练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i
a 展开的（6.1）式中，证明若ψ
是归一化的，则
1=∑*i
i
i c
c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟）
证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式
∑=i
i i
c a
ψ, ψi i a c =
可得
1===∑∑*
ψψψψ
i i
i i i
i a a c c
即A 取各值的概率是归一化的。 #
练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.
(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）
(1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则
()t E i i i i t η
-=ψ
所以
i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η
η
ψψ.
即所有物理量的平均值不随时间变化.
(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如
()()()t E i t E i e
x v e
x u t x 21,η
η
--+=ψ
当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #
6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：
)
(]),([)()](,[X f X i P X f P f P
i P f X ??
=??
=ηη
（解答：陈玉辉 核对：项朋）
证明：（1）
)
()()()()()()()()](,[P f P
i P i P f P i P f P f P i P
i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??
-??=-=ηηηηηη
ψψ
ψψψψψ
ψψ
所以 )()](,[P f P
i P f X ??
=η
（2）
)
()
()())(())(()()())(()()(]),([X f X
i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=??
--??--??-=??
--??-=-=ηηηηηηψψψψψ
ψψ
ψψ
所以 )(]),([X f X
i P X f ??
=η
#
练习6.4 下面公式是否正确？（解答：陈玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P
i P X f X ??
=η 解：不正确。
因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 #
练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L,
（3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22
2
2
证明： （1）∑∑∑∑===
?ijk
k j i ijk k j jk
ijk
i
i
i
i
i P X P P X P L P εε
L P
由于??
?
??=-==其他情况,,,,,,,032121313213122311231ijk ijk ijk
ε且k j i P X P ，，是相互对易的，
所以0＝∑=
?ijk
k j i ijk
P X P ε
L P
∑∑∑∑===?ijk
k j i ijk k j jk
ijk i
i i
i i P X X P X X L X εεL X ，同上面的过程可以得到
0=?L X
（2）先计算：
[][]l l k j jk
ijk l jk
l
l l k j ijk i P X P X P X P X L ,,P X ,∑∑∑∑=??
???
?=?εε
由于[]
ij j i i P X δη=,。将上式展开可以得到：[]0=?P X ,i L ，再利用相同的道理可以推出：
[]0=?P X L,
（3）证明：
23
23
22
23
21
23
23
22
22
22
21
22
23
21
22
21
21
2
1
2
3222123222122p x p x p x p x p x p x p x p x p x p p p x x x P X ++++++++=++++=)
)((ρρ
)
())((3
2332233113333222
2221122331122111211x p x x p p x x p p x x p p x x p x x p p x x p p x x p p x x p x X P P X ++++++++=ρ
ρρρ
)(33221122p x p x p x i P X i ++=ηρ
ρη 1
21221121221212131311331311313132
3233223233232322
p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x L +--++--++--=ρ
利用公式ij j i i p x δη=],[
23322113322113322112323323322222222212112113
322113
2
3322221211232322222121222=+++---=+++-+-+-=++++++---=++-)()
()()()(())((p x p x p x i p x i p x i p x i p x p x p x i p x x p x p x x p x p x x p x p x p x p x i x p x x p x x p x p x p x p x P
X i X P P X P X L ηηηηηηρρηρρρρρρρ
即得证！
#
6.6 试仿照w p x )(3的计算方法，计算w xp )(和w p x )(2
2。（高召习）
解：由Weyle 规则，将物理量的经典式A(x ，p)写成ηξ和为变量的傅里叶积分
ηηξξηξd e a A(x,p)p
i x i +∞
∞
-∞
∞
-??=
),(d （1）
将积分中指数上的x 和p 改为对应的算符X 和P 。所得结果即为与A(x ，p)对应的算符
式A （X ，P ）
ηηξξηξd e a d A(X,P)P i X i ??∞
∞
-+∞
∞
-=),( （2）
首先计算（1）式中A(x ，p)的傅里叶变换),(ηξA ,取A(x ，p)为m
n p x ，则有
dp e p x A dx a p
i x i ??∞∞
-∞
∞
---=
ηξπηξ),()(),(2
21 （3） 对于m
n
p x 有
)()()()
(),(ηδηξδξηξππηξηξηξm
n
p
i m
x i n
p i x i m n i i dxdp e i e i dxdp e p x a ???
? ???????? ????=???? ???????? ????==
----????22
21
21 (4) 对于xp ，n=1,m=1,将此式代入（2）得
)()()()()()()()()(),(PX XP i XP d i x XP e d P e i d d e e e i i d d e i i xp P X x i x i i p i x i p
i x i w +=-=??? ?
?
-+=????
