的 KVL ：
含电容单树支割集的 KCL ：
【例题3】：求图所示电路的状态方程。
图解：设u c ,i1，i2为状态变量
其中：
从以上方程中消去非状态量，得：
写成矩阵形式：
【例题4】：
图所示图G 的关联矩阵A =________________________。
图
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A =------??????
????
??????1234511
100
000000011100000
000011110010010001
001
001
0 (每错一个元素扣2分，扣完为止)
3、典型习题
【题1】：已知图G 的关联矩阵如下，画出图G 。
【题2】：图所示电路的图中，可写出独立的KCL 、KVL 方程数分别为： 答（ ）
个，3个； 个，4个； 个，3个； 个，4个。
图
【题3】：图所示电路的图G 已给出，则该电路支路导纳矩阵为： 答（ ）
图
【题4】：图所示电路的G已给出，则其支路导纳矩阵为：答（）
图
【题5】：图所示电路支路编号和参考方向如图G所示，则其支路导纳矩阵Y b为：答（）
图
【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为[][][][][][][]
=-时，标准支路的形式为图中所
Y U A Y U A I
n n b S S
示的：答（）
图
【题7】：用矩阵法建立图所示电路的节点电压方程。（直接写出无分）
图
【题8】：按下列步骤列出图所示电路节点电压方程的矩阵形式：
1.有向图;（编号按元件参数下标）
2.出所需的各矩阵;
3.出节点电压方程的矩阵公式;
4.出节点电压方程的矩阵形式。
图
【题9】：用矩阵法建立图所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。
图
【题10】：试列出图所示电路的矩阵形式状态方程。
图
【题11】：图所示电路中，R=5；C1=2F；C2=1F；L=2H.。求该电路的状态方程。
图
【题12】：试建立图所示电路的状态方程。
图
【题13】：试建立图所示电路的状态方程。
图
【题14】：图所示电路中，R 1=1000；R 2=3000；C =250F ；L =.。试建立电路的状态方程。
图
【题15】：图所示电路中，R 1=1000；R 2=30；R 3=10；C =4000F ；L =5mH.。试建立电路的状态方程。
图
第十五章 电路方程的矩阵形式答案
题1
?
????()14
)
5()0
1
23
5
67
8
9
?
(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分) 题2：（C ） 题3：（D ） 题4：（C ） 题5：（C ） 题6：（A ） 题7：
题8：
题9：
题10：
d d
d
d d d S
i
t
i
t
u
t
i
i
u
u
C C
1
2
1
2
122
143
1
2
1
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
---
---
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
题11：
d
d
u
t
C1=-+
0505
..
S
i i
L
d
d
u
t
C2=-+
02
2
.u i
C L
d
d
i
t
L=-
0505
12
..
u u
C C
题12：
题13：
题14：
d
d
u
t
C=--+
u i u
C L
1000
S
d
d
i
t
L=-?+
25007500107500
3
u i u
C L S 题15：
第十五章电流和电路 5.1两种电荷 一、电荷 1、物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说物体带了电荷；换句话说，带电体具有吸引轻小物体的性质。 2、用摩擦的方法使物体带电叫摩擦起电； 3、摩擦起电的实质：摩擦起电并不是创生了电，而是电子从一个物体转移到了另一个物体，失去电子的带正电；得到电子的带负电。 二、两种电荷： 1、把用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷叫正电荷；电子从玻璃棒转移到丝绸。 2、把用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷叫负电荷；电子从毛皮转移到橡胶棒。 