浅谈高等数学在中学数学中的应用
摘要
本文探讨了初等数学和高等数学在知识体系上的差别以及应用上的联系，同时也探讨了他们地位上的差别和各自的重要性。通过讨论可以得知，高等数学在很大程度上是初等数学的扩展。本文第三部分重点介绍了微积分，不等式，行列式，以及高等几何等在初等数学中的应用，探讨了应用高等数学的思想方法解决初等数学的有关问题。另外还探讨了高等数学在高考试题上体现的情况和如何解决相应的问题。
关键词高等数学中学数学微积分行列式
I
Abstract
This study of elementary mathematics and higher mathematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large extent is an extension of elementary mathematics. This article focuses on the second part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, explored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the college entrance examination in higher mathematics and how to solve the problem
Key words advanced mathematics Mathematics calculus
II
目录
摘要................................................................................ I Abstract ........................................................................... II 第一章前言. (1)
1.1 研究背景 (1)
1.2 课题研究意义 (1)
1.3 文献综述 (2)
1.4 研究方法 (2)
1.5 创新之处 (2)
第二章高等数学与初等数学的地位与联系 (3)
2.1 初等数学与高等数学的定位 (3)
2.2 高等数学与中学数学的联系 (4)
2.2.1 中学数学与大学数学的统一性 (4)
2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性 (4)
2.3 高等数学对初等数学的拓展 (5)
2.3.1 代数方面 (5)
2.3.2 几何方面 (6)
第三章高等数学在初等数学中的应用 (8)
3.1 高等代数在中学数学中的应用 (8)
3.2.1 行列式的应用 (8)
3.2.2 柯西—施瓦兹不等式应用 (9)
3.2 微积分方法在中学数学的应用 (9)
3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用 (9)
3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的 (10)
3.2.3 积分在空间立体体积与表面积中的应用 (12)
3.2.4 积分在求曲线弧长中的应用 (13)
3.3 高等几何在初等几何的应用 (14)
3.3.1 仿射变换的应用 (14)
3.3.2 射影几何观点在初等几何中的应用 (14)
3.3.2.1 仿射变换的应用 (15)
3.3.2.2 笛沙格定理的应用 (16)
3.3.2.3 点列中四点的交比 (17)
3.3.2.4 线束中四条直线的交比的应用 (18)
第四章高考试题中的微积分在解题中的应用 (20)
4.1 拉格朗日中值定理 (20)
4.2 有关级数的应用 (23)
总结 (26)
参考文献........................................................... 错误！未定义书签。致谢. (27)
2
第一章 前言
1
第一章 前言
1.1研究背景
二十一世纪科学技术与社会经济正在快速发展。这就需要初等教育为高等院校输送大批具有综合素质的创新型人才，最终培养成为社会需要的各级各类人才。数学教育从教学思想、教学内容、课程设置、教学方法和教学手段方面都需要进行一系列的改革试验[]
1。 随着新课程改革的不断进行，高中数学把多科数学内容综合为一门数学教材，注意沟通各科知识之间的内在联系，注意数学知识的实际应用。教学中，要求体现数学的人文价值和科学价值，注重数学应用意识的培养。新课程内容的变化，无论是新增内容，还是要求处理形式、侧重点上有变化的内容都需要教师认真理解，仔细分析。
数学教育现代化要求把中学数学教学建立在现代数学的思想基础上，这使得高等数学与中学数学互相促进，共同发展。有许多中学数学的概念都需要借助高等数学的知识才能解释清楚。
1.2 课题研究意义
随着高等数学的知识在高考所占的比重也越来越大，研究新的课程标准、新的考试大纲，认真研究、分析高中数学中的新知识——高等数学在中学数学中的应用问题变得势在必行。高等数学是在初等数学的基础上发展起来的。与初等数学有着紧密的联系。许多初等数学无法解答的问题，高等数学都给出了解答。因此，帮助学生学会用高等数学的思想、方法为工具，从不同的角度去研究初等数学的问题，而且运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题等等。总之应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了深刻的认识。 本论文在借鉴前人所撰文章的精神的基础之上，与中学数学同行们互相交流，对指导教学，指明方向、深度有重大的参考和借鉴价值。本文运用高等数学的先进观点居高临下地分析和处理中学数学内容的问题。主要表现为以下三个方面:一是将高等数学的思想和办法渗透到中学数学中去；二是用具体材料来说明高等数学对中学数学的指导意义：三是指出中学数学某些难以处理的问题的高等数学背景。
广东石油化工学院本科毕业（设计）论文：浅谈高等数学在中学数学中的应用
1.3 文献综述
文献[5]－《例谈导数的应用》是鄢尧发所编写, 这文章是备受广大师生青睐，主要用众多例题介绍导数，通过把导数与实际应用结合起来，以及用了很多方法，去介绍导数的应用。充分展现导数思想在解决问题的重要性，我在这本参考书上，主要是参考了导数在求极值的应用这部分。不过这本书在介绍导数这方面的知识与我所讨论的问题有很大的区别，因此我在自己电脑的网站，找一些相关资料作为补充。
文献[6]－《导数在证明不等式中的应用》，本文章是刘伟的报告，本报告主要就讨论一个任务，导数在不等式中的应用。主要把不等式构造成一个函数，再通过函数求导，找函数的单调性，这样就可以证明不等式的成立。另外还利用导数证明几个特殊的不等式。考虑到微积分正是大学数学知识的基础也是中学数学导数应用的一个延生，借鉴此文章是势在必行的。但由于此文章讲述的比较复杂，我只借鉴构造函数这一部分。
文献[7] - 《数学分析》（第三版）是华东师范大学数学系所编．也是高等教育出版社出版的大学数学专业学生必修的一本教科书，本书分为两本主要详细讲了极限和连续函数，微积分，实数完备性等知识点。就是通过这本书，我才能清楚的认识整个微积分与中学数学之间的紧密联系，也是通过这道本书我才能认识到高等数学的主要思想基础的所在。
1.4 研究方法
到书店、图书馆、上网搜集大量相关的资料，并参考其他研究人员就此问题做过的相关研究资料，再结合自己的见解分析，总结最后撰写论文
1.5 创新之处
1、本论文在更具体的理论结合实际上探讨了高等数学和初等数学的联系
2、本论文更全面的叙述了高等数学在初等数学中的应用
3、这次课标新改后，比较深入的讲述高考数学试题应用高等数学思想方法的论文
2
第二章 高等数学与初等数学的地位与联系
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第二章 高等数学与初等数学的地位与联系
大量的事实表明,通过高初结合可以更好地把握数学知识的深度,了解数学问题的背景和实质,能够从更高的角度俯瞰初等数学及其教学,可以提高数学教师的数学素质和数学解题能力,更好地把握初等数学教学。高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面都有很大的作用。欲穷千里目,更上一层楼。站在高等数学的角度来看初等数学中的某些问题会更深刻、更全面。
我们知道,初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别。正是如此,有人认为:学生不需要懂得什么高等数学知识,教师只要照课本讲下去就可以了。其实这是一种误解。诚然,在课堂上不能把高等数学知识传授给学生,但我们仅仅停留在课本上是不够的,有时甚至连自己对一些初等数学的问题也可能感到费解,这是因为:一方面,高等数学是初等数学的继续和提高;另一方面,初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得澄清.因此,高等数学在初等数学中的作用不能掉以轻心,下面谈谈一些初浅的体会。
2.1初等数学与高等数学的定位
一般来说，数学史学家把数学的发展分为四个阶段：萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期（或五个时期，再加上当代时期）。无论何种分发，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”，而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”，这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”。理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯（Engles ）的经典分发：所谓初等数学是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔（R.Descartes ）1637年发表的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志。而教育意义下的初等数学高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育（即中、小教育）阶段的数学主要内容为初等数学，视初等教育阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育的数学主要内容为高等数学。当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别。事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点
[]
2。
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2.2 高等数学与中学数学的联系