??--???? ????=???
? ???????
? ????=???
? ???????? ????==??????+2
1
21
212121A 2
1
η
ηηηηξ
ξξδξξξξδηξηδηξ
δξηξηδηξ
δξξξξηηξηξ
即)(2
1 =PX XP (xp)w +
对于2
2
p x ，n=2，m=2，将此式代入（2）得
)(])([)()()()()()(),(2222222
2
2
1
2
22
2
226
1
X P PXPX P PX X XP XPXP P X d d e e i e i d d e e e i i d d e i i p x P X A p i x i x i i p i x i p
i x i w +++++=???
? ???????? ????=???
? ???????
? ????=???
? ???????? ????==??????+ξηηηδξξδηξηδηξ
δξηξηδηξ
δξηξξξηηξηξη
即)()(2222222
2
6
1
X P PXPX P PX X XP XPXP P X p x w +++++= #
练习6.7 证明
)
(p x m n W
的一般公式：
)
2
1()()(=+??-=
ξξξηP i X p x m
n
W
m n
并利用此式计算
)
(p x m
n
W
。 （解答：田军龙 审核：邱鸿广）
证明：ηξηδξδηξηξd d m
n
e
i i p x P
i X i m
n
W
+??
????=)()()
()()(
ηξηδξδξηηξη
ξd d e
e e
i i i P
i X
i m
n η2
1
)()()
()(??????=
ξηηδξδξη
ηξηξ
d d
e e i e i
i P i m
X i n
m
n ??
??
??????=
??????-+)()()(21)()()
1(η ξξδξξξ
d P
e i m
X
i n
m
n ???
?????=--???-+)21()()1()(η ξξδξξξd X i i P e n m m n ???---????
?
?????=+)()()21()1(η
ξξδξξξd P e i m X i n n ?+??-????
??????
=)21()()1()(η 0
)
2
1()(=+??=ξξξξηP e i m
X
i n
)
2
1()(=+??-=
ξξξηP i X m
n
)
(8
1)(2
2
2
22
22
22
2
2
32
3
X
P
X X X
P P
X X X
P X P
X
PXPX PX P X
X P XP PXP W +++++
++
=
#
练习6.8 （梁端） 解：()
()
n n
B
n
PX P X p
x +=
2
1 因为： []0,=P X
所以： ()
P X p
x n B
n
=
欲求： ()
w
n
p
x 则：
()()
??
--=
dxdp pe x a p i x i n ηξπηξ2
21
, =
()dxdp e i e i p i x i n
ηξηξπ--???
? ???????? ??????2
21
=()()ηδηξδξ???
? ???????? ????i i n
所以： ()
()()()ηξηδηξδξηξd d e
i i P X p
x P
i X i n
w
n
+???
? ???????? ????=A =??, =()()ηξηδηξδξηξd d e e i i P i X i n
?
??
? ???????? ??????
=()()()ξηηηδξξδηξd d e i e i P i X i n
???????????? ????-??2
1 =()()[]
ξξξδξd e P i X
i n
-???
? ?????
因为： []0,=P X ()
()[]
P X P X n n p
x n n w
n
=++=
11
1
故： 在条件[]0,=P X 下
()()
w
n
B
n
p x p
x =
#
练习6.9 一般认为一个正确的对应关系应满足：经典量f 的算符对应的平方，应当与经典2
f 的对应相同。试以f xp =为例，说明Bohm 规则与Weyl 规则都不满足这个条件。 （解答：邱鸿广 审核：田军龙） 解：（1）Bohm 规则：
f xp =的对应算符为：)(2
1
)(x p p x xp B +=
此算符对应的平方为：
2)(4
1
+ （1） 经典量2f 的算符为)(2
1)(22222
2p x B += （2）
因为)2()1(≠所以Bohm 规则不满足提设这个条件。 （2）Weyl 规则：
f xp =的对应算符为：)(2
1
)(x p p x xp W +=
此算符对应的平方为：)(4
1)(41222
+++=+ （3）
经典量2
f 的算符为：)(6
1)(22222222p x W +++++= （4）
因为)4()3(≠所以Weyl 规则也不满足提设这个条件。 #
6.10 证明：[]0,=R L ?,01,=??
?
???R L ?,[]
0,=P L ?. （解答：项朋 审核：陈玉辉）
.
证明：① 先计算[]
2
,R L ?
[
][][]
[][
]
{}
2,,,,,22=??????
=+===∑∑∑∑ij j k k ijk i ij
j j i j i j i ij
j
j i i X X i e X X L X L X e X X L e X L R L εη??
?
???
再计算[]R L ,?，
[][][][]
R L R R R L R L R R L ,2,,,02?