3、基本性质：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引； 4、带电体排斥带同种电荷的物体;带电体吸引带异种电荷的物体和轻小物体。 例：1、A带正电，A排斥B，B肯定带正电； 2、A带正电，A吸引B，B可能带负电也可能不带电。（B是轻小物体） 三、验电器 1、用途：用来检验物体是否带电；从验电器张角的大小，可以粗略的判断带电体所带电荷的多少。 2、原理：同种电荷相互排斥； 四、电荷量（电荷） 电荷的多少叫电荷量，简称电荷；单位：库仑（C）简称库； 五、原子的结构 质子（带正电） 原子核 原子中子（不带电） 电子（带负电） 原子核所带的正电荷与核外所有电子总共带的负电荷数在数量上相等，整个原子呈中性，原子对外不显带电的性质。 六、元电荷 1、最小的电荷叫做元电荷，用符号e表示，e=1.6×10-19C。 2、电子电荷量的大小是最小的。 七、导体、绝缘体 1、善于导电的物体叫导体；如：金属、人体、大地、石墨、酸碱盐溶液； 2、不善于导电的物体叫绝缘体，如：橡胶、玻璃、塑料、陶瓷、油、空气等； 3、导体和绝缘体在一定条件下可以相互转换；例如：1、干木头（绝缘体）、湿木头（导体）2、玻璃通常是绝缘体，加热到红炽状态（导体）。 5.2电流和电路 一、电流 1、电荷的定向移动形成电流；（电荷包括正电荷和负电荷定向移动都可以形成电流） 3、规定：正电荷定向移动的方向为电流的方向（负电荷定向移动的方向与电流方向相反，尤其注意电子是负电荷，电子的移动方向与电流的方向相反） 4、在电源外部，电流的方向从电源的正极流向用电器，再回到负极； 5、二极管是半导体，具有单向导电性，即电流只能从它的一端流向另一端，不能反向流动。
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
线性方程组的矩阵求解算法 摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的 增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现. 关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法 1 矩阵求解算法 设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤; 第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =; 第三步:构造矩阵() 1m n r D H F ?-+?? = ? ??,其中 ()()1100 001 0000 10n r n r F -?-+-?? ?- ? = ? ? -??L L L L L L L L 第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解. 2 算法证明 先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为
教材解读 本章是初中电学知识的开篇， 是后续电学部分的基础， 对于学好电学具有举足轻重的作用， 因此本章处 于重要的基本地位。 其中电流的概念是学习其他电学概念和规律的基础， 是本章的 重要内容；本章的另一重点内容是串联和并联的知识，它是进一步学习所以电路知识的基础。 电流表是学生第一次接触到的电学串联仪器， 学会测量电路中的电流是电学实验中学生必须具 备的技能之一， 所以电流表的使用和读数是本章的重点， 然而电流表的面板刻度比普通刻度尺 稍复杂，它有三个接线柱，两个量程，加上电流表的接入也增加了电路的复杂性，所以用电流 表测串、并联电路的电流也成为本章的难点。 课标要求 观察摩擦起电现象，探究并了解同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。 2、从能量转化的角度认识电源和用电器的作用。 3、会看、会画简单的电路图。会连接简单的串联电路和并联电路。说出生产、生活中采 用简单串联或并联电路的实例。 知道串、 并联电路电流的特点。 能运用串联和并联电路电流的 特点解决实际问题。 5、会使用电流表。 课时支配建议 第1节 两种电荷 1 课时 第2节 电流和电路 2 课时 第3节 串联和并联 1 课时 第4节 电流的测量 1 课时 第5节 串、并联电路中电流的规律 2 课时 第十五章 电流和电路 1、
