算法设计与分析实验报告
实验名称统计数字问题评分
实验日期年月日指导教师
姓名专业班级学号
一.实验要求
1、掌握算法的计算复杂性概念。
2、掌握算法渐近复杂性的数学表述。
3、掌握用C++语言描述算法的方法。
4.实现具体的编程与上机实验,验证算法的时间复杂性函数。
二.实验内容
统计数字问题
1、问题描述
一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排,每个页码都不含多余的前导数字0。例如,第6 页用数字6 表示,而不是06 或006 等。数字计数问题要求对给定书的总页码n,计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0,1,2, (9)
2、编程任务
给定表示书的总页码的10 进制整数n (1≤n≤109) 。编程计算书的全部页码中分别用到多少次数字0,1,2, (9)
三.程序算法
将页码数除以10,得到一个整数商和余数,商就代表页码数减余数外有多少个1—9作为个位数,余数代表有1—余数本身这么多个数作为剩余的个位数,此外,商还代表1—商本身这些数出现了10次,余数还代表剩余的没有计算的商的大小的数的个数。把这些结果统计起来即可。
四.程序代码
#include
int s[10]; //记录0~9出现的次数
int a[10]; //a[i]记录n位数的规律
void sum(int n,int l,int m)
{
if(m==1)
{
int zero=1;
for(int i=0;i<=l;i++) //去除前缀0
{
s[0]-=zero;
zero*=10;
}
}
if(n<10)
{
for(int i=0;i<=n;i++)
{
s[i]+=1;
}
return;
}//位数为1位时,出现次数加1
//位数大于1时的出现次数
for(int t=1;t<=l;t++)//计算规律f(n)=n*10^(n-1)
{
m=1;int i;
for(i=1;i m=m*10; a[t]=t*m; } int zero=1; for(int i=0;i { zero*= 10; } //求出输入数为10的n次方 int yushu=n%zero; //求出最高位以后的数 int zuigao=n/zero; //求出最高位zuigao for(i=0;i { s[i]+=zero; } //求出0~zuigao-1位的数的出现次数 for(i=0;i<10;i++) { s[i]+=zuigao*a[l]; } //求出与余数位数相同的0~zuigao-1位中0~9出现的次数 //如果余数是0,则程序可结束,不为0则补上所缺的0数,和最高位对应所缺的数 if(yushu==0) //补上所缺的0数,并且最高位加1 { s[zuigao]++; s[0]+=l; } else { i=0; while((zero/=10)>yushu) { i++; } s[0]+=i*(yushu+1);//补回因作模操作丢失的0 s[zuigao]+=(yushu+1);//补回最高位丢失的数目 sum(yushu,l-i-1,m+1);//处理余位数 } } void main() { int i,m,n,N,l; cout<<"输入数字要查询的数字:"; cin>>N; cout<<'\n'; n = N; for(i=0;n>=10;i++) { n/=10; } //求出N的位数n-1 l=i; sum(N,l,1); for(i=0; i<10;i++) { cout<< "数字"< } } 五.程序调试中的问题 调试过程中总是有这样那样的问题,通过一步步的修改,最终得以实现。 六.实验结果 盛年不重来,一日难再晨。及时宜自勉,岁月不待人。 算法设计与分析实验报告 学院信息科学与技术学院 专业班级软件工程3班 学号 20122668 姓名王建君 指导教师尹治本 2014年10月 实验四 矩阵相乘次序 一、问题提出 用动态规划算法解矩阵连乘问题。给定n 个矩阵{A 1,A 2,…,A n },其中A i 与A i+1是可乘的,i=1,2,…,n-1。要算出这n 个矩阵的连乘积A 1A 2…A n 。由于矩阵乘法满足结合律,故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为: (1)单个矩阵是完全加括号的; (2)矩阵连乘积A 是完全加括号的,则A 可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B 和C 的乘积并加括号,即A=(BC)。 例如,矩阵连乘积A 1A 2A 3A 4有5种不同的完全加括号的方式:(A 1(A 2(A 3A 4))),(A 1((A 2A 3)A 4)),((A 1A 2)(A 3A 4)),((A 1(A 2A 3))A 4),(((A 1A 2)A 3)A 4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序,这决定着作乘积所需要的计算量。若A 是一个p ×q 矩阵,B 是一个q ×r 矩阵,则计算其乘积C=AB 的标准算法中,需要进行pqr 次数乘。 (3)为了说明在计算矩阵连乘积时,加括号方式对整个计算量的影响,先考察3个矩阵{A 1,A 2,A 3}连乘的情况。设这三个矩阵的维数分别为10×100,100×5,5×50。加括号的方式只有两种:((A 1A 2)A 3),(A 1(A 2A 3)),第一种方式需要的数乘次数为10×100×5+10×5×50=7500,第二种方式需要的数乘次数为100×5×50+10×100×50=75000。第二种加括号方式的计算量时第一种方式计算量的10倍。由此可见,在计算矩阵连乘积时,加括号方式,即计算次序对计算量有很大的影响。于是,自然提出矩阵连乘积的最优计算次序问题,即对于给定的相继n 个矩阵{A 1,A 2,…,A n }(其中矩阵Ai 的维数为p i-1×p i ,i =1,2,…,n ),如何确定计算矩阵连乘积A 1A 2…A n 的计算次序(完全加括号方式),使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 二、求解思路 本实验采用动态规划算法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。本实验的算法思路是: 1)计算最优值算法MatrixChain():建立两张表(即程序中的**m 和**s ,利用二维指针存放),一张表存储矩阵相乘的最小运算量,主对角线上的值为0,依次求2个矩阵、3个矩阵…、直到n 个矩阵相乘的最小运算量,其中每次矩阵相乘的最小运算量都在上一次矩阵相乘的最小运算量的基础上求得,最后一次求得的值即为n 个矩阵相乘的最小运算量;另一张表存储最优断开位置。 2)输出矩阵结合方式算法Traceback():矩阵结合即是给矩阵加括号,打印出矩阵结合方式,由递归过程Traceback()完成。分三种情况: (1)只有一个矩阵,则只需打印出A1; (2)有两个矩阵,则需打印出(A1A2); (3)对于矩阵数目大于2,则应该调用递归过程Traceback()两次,构造出最优加括号方式。 三、算法复杂度 该算法时间复杂度最高为)(n 3 O 。 四、实验源代码 算法设计与分析(第二版)主编:吕国英 习题答案 第四章 1. #include for(i=1;i<=9;i++) { n=(n+2)*2; } printf("%d\n",n); return 0; } 3. #include 实验三分治算法(2) 一、实验目的与要求 1、熟悉合并排序算法(掌握分治算法) 二、实验题 1、问题陈述: 对所给元素存储于数组中和存储于链表中两中情况,写出自然合并排序算法. 2、解题思路: 将待排序元素分成大小大相同的两个集合,分别对两个集合进行排序,最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合.自然排序是通过一次扫描待排元素中自然排好序的子数组,再进行子数组的合并排序. 三、实验步骤 程序代码: #include int target[N],head[N],tail[N]; int i=0,n,m; for(; i 本科实验报告 课程名称:算法设计与分析 实验项目:递归与分治算法 实验地点:计算机系实验楼110 专业班级:物联网1601 学号: 05 学生姓名:俞梦真 指导教师:郝晓丽 2018年 05月 04 日 实验一递归与分治算法 实验目的与要求 1.进一步熟悉C/C++语言的集成开发环境; 2.通过本实验加深对递归与分治策略的理解和运用。 实验课时 2学时 实验原理 分治(Divide-and-Conquer)的思想:一个规模为n的复杂问题的求解,可以划分成若干个规模小于n的子问题,再将子问题的解合并成原问题的解。 需要注意的是,分治法使用递归的思想。划分后的每一个子问题与原问题的性质相同,可用相同的求解方法。最后,当子问题规模足够小时,可以直接求解,然后逆求原问题的解。 实验题目 1.上机题目:格雷码构造问题 Gray码是一个长度为2n的序列。序列无相同元素,每个元素都是长度为n的串,相邻元素恰好只有一位不同。试设计一个算法对任意n构造相应的Gray码(分治、减治、变治皆可)。 对于给定的正整数n,格雷码为满足如下条件的一个编码序列。 (1)序列由2n个编码组成,每个编码都是长度为n的二进制位串。 (2)序列中无相同的编码。 (3)序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。 2.设计思想: 根据格雷码的性质,找到他的规律,可发现,1位是0 1。两位是00 01 11 10。三位是000 001 011 010 110 111 101 100。n位是前n-1位的2倍个。N-1个位前面加0,N-2为倒转再前面再加1。 3.代码设计: 归式,就是如何将原问题划分成子问题。 2.递归出口,递归终止的条件,即最小子问题的求解,可以允许多个出口。 3.界函数,问题规模变化的函数,它保证递归的规模向出口条件靠拢(2)递归与非递归之间如何实现程序的转换? (3)分析二分查找和快速排序中使用的分治思想。 答: 1.一般根据是否需要回朔可以把递归分成简单递归和复杂递归,简单递归一般就是根据递归式来找出递推公式(这也就引申出分治思想和动态规划)。 2.复杂递归一般就是模拟系统处理递归的机制,使用栈或队列等数据结构保存回朔点来求解。 (4)分析二次取中法和锦标赛算法中的分治思想。 二次取中法:使用快速排序法中所采用的分划方法,以主元为基准,将一个表划分为左右两个子表,左子表中的元素均小于主元,右子表中的元素均大于主元。主元的选择是将表划分为r 专业: 班级: 学号: 姓名: 日期: 2014年 11月 10日 48476Λn n 111+++=。 2、q(n ,m)=q(n ,n),m>=n 。 最大加数n1实际上不能大于n ,因此,q(1,m)=1。 3、q(n ,n)=1+q(n ,n-1)。 正整数n 的划分由n1=n 的划分和n1<=n-1的划分组成。 4、q(n ,m)= q(n ,m-1)+q(n-m ,m),n>m>1。 正整数n 的最大加数n1不大于m 的划分由n1=m 的划分和n1<=m-1的划分组成。 (2)、算法描述 public class 张萌 { /** * @param args */ public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub System.out .println(q (2,2)); } public static int q(int n,int m) { if ((n<1)||(m<1)) return 0; if ((n==1)||(m==1)) return 1; if (n 第一章作业 1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质 1)f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f) 证明:充分性。若f=Ο(g),则必然存在常数c1>0和n0,使得?n≥n0,有f≤c1*g(n)。由于c1≠0,故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n),故g=Ω(f)。 必要性。同理,若g=Ω(f),则必然存在c2>0和n0,使得?n≥n0,有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0,故f(n) ≤ 1/ c2*f(n),故f=Ο(g)。 2)若f=Θ(g)则g=Θ(f) 证明:若f=Θ(g),则必然存在常数c1>0,c2>0和n0,使得?n≥n0,有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。由于c1≠0,c2≠0,f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n),同时,f(n) ≤c2*g(n),有g(n) ≥ 1/c2*f(n),即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n),故g=Θ(f)。 3)Ο(f+g)= Ο(max(f,g)),对于Ω和Θ同样成立。 证明:设F(n)= Ο(f+g),则存在c1>0,和n1,使得?n≥n1,有 F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n)) = c1 f(n) + c1g(n) ≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g} =2 c1*max{f,g} 所以,F(n)=Ο(max(f,g)),即Ο(f+g)= Ο(max(f,g)) 对于Ω和Θ同理证明可以成立。 4)log(n!)= Θ(nlogn)算法设计与分析(作业三)
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