???=+==
∴ [
]
R L ,?
=0
② [][]
01,1,1,1,1,0+??
?
???=+??????=??????==R L R R R
L R L R R R L L ????? ∴01,=??
?
???R L ? ③
[
][][]
[][
]
{}
2,,,,,22=??????
=+===∑∑∑∑ij k k ijk i ij
j j i j i j i ij
j
j i i P i e P P L P L P e P P L e P L P L εη??
?
???
[][][][]
P L P P P L P L P P L ,2,,,02????=+==
∴ []
0,=P L ?
.
#
6.11 用数学归纳法求[
]n
R P ,2和??
?
??
?n R P
1,
2
，Λ2,1,0=n （解答：项朋 审核：陈玉辉） 解: ① 由6.28式可知
[]
R R ni R
P n n ?η?2
,--= ∴
[][][][]()()
P R i R
ni P R R P R
ni P R P R P P R P R P n n n
n
n
n
??ηη?
???η?
????2,,,,2
2
2
2
+--=+-=+==--
下面用数学归纳法证明上式成立: 当0=n 时，显然成立
当1=n 时，由6.31式，上式成立
再由上式推出一个将n 改为n+1的同样公式；
[
][
][
]
()()()()[]
()()
P R i R i n P R i R i P R i R ni R R i R P i P R i R ni R R P R P R R P n n n n
n n n
n ?
?ηη??ηη??ηηη??η??ηη2122122,,,1111
2
21
2
+-+-=+--++--=???
??
?+-++--=+=----+ 说明了原式对n+1也成立，于是证明了上式的普遍成立。
② 由6.29式可知
R R ni R P n n ?η?211,+=??
?
??? ∴
()()η??η????η?
????i R P R ni P R R P R ni P R P R P P R P R P n n n n n n +=+=??
????+??????=??????=??????++2111,1,1,1,2222
下面用数学归纳法证明上式成立: 当0=n 时，显然成立
当1=n 时，由6.31式，上式成立
再由上式推出一个将n 改为n+1的同样公式；
()()()()
η??ηη??ηη??ηi R P R
i n R i R P R i i R P R ni R R P R P R R P n n n n n n ++=+++=??????+??????=??????+++21
1121211
1,1,11,3332212
说明了原式对n+1也成立，于是证明了上式的普遍成立。 #
6.12 证明：（1）P i P L L P ?
η????2=?+?
（2）()()22
L P P L L P =????
??? （梁端）
（1）证明：∑=?ijk
k j i ijk e L P L P ?
?
?ε
=∑∑ijk
lm
k m l i ijk e P R P ?
ε
=()∑∑-ik
lm
k m l i il km im kl e P R P ?
δδδδ
=()∑-ik
k k i i i k i e P R P P R P ?
=()[]∑-+ik
k k i i ik k i i e P R P i R P P ?
ηδ
=P i P R P R P ?η????+?-2
同理可证：
P i P R P R P P L ?η??????+?+-=?2
故：P i P L L P ?
η????2=?+?
（2）证明：由上题可知：()P i R P R P L P ?η?????-?-=?2
将各个量化为三维形式：
k p j p i p P z y x ??
??++=
2222z y x p p p P ++= 所以：
(
)i p i zp p yp p xp p x p x p x p L P x x z x y x x z y x ?
η??----++=?222
()j p i zp p yp p xp p y p y p y p y
y
z
y
y
y
x
z y x ?
η----+++2
22
()k p i zp p yp p xp p z p z p z p
z
z
z
z
y
z
x
z
y x
?
η----+++2
2
2
则有：
将上式进行点乘，经过整理得：
()()()()()()[]
22
22k yp xp j xp zp i zp yp
p p p
L P L P x y x x y z
z
y x
??
??
???-+-+-++=???
22L P =
故：此题得证
#
6.13
练习7.1 推导以下列个关系式
π
π
π
π
π
π
π
π
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
p
T
p
p
T
p
p
p
T
p
p
T
)
(
,
)
(
)
(
)
(
解：用位置X构造一个幺正算符)
(π
+
T
[])
exp(
)
(
)
(
)
exp(
)
(1X
i
T
T
X
i
Tπ
π
π
π
π
η
η
-
=
=
=-
+
+其伴算符为
)
(π
+
T与P的对易关系是：
[])(
)
(
),
(π
π
π
π+
+
+-
=
?
?