备课时间： 2014年 9月 15 日 教学目标】 知识与技能： 1、认识摩擦起电现象，了解电荷的种类及电荷间的相互作用。 2、了解验电器的原理及其作用， 4、知道什么是导体和绝缘体。 过程与方法 1、通过实验活动感受摩擦起电， 2、在认识自然界中只有两种电荷的 过程中，感受人们所用的推理方法。 情感态度与价值观 1、注意观察静电实验现象，能主动利用简易器材动手做静电小实验 , 激发学生主动学习的兴 趣； 2、鼓励学生自己查找资料、培养学生的自学能力，引导学生关注社会、初步认识科学及相关 知识对人类生活的 影响 教学用具】 玻璃棒（附丝绸），橡胶棒（附毛皮），验电器，乒乓球，散开的塑料包装绳，碎纸屑若干， 多媒体课件等。 教学过程】 、引入新课： 1．观看动画 “怒发冲冠 ”、录象“女孩头发竖起来 ”。 2、思考：当空气干燥时用塑料梳子梳头发，为什么头发会随梳子 “飘”起来；如果我们身上 穿了化纤衣服，衣服会粘在皮肤上，在晚上脱衣时，有时会发出响声，甚至出现火花。这些现 象发生的原因是什么？ 二、进行新课： 1、摩擦起电带电体 学生实验：用毛皮摩擦橡胶棒，用丝绸摩擦玻璃棒，分别把棒靠近纸屑，乒乓球等轻小物 体，观察现象： ____________________________ 。 第十五 电流和电路 第一节 电荷 了解电荷量及其单位。 3、了解原子结构，认识元电荷、 自由电子和电荷的移动。 知道带电体的性质；
第15章电流和电路 一、选择题（共18小题） 1.（2013?娄底）如图所示的电路中，闭合开关时，下列说法正确的是（ A. 两灯泡串联 B.电流表测的是总电流 C.电流表测的是L 1的电流D.开关只能控制L 2 2. （2013?莆田）下列物质中，通常情况下全是导体的一组是（ ） A.金属、盐水、石墨 B.金属、塑料、橡胶 C.金属、大地、玻璃 D.大地、盐水、陶瓷 3. （2013?聊城）下列选项中，通常情况下都属于绝缘体的是（ ） A.汽油和食盐水 B.塑料和玻璃 C.人体和大地 D.黄铜和石墨 4. （2013?菏泽）下列学习用品中，通常情况下属于绝缘体的是（ A.铅笔芯 B.塑料尺 C.铁质铅笔盒 ） D.金属小刀片 5. （2013?兰州）如图所示的电路中，闭合开关 S 和$,则（ A.灯泡L 1亮，L 2不亮 B .灯泡L 2亮，L 1不亮 C ?灯泡L 1、L 2都不亮 D .灯泡L 1、L 2都亮 6. （2013?泉州）一般情况下，下列物体中容易导电的是（ A.玻璃杯 B.塑料尺 C.铅笔芯 7. （2013?柳州）如图所示的甲、乙两个实物电路中，两个 小灯泡的接法（ ） A.甲是串联 B .乙是串联 C ?甲、乙都是串联 D .甲、乙都是并联 D.橡胶轮胎 装在（ ) hl A. a 处 b 处 c 处 d 处 L 8. （2013?嘉兴）如图是某取暖器的工作电路图.为了安全起见，取暖器一般 都要安装一个跌倒开关S,使取暖器倾倒时整个电路断开.则跌倒开关 S 应安 ：$ & 9. (2013?娄底) 下列餐具中，通常情况下属于导体的是（ ) A.玻璃杯 B.不锈钢汤匙 C.瓷碗 D.竹筷 10. （2013?宁德）下列物质中属于导体的是（ ） A.橡胶 B.玻璃 C.塑料 D.金属 11. （2013?内江）据某媒体报道：在2009年10月建国60周年之际，天安门广场将举行盛大的阅兵 式，整个天安门广场会用各种彩灯装饰得焕然一新.这些彩灯和路灯之间的连接方式是（ ） A. —定串联 B .一定并联 C .可能串联，可能并联 D .无法判定 12. （2013?南京）如图所示，电路元件及导线连接均完好，闭合开关 （ ） A. L 1不能发光，L 2能发光B. L 1能发光，L 2不能发光 C. L 1、1_2都能发光 D. L 1、L 2都不能发光
总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
华北水利水电大学 总结求线性方程组的方法 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2014年12月31日
摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。 关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则； Summary for the method of liner equations Abstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.