中学数学主要是常量数学,同时也包括变量数学的一些初步知识,而现代数学则以变项包括变量为研究对象来反映现实世界的空间形式与数量关系。数学的发展是一个不断发现、不断统一、不断深化的过程。作为一名即将成为教师的学生应该尽可能地把握数学发展的过程,清楚地认识大学数学的学习对中学数学学习的意义，有意识地把它贯穿到今后的中学数学教学中，做到既知其然，又知其所以然。
2.2.1 中学数学与大学数学的统一性
伽利略曾说过：“大自然是一本书,而这本书的语言是用数学来书写的。”数学作为众多自然学科的基础,博大精深,体系庞大,分支众多拥有着丰富的交叉学科,而如此庞大的学科内部却有着高度的统一性,这种统一性决不是一种偶然的巧合，它反映了数学的本质，数学的统一性在数学各个分支之间比比皆是，它始终贯穿于数学的整个学习过程，表现在一些具体的实例上。中学阶段最能体现数学统一性思想的就是解析几何,笛卡尔坐标系把代数方程与圆锥曲线完美地结合在一起。而高等数学则更是从各方面体现着数学统一性思想。正如M·阿蒂亚所说:“数学最使我着迷之处,是不同的分支之间有着许许多多的相互影响,预想不到的联系,惊人的奇迹。”
2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性
初等数学是高等数学基础,二者有着本质的联系。中学数学中遗留下来相当多的问题并不是它本身可以解决的，必须进一步学习了高等数学，掌握了更多的理论工具，对问题的本质有了更深的认识后才能作出一定合理的解释。
例如大家熟知的代数基本定理：具有复系数的一个多项式方程在复数域中至少有一个解。在中学阶段是当作既成事实,但它究竟对不对，如何去证明，用中学阶段的数学知识是无法解释的。自从高斯给这一基本定理作出了证明以后，在高等数学中又给出了多种多样的证法，可以用复变函数、代数拓扑、数理逻辑等不同的知识来加以证明。但所有这些证明都需要用到函数的连续性,对函数连续性本质的认识属于现代数学的范畴。
数学的研究方法与对象反复经历了由特殊到一般,由直观到抽象的过程.著名数学家M·阿蒂亚说:“没有这些抽象概念,数学恐怕早就被成堆的复杂问题压得喘不过气来,也早就分裂成数不清的,互不关连的个别情况的研究了。”。
中学生对运算的认识是从“数”的运算开始,随着学习的逐步深入,知道运算不仅仅局限于“数”,“式”也可以进行运算,这说明运算不仅可以在数之间进行,而且可以在数以外的其他对象之间进行。一般运算的对象可以是抽象的集合。一般运算的概念是指一个或几个集合到一个集合的映射。代数是在几个集合上赋予若干运算所形成的结构。最初的代数就是抽象化的,用符号代表数或其他更复杂的量；而更高层次的抽象是符号
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第二章高等数学与初等数学的地位与联系
之间的运算法则和相互关系。抽象概念正是对层出不穷的新事物的要求所做出的自然的回答。
2.3 高等数学对初等数学的拓展
2.3.1代数方面
集合：众所周知，集合论是现代数学的基础，集合概念是数学中的一个原始概念。中小学数学中都贯穿了集合的思想，高中开始使用集合语言来研究问题，通过高中的学习，对集合的表示、集合之间的简单运算应该比较熟悉，对集合与集合之间的映射等有所了解。高等数学将在此基础上进一步考虑集合的运算，引入集合的“势”的概念，比较两个无穷集合的大小以及赋予集合某些数学结构（如代数结构、测度结构、拓扑），研究具有不同数学结构集合之间的映射关系。如近世代数主要是研究具有代数结构集合之间的映射，如同态、同构、群、环、域等；而实变函数论主要是研究具有勒贝格测度的集合之间的映射，如可测函数。
函数及其性质：函数是数学上的一个基本而又重要的概念，从中学数学到高等数学，函数概念逐步从直观向抽象发展、变量说、对应说（映射说），关系说是三种主要的定义方式。用“关系”来定义函数，比较抽象，一般不容易理解，在现代数学（如拓扑学、泛函分析等）中使用较多。对应说（映射说）是中学数学及一般高等数学中普遍采用的方式。映射是现代数学中的一个基本概念，它贯穿于现代数学各个分支，函数，变换等都是映射的例子。
中学数学中所讲的函数主要是六种基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，研究它们的结构与形态。高等数学在此基础上定义了复合函数，初等函数等概念，使函数的量进一步扩展，进一步研究一般函数的奇偶性，单调性（用导数方法判断可导函数的单调性）、周期性（给出周期函数的一般定义以求周期的方法）、有界性、极值性（用导数方法求极值）、连续性、可导性、可积性、以及多项式函数的理论。由于现实中应用的许多函数都是初等函数，而初等函数又具有较好的分析性质，因而常成为研究抽象函数的例子、模型。微积分中函数的主体是初等函数，由基本初等函数到初等函数，衔接是比较紧密的。
数列、极限与级数：中学数学中讲到数列的定义，等差、等比数列以及它们的前n 项的和与数列极限，这是数学分析中级数论的基础。极限法是数学分析的一个主要方法，贯穿于数学分析的始终。中学数学中再给极限精确的定量定义。级数论中将研究无穷数列与函数列的和（级数）的收敛与发散，部分数列和的求法，以及函数级数的和函数的分析性质，把函数展成级数等。
复数与复变函数论:中学数学中讲了复数的概念、表示法（代数形式、向量形式、三角形式）、运算。复数的引进，完满的证明了高等代数的基本定理及多元二次型的分
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解等。另外，复变函数论研究的一类重要函数----解析函数（包括初等函数），只有在复数域中来讨论才能彻底弄清楚。因此，中学数学中的复数是复变函数论的一个重要基础，它们之间最好是按“螺旋式”上升方式来衔接。
排列、组合、二项式定理与概率论：中学数学中排列、组合、二项式定理及概率是高等数学中概率论与数理统计的基础。由于这部分内容与其它内容联系较少，学生普遍感到难学，有的教师也可能降低要求。但大部分概率与统计的教材，都是在中学的基础上来编写的，它们是对随机现象演绎的研究与对随机现象统计规律归纳研究。因此，中学排列、组合、二项式定理的内容一点都不能削弱。
方程与方程组：中学数学中重要讲了一元一次、二元、三次方程及简单高次方程的解的情况，并没有对一般高次方程作深入讨论，方程组也大多是二元线性或三元线性方程组.高等数学中将对中学数学中的方程与方程组作推广，高等代数对高次方程的解（根）的情况将作全面讨论，明确五次（含五次）以上的方程无公式解，复系数一元二次方程必有2个根。用行列式和矩阵理论来讨论一元线性方程的解（存在性、解法、结构），用微积分研究微分方程与方程组的解等。
2.3.2几何方面
立体几何与空间解析几何：中学平面几何主要包括相交线、平行线、三角形、四边形、面积、相似形和圆的一些概念及性质、点的轨迹的概念等内容。立体几何主要包括直线和平面的位置关系及其性质，多面体和旋转体的一些概念、性质、画法及表面积和体积的公式等内容。主要使学生会综合性处理几何的方法。而空间解析几何是在具有空间结构观念的基础上,用向量、变量与空间直线、柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面及其一般理论，使学生学会解析地处理几何的方法。
平面解析几何与空间解析几何：中学平面解析几何主要讲平面上直线方程、圆锥曲线（二次曲线的几种简单形式）方程及形态、参数方程与极坐标等内容。空间解析几何将进一步研究二次曲线的一般理论（二次曲线与直线的相关位置、二次曲线的渐进方向、中心、渐进线、切线、直径以及二次曲线的化简与分类等）和二次曲面的一般理论（二次曲面与直线的相关位置、二次曲面的渐进方向与中心、切线与切平面、径面与奇向、主径面与主方向、特征方程与特征根以及二次曲面的化简与分类等）。空间解析几何是平面解析几何的自然延伸[]
3。 高等几何是对初等几何的教学与研究有着重要的指导作用。高等几何的主要内容包括仿射几何、射影几何和几何基础，近几年来，关于高等几何对初等几何的指导作用的研究一直是几何学教学研究方面的一个热点，并且已经取得了不少成果。本文后部分从仿射几何和射影几何的一些理论与方法出发，探讨它们在初等几何中的应用。
仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结射影几何与欧氏几何的纽带，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道。在初等几何里，有大量的命题是研究图形的仿射性质的，即并不涉及到距离、角度、面积的具体度量，而仅涉及到点线结合
第二章高等数学与初等数学的地位与联系
关系、直线的平行性、共线与平行线段之比、封闭图形面积之比以及线段中点等概念。对于这类命题，我们可以充分地运用仿射几何的有关理论，由特殊到一般、化繁为简地加以解决，从而达到事半功倍的效果。这方面问题的解决，常常可以借助于仿射变换与仿射坐标系来实现。
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第三章 高等数学在初等数学中的应用
3.1 高等代数在中学数学中的应用
高等代数不仅是中学数学的延拓,也是现代数学的基础。作为中学数学教师总感觉到大学中学的高等代数在中学教学中用不上,其理由是从初等数学到高等数学,在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别；其实这是一种误解,正因为有这样的区别,它能使我们从中学的解题思维定势中走出来,用一种更深远的眼光来看中学数学问题。下面从几个方面谈谈这个问题。
3.2.1行列式的应用
因式分解是中学数学的一个重要内容，虽然在中学数学中有很多方法可以解决因式分解问题,但对于某些因式分解问题如果构造与之对应的行列式，然后使用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果。
例1：3333a b c abc ++-对因式分解。[]
4 解：333=,3a b c D c a b a b c abc b c a
++-则D= =a b c a b c a b c
D c
a b b c a ++++++另一方面
=()a b c ++111
c a b b c a
=()a b c ++?()222a b c ab bc ca ++---
所以3333a b c abc ++-=()a b c ++()222a b c ab bc ca ++---
例2：24()()0,2x y y z z x y ---=+=若(z-x)求证：
证明：24()()x y y z ---=(z-x)2222z x x y x z z x ----=222(2)z x y x y z x y z x
+---+-- 122(2)1x y z x y z x
-=+---2(2)z x y +- 又由已知可得：24()()0x y y z ---=(z-x),所以(2)z x y +-20=
第三章 高等数学在初等数学中的应用
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所以2z x y +-0=,即2z x y +=.