=T
T
X
i
P
Tη
即)
(
)
(
)
(π
π
π
π+
+
++
=T
P
T
PT
将此式作用到p上，得
p
T
p
p
T
p
P
T
p
PT)
(
)
(
)
(
)
(
)
(π
π
π
π
π
π+
+
+
++
=
+
=
则P的一个本征矢量p被算符)
(π
+
T作用后，可得出另一个本征矢量，其本征值为π
+
p
π
π+
=
+p
p
T)
(
由于)
(π
+
T的幺正性，π
+
p也是归一的。我们称)
(π
+
T为作用于动量本征矢量的上升算符；有上式的左矢形式
π
π+
=p
T
p)
(
可知，算符)
(π
T是左矢p的上升算符。
将)
(π
T作用于p，由于)
(
)
(π
π-
=+
T
T可得，
π
π
π
π
-
=
-
=
+p
T
p
p
p
T
)
(
)
(
可见算符)
(π
T是右矢p的下降算符，而算符)
(π
+
T是左矢p的下降算符。
#
7.2 若取p h
i e
Q ξ-+
=中的ξ为复数，能否得出X 的本征值为复数的结论？
（韩丽芳 候书进 审） 解：若ξ为复数，令ξ=a+?b 则
由
[]
x
Q X Q XQ Q Q p
i Q X +++++
++==??=)()()()()()
(,,ξξξξξξξξη
得x Q x x Q x X Q x XQ +
++++=+=)()()()()(ξξξξξξ
因为ξ为复数，+)(ξQ 不再是幺正算符，现将x Q +
)(ξ归一化得其归一化矢量为x e
ap i
η
-，其
本征值为x+ξ① 同理x e
x a x ae
x X e
x Xe
ap i ap i ap i ap i
η
η
η
η
----+=+=)(
即此时本征值为x+a ②
①②,结论矛盾，所以ξ不能是复数，即X 的本征值不可以是复数
7.3 证明：()()p p p
i p p p i X p p -'??
-=-''??='ηη
δ式成立。 （做题人：杨涛 审题人：吴汉成）
证明：
令00==x x 表示算符X
的本征值为零的本征矢量，00==p p 表示算符P 的本征值为零的本征矢量。
.
(
)
(
)
()
()
(
)
()
()
()
()
()p
p
p
i
p
p
p
i
p
p
p
i
xdx
e
dx
x d
e
x
x
x
e
p
x
dx
x
X
x
x d
x
p
p
X
p
X
e
e
x
p
x
x
dp
e
dp
e
e
dp
x
p
p
x
x
x
x
x
e
e
e
p
T
e
p
e
e
p
x
Q
p
x
p
p
p
i
xp
i
p
x
i
p
p
xp
i
x
p
xp
i
x
p
x
p
x
x
p
i
x
p
p
x
i
x
p
xp
i
x
p
xp
i
x
pX
i
p
xp
i
x
p
xp
i
x
xp
i
x
xP
i
x
-'
?
?
-
=
-'
'
?
?
=
?
-'
??
?
?
?
?
'
?
?
=
=
'
-'
=
'
'
'
'
=
'
=
=
=
∴
=
∴
'
-
=
=
=
'
?
=
'
=
'
-
=
=
=
=
=
=
?
??
??
?
?
-'
-
''
-
'
-
-
-'
-
'
-
-
-
-
-
-
-
+
δ
δ
π
δ
π
π
δ
π
π
π
δ
π
δ
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
证毕
7.4证明以下两个左矢关系成立：（做题人：杨涛审题人：吴汉成）
x
x
i
P
x
x
x
X
x
?
?
-
=
=
η
证明：在X
x式中右乘x
则()x x x x x x x X x '-='=δ 在x x 式中右乘x
则()x
x X x x x x x X x x x x x x x =∴'=∴'-='δ
证毕
在P x 右乘x 则()x x x
i x P x '-??
-='δη 在x x i ??-η
右乘x x x
i x '??-?'η
x
x
i P x x x x
i x P x ??
-=∴'??
-='∴ηη
证毕
练习7.5 试讨论动量表象的函数形式。（吴汉成 完成， 董延旭 核对） 解：讨论关系式：?=?ψ?||X ，从矩阵形式出发则有：
??=??==ψ???|||)(X p p p p --------------（1）
而本征值矢量组{
}?'
|p 是完全的，即：1|'''=????+∞
∞
-p p dp ，并代入（1）式得：
????=?+∞
∞-ψ?|||)('''p p X p dp p
又Θ ),(||''''p p p
i X p X p pp -??-==??δη
??=ψψ|'
'p p ，并代入上式得：')([)('''p p p p
i dp p ψδ?-??
-=
?
+∞
∞
-η
--------（2） 并对该式进行分部积分：
'
''
'])[(|)()(''
'
dp p i p p p p i p p
p p p ψδψδ???-+--=?+∞=-∞=η
η )(p p
i p i p ψψ??