第五章电流和电路 5.1电荷 一、电荷 1、物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说物体带了电荷；换句话说，带电体具有吸引轻小 物体的性质。 2、用摩擦的方法使物体带电叫摩擦起电； 3、摩擦起电的实质：摩擦起电并不是创生了电，而是电子从一个物体转移到了另一个物体，失 去电子的带正电；得到电子的带负电。 二、两种电荷： 1、把用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷叫正电荷；电子从玻璃棒转移到丝绸。 2、把用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷叫负电荷；电子从毛皮转移到橡胶棒。 3、基本性质：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引； 4、带电体排斥带同种电荷的物体;带电体吸引带异种电荷的物体和轻小物体。 例：1、A带正电，A排斥B，B肯定带正电； 2、A带正电，A吸引B，B可能带负电也可能不带电。（A、B都是轻小物体） 三、验电器 1、用途：用来检验物体是否带电；从验电器张角的大小，可以粗略的判断带电体所带电荷的多少。 2、原理：利用同种电荷相互排斥； 四、电荷量（电荷）电荷的多少叫电荷量，简称电荷；单位：库仑（C）简称库； 五、原子的结构 原子核 原子 电子（带负电） 原子核所带的正电荷与核外所有电子总共带的负电荷数在数量上相等，整个院子呈中性，原子对外不显带电的性质。 六、元电荷 1、最小的电荷叫做元电荷，用符号e表示，e=1.6*10-19C。 2、电子电荷量的大小是最小的。 七、导体、绝缘体 1、善于导电的物体叫导体；如：金属、人体、大地、石墨、酸碱盐溶液； 2、不善于导电的物体叫绝缘体，如：橡胶、玻璃、塑料、陶瓷、油、空气等； 3、导体和绝缘体在一定条件下可以相互转换； 例如：1、干木头（绝缘体）、湿木头（导体）2、玻璃通常是绝缘体、加热到红炽状态（导体）。 5.2电流和电路 一、电流 1、电荷的定向移动形成电流；（电荷包括正电荷和负电荷定向移动都可以形成电流） 3、规定：正电荷定向移动的方向为电流的方向（负电荷定向移动的方向与电流方向相反，尤其注意电子是负电荷，电子的移动方向与电流的方向相反） 4、在电源外部，电流的方向从电源的正极流向用电器，再回到负极； 5、二极管是半导体，具有单向导电性，即电流只能从它的一端流向另一端，不能反向流动。 二、电路 电路：用导线将用电器、开关、用电器连接起来就组成了电路； 1、电源：提供持续电流，把其它形式的能转化成电能； 电路2、用电器：消耗电能，把电能转化成其它形式的能（电灯、风扇等）； 的构成3、导线：，连接电路的各个元件，输送电能； 4、开关：控制电路的通断；
第十五章《电流和电路单元检测题 一、单项选择题（12×2分=24分） 1. 毛皮和橡胶棒摩擦后，橡胶棒带负电，是由于（） A. 橡胶棒的一些电子转移到毛皮上 B. 毛皮的一些电子转移到橡胶棒上 C. 橡胶棒的一些原子核转移到毛皮上 D. 毛皮的一些原子核转移到橡胶棒上 2. 如图所示的氢原子模型图中，正确的是（） 3. 如图所示，小亮用一根与毛皮摩擦过的橡胶棒接近从水龙头流出的细水流时，发现细水流偏向橡胶棒，不再竖直下流。这一现象说明（） A. 水流被风吹偏了 B. 带上电荷的橡胶棒能吸引细水流 C. 水带上了电荷，能吸引不带电橡胶棒 D. 水流带有和橡胶棒相反的电荷 4. 下列各组物质中，通常情况下都属于绝缘体的是（） A. 人体、大地、塑料 B. 金属、油、橡胶 C. 玻璃、空气、陶瓷 D. 大地、金属、盐水 5. 手机电池是可重复使用的电池，它能被充电和放电成千次。下列关于手机电池的说法中正确的是( ) A. 电池在手机待机和充电时都是提供电能的 B. 电池在手机待机和充电时都是消耗电能的 C. 手机待机时，电池消耗电能；在充电时，电池提供电能 D. 手机待机时，电池提供电能；在充电时，电池消耗电能 6. 小灯泡的结构如图1，按图2中哪个图的连接能把完好的灯泡点亮（）
7. 在连接电路的过程中，下列说法中正确的是（） A. 开关应该闭合 B. 开关必须断开 C. 必须从电源的正极开始，依次接好各电路元件 D. 必须从电源的负极开始，依次接好各电路元件 8. 家用电冰箱的用电部分主要是电动压缩机和照明灯泡。其中，电动压缩机M受温控开关S的控制，照1明灯泡L受门控开关S的控制，要求它们既能单独工作又能同时工作。图中是几个同学画出的家用电2冰箱的电路图，其中符合要求的是（） 许多家庭的卫生间都安装有照明灯和换气扇。使用时，有时需要各自独立工作，有时需要它们同时工9. ）（作。如图所示的电路中，你认为符合上述要求的是
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
