无锡市2013届高三第一学期期中考试数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1.集合{}a A ,2,0=，{}2
,1a
B =，若{}16,4,2,1,0=B A ，则a 的值为 ．
2.某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 ．
3.函数)53(log )(2
1-=
x x f 的定义域为 ．
4.经过点)1,2(-，且与直线0132=--y x 垂直的直线方程是 ．
5.某学校有两个食堂，甲，乙，丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．
6.右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的=s ．
（第6题图）
7.若)(x f y =是幂函数，且满足
2
2
)2()4(=f f ，则=)3(f ． 8.已知等差数列{}n a 满足：21-=a ，02=a .若将1a ，4a ，5a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 ．
9.设向量)3,(k OA =，)2,0(k OB -=，OA ，OB 的夹角为?120，则实数=k ．
开始
i ←1，s ←1
i ≥5
s ←s ?3
i ←i +1
输出s
结束
否 是
10.关于x 的不等式0)1)(2(<--ax a x 的解为a
x 1
>
或a x 2<，则实数a 的取值范围为 ． 11.以下5个命题：
（1）设a ，b ，c 是空间的三条直线，若c a ⊥，c b ⊥，则b a //； （2）设a ，b 是两条直线，α是平面，若α⊥a ，α⊥b ，则b a //； （3）设a 是直线，α，β是两个平面，若β⊥a ，βα⊥，则α//a ； （4）设α，β是两个平面，c 是直线，若α⊥c ，β⊥c ，则βα//； （5）设α，β，γ是三个平面，若γα⊥，γβ⊥，则βα//. 其中正确命题的序号是 ．
12.函数))(1()(a x x x f +-=为奇函数，则)(x f 的减区间为 ．
13.已知2
)(x x f =，m x g x
-=)2
1()(，若对任意[]3,11-∈x ，总存在[]2,02∈x ，使得
)()(21x g x f ≥成立，则实数m 的取值范围是 ．
14.定义在R 上的函数)(x f y =是增函数，且函数)2(-=x f y 的图象关于)0,2(成中心对称，设s ，t 满足不等式)4()4(2
2
t t f s s f --≥-，若22≤≤-s 时，则s t +3的范围是 ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分14分）
已知ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ac c a b -+=2
2
2
，1=b .
（1）若)tan tan 1(3
3
tan tan C A C A +=
-，求c ；
（2）若c a 2=，求ABC ?的面积.
16.（本题满分14分）
如图，四棱锥ABCD P -的底面是直角梯形，CD AB //，AD AB ⊥，PAB ?和PAD ?是两个边长为2的正三角形，4=DC ，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点. （1）求证：//OE 平面PDC ；
（2）求证：平面⊥PBD 平面ABCD .
（第16题图）
17.（本题满分14分）
已知向量)sin ,cos (αλαλ=OA （0≠λ），)c o s ,s i n
(ββ-=OB ，)0,1(=OC ，其中O
为坐标原点. （1）若2=λ，3
π
α=
，),0(πβ∈，且BC OA ⊥，求β；
（2）若OB AB 2≥对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围.
D P
C B
A O
E
18.（本题满分16分）
数列{}n a 是公比大于1的等比数列，62=a ，263=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）在n a 与1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列.设第n 个等差数列的前n 项和是n A .求关于n 的多项式)(n g ，使得n n d n g A )(=对任意+∈N n 恒成立； （3）对于（2）中的数列1d ，2d ，3d ，???，n d ，???，这个数列中是否存在不同的三项m d ，
k d ，p d （其中正整数m ，k ，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若
不存在，说明理由.
19.（本题满分16分）
为了保护环境，某化工厂在政府部门的支持下，进行技术改造：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，该工厂每天处理废气的成本y （元）与处理废气
量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为：[)[]
???
??∈+-∈+=70,40,5000130240,10,100016123
x x x x x y ，且每
处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品.
（1）当工厂日处理废气量[]70,40∈x 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现，国家至少每天财政补贴多少元？
（2）若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴，当日废气处理量不足40吨时，给予每顿80元补贴，废气处理量不少于40吨时，超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴，当工厂的日处理量为多少吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大？
20.（本题满分16分）
已知函数x a x x f ln )()(-=，（0≥a ）.
（1）当0=a 时，若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切，求m 的值； （2）若)(x f 在[]2,1上是单调减函数，求a 的最小值；
（3）当[]e x 2,1∈时，e x f ≤)(恒成立，求实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底）.