=??=ηη
上式可写成如下形式：
)(?)(p X
p ψ?=，其中算符p
i X ??=η?，此关系式便是动量表象的函数形式。
练习7.6 证明描写同一状态ψ的位置表象波函数)(x ψ与动量表象波函数)
(p ψ之间满足傅里叶变换：
dp e p x xp i
?=
η
η
)(21
)(ψπψ
dx e x p xp i
?-=η
η
)(21)(ψπψ （吴汉成 完成， 董延旭 核对） （1）
证明：已知px i
e p x ηηπ21
|=
??，显然得： ?
=
dp e p xp i
η
η)(21ψπ右边 dp e p px i
)21()(ηη
πψ?=
dp p x p ??=?|)(ψ
又有，??==ψψψ|)(p p p ，并代入上式得： 右边=?????dp p x p ||ψ dp x p p **)|()|(????=?ψ
**
)|(|)
(|????=?x dp p p ψ --------（1）
又
Θ 本征值矢量组{}?p |的完全性，即：1||=???dp p p
∴ 1)||(|)(|*
*
=??=????dp p p dp p p ，并代入（1）式得：
右边)(|)|(*x x x x ψψψψ==??=??=
显然证得：
dp e
p x xp i
η
η
?=
)(21)(ψπψ
（1）
证明：已知px i
e p x η
η
π21|=
??，则有： px i
e p x x p ηη
-=
??=??π21
||*
显然得：右边=
dx e x xp i
η
η
-?)(21
ψπ
dx e x px i )21(
)(η
η
-?=πψ
???=dx x p x |)(ψ 又有??==ψψψ|)(x x x ，并代入上式得： ?????=dx x p x ||ψ右边 dx p x x **)|()|(????=?ψ
**)|(|)(|p dx x x ψ???=? ------------------（2）
又
Θ 本征值矢量组{}?x |的完全性，即：?=??1||dx x x ∴ 1)||(|)(|*
*
=??=????dx x x dx x x ，并代入(2)式得：
)(|)|(*p p p p ψψψψ==??=??=右边 显然证得： dx e p p xp i
η
η
-
?=
)(21
)(ψπψ
7.7 在三维的位置表象或动量表象中，重新证明()28.6、()29.6和()31.6各式，即
r
R i R P ??,?ρηρ-=??????，
3?1,?r R i r P ρηρ=??
?
??? r i R P i R P 1??2?,?2??? ??+?-=??????ηρρηρ， 321??21,?r R P i r P ρρη?=??
???? （王俊美） 证明 在三维的位置表象中：
利用
()[]
()
X f i X f P ρ
ηρρ?-=,
证明以下各式得:
()r
R ?i R ?,P ?r R ?i R ?i R
?,P ?1ρη
ρρηηρΘ-=??????∴???? ??-=?-=??
????
()3
3?1,??11,?2r R i r P r R i r i r P ρηρρηηρΘ=??
?
???∴??
?? ??--=?-=???
???
()r i R P i R P i R P i i R P r i r R i R r R P i R P i P R r R i r i r P P
R r i r P R r R P i P r R i r R i P P R P R P P R P P
P 1??2?,???2??1??1???,??
,?,?11???11??1????????,??,???,???32323222??? ??+?-=??????∴??? ??+?-=??? ??+???? ??-+???????
????? ??+??? ?
??-=??????∴=??????=??-=????? ??-+????????? ???+??? ?
??-=???? ??-+???? ??-=??
????+??????=??????∴=ηρρηρηρρηηρρηρηρρρηρρη
ρρρηηρΘρρηρρρρηρρηρηρρρρρρρρρρΘ又 ()3
23
33221
??21,?1??2P ?
?i ?i P ?P
?1i -1i -P ??1,?1,?P ?1,?1,?4r R P i r P r
R P i r R r R r r P
r P r P r P r P ρρηρρηρρηρηρρηηρρρρρρΘ?=?????
?∴?=???? ??+???? ??=??? ???+??? ?
??=??
????+??????=??????=??????
7.8同上题，重新证明（6.28）和（ 6.30）二式，（做题人：陈捷狮，审查人：刘强）
P
P ni R P R R ni R P n n n n ???,?,???,?22?η??ηρ---=??
????-=?????? 证明：（1）由于
R R i R P R R i R P R i X X P X P X e X X P e X P R P j j i j i j ij i j j i ij i ??6?,???4?,??2??,??,????,??,??,?462422?ηρ?ηρ?ηρρρρρ-=??
????-=??????-=?