电流和电路 一、电流 1、电流：电荷的定向移动形成电流。（金属导体中发生定向移动的是自由电子） 2、电流方向：规定正电荷（定向）移动的方向为电流方向。（金属导体中电流方向跟自由电子定向移动的方向相反） 3、电源外边电流方向：电路闭合时，在电源外部，电流方向是从电源正极经过用电器流向负极。 要点诠释： 1、在理解电流的形成时，要知道，电荷包括正电荷和负电荷。也就是说，正电荷的定向移动，能形成电流。负电荷的定向移动也能形成电流。“定向”是指电荷必须沿一定的方向移动才能形成电流，如果电荷的移动是杂乱无章地向各个方向移动，此时，电荷虽在移动，但是却不能形成电流。 2、正、负电荷的定向移动都可以形成电流。按照电流方向的定义，负电荷定向移动的方向与电流的方向相反。在金属导体中主要是自由电子（负电荷）的定向移动形成电流，因此金属导体中电流的方向和自由电子定向移动的方向相反。 3、在酸、碱、盐的水溶液中存在大量可自由移动的正、负离子，在酸、碱、盐的水溶液中正、负离子的的定向移动形成电流。 二、电路的构成： 1、电路：电源、用电器，再加上导线，往往还有开关，组成了电流可以流过的路径——电路。 2、产生持续电流的条件：（1）有电源（2）闭合电路 要点诠释： 1、电源：提供电能的装置，能把其他形式的能转化为电能。如：各种电池、发电机等。 2、用电器：消耗电能的装置，能把电能转化为其他形式的能。如：灯泡、电动机、蜂鸣器等。 3、开关：控制电路的通断。 4、导线：连接电路，输送电能。 三、电路图 1、几种常用的元件及其符号：
2、电路图：用符号表示电路连接的图。 3、画电路图要注意以下几点： （1）合理安排电路元件的位置，使之均匀分布在电路中，元件符号不能画在电路的拐角处； （2）电路图最好画成长方形，导线要画直，拐角要画成直角； （3）最好从电源的正极出发，沿电流的方向依次画，在电路图中导线无长短之分的原则。 四、通路断路短路： 电路的三种状态： 要点诠释： 1、短路分为电源被短路和用电器被短路，电源短路如图甲所示，电流经过外加导线，而绕过了两个灯泡，两个灯泡都不亮。
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
高代小练习 专业课研究部 一、填空题 1．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n ，则方程组的基础解系由_n-r__个解向量组成． 2．向量组123,,ααα线性无关，则122331(,,)rank αααααα+++=__3____. 3．设向量组12,,,r βββ 可以由向量组12,,,s ααα 线性表出.如果向量组12,,,r βββ 线性无关，则r __<=___s （填大小关系）. 4.在数域K 上的4维向量空间K 4内，给定向量组α1 =（1，-3，0，2）α2 =（-2，1，1，1）α3 =（-1，-2， 1，3），则此向量组的秩是_2____. 5.若V={(a+bi ，c+di)|a,b,c,d 属于R},则V 对于通常的加法和数乘，在复数域上是__2____维的，而在实数域上是__4_____维的. 6.设线性方程组AX=0的解都是线性方程组BX=0的解，则秩A ?>=??秩B. 7.设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是)0(≠=b b AX 的解向量，则 =+++t λλλ 21______。 8.设任意一个ｎ维向量都是齐次线性方程組0=AX 的解向量，则=)(A r ______。 9.已知321,,ααα是齐次方程组0=AX 的基础解系，那么基础解系还可以是______. (A) 332211αααk k k ++ (B) 133221,,αααααα+++ (C) 3221,αααα-- (D) 233211,,αααααα-+- 10.在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求 21V V ?=_原点____，和21V V ?=_整个空间R 3 ____。 二．解答题 1.在4维向量空间中， （1）求基 到基 的过渡矩阵。
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
线性方程组的矩阵求法 摘要： 关键词： 第一章引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。 第二章用矩阵消元法解线性方程组 第一节预备知识 定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。 定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件： （1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的 一个主元）为1； （2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。 则称矩阵为行最简形矩阵。 第二节 1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩
阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。 下面以一般的线性方程组为例，给出其解法： （1） 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++= L L L L L L L L L L L L L L L 根据方程组可知其系数矩阵为： （2） 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L 其增广矩阵为： （3） 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L L L L 根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。 定理2：设A是一个m行n列矩阵
电流和电路单元测试题 班级姓名评分 一、单项选择题（12×2分=24分） 1. 毛皮和橡胶棒摩擦后，橡胶棒带负电，是由于（） A. 橡胶棒的一些电子转移到毛皮上 B. 毛皮的一些电子转移到橡胶棒上 C. 橡胶棒的一些原子核转移到毛皮上 D. 毛皮的一些原子核转移到橡胶棒上 2. 如图所示的氢原子模型图中，正确的是（） 3. 如图所示，小亮用一根与毛皮摩擦过的橡胶棒接近从水龙头流出的细水流时，发现细水流偏向橡胶棒， 不再竖直下流。这一现象说明（） A. 水流被风吹偏了 B. 带上电荷的橡胶棒能吸引细水流 C. 水带上了电荷，能吸引不带电橡胶棒 D. 水流带有和橡胶棒相反的电荷 4. 下列各组物质中，通常情况下都属于绝缘体的是（） A. 人体、大地、塑料 B. 金属、油、橡胶 C. 玻璃、空气、陶瓷 D. 大地、金属、盐水 5. 手机电池是可重复使用的电池，它能被充电和放电成千次。下列关于手机电池的说法中正确的是( ) A. 电池在手机待机和充电时都是提供电能的 B. 电池在手机待机和充电时都是消耗电能的 C. 手机待机时，电池消耗电能；在充电时，电池提供电能 D. 手机待机时，电池提供电能；在充电时，电池消耗电能 6. 小灯泡的结构如图1，按图2中哪个图的连接能把完好的灯泡点亮（） 7. 在连接电路的过程中，下列说法中正确的是（） A. 开关应该闭合 B. 开关必须断开 C. 必须从电源的正极开始，依次接好各电路元件 D. 必须从电源的负极开始，依次接好各电路元件 8. 家用电冰箱的用电部分主要是电动压缩机和照明灯泡。其中，电动压缩机M受温控开关S1的控制，照 明灯泡L受门控开关S2的控制，要求它们既能单独工作又能同时工作。图中是几个同学画出的家用电
课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include
//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 第十五章电流和电路 摩擦起电：摩擦过的物体具有吸引轻小物体的现象——带电体==本质：电荷 的转移 正电荷：被丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷 种类 电荷 负电荷：被毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷 性质：同种电荷互相排斥，异种电荷互相排斥 检验：验电器——原理：同种电荷互相排斥 电量：q 单位：库伦 简称：库 符号：C 元电荷：最小电荷：e=1.6×1019- C 组成：电源、开关、导线、用电器 电源：提供电能 开关：控制电路通断 作用 用电器：消耗电能 导线：传输电能的路径 导体：金属、人体、食盐水 两种材料 绝缘体：橡胶、玻璃、塑料 电流产生条件 ①电路闭合 ②保持通路 定义：正电荷移动的方向 电路 电流的方向 在电源中电源的正极→用电器→电源的负极 单位：A ?→?310mA ?→?3 10A μ 工具：电流表 ○A 测量 使用方法 ①电流表必须和被测的用电器串联 电流的大小（I ） ②看清量程、分度值，不准超过电流 表的量程 ③必须正入负出 ④任何情况下都不能直接连到电源 的两极 电路的连接：先串后并，就近连线，弄清首尾 通路：接通的电路 三种状态 断路：断开的电路 短路：电流不经过用电器直接回到电源的负极 1、物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说物体带了电荷；换句话说，带电体具有吸引 轻小物体的性质。 2、用摩擦的方法使物体带电叫摩擦起电； 3、摩擦起电的实质：摩擦起电并不是创生了电，而是电子从一个物体转移到了另一个物 体，失去电子的带正电；得到电子的带负电。 二、两种电荷： 1、把用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷叫正电荷；电子从玻璃棒转移到丝绸。 2、把用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷叫负电荷；电子从毛皮转移到橡胶棒。 3、基本性质：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引； 4、带电体排斥带同种电荷的物体;带电体吸引带异种电荷的物体和轻小物体。 例：1、A带正电，A排斥B，B肯定带正电； 2、A带正电，A吸引B，B可能带负电也可能不带电。（A、B都是轻小物体） 三、验电器 1、用途：用来检验物体是否带电；从验电器张角的大小，可以粗略的判断带电体所带电荷的多少。 2、原理：利用同种电荷相互排斥； 四、电荷量（电荷）电荷的多少叫电荷量，简称电荷；单位：库仑（C）简称库； 五、原子的结构质子（带正电） 原子核 原子中子（不带电） 电子（带负电） 原子核所带的正电荷与核外所有电子总共带的负电荷数在数量上相等，整个院子呈中性，原子对外不显带电的性质。 六、元电荷 1、最小的电荷叫做元电荷，用符号e表示，e=1.6*10-19C。 2、电子电荷量的大小是最小的。 七、导体、绝缘体 1、善于导电的物体叫导体；如：金属、人体、大地、石墨、酸碱盐溶液； 2、不善于导电的物体叫绝缘体，如：橡胶、玻璃、塑料、陶瓷、油、空气等； 3、导体和绝缘体在一定条件下可以相互转换； 例如：1、干木头（绝缘体）、湿木头（导体）2、玻璃通常是绝缘体、加热到红炽状态（导体） 一、电流 1、电荷的定向移动形成电流；（电荷包括正电荷和负电荷定向移动都可以形成电流）3、规定：正电荷定向移动的方向为电流的方向（负电荷定向移动的方向与电流方向相反，尤其注意电子是负电荷，电子的移动方向与电流的方向相反） 4、在电源外部，电流的方向从电源的正极流向用电器，再回到负极； 5、二极管是半导体，具有单向导电性，即电流只能从它的一端流向另一端，不能反向流 3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断 1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=() 矩阵在线性方程组中的应用 摘要 矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种：利用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯—若尔当消去法。但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用，有时则需要选择其中的最简单的方法。而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、讲解。我们希望可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。 关键词矩阵；线性方程组；齐次线性方程组；非齐次线性方程组 MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS ABSTRACT Matrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics. We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics，such as Matrix transformations;Cramer's Ruleand Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choose one of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification and explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some special system of linear equations with special matrices. KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations初三九年级物理第十五章电流和电路知识点总结
3线性方程组典型习题解析
矩阵在线性方程组中的应用
相关主题
文本预览