3.2.2柯西—施瓦兹不等式应用
柯西—施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式，它在中学数学中有广泛的应用。
例1：设欧式空间n R ,令12=,,)n a a a ξ （,12(,,)n n b b b R η=∈ 则有222
,ξηξη≤（当且仅当ξ,η线性相关时等号成立）,在标准内积下,有： 222222*********)()(),n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ （
若1(1,2,,)i b i n == ,则得：
2222112212)()n n n a b a b a b n a a a +++≤+++ （
例2：设a,b,c,都是正数,且1a b c ++=,求证：1119a b c
++≥ 证明：在3R 中使用标准内积.设=,,)a b c ξ（,111,,a b c η?? ? ???
= 则有：22111111()())a b c a b c a b c
ξη=++++=++ 2
2111,9a b c a b c ξη??=?+?+?= ??? 由柯西不等式得：1119a b c
++≥成立 从上例可知,使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间,特别是构造内积运算,并找到两个适当的向量。
由上两个例子我们不难看出高等代数的很多知识完全可以作为一种工具来解决中学数学问题,而这中间构造法起了很重要的作用。高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通。高等代数方法在中学数学中的应用还有很多,方法也独特且灵活多变。如果应用恰当,可以化难为易,收到事半功倍之效。
3.2 微积分方法在中学数学的应用
如果将整个数学比作棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分[]
5。不论是高等数学还是初等数学,其基本方法都是相通的,那么,高等数学微积分方法在中学数学中有着怎样的应用？下面我来举例进行说明。
3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用
利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间［a,b ］上的最大最小值,或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化,因而已逐渐成为新高考的又一热点。
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例：已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠,在1x =±时取得极值,且(1)1f =-
（1)试求常数a 、b 、c 的值；
(2)试判断x=±1 是函数的极小值还是极大值,并说明理由。
解： （1）'2()2f x ax bx c =++
1x =± 是函数的极值点
1x ∴=±是方程'()0f x =即220ax bx c ++=的根
'(1)0f =即20a b c ++=
'(1)0f -=即20a b c -+=
又'(1)=-1f ,1a b c ∴++=-
将上面三式联立 得：21,0,1,3
a b c ===- （2）3()f x x x =-
'2()1(1)(1)f x x x x ∴=-=+-
1,1x x ∴><-时, '()0f x > 当 11x -<<时, '()0f x <
∴ 函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数,在(－1,1)上是减函数。
∴ 当x=－1 时,函数取得极大值f(－1)=1。
当x=1时,函数取得极小值f(1)=－1。
这样,我们就很容易地解决了这个一元三次函数的极值问题.总之,微积分它作为是一种数学思想,用它解决中学数学问题有很多便捷之处。
3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的
在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论方法可以得到圆满的解决。例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。 例（ 方程根的讨论）
求证1))((=---b a x a x 有两个相异实根，并且一个根大于a ，令一个根小于a 。 证法一 （采用初等方法证明）
证明：将方程1))((=---b a x a x 整理得
()(
)01222=-+++-ab a x b a x
()()
14222-+-+=?∴ab a b a 44444222+--++=ab a b ab a 042
>+=b
所以方程有两个相异的实根 242,2422221+-+=+++=b b a x b b a x
第三章 高等数学在初等数学中的应用
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24242221++=-+++=-∴b b a b b a a x 24242222+-=-+-+=-b b a b b a a x
因为 ,422b b >+所以.42b b >+
因此 .,21a x a x <>
证法二 （采用微积分方法证明）
证明：设()()()1----=b a x a x x f
则
()01<-=a f 因为()+∞=→x f x 0lim ，所以在区间()a ,∞-和()+∞,a 内分别存在α和β，使
()()0,0>>βαf f
由连续函数的介值性定理，在区间()a ,α和()β,a 内分别存在1x 和2x ，使
()()0,021==x f x f
这表明1x 和2x 是方程的两个相异实根，.,21a x a x ><
不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论。因为()01<-=+b a f 所以b a +同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程()()1=---b a x a x 的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数。于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设0>c ，则方程()()c b a x a x =---必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间。
注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a 比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦。而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。
例（不等式的证明）
若0>x ，求证：()x x x
x <+<+1ln 1 证明：设()()x x f +=1ln 则()x f 在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理，故存在()x ,0∈ξ使()()()00--=
'x f x f f ξ 即 ()x
x +=+1ln 11ξ ,0x <<ξ 11111<+<+∴
ξx
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()11ln 11<+<+∴x
x x 即 ()x x x
x <+<+1ln 1 注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧。利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式
[]6
。 例 （代数式的化简）
化简()()()().3333y x z x z y z y x z y x -+--+--+-++ 解：把x 看作变量，y 与z 看作常量．令
()=x f ()()()().3333y x z x z y z y x z y x -+--+--+-++
对求导得
()()()()()[]
yz y x z x z y z y x z y x x f 2432222=-+--+--+-++=' 上式两端取不定积分得 ()C xyz yzdx x f +==?2424
∴()()()()3333y x z x z y z y x z y x -+--+--+-++C xyz +=24 令0=x 得()()()()03333=--+---+=y z z y z y z y C
故原式xyz 24=
注：对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。
3.2.3积分在空间立体体积与表面积中的应用
例：证明：底面半径为r ，高为h 的圆锥体的体积为23
r h V π=。 证明 ：取圆锥体顶点o 为坐标原点，过顶点垂直于底面的直线为x 轴，过坐标原点o 且垂直于x 轴的直线为y 轴（如图），则圆锥体可以看作是由直线PO 于x=h 及x 轴围成
的直角三角形绕x 轴旋转一周得到的旋转体直线OP 的方程为.0,h x x h
r y ≤≤=则所求圆锥体的体积为
23220303)(r h h x h r dx x h r V h
πππ=?==?。 例：证明：半径为R 的圆面积为2R π[]
7。 证明：（一）已知圆心在坐标原点，半径为R 圆的方程是222R y x =+显然，它关于坐标原点对称，故圆的面积为圆的第一象限内的面积的4倍。故所求图形面积为
202222
200)arcsin 22(444R R R x R x R x dx x R ydx S a a π=+-=-==??
第三章 高等数学在初等数学中的应用
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(二)圆的面积也可以看作是由上半圆22x R y -=与下半圆22x R y --=所围成图形的面积，于是有
22222
222arcsin 222)]([R R R R x R x R x dx x R x R S R R π=-???? ??+-=----=?- (三)圆的参数方程为
?
??==,sin cos t R y t R x π20≤≤t ，于是有， ???==-='=ππ
π
π202022220sin )sin (sin )cos (sin R tdt R dt t R t R dt t R t R S 例：证明：椭圆122
22=+b
y a x 的面积为πab 。 证明：（一）由于椭圆122
22=+b
y a x 关于两个坐标轴对称，故椭圆面积为椭圆在第一象限内面积的4倍。 由椭圆方程122
22=+b
y a x 得，第一象限函数表达式为22x a a b y -=。于是有 πab a a x a x a x a b dx x a a b S a
=+-=-=?0)arcsin 22(44022222。 （二）椭圆的面积也可以看作是由上半椭圆22x a a b y -=与下半椭圆22x a a
b y --= 所围成图形的面积，由预备知识中公式（3）得
πab a a a x a x a x a b dx x a a b x a a b S a
a =-+-=----=?-)arcsin 22(2)][([2222222 （三）椭圆参数方程为???==,
sin cos t b y t a x π20≤≤t 。 于是有
??=-=='=ππ
ππ2022002)2sin 2
1(2sin )cos (sin ab t t ab tdt ab dt t a t b S 3.2.4积分在求曲线弧长中的应用
例：证明：半径为R 的圆的周长为R π2。
证明：（一）已知圆心在坐标原点半径为R 的方程为
222R y x =+
由于圆关于两个坐标轴对称，所以只须求出第一象限内的弧长，然后4倍，即得出圆
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的周长S 。
已知圆在第一象限的方程是R x x R y ≤≤-=0,22且
2222221,x R R y x R x y -='+--=
' 于是，圆的周长为
R R R x R dx R dx y S R
R R π20
arcsin 4414000222==-='+=??? (二)半径为R 的圆的参数方程为?
??==,sin ,cos t R y t R x π20≤≤t 且,cos ,sin t R y t R x ='-='于是，圆的周长为
??=='+'=π
π
π2020222R dt R dt y x S （三）半径为R 的圆的极坐标方程为
222)()(,0)(,20,)(R f f f R f ='+='≤≥=θθθπθθ且
所以圆的周长为 ??=='+=ππ
πθθθ20
20222)()(R d R f f S 以上所写的是几类初等数学问题用高等数学的处理，可以看出初等数学作为高等数学的基础，高等数学在初等数学中的应用是相当广泛的，同时，扎实的初等数学基础对学好高等数学也是非常重要的。通过这样的应用，既可以开拓解题思路，又可以培养观察问题分析问题的能力以及综合运用知识的能力。
3.3 高等几何在初等几何的应用
3.3.1仿射变换的应用
在仿射几何里，几何图形在任意仿射变换下都具有保持同素性、结合性和二直线的平行性及共线三点的单比、共线或平行二线段长度之比、二封闭图形面积之比不变的仿射不变性质和仿射不变量。因而，当我们要研究初等几何中图形的仿射性质时，可以在已知条件下作出它的一个较易研究的仿射对应图形，由研究图形的相关性质转而得出图形的性质[]
3。 3.3.2射影几何观点在初等几何中的应用
射影几何在初等几何中的应用是十分广泛的。射影几何是研究射影性质和射影不变量的几何。如同素性，结合性，交比等。本文就简单介绍了仿射变换、笛沙格定理、点列中四点的交比、线束中四条直线的交比在初等几何中的应用。
第三章 高等数学在初等数学中的应用
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3.3.2.1 仿射变换的应用
在初等几何中有大量的命题是离不开图形仿射性质的，即只涉及图形的仿射性质，并不涉及距离、角度等概念。对于这类命题，我们可以充分运用仿射变换的性质化繁为简，转难为易，达到事半功倍的效果。
如果我们把要研究某个图形F 的仿射性质，常根据已知条件或条件的一部分作出图形F 的比较特殊、性质显而易见的仿射等价图形'F ，转而研究'F 上的对应性质，然后根据命题的条件变换为所要研究的图形F 的性质。也就是往往先在特殊的仿射等价图形中进行研究，然后再推广到一般图形。如圆和椭圆仿射等价，若要研究椭圆的某个性质，可先研究所具有的某个性质（仿射性质），然后再推广到椭圆上去[]
8。 在初等几何中应用仿射变换，是由特殊到一般的研究方法的一个范例。
例：平行于平行四边形ABCD 的对角线AC 作一直线与,AB BC 相交于,E F 。
求证：AED CDF S S ??=。
证明：如图1所示，设正方形''''A B C D 经过一个仿射变换T 得到ABCD ,即
正方形''''T A B C
D ABCD ??→
图1
由于T 保持平行性，结合性，所以
''',,D E E F F D →→→
且
''F E //''AC
而在正方形''
''
A B C D 中
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''''''A E D C D F ?
所以有
''''''A E D C D F S S =
因为两三角形的面积之比是仿射不变量，则有
'''
'''=A E D AED CDF
C D F S S S S 所以 AED CDF S S ??= 3.3.2.2 笛沙格定理的应用
笛沙格定理是射影几何的理论基础，它的应用很广，许多定理以它为依据。 定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形。平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性。 笛沙格定理 如果两个三点形对应顶点连线交于一点，则对应边的交点在同一直线上。
笛沙格定理的逆定理 如果两个三点形对应边的交点在同一直线上，则对应顶点的连线交于一点。
定义2 若两个三点形的对应顶点的连线共点，且对应边的交点共线，则两三点形构成透视关系。对应顶点连线的交点叫做透视中心，对应边交点所在的直线叫做透视轴。
例：如图2所示，过三角形ABC 的三个顶点，任作三条直线,,AD BE CF ，分别与对边交于,,,F E D 且CF BE AD ,,共点.求证：若EF BC X ?=, FD CA Y ?=,
DE AB Z ?=,则Z Y X ,,三点共线。
证明 ：在三点形ABC 和DEF 中，因为对应顶点的连线CF BE AD ,,共点。有笛沙格定理知，其对应边的交点共线，即有Z Y
X ,,共线。
图2
合肥学院 课程论文 专业酒店管理 班级一班 学生姓名张超 学号1514061036 论文题目微积分在生活中的应用 教师王后春
微积分在生活中的应用摘要：我们学习了微积分，然而只学习不行的，学了的目的是为了应用，本篇论文主要讲微积分在生活中的应用，有哪些应用，怎么应用的。主要集中几何，经济以及我们在生活中的应用 关键词：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导
绪论 作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。 我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。 希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。 一、微积分在几何中的应用 微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！ 1.1求平面图形的面积 (1)求平面图形的面积 由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。 例如：求曲线2 和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。 f x 分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为
高等数学应用案例讲解文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
高等数学应用案例 案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变 一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量为 y x y x f 2),(= （件） 现有16名技术工人和32名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变 解：现在产品产量为(16,32)8192f =件，保持这种产量的函数曲线为 8192),(=y x f 。对于任一给定值x ，每增加一名技术工人时y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率dx dy 。而由隐函数存在定理，可得 所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为 当16,32x y ==时，可得4-=dx dy 。 因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约4名非技术工人。 下面给出一个初等数学解法。令 c ：每天可生产的产品产量； 0x ；技术工人数； 0y ；非技术工人数； x ?；技术工人增加人数； y ?；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由16名增加到17名 时，非技术人员要增加（或减少）的人数。 由已知列方程：
（1）当技术工人为16名，非技术工人为32名时，每天的产品产量为c ，则有方程： c y x =?020 （1） （2）当技术工人增加了1名时，非技术工人应为（y y ?+0）名，且每天的产品产量为c ，则有方程： c y y x x =?+??+)()(020 （2） 联立方程组（1）、（2），消去c 得： 即 [] 002020)/(y y x x x y -??+=????????+--=20200)(1x x x y 代入x y x ?,,00，得：46.3-≈-≈?y 名，即减少4名非技术工人。 比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式： 从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷小： 0)x ( )1(31 04120→????? ???-+???? ???--∞=-∑n n n x x n x x （3） 而高等数学方法却利用了隐函数求导，忽略掉高阶无穷小（3），所以计算较容易。
Image Image 高等数学数学实验报告 实验人员：院（系） ___________学号_________姓名____________实验地点：计算机中心机房 实验一 1、 实验题目： 根据上面的题目，通过作图，观察重要极限：lim（1+1/n）n =e 2、 实验目的和意义 方法的理论意义和实用价值。 利用数形结合的方法观察数列的极限，可以从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。 三、计算公式 （1+1/n）n 四、程序设计 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 当n足够
Image Image 大时，所画出的点逐渐接近于直线，即点数越大，精确度越高。对于不同解题方法最后均能获得相同结果，因此需要择优，从众多方法中尽可能选择简单的一种。程序编写需要有扎实的理论基础，因此在上机调试前要仔细审查细节，对程序进行尽可能的简化、改进与完善。 实验二一、实验题目 制作函数y=sin cx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响。 二、实验目的和意义 本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能，并通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态，建立数形结合的思想。三、计算公式：y=sin cx 四、程序设计五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 c的不同导致函数的区间大小不同。 实验三 一、实验题目 观察函数f(x)=cos x的各阶泰勒展开式的图形。 二、实验目的和意义 利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 三、计算公式
我的微积分之旅 微积分知识总结及学习体会 微积分是很多专业的一门基础学科，它在现代自然科学中占有十分重要的地位，是学生学习技术知识的基础。微积分作为一门挂科率较高的学科，具有严密的逻辑性和高度的抽象性，而老师在一堂课中所传授的知识，常常是穷尽一个科学家或几个科学家一代或几代的研究成果，其知识容量之大可想而知。那么怎样在短短的四十五分钟内尽可能多的掌握这些知识呢？我将浅谈一下自己的看法。 通过一年的高数学习，我们知道在大学好微积分是必要的，也是必须的。学习是一个长期的过程，不要总是想着考试前几天突击下就可以，我们中的人多数还都是普通人，没有能力达到一看就会的程度。所以一定要听好每节课，做好每一次作业，打好基础才能在复习中查缺补漏。 1、预习是必要的，在讲多元复合函数求导的那节课前，我因为准备其他考试而没预习，导致两节课像坐在飞机一样云里雾里，于是只能课下去看老师发的视频和课件。发现了重点是“串并联法则”，弄懂这个一切难题就迎刃而解，如果当初预习一下，听课效率就会高很多。 2、一定要保质保量的完成作业，不要以为作业很无所谓，可能有的题目是很难，但我们一定要自己做出来。如果实在做不出来的话，看看老师发的答案也是可以的，前提是自己之前思考过。公式定理一定要背，这些是学习微积分的基本工具，只有弄懂练熟公式与定理的使用，我们才能更好的应用到题目中去。 3、大学里的学习课后巩固很重要,光靠一周两次课的学习,远远不够。并且, 课上老师可能会因为进度问题而讲得很快, 很多时候我们会跟不上老师的速度, 这时, 如果课后不再看例题, 课上的疑问会永远得不到解答。在此情况下谈想进步是不可能的。 那么我们具体该怎么学习微积分呢？在第一章的函数，我了解了什么是函数，如何求函数的定义域、奇偶性、周期性和数值，函数复合的计算。重点是充分理解复合函数、反函数和初等函数这些特殊的函数，熟悉它们的表达式、图像和计算方法。弄懂前面的基础，就到了函数在经济学中的应用，供给、需求、总成本、总收益、总利润函数，它们的计算和之间的关系。 第二章是极限与联系。内容有证明极限，证明连续，证明间断点，无穷大与无穷小等。我觉得最主要的是求函数的极限，方法有很多(1)消去零因子法；(2)同除最高次幂；(3)分子或分母有理化；(4)利用无穷小运算性质(有限个无穷小之和仍为无穷小，无穷小与有界函数的积仍为无穷小）；(5)复合函数求极限法则； (6)利用左、右极限求分段函数极限；(7)利用两类重要极限；(8) 利用等价无穷小代换；(9) 利用连续函数的性质(代入法)；(10) 利用洛必达法则。具体运用哪一种方法，还需要我们通过多做题来知晓。 第三章是导数与微分。最基础的就是背好公式，然后再多加练习。反函数、复合函数、隐函数、高阶导数是比较重要的，关键还是要牢记公式定理。在这一 章我们还学习到了经济应用“边际与弹性”，边际函数 平均函数 第四章中值定理与导数有点难度，首先是三个中值定理“罗尔定理”、“拉格朗日中值定理”、“柯西中值定理”，这三个定理分别满足的条件是必须背下来的。洛必达法则是求0/0型、∞/∞型、0*∞型等未定式的极限的一个重要方法。导
韩山师范学院 学生毕业论文 （2008届） 韩山师范学院教务处制
诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日
摘要 极限概念是微积分学中最重要，最基本的概念。掌握好利用定义证明函数极限是学好高等数学的基础。极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，本文直接或间接地用极限定义来证明一些我们经常见到高等数学问题。 关键词：极限；极限定义；数列极限；函数极限 Abstract The definition of the limit is the most important and basic concept in the infinitesimal calculus. Mastering the ways of using the definition to probe the limit of function lays a foundation for studying the higher mathematics well. There are the limit of series, limit of function and functional limit of several variables and so on. In this paper, the definition of the limit is used directly or indirectly to prove some common problems of higher mathematics. Keywords: limit, definition of limit, limit of series, limit of function
高等数学应用案例案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变 一工厂有x名技术工人和y名非技术工人，每天可生产的产品产量为 , (=（件） f2 ) x x y y 现有16名技术工人和32名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？ 解：现在产品产量为(16,32)8192 f=件，保持这种产量的函数曲线为y (= x f。对于任一给定值x，每增加一名技术工人时y的变化量即为, 8192 ) dy。而由隐函数存在定理，可得 这函数曲线切线的斜率 dx 所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为 dy。 当16,32 ==时，可得4-= x y dx 因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约4名非技术工人。 下面给出一个初等数学解法。令 c：每天可生产的产品产量； x；技术工人数； y；非技术工人数； x?；技术工人增加人数； y?；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由16名增加到17名时，非技术人员要增加（或减少）的人数。 由已知列方程：
（1）当技术工人为16名，非技术工人为32名时，每天的产品产量为c ，则有方程： c y x =?020 （1） （2）当技术工人增加了1名时，非技术工人应为（y y ?+0）名，且每 天的产品产量为c ，则有方程： c y y x x =?+??+)()(020 （2） 联立方程组（1）、（2），消去c 得： 即 [] 002020)/(y y x x x y -??+=????????+--=20200)(1x x x y 代入x y x ?,,00，得：46.3-≈-≈?y 名，即减少4名非技术工人。 比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式： 从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷小： 0)x ( )1(31 04120→????? ???-+???? ???--∞=-∑n n n x x n x x （3） 而高等数学方法却利用了隐函数求导，忽略掉高阶无穷小（3），所以计算较容易。
大一下高数论文 大一下学期，我们主要学了微分方程，微分方程是数学的重要分支.在这里我重点介绍了几个利用微分方程常来解决的问 题的例子,从中我们可以了解到微分方程用的广泛性以及解决具体问题时常采用的一般步骤. 应用微分方程解决具体问题的主要步骤: (1)分析问题,将实际问题抽象,设出未知函数，建立微分方程,并给出合理的解; (2)求解微分方程的通解及满足定解条件的特解,或由方程讨论解的性质; (3)由所求得的解或解的性质,回到实际问题,解释该实际问题,得出客观规律. 微分方程的应用举例 几何问题 1.等角轨线 我们来求这样的曲线或曲线族,使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线轨线已知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时,等角轨线就轨线正交轨线.等角轨线在很多学科（如天文,气象等）中都有应用.下面就来介绍等角轨线的方法. 首先把问题进一步提明确一些. 设在（x,y ）平面上,给定一个单参数曲线族（C ）:()0,,=c y x ?求这样的曲线l ,使得l 与(C)中每一条曲线的交角都 是定角 α . 设l 的方程为 1y =)(1x y .为了求)(1x y ,我们先来求出)(1x y 所对应满足的微分方程,也就是要求先求得x , 1y ,' 1 y 的关系式.条件告诉我们l 与（C ）的曲线相交成定角 α,于是,可以想象,1y 和'1y 必然应当与（C ）中的曲线 y =)(x y 及其切线的斜率'y 有一个关系.事实上,当α≠ 2 π 时,有 k y y y y ==+-αtan 1' 1 '' ' 1 或 1 ' 1' 1' +-= ky k y y 当 α= 2 π 时,有 ' 1 '1y y - = 又因为在交点处, )(x y =)(1x y ,于是,如果我们能求得x , 1y ,' 1y 的关系 () 0,,'=y y x F 采用分析法.
一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 高等数学应用案例 案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变 一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量为 y x y x f 2),(= （件） 现有16名技术工人和32名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？ 解：现在产品产量为(16,32)8192f =件，保持这种产量的函数曲线为8192),(=y x f 。对于任一给定值x ，每增加一名技术工人时y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率dx dy 。而由隐函数存在定理，可得 y f x f dx dy ????= 所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为 x y y f x f dx dy 2-=????= 当16,32x y ==时，可得4-=dx dy 。 因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约4名非技术工人。 下面给出一个初等数学解法。令 c ：每天可生产的产品产量； 0x ；技术工人数； 0y ；非技术工人数； x ?；技术工人增加人数； y ?；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由16名增加到17名时，非技术人员要增加（或减少）的人数。 由已知列方程： （1）当技术工人为16名，非技术工人为32名时，每天的产品产量为c ，则有方程： c y x =?020 （1） （2）当技术工人增加了1名时，非技术工人应为（y y ?+0）名， 且每天的产品产量为c ，则有方程： c y y x x =?+??+)()(020 （2） 联立方程组（1）、（2），消去c 得： )(020020y y x x y x ?+??+=?）（ 即 [] 002020)/(y y x x x y -??+=????????+--=20200)(1x x x y ????????????? ????? ???+--=200111x x y 代入x y x ?,,00，得：46.3-≈-≈?y 名，即减少4名非技术工人。 比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式： ∑∞=--???? ???-+???? ???-?=???? ???+-110120020)1(32111n n n x x n x x x x x x 从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷 Hefei University 大一高等数学论文 院系：电子信息与电气自动化学生姓名：孙野 学号： 1405031031 专业：自动化 班级：一班 年级：一年级 指导老师: 刘国旗 完成时期: 十二月十三号 摘要：高等数学是大学工科里的一门基础学科。在我学的自动化专业中更显得格外重要。经历了快一个学期的高等数学学习对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。 Abstract:Higher mathematics is an important basic engineering inside the university. The more I learn in automation specialty in very important. Experienced higher mathematics almost a semester has certain understanding at the same time on the course, in the learning process encountered problems and confusion, so to every kind of, in the study of the difficulties and strive in the future how to better, continuously improve the ability of learning this course are summarized, in the hope that time can make progress. 关键词：高等数学、总结方法、极限 一：对高中数学的回顾 高中学习数学我经历过两个数学老师。先说说第一个数学老师吧，这是一个年轻的小伙老师，他以前是教初中的后来通过考试，升就教了高中，我们是他教的第一届的高中学生。对于这个我第一个高中数学老师我认为他和第二个老师最大的区别就是他上课从来不用ppt，他喜欢写板书，所以每节课后我们都记下满满几页的笔记。这样的教学方式单单就我来说我是不能适应的，因为我喜欢上课跟 高等数学在实际生活中的应用 在学习高数之前，总是听学长、学姐提起，高数十分难学，我对高数的印象一直都是：高数是一门特别难、特别高深的学科。但在学习了高等数学之后，我发现了数学的美，同时我发现在实际生活中也时常可以看高数的身影。 高等数学在实际生活中的应用十分广泛，而且也特别有趣。我就简单的举几个生活中常见的，我所发现的高等数学在生活中的运用的例子分析一下。 首先，我发现在支付宝当中，有一个小功能，叫做蚂蚁森林，这个功能是模拟出了一颗树苗，当人们在生活中做出了一些绿色、低碳的行为时，对用户发放绿色能量进行奖励，当用户的绿色能量积累到一定的值时，支付宝模拟出的小树苗就会长成一颗大树，用户可以通过兑换，将这颗模拟出来的小树（电子数据）兑换成为一颗真实的、种植在沙漠里的树木，现在可以兑换的树木类型越来越丰富了，有梭梭树、沙柳、樟子松、胡杨树等一些树苗。 这个时候我就发现，不同的地区的树苗不尽相同，而且，肯定不同的树木类型各自的水土保持能力也不尽相同，因此，在什么地区选择什么样的树木类型、分别种植在哪里，可以起到最好的水土保持功能以及，每平方米需要种植几颗树苗，我相信，这些问题都离不开高等数学进行周密的计算。 首先，我们需要认真计算防护林需要种植多大面积、到底种植在哪里可以起到最佳的水土保持作用，我们需要了解到风沙的源地与我 们需要保护的地区的距离，同时量化考虑风沙的强度，将不同的树苗类型的水土保持力以及他们的防风沙能力量化考虑。我们所了解到的资料很少，因此只能做一下简单的模型的建立，以及一些较为简单的分析。当然，这只是我的个人想法，很不成熟，也很可能有错误。我是这样考虑的，比如：我们设距离风沙源地越远，风沙程度越弱，当风沙强度吹到我们所居住的地区时即为0，风沙的总强度为F，风沙源地与我们所居住地区的距离为f。因此可以得出结论，距离风沙源地越远，所需要的防护林面积就越小，设防护林种植地与风沙源地之间的距离为x，设所需要的防护林面积为y，同时将不同的树苗类型的水土保持能力量化：当种植了梭梭树之后，其每平米的水土保持力即可以阻挡的风沙的程度为a，沙柳为b，樟子松为c，胡杨树则为d。这时我们可以相应的依据量化关系列出一个方程式来：y=（F - F/f*x）/a（其中的a是指当所种的防护林是梭梭树时的方程式，相应的，当我们分析的是其他的树木，沙柳、樟子松以及胡杨树等，我们则可以将a替换为b、c以及d）。 根据上述所列的方程式，当我们了解了各种类型的树木的水土保持能力以及他们的防风沙的能力时，我们可以代入上述的方程式中进行计算，计算当距离风沙源地的距离不同时，所需要种植的防护林的面积也不尽相同。同时，我们可以分析得出，当x趋于无限小或者无穷大时，即防护林的种植地距离风沙源地极近或者极远时，这个方程式就转换为了一个极限问题的研究。 如果我们可以再多收集一些资料，具体了解到风沙强度与距离远 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/8a7717706.html, 应用型高校高等数学案例式教学探讨 作者：赵瑞环左立娟李娟飞 来源：《理科爱好者(教育教学版)》2019年第02期 【摘要】在高等数学的教学中开展案例教学是应用型高校培养学生应用能力和提高教学 质量的有效方法之一。本文探讨了案例式教学应用的意义、特点，实施案例教学的过程及相关示例，并指出在案例教学中还需要进一步深入研究的三个关键问题。 【关键词】高等数学；案例式教学；实践；关键问题 【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0011-02 高等数学是工科院校的一门基础学科，它直接影响到许多其他课程的课程建设和学生素质的培养。数学定理、概念比较抽象，学生都认为它枯燥无用。传统高等数学的教学模式是“满堂灌”，学生往往处于被动接受知识的状态，给学生一种抽象、深奥的感觉，觉得学与不学都一样。应用型高校是以培养应用型人才为目标的，传统的教学方式已然落后。应用型人才培养目标要求在教学中加强培养学生对知识的综合应用能力，注重数学与其它学科之间的联系[1]。学习数学的目的是为了学以致用，必须培养学生利用理论知识解决实际问题的能力。因此，在应用型高校的高等数学教学中穿插专业案例或实际案例是迫切需要的，这样可以使学生更加明确学习目的，发挥自主性，提高知识的趣味性，激发学生不断思考、提出问题，分析和解决问题的能力。 案例教学法是1870年由哈佛大学法学院院长首创，在工商管理等学科的教学中取得了巨大的成功[2]。案例教学其实就是一种过程和实践教学，教师根据教学目的选用典型性、启发 性的案例作为教学材料，把学生引入一个特定情境中，通过师生之间双向和学生之间多向互动讨论，让学生了解与教学主题相关的概念或理论。传统的课堂是着重于理论知识的传授，案例教学则侧重于培养学生通过分析、归纳出解决问题的思路和方法，把重视知识转化为重视能力，同时又实现了师生的双向交流。这种教学方式对教师和学生的要求都高，学生从被动的听讲者转变为积极的参与者。虽然一开始学生的学习效率可能有所降低，但是学生的学习兴趣和对所学知识的理解和掌握程度会有明显的提高[3]。 案例教学于1980年引入我国后，已经在我国高校的管理、法律等专业的教学中得到了普遍程度的应用。但是，案例教学在高等数学教学中的应用还处于起步阶段。从目前收集到的资料来看，尽管许多数学教师已经认识到了案例教学的价值，但是发表的论文都是在说明案例教学对高等数学教学的必要性上，真正的教学案例确实还是不够专业和通俗易懂。 在高等数学中应用案例教学，就必须了解案例教学的特点：案例教学的实践性是由案例的真实性决定的，学生根据所学的知识在教师的指导下解决问题，实际上是学生对自己真实生活 高等数学实验报告 实验人员：院（系）化学化工学院 学号19013302 姓名 黄天宇 实验地点：计算机中心机房 实验七：空间曲线与曲面的绘制 一、 实验目的 1、利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空 间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。 2、学会用Mathematica 绘制空间立体图形。 二、实验题目 利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形： (1) x y x y x z =+--=2 222,1及xOy 平面； (2) 01,=-+=y x xy z 及.0=z 三、实验原理 空间曲面的绘制 作参数方程],[],,[,),(),() ,(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈? ?? ??===所确定的曲面图形的 Mathematica 命令为： ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax}, {v,vmin,vmax},选项] 四、程序设计及运行 (1) (2) 六、结果的讨论和分析 1、通过参数方程的方法做出的图形，可以比较完整的显示出空 间中的曲面和立体图形。 2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观察。 3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的立体图形是球面和圆柱面所围成的立体空间。 4、从(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是xy z =，下底面的方程是z=0，右边的平面是01=-+y x 。 实验八 无穷级数与函数逼近 一、 实验目的 (1) 用Mathematica 显示级数部分和的变化趋势； (2) 展示Fourier 级数对周期函数的逼近情况; (3) 学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。 二、实验题目 （1）、观察级数 ∑ ∞ =1 ! n n n n 的部分和序列的变化趋势，并求和。 （2）、改变例2中m 及x 0的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数逼近函数的情况 （3）、观察函数? ? ?<≤<≤--=ππx x x x f 0,10 ,)(展成的Fourier 级数 《高等数学》 期末课程总结 姓名：张桂花 班级： 12级采矿01班 系别：环境与城市建设学院 高等数学论文 摘要： 经过一个学期的学习，对于高数我又有了一个更深的了解，大一上学期主要是了解高数一些最基本的东西，等到了下学期，主要是对上学期所学知识进行一定的延伸和拓展，在原有学习的基础上更深入的了解其精髓，对于我们更深刻的掌握高数这门学科有很大的好处。这一学期里我们重点学习了高数中的导数、微分和积分的扩充，即从对一元函数的求导到对多元函数的求导，求偏导和求全微分，从一重积分扩充到二重积分和三重积分，但是之前的一重积分主要是运算，但是重积分则更加注重在其运用上，积分也从之前的对某一个区域积分延伸到对曲线积分和曲面积分上。另外，这学期也新引入了无穷级数和微分方程。经过一学期的学习，我认识到了数学里一些更加新奇的东西，以前我们都很难计算的无穷数列在无穷级数的学习后得以解决了，而且还可以将一些难以求解的级数通过转化和变形成为我们熟悉的级数形式然后进行求解，这让我想到了我们生活中的很多东西都是这样的，当我们遇到困难不能解决的时候，我们就要习惯产生联想，将这种问题想方法转化为我们熟悉的能解决的东西在进行处理，这些都是我们的高数在不知不觉中一直告诉我们的真谛。数学也训练我们的逻辑思维能力，它在一方面让 我们大胆的去假设，另一方面又需要我们去小心的求证，只有我们证明确实成立的东西我们才能进一步的运用，但是不得不让人佩服的就是数学的逻辑性，同时它也在训练者我们，只有我们在每一个数学环节都严谨的去学习去证明去求解，我们的结果才会正确。 关键词：导数，微分，重积分，级数。 正文： 高等数学下册主要是围绕导数、微分、积分、无穷级数展开的。 首先，第七章主要是函数的微分，上学期我们学习的是一元函数积分，但是实际问题中，往往涉及多个因素之间的关系，反映到数学上就是表现为一个变量依赖于多个变量的情形，从而产生了多元函数的概念，这在高等数学里占据了主要的位置，这一章主要介绍了多元函数的求导、求极值。隐函数的微分方法，还介绍了方向导数、梯度等新概念，还将多元函数的微分应用在几何上，和以前所学的内容很好的结合起来了，为我们提供了更多的解题方法和更灵活的解题思路，对于我们整体的掌握好高数的精华很重要。在这一章节中我们需要重点掌握的有以下几点：1、二重极限的概念，2、可导（导数的定义），3、可微的定义。首先我们要清楚二重极限的概念，需要注意的就是定义里的定点如p0(x0,y0),这里的点p(x,y)是按照任意方式趋近于p0的。还要注意它和二次极限的区别，二次极限 是对一个函数f(x,y)先后分别对x →x0,y →y0求极限A y x f y x y x =→),(lim ) 0,0(),(而二重极限则是对函数f(x,y)当x →x0且y →y0时求极限A y x f y y x x =→→),(lim lim 0 0。求是否存在二重极限时可以用取线路的方法，若取不同的线路求得的二重极限的结果一致则存在，否则就不存在。对于可微，我们要掌握多元函数的全微分的求导，重点注意可微，可导，连续之间的关系。还有就是要知复合函数的微分法，隐函数的微分 20113564 胡骐薪工商1112 微分方程的基本应用 微分方程是数学的重要分支, 用微分方程来刻画许多自然科学、经济科学甚至社会科学领域中的一些规律,这是微分方程应用的重要领域,也是其发展的动力.在这里我重点介绍了几个利用微分方程常来解决的问题的例子,从中我们可以了解到微分方程用的广泛性以及解决具体问题时常采用的一般步骤. 微分方程是与微积分一起形成发展起来的重要数学分支,已有悠久的历史,早在17~18世纪,牛顿、莱布尼兹、贝努里和拉格朗日等人在研究力学和几何学中就提出了微分方程【1,2】.随着科学的发展,它在力学、电学、天文学和其他数学物理领域内的应用不断获得成功,有力地推动了这些学科的发展,已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力工具.如今,微分方程仍继续保持着进一步发展的活力,其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中,许多实际问题可以通过建立微分方程模型得以解决. 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的. 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律. 随着微分方程的理论的逐步完善，只要列出相应的微分方程并找到解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的数学分支. 事实上，大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解. 当然，这个近似解的精确程度是比较高的. 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等. 这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题. 应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就. 解常微分方程大致有分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等，其中，积分因子法尤为重要，本论文主要讨论积分因子存在条件及其解法，通过积分因子使常微分方程化为全微分方程形式来求解. 微分方程在科学技术和实际生活中都有着广泛的应用。应用微分方程解决实际问题,其实就是建立微分方程数学模型,通过建立微分方程、确定定解条件、求解及对解的分析可以揭示许多自然界和科学技术中的规律.应用微分方程解决具体问题的主要步骤: (1)分析问题,将实际问题抽象,设出未知函数，建立微分方程,并给出合理的定解条件; (2)求解微分方程的通解及满足定解条件的特解,或由方程讨论解的性质; (3)由所求得的解或解的性质,回到实际问题,解释该实际问题,得出客观规律. 微分方程的应用举例 几何问题 1.等角轨线 我们来求这样的曲线或曲线族,使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线轨线已知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时,等角轨线就轨线正交轨线.等角轨线在很多学科（如天文,气象等）中都有应用.下面 高等数学知识在生物化学工程中的应用举例 高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程，数学方法为生物化学的深入研究发展提供了强有力的工具。下面仅举一些用高等数学基础知识解决生物化学工程中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。 例1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用 化工生产过程中常于密闭管道内输送液体，使液体流动的主要因素有（1）流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）输送机械向流体外作的外功。 流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。 定态流动时液体的机械能衡量式为 ∑?-=+?+ ?f e p p h W v d p u z g 212 2 （1） 该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体，（1）式中?2 p p vdp 项应视过程性质（等温、绝热或多变过程）按热力学原则处理，对不可压缩液体，其比容v 或者密度ρ为常数，故ρ ρ ρp p p dp vdp p p p p ?= -= = ??2 12 2 1 ，代入（1）式有： ∑-=?+?+?f e h W p u z g ρ 22 或 ∑+++=+++f e h p u gz W p u gz ρ ρ22 22121122 （2） （2）式称为柏努利方程式。 需要注明的是，22u 为动能，gz 为位能，ρ p 为静态能，e W 为有效能，∑f h 为能量损耗，z ?为高度差。 例2 混合气体粘度的计算 常温下混合气体的计算式为 ∑∑=== n i i i n i i i i m M y M y 1 211 21μμ （3） 其中m μ为常温下混合气体的粘合度（Pa.s ）；i y 为纯组分i 的摩尔分率；i μ为混合气体的温度下，纯组分i 的粘度（Pa.s ）；i M 为组分i 的分子量（Kg/kmol ）。 例如：空气组分约为01.0,78.0,21.022Ar N O （均为体积积分率），试利用 Ar N O ,,22的粘度数量，计算常温下C 020时空气的粘度？ 解：常温下空气可视为理想气体，故各组分的体积积分率等于摩尔分率， Ar N O ,,22的分子量分别为32，28及39.9，经查表知道常温下C 020时各组分的粘度为 s Pa Ar s Pa N s Pa O ??????---55252 1009.2107.11003.2 代入（3）式计算空气的粘度，即 s Pa M y M y n i i i n i i i i m ??=?+?+????+???+???= = ----==∑∑52 12 12 12 15 2 152 151 211 21 1078.19 .3901.02878.03221.09 .391009.201.028107.178.0321003.221.0μμ 例3. 在细胞生长计算中的应用 随着细胞的生成繁殖，培养基中的营养物质被消耗，一些有害的代谢产物在培养液中累积起来，细胞的生长速度开始下降，最终细胞浓度不再增加，进入静止期，在静止期细胞的浓度达到最大值。 如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的，可以通过以下的分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为A ，其浓度为a ， 高等数学数学实验报告 实验人员：院（系） __ __学号____姓名_ __ 实验地点：计算机中心机房 实验一 空间曲线与曲面的绘制 一、实验题目：（实验习题1-2） 利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形： (1) x y x y x z =+--=2222,1及xOy 平面； (2) 01,=-+=y x xy z 及.0=z 二、实验目的和意义 1、利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。 2、学会用Mathematica 绘制空间立体图形。 三、程序设计 空间曲面的绘制 作参数方程] ,[],,[,),(),(),(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈?????===所确定的曲面图形的Mathematica 命令为： ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax}, {v,vmin,vmax},选项] (1) (2) 四、程序运行结果 (1) （2） 五、结果的讨论和分析 1、通过参数方程的方法做出的图形，可以比较完整的显示出空间中的曲面和立体图形。 2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观察。 3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的立体图形是球面和圆柱面所围成的立体空间。 4、从(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是xy z =，下底面的方程是z=0，右边的平面是01=-+y x 。 实验一 空间曲线与曲面的绘制 一、实验题目：（实验习题1-3） 观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。 二、实验目的和意义 1. 学会利用Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特 高数论文 很快，这个学期已经接近尾声了，我们对高数下册的学习也结束了。就对这门课的学习，有一些心得体会，以及对高等数学下册知识点的整理，做了如下总结。 I、心得体会高数下册比上册的难度、计算量都要大。比如三重 积分，计算时，不仅需要知道基本的公式，然后根据表达式 选择合适的坐标系；还要注意灵活变换，例如对于二重积分 注意有时需要把X-型区域换成Y-型区域来计算；总之算好一 道题需要基础+技巧+细心+耐心！而且有好多三维空间立体 的图形，需要对各种常见的表达式的图形非常熟悉，以及很 好的空间思维能力，而且画好立体图形是做好题的前提！以 及多重积分、级数等都是比较难以理解的知识点。因此本课 程学习起来也我感觉比较吃力。在学习高数的时候，我们应 该注重学习方法的选择，只有掌握好了学习方法，才能将这 门课学好。就像切西瓜一样，首先要找好下刀的方位，才能 将西瓜切正。学习高数这门课的时候，我们首先应该了解高 数这门课的性质，对数学来说，结构无处不在，结构是由许 多节点和联线绘成的稳定系统。数学中最基本的就是概念结 构，它们之间的联系组成了知识网络的结构，剖析高等数学 的知识结构，有助于加深对高等数学的理解。高数以极限思 想为灵魂，以微积分为核心，包括级数在内，它们都是从量 的方面研究事物运动变化的数学方法，本质上是几种不同性 质的极限问题。因此，我们在学习这些内容的时候应该掌握 它们之间的联系，这样我们在学习的时候就可以做到事半功 倍的效果。学习高数是一个漫长的过程，学习最重要的就是 不放弃，不能因为在学习高数课程的时候遇到了一点麻烦就 放弃，那样是不可能学好的，我们要相信：“坚持就是胜利！”II、对本课程主要知识点和知识体系进行下总结。⒈向量代数与空间解析几何向量是一种重要的数学工具，中学阶段也学了 不少向量的知识，在本课程里，我们进一步学习了向量的方 向余弦、向量积、混合积等概念；然后介绍了空间曲面的概 念以及常见的集中空间曲面，例如旋转曲面、柱面、二次曲 面；这些只是与后面的多元函数的几何应用有着很大的联系！ 而且对后面的曲面积分的计算有着很大的帮助！因此掌握常 见的曲面的表达式以及其图形的画法十分重要！空间解析几 何是用代数的方法研究空间图形的性质。本章主要把中学的 二维曲线推广到空间三维坐标中间去，介绍了空间曲线的方 程，接着以向量为工具，研究了空间与直线之间的一些关系。 向量是一种重要的数学工具，是近代数学的基本概念之一， 在中学阶段，我们已经学习过如何利用向量来解决一些简单 的几何问题，本章在中学阶段学习的基础上，以向量为工具 研究空间曲面和空间曲线，介绍空间解析几何的基本内容， 是学习多元函数微分学和积分学的基础。本章中，主要的学 习方向就是解决空间几何体的相关问题，例如，求解空间几高等数学应用案例讲解
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