???????????+??????=??????=??????=??????∑∑
由此猜想R R
ni R P n n ???,?2?ηρ--=??
???? 用数学归纳法：当n=0,1,2,时已知上式成立。假设n=n 时上式成立，则在n=n+1时有
R R i n R R P R P R R R P R P n n n n n ??)1(??,??,????,??,?2)1(1ρηρρρρ-+++-=??
????+??????=??????=??????
则当原式成立，则当n=n+1时原式也成立。所以R R ni R P n n ???,?2?ηρ--=??
????成立 （2）由于
P P i R P P P i R P P
i P X P X P P e X P P e X P R P i j i j i I ij i j i i ij i ??6?,???4?,??2??,??,???,???,??,?462422ρηρρηρρηρρρρρρ-=??
????-=??????-=?
???????????+??????=??????=??????=??????∑∑
由此猜想P
P ni R P
n n
???
,?2
?η?--=??
???
?
用数学归纳法：当n=0,1,2,时已知上式成立。假设n=n 时上式成立，则在n=n+1时有
P P i n P R P R P P R P P R P n n n n n ??)1(??,??,???,???,?2)1(1?ηρρρρ-+++-=??
????+??????=??????=??????
则当原式成立，则当n=n+1时原式也成立。所以P P ni R P n n ???,?2?η?--=??
????成立
7.9证明：（做题人：陈捷狮，审查人：刘强）
r r r P r
r
i P R ??=??
??????-=?22
221,?,??ηη?? 证明：在三维的位置表象中，定义任意一个态函数()Z Y X ,,ψψ=
k
Z j Y i X e X n r R i i
i ρρρρ
ρρ++===∑
???? ?
???+
??+??-=??-=???-=∑k Z j Y i X i e X i n r i P i i i ρρρηρηρηρ)(?
2
22Z Y X R r ++==ρ
（1）由于r
R i P R R P R P ??????,?ρηρρρρρρ-=-=??????
则有：r r
i i r r i i r R i r R i r R i R P P R ??-=+??--=+??-=???
? ??+=????????ηηηηρηρηρηρρρρ??????? （2）由于321??21,?r R P i r P ρρη?=??
????
其中：???
?r R R r
i R P =??-=?
?
??ρρηρρ
带入上式有：????323212?21??21,?r r r R r i i r R P i r P ??=??? ????-=?=??????η
ρηηρρη 所以：r r r r r P ??=??=?????
?222
222121,?ηη
练习 7.10 在x 表象的函数形式中，态函数)(x ψ与)(x ?有下列关系：
)(?)(x A
x ψ?= 另有一算符K ?，具有离散的本征值i k ，本征函数为)(x u i ，即)()(?x u k x u K i
i i =，试用函数形式语言，直接给出上式的K 表象矩阵形式。
（解题人：胡项英 校对人：宁红新）
解：K 表象的本征函数)(x u i 构成K 表象的一组基矢，任意状态可按照这组基矢展开，如：
i i i
x u x ??)()(∑= i i i
x u x ψψ)()(∑=
所以 i i
ij i A ψ?∑=? 其中
j i ij k A k A ??= #
练习7.11 （做题人：韩丽芳）
试通过下面的实例，说明算符的厄米性与内积的定义有关。设有一函数空间，其中函数()x ψ和()x ?等满足束缚态的边界条件，即()0=∞±ψ。证明：若内积的定义不用（7.40）式而改用
()()x x x x d 2ψ?ψ??*=
则算符x
??
-η
i 不再是厄米的，试求出在此情况下此算符的厄米共轭。 证明：若内积定义为
()()x x x x d 2ψ?ψ??*=
则厄米算符的定义可改为
()()()()
()x x x x F x x x F x d ?d ?22ψ?ψ?**?
?= 算符x
P x
??-=ηi ?，且()0=∞±ψ 则 ()()()()x x x x x x x x P x x d i d ?2
2ψ?ψ???
? ??
??-=?
?**η
()()()()()()()()()()()()()??
???*
*
*
***+∞
∞-*
??
?
?????-≠?
?
??????? ????+-=????????? ??
??+-=???
?????+=+-=x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x d i d 2i d 2i d 2i d i i 22222
2ψ?ψ??ψ??ψ?ψψ?
ηηηηηη
即
()()()()??*
*
??
??????-≠??? ????-x x x x x x x x x d i d i 2
2ψ?ψ?ηη 由厄米算符的定义，则算符x
??
-η
i 不再是厄米的。 由()[]
()()()x x A x x x x A d ?d ?ψ?ψ?**+?
?=得 ??
?
????+-=??? ????-+
x x i x 2i ηη
#
8.7 证明：
)??(???)??)(??(B A i B A B A ρρρρρρρρρ??+?=??σσσ
证明：（1）))(()??)(??(z z y y x x z z y y x x B B B A A A B A σσσσσσσσ++++=??ρρρρ
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得
] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= # 练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且1 11)(--= A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ； （4）???+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--= A a aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3) } )(1{})())({(}))({(})({)()(111111 1 11111 ------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A (4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ???++++=--3211)1(χχχχ
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
EX1.矢量空间 练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。 （完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得 只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件（7） 现在等式两边加上)0(ψ-，得 根据条件（4）， 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件（4）、（2） 上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= 由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得 # 练习 1.2 证明在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则必有21ψψ=。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐） 证明 由题意可知，在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则有 (1ψ,)?－(2ψ,)?=0 (1) 于是有 ()0,21=-?ψψ (2) 由于在内积空间中()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则可取21ψψ?-=,则有 ()2121,ψψψψ--=0 成立 （3） 根据数乘的条件（12）可知，则必有 21=-ψψ （4） 即21ψψ= 故命题成立，即必有21ψψ=.
# 练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。 # 练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()??180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量和内积的定义改为θ?或 θ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 空间是否仍为内积空间？ （4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为 空间是否仍为内积空间？ （完成人：张伟 审核人：赵中亮） 解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。 因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为A ，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。 （2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下： +≠+,即有 () ,=+C B A θ+θθ?+≠=()()C A B A ,,+ 所以内积的定义改变之后不是内积空间。 （3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下： i
高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
第一章 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反 比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。 解：黑体辐射的普朗克公式为：) 1(833 -=kT h e c h ν νν πρ ∵ v=c/λ ∴ dv/dλ= -c/λ2 又 ∵ ρv dv= -ρλdλ ∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e hc/λkT -1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1) 求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得： 5(e x -1)=xe x 可得： x≈4.965 ∴ b=λm T=hc/kx ≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23) ≈2.9*10-3（m K ） 1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J 故其德布罗意波长为： 07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ? 1.3 √.氦原子的动能是E= 32 KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012 kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K 故其德布罗意波长为： λ = 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2 ≈0 1.2706A 或λ= 而KT E 23 =601.270610A λ-==? 1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求： a ） 一维谐振子的能量： b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ) 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh 得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π) 又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5
3.1 （做题人：韩丽芳 校对人：胡相英） (好) 幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。 证明： 设算符U 为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。 即 ψψu U = 则 ψψψψψψψψu u U U U U *+=== 因 0≠ψψ，所以1=*u u 即 1=u 即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。 设算符U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为 1ψ 、2ψ，且 21u u ≠。 则 111ψψu U = 11 111 ψψu U =- 222ψψu U = 22 211 ψψu U = - 因为幺正算符1-+ =U U 则有 21212121ψψψψψψu u U U *+== 212 1211 ψψψψu u UU * + = = 所以 01212121=??? ? ? ?-**ψψu u u u 因为01 2 121≠- * * u u u u ，故021=ψψ，即 1ψ和2ψ正交。 即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。 3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)
解：投影于某一子空间的投影算符∑==m i i P 1，设全空间是n 维的，且n m <。 则本征值方程 ψλψψ==∑=m i i P 1 ⑴ 其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。 则 ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得 ψψP P =2 ⑶ 由⑴、⑵和⑶式得λλ=2 ，所以1=λ或0=λ。 即求得投影算符的本征值是1或0。 当1=λ时，本征失量是i ，其中m i Λ,2,1=。所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。 当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。 # 练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。 证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即 ψφφ-==AA 1 Q 已知A 的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…， ∴ ()ψψφ--==A a AA Q 算符A 存在零本征值，即00=?=φa a ∴对于任意本征矢量 ()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾 ∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。 # 练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n 维空间中的一个完全矢量集 ｛i ψ｝， （i ψ归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n ）,若从其中去掉一个矢量，例如
高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=
EX1.矢量空间 练习 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。 （完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得 11112ψψψψψψ+=+=+=（） 只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件（7） 00)00(0ψψψψ+=+= 现在等式两边加上)0(ψ-，得 )0()00()0(0ψψψψψ-++=-+ 根据条件（4）， 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件（4）、（2） 上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= O =∴0ψ 由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得 ψψψψψψ-=O =-+=-=)1()11(0 ψψ-=-?)1( # 练习 证明在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则必有21ψψ=。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐） 证明 由题意可知，在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则有 (1ψ,)?－(2ψ,)?=0 (1) 于是有 ()0,21=-?ψψ (2)
由于在内积空间中()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则可取21ψψ?-=,则有 ()2121,ψψψψ--=0 成立 （3） 根据数乘的条件（12）可知，则必有 021=-ψψ （4） 即21ψψ= 故命题成立，即必有21ψψ=. # 练习 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。 # 练习 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()??180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量和内积的定义改为θB A ?或 θ2 1 B A ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 ()4* 43* 32* 21* 1432,m l m l m l m l m l +++= 空间是否仍为内积空间？ （4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为 ()()??==b a b a dx x x g x f x g x f xdx x g x f x g x f 2 * *)()()(),()()()(),(或 空间是否仍为内积空间？ （完成人：张伟 审核人：赵中亮） 解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。
喀兴林高等量子力学习题E X2.算符
EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得 ] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= #
练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且1 11)(--= A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ； （4）???+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--= A a aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3) } )(1{})())({(}))({(})({)()(111111 1 11111 ------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A (4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ???++++=--3211)1(χχχχ 故(? ??+++=???+++=-=-=----------------111211********* 11 )1() 1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ #
研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.doczj.com/doc/8a3837349.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海
?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式
量子力学该怎么学? 我想对于考物理的同学来说量子是必须的。我一直在想可能是国内流行的一些教材的失误造成了大多数人对着门学科的难以掌握，就算你能解题，也基本上是概念茫然，当然，有时连题目都不知道什么意思，更不知如何下手，有时，算着算着突然不知道意思了，……其实这些都不是咱们的错。 想起当年本人上课时，量子老师（老牛人）说，“现在教量子的那些人那里懂量子呀！”哥们当时只是笑。现在才明白果然不错。 其实，目前而言，在下对量子也是刚入点门而已，不过，对于国内的考研量子力学题我现在是把握全部搞定的，要是当初就这么猛就好了.我把一些想法写下来算是抛砖引玉了！ 正文 （一）选书的建议 对于量子力学最重要的是概念的清晰把握，只有明白了量子力学的形式体系和核心概念才会觉得的量子好神秘啊！才会在解题时不至于找不到北。真正的掌握它的概念需要学习Hilbert 空间的知识和Dirac符号体系，又以后者最为重要。愚蒙认为： 第一，优秀的量子力学书的最重要的标准是：深入浅出的讲解Hilbert空间和大量篇幅，透彻的讲授Dirac符号. 第二，应该明确指出量子力学的5到6 条基本原理或假设。 第三，关键性的步骤或概念一定要指出。 下面就以上原则分析一下国内的流行教科书 1 曾谨言《量子力学导论》 2 周世洵《量子力学》 3 尹鸿钧《量子力学》 4 苏汝铿《量子力学》 首先，我想说得是国内没有一本面向初等量子力学的教科书把概念说明白的，尤其，以北大的曾谨言先生《量子力学导论》为首，此书发行量巨大，我上本科时就是用它的。坦白说。它的错误很少,但这决不是好书的标准，对于Dirac符号就写了两页，而且语焉不详，关键地方几乎没有说。我想，就算P A M.Dirac亲临也估计看不太明白。：），至于曾老师的《量子力学》第一。二卷，的确详细，不过缺点仍然一样，作为研究生教材，没有完整的理论体系，当字典用到行，可以作参考书，不适合当教材。 复旦的周世洵先生写的《量子力学》相比而言比曾谨言的强了不少，虽然年代久了点，但讲解较为透彻，步骤也详细点，。当然对付考研也不用与时俱进，老一点没什么问题。 科大的尹鸿钧先生编的《量子力学》是面向本科和研究生的教材，对于本科来说难了点,关于Hilbert空间和Dirac符号都写的比较多，但没形成主线，比较可惜。另外编排有点乱，印刷太差，不知第二版（？）有无改进？我想如果修改一下使之完全面向初等量子力学倒也不错。 复旦大学，苏汝铿先生的《量子力学》在以上几本书中算是最好了，讲解很是透彻，覆盖面也很广。最近，我在书店看到了高教版的苏先生的《量子力学》，这本书包括研究生课的内容，对于Dirac符号倒也多说了一些，不过，仍不令人满意，想以此书弄懂量子力学基本上也是做梦。 到目前为止我所看过的最好的初等或高等量子力学入门书是法国Cohen等人著的《Quantum Mechanics》英文版，第一卷第一分册有中译本，刘家莫，等译。全书厚度惊人，英文版的上下两册有半尺厚，不过看起来很爽，全书行文流畅，且有助于英文写作的提高，呵呵。且正文与补充文章分列，初学者可以选择阅读，整个内容以初等量子开始，在第二章就详尽地，
EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得 ] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= # 练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且111 )(--=A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ；