初等数论精品课程申请及大纲

宿迁高等师范学校

合格课程创建申请表

推荐学科数学

课程名称初等数论

课程层次专科

课程负责人袁珍艳

申报日期2012年1月15日

一、课程负责人情况

一、教学队伍情况

二、课程建设规划

二、审批意见

《初等数论》课程教学大纲

（供数学专业四年级使用）

一、课程的性质与地位

“初等数论”课程是宿迁高等师范学校数学学科专业必修的一门课程。数学专业的学生学习初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary number theory）。

初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。

近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。可见高斯对数论的高度评价。

由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。

二、课程教学目标

初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。

数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、数论函数及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。

三、教学基本内容及要求

第一章数的整除性

（一）教学目的与要求

1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解质因数分解定理，熟练掌握用裴蜀恒等式求最大公因子、最小公倍数的方法。

2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。

3、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。

（二）教学内容

1、整除性、公因数、公倍数

两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因子的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。

2、素数与整数的素因子分解

素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法（筛法）。

3、抽屉原理

抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应用。

重点：整除、公因子、素数的概念及性质，裴蜀恒等式，求最大公因子的方法，整数的素数分解定理。

难点：整数的素数分解定理的理解与运用函数[x]、{x}的概念及其应用。

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

1．设四个自然数只和为1989，求证：它们的立方和不是偶数。

2．试证明：不存在2个自然数，它们的和与差的乘积等于1990。

3．设12,,n a a a 是一组数，他们中的每一个都取+1或-1，而1234

233410n

a a a a a a a a a a a a +++=

证明：n 必须是4的倍数。

4．设n 0,2,α?≥证明：n α能够表示成n 个连续的奇数的和。 5、搜索中小学关于此类问题的题目，理解与体会方法的运用。 6、查寻奇数，偶数在中小学问题中的运用，拓展思维，灵活运用。 7、求（1）（5767，4453）

（2）（3141，1592） 8、求[144，480] 9、求证：若(,)1a b =，则 （1） (,)1a b ab ±=

（2） (,)1a b a b +-=或(,)2a b a b +-= 10、求出能使36831x y +=成立的两个整数,x y 。

11、二数之和是432，它们的最大公约数是36，求此二数。 12、对于任意的整数1n ?，证明：总可以找到n 个连续的合数 13、求72与480的最大公约数与最小公倍数。 14、（1）迪泼瓦尔曾断言：

对所有n ≥1，6n+1和6n-1中至少有一个是质数、 举例说明他的断言错了。

（2）证明：有无穷多个n 使6n-1和6n+1同时为合数。 15、设P 是合数n 是最小素因数，证明：若P ＞13

n ，则

n

p

是素数 16、容易验证90、91、92、93、94、95、96是7个相邻的合数。 试写出9个相邻的合数。 17、检验539是否为质数

18、证明：在n ＞2时，n 与n ！之间一定有一个质数 分析：由于（n ！-1.n ！）=1，则1到n 中的所有质数均不能整除n ！-1，那么必存在质数p ，p ＞n ，且p ＜n ！

第二章 同余理论

（一）教学目的与要求

1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练运用同余的基本性质，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

2、理解剩余类、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法。

3、了解Fermat小定理，熟练运用之。

4、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程组的方法。

（二）教学内容

1、同余的概念及性质

整数同余的概念、同余的基本性质，利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

2、剩余类、完全剩余系

剩余类、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法。

3、费马小定理

费马小定理及其应用，求余数的方法。

4、中国剩余定理

中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。

重点：剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，同余性质的运用。

难点：剩余系的判定，中国剩余定理，费马小定理应用。

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

1、若k≡1（mod4），问6k+5与0.1.2.3中哪一个mod4同余？

2、在3145×92653=291□93685中，积有一位数字遗漏，而其它数字是正确的，遗漏数字是什么？

3、求10

1010010

101010+++被7除的余数。

4、证明：15不能整除22n n ++。

5、159314除以7，余数是多少？

6、证明：若a 和b 均不被质数n+1整除，则n n a b -被n+1整除。

7、证明：645是伪质数。

8、证明：若a 和b 均不被质数n+1整除，则n n a b -被n+1整除。

9、对于一切a 满足|()n n a a -的合数n ，称为绝对伪质数，最小的绝对伪质数为561，验证：341不能整除341(1111)-，从而341不是一个绝对伪质数。

10、解同余方程组1(mod 7)34(mod 5)84(mod 9)x x x ≡??

≡??≡?

11、试用同余方程的解法，求解不定方程 37491x y +=

第三章 数论函数

（一）教学目的与要求 1、理解欧拉函数的定义及性质。

2、了解欧拉定理，掌握循环小数的判定方法

（二）教学内容

1、函数[x]、{x}、欧拉函数及其应用

函数[x]与{x}及欧拉函数的概念、性质 2、(),()n n τσ及其运用

(),()n n τσ的含义，(),()n n τσ公式的推导。

3、欧拉定理及其应用

欧拉定理，循环小数的判定条件。 重点：(),()n n τσ公式的运用，欧拉定理 难点：欧拉定理的运用

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式 （四）作业布置

1、设n 是正整数，证明

2

1224n n n ??

+????=????????????

2、设,a b 是任意实数，那么有 [][][]a b a b -=-或[][][]a b a b -=-+1

3、求使

1011021000

7k

???

为整数的最大自然数k 。 4、证明：方程

[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++= 没有实数解。

5、若n 是2的幂，则()n σ是奇数；

6、n 为什么数时，()n τ=8？

7、证明：|1()

d n

n d n

σ=

∑

8、若n 是偶完全数，6n >，证明：1(mod9)n ≡；

9、|(),k k d n

n d σ=∑其中k 为正整数，试给出()k n σ的计算公式。

10、证明：如果n 的末位数字为7，那么n 一定有一个倍数，它的数字全不为0。 11、计算 (420)?

第四章 不定方程

（一）教学目的与要求

1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用辗转相除法求二元一次不定方程的方法。

2、知道不定方程222x y z +=的整数解的形式。

（二）教学内容 1、二元一次不定方程

二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。 2、不定方程

不定方程222x y z +=的整数解的形式，Fermat 大定理的简单介绍。 重点：二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。

难点：不定方程222x y z +=的整数解的形式，

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式 （四）作业布置

1、 解不定方程 10005249=-+z y x

2、求不定方程的正整数解

（1）4175=+y x （2）12337=+y x

3、把100个苹果分成两堆，使得一堆的个数能被7整除，另一堆的个数能被

11整除 4、求不定方程222z y x =+满足65=z ，而且0 x y 的全部解为),,(z y x 。

第五章连分数

（一）教学目的与要求

1、掌握连分数、有限、无限连分数的概念，理解它们之间的关系；

2、掌握连分数、渐近分数及其之间的递推关系式，理解有限、无限连分数与有理数、无理数之间的关系。

（二）教学内容

1、连分数、渐近分数及其之间的递推关系

连分数、渐近分数的含义，它们之间的递推关系式

2、有限、无限连分数，它们与有理数、无理数之间的关系

有限、无限连分数的概念，它们与有理数、无理数之间的关系

重点：连分数、渐近分数及其之间的递推关系；有限、无限连分数与有理数、无理数之间的关系。

难点：连分数、渐近分数及其之间的递推关系

（三）教学形式与方法

本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式

（四）作业布置

四、教学学时分配

现将教学计划规定的学时数分配到课程的各章节。（见教学学时分配表）

教学学时分配表

五、教学环节要求与安排

1、自学

自学是学生获得知识的重要方式，自学能力的培养也是师范教育的重点之一，本课程的教学要注意对学生自学能力的培养。学生可以通过自学，掌握必要的知识，也为今后继续学习做好铺垫。

2、课堂教学

课堂教学要服从于教学大纲、文字教材，采用讲解、讨论、答疑等方式，通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析、解决问题的能力。

3、作业

独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的工作。作业内容以教材中的习题为主，通过这些习题的练习，逐步加深对课程中各种概念的理解，熟悉各种基本解题方法，达到基本掌握本课程主要内容的目的。

六、考核办法

考试题目要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，题量和难度的梯度应按照教学的三个不同层次安排。不出难题，怪题。未作具体教学要求的内容不作考试要求。考核结果按三三四制，即平时成绩占总分的百分之三十，期中考试成绩占总分的百分之三十，期末考试成绩占总分的百分之三十。

七、教材选用

单墫主编?初等数论?南京：南京大学出版社，2006

八、教学参考书

闵嗣鹤严士健?初等数论?北京：高等教育出版社，1982

九、相关说明书

高中数学必修、选修全部知识点精华归纳总结

高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数

【最新】初等数论教学大纲

课程名称：初等数论（Elementary Number Theory） 《初等数论》教学大纲 一、课程说明 “初等数论”课程是数学与应用数学专业（师范）的一门专业选修课。数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。 通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。 本课程属于数学与数学专业（师范）的专业选修课。 本课程的教学时间安排：每周2节课，计划教学周为16周，总课时数32学时，其中实践时数0学时。 本课程总学分数为2学分。 本课程安排在第5学期开设。 二、学时分配表 三、教学目的与要求 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。 通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。

四、教学内容纲要 第一章整数的可除性（ 6学时） 目的要求： 1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。 2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。 3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。 难点：定理的证明处理方法，定理的灵活运用。 讲授内容： 1、整除的概念、带余数除法 （1）整除、因数；（2）带余数除法、不完全商、余数。 2、最大公约数与辗转相除法 （1）公因数、最大公因数、互素；（2）最大公因数的性质；（3）最大公因数的求法。 3、整除的进一步性质及最小公倍数 （1）整除的性质；（2）公倍数、最小公倍数；（3）最小公倍数的性质。 4、质数、算术基本定理 （1）质数与性质；（2）算术基本定理；（3）筛法。 5、函数[x]，{x}及其在数论中的一个应用 （1）[x]，{x}与性质；（2）n!中素因子的指数。 第二章不定方程（ 6学时） 目的要求： 1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。 2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。

研究生国际化精品课程建设项目申报书【模板】

研究生国际化精品课程建设项目申报书 课程编号： 课程名称： 学院： 课程负责人姓名： 课程负责人工号： **大学研究生院制表 二O一九年五月 1

说明 一、建设对象 本项目的建设对象为2016年修订研究生培养方案中的研究生国际化课程（Y 型）。 已受本项目及相关项目资助的课程，此次不予受理申报。 二、建设目标与要求 1、本项目建设工作实施年限为2年。 2、立项项目作为校级研究生课程建设项目进行管理。 3、本项目应建设为高质量、具有示范作用的课程，应体现课程所在学科研究水平的前沿性和研究生教育的先进性。所在学院、课程组应积极组织相关课程教师开展教学观摩和交流，该课程的师资队伍应积极参与教学活动、收集影像资料、完成项目总结。鼓励立项课程建立课程网站，将课程教学大纲、教学课件、任课教师、参考书目等上网并及时更新。 4、本项目应采用高水平英文原版教材，原版教材原则上要求为近五年内出版或再版的英文原版教材。 三、资助额度 1、本项目预期每门课程资助2万元。 2、项目资助经费主要用于课程的进一步建设、课程网站建设、教学研究成果的发表等。 四、本任务书文本一式一份，以A4纸双面打印。

二、课程师资队伍情况

三、教材选用情况（应采用高水平英文原版教材，原则上要求为近五年内出版或再版的英文原版教材） 四、课程目前建设情况 （有实验实践环节的课程，应对实验实践环节运行情况进行表述）

（表述课程教学质量、效果、评价、与本课程相关的获奖情况、教学研

五、课程建设与改革规划 1、课程建设与改革思路（包括改革与建设的基本思路、目标；主要措施；所借鉴的国际一流学科教育教 （按建设工作实施年限为2年，即2019年9至2021年8月，安排建设计划 3、预期建设成果（重点表述建设任务结束后，本课程教育教学质量的提高程度和可展示的、可实际 （建议按2万元制订预算） * 经费不可用于劳务费、评审费、咨询费、研究生津贴、水电、电话（手机）、办公用品等支出，不支持境外费用。

初等代数研究2016教学大纲

初等代数研究2016教学大纲

黔南民族幼儿师范高等专科学校数学教育专业 《初等代数研究》课程 教 学 大 纲 执笔人： 审定人： 批准人： 基教系 2016年7月

第二章整数 教学内容：整数环、带余除法、最大公因数与最小公倍数、质数与合数、同余、欧拉函数 教学要求：掌握整数的性质；掌握带余除法的应用并能够灵活应用带余除法解决相关的问题；掌握最大公因数和最小公倍数的性质，能够灵活应用相关性质解决问题；能够灵活应用同余的性质解决一些数论问题；了解欧拉函数的性质和应用。 教学重点：整数的性质、同余 教学难点：欧拉函数的性质和应用 教学建议：本章教学内容可结合初等数论课程相关章节讲授。 第三章有理数 教学内容：有理数域；十进循环小数 教学要求：掌握有理数域的性质；了解分数和循环小数的互化理论基础。 教学重点：分数和循环小数的互化 教学难点：有理数域的性质 第四章实数 教学内容：实数集；实数集的基本性质；实数的四则运算；实数的开方；一些常用的无理数；[X]函数及应用 教学要求：了解无理数的存在性；掌握实数域的基本性质；了解实数的可开方性；掌握取整函数[X]的性质，并灵活解决相关问题。 教学重点：实数集的性质与运算 教学难点：[X]、{X}的性质及应用 第五章复数 教学内容：复数域；复数的代数形式、几何形式；复数的三角表示、复数的开方、复数模的性质 教学要求：掌握复数域的基本性质；了解从实数扩张到复数的合理性；灵活应用根的性质、几何性质、三角性质解决问题。 教学重点：复数的性质 教学难点：复数性质的应用 教学建议：可结合中学数学中的复数内容以及复变函数中的内容讲授本章内容。 第六章多项式 教学内容：多项式的一般概念；多项式的恒等变形；多项式的因式分解 教学要求：掌握多项式的定义、掌握零多项式、多项式相等的定理、掌握用待定系数法求多项式系数的方法；掌握常用的多项式乘法公式并能够灵活应

关于国家精品课程申报网站的一些注意事项(精)

关于国家精品课程申报网站的一些注意事项 --记录国家精品课程评审专家的谈话 1、申报网站中的栏目需要和申报指标中的栏目进行一一对应的方式，因为进行国家精品课程评审的专家一般都是拿着申报指标表进行一一对应方式的查看相关的内容，这些专家要评审的课程很多，同时专家一般都是年龄比较大的人员，所以专家希望精品课程指标按照对应的位置陈列方便他们的浏览和打分----不建议把这些指标进行分散式展示，也不建议把这些指标隐藏在很深入的内容里面。 2、对于高职高专学校的课程，需要体现和突出的重点是课程的“特色、亮点”，这些特色和亮点要有实际的内容和佐证来支撑，不是空洞的说辞，这些特色和亮点最好是呈现在醒目的地方； 3、精品课程网站展现的界面不要太花哨（比如太多的动画、图片），需要突出重点，界面能够简洁美观； 4、高职院校精品课程内容的编排需要紧密结合国家近期的课程改革的要求来编写，比如如何体现课程内容上的“工学交替、任务驱动、项目导向、课堂与实习地点一体化、基于工作过程”，在内容上打破传统的编排结构； 5、录像上增加了说课录像，需要好好把握说课录像的要求，【如何通过说课录像把课程整体设计，包括教学设计以及相应的教学设施、环境和实训实习场景等介绍，并附相应文字说明】 6、高职精品课程的特点要体现“实训”中的”训“特点：是学生如何进行自我训练的，当学生在训的过程中如何进行知识的掌握，老师如何解决学生在训中遇到的问题，体现学生与老师之间、学生与学生之间交流互动的内容------而不是老师如何训学生，也不是通过说教的方式来训练学生； 7、对于课程录像，考察点是如下几个方面： A、老师在教学场景中是否应用了现代教育技术和虚拟现实技术（PPT、投影等手段） B、展示的PPT中是否有图片、动画的效果，而不是一堆的文字PPT教学 C、老师和学生之间是否有交流互动的场景，学生是否向老师提问 D、学生之间是否有讨论的场景 E、拍摄的角度是否有老师、学生、以及老师与学生、学生与学生之间的交流 8、多一些互动交流的栏目，而且要有不同时期的交流结果的展示内容。

初等数论

初等数论 初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。 第一部分：整除 初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。整除理论首先涉及整除。现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。 Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件： （ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）； （ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继； （ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b; (ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N. 这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。 其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。如果 （1）当n=1时，P(1)不成立； （2）设n>1,若对所有的自然数m

数学与应用数学专业-2017年课程建设规划

数学与应用数学专业年课程建设规划 课程建设是高等教育活动的重要组成部分，是高等学校最基本的教案建设，课程建设对于提高教案质量，保证人才培养规格，具有长期性，基础性的重要作用。课程质量及其改革成效直接影响高校的教案水平。 为科学合理地规划数学与应用数学专业建设，以课程建设促进专业建设为目标，切实加强课程建设，继续深化教案思想、教案内容和教案方法的改革，进一步促进教案基本条件、教案工作文件和师资队伍建设，努力实现教案管理水平和教案考核手段的科学化、规范化和现代化，把本专业课程建设提高到一个新水平。现结合实际情况,特制订数学与应用数学专业年课程建设规划。 一、指导思想和基本原则 把课程建设作为我系教案工作的中心工作之一, 按照专业规划中确定的人 才培养目标要求,加强领导，从客观实际出发，充分利用有利条件不断创新，逐步将我系各专业的主要课程建设成为校级优秀课程和省级精品课程。逐步建立起面向世纪，具有同类院校先进水平和自身特色，与经济建设和社会发展的实际需要相适应、相配套的整体优化的课程结构和课程体系。通过系统的课程建设，达到有利于加强学生的自学能力，分析问题、解决问题的能力，有利于培养学生的创新思维和创新能力，有利于学生个性和才能的全面发展的目的。 二、建设目标 建立以合格课程为基础、优秀课程为重点、精品课程为示范和特色的课程建设体系。通过年建设，省级精品课程达到门；校级优秀课程达到门以上；各专业必修和限定选修课程全部达到合格课程标准;继续增加以学科发展前沿和新兴交叉学科介绍为主要教案内容的选修课门数；通过课程结构的优化、教案方法和手段的改革,形成具有特色的课程体系。 三、各类课程建设的主要内容 （一）合格课程建设 合格课程建设是课程建设的基础性工作，达到合格课程标准是对课程建设的最基本要求。各教研室全体教师要重视合格课程建设工作，尽早使其全部达到合格课程标准。合格课程建设的重点内容有： 、重视教师队伍建设。课程主讲教师所学专业应与申报课程相符合或经过学期以上（含学期）的该专业方向进修学习，并具有硕士学位或讲师以上职称；形成了人员相对稳定，具有一定教案和科研能力的教师梯队。 、注重教案内容建设。教案内容科学，经过主讲教师至少轮教案过程整合，能够吸收一定量本学科领域最新科技成果和先进的教案经验；理论教案与实践教

初等数论总复习题及知识点总结

初等数论总复习题及知识点总结 最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题 的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经 说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相 当于只身来到宝库而空手返回而异。数论有丰富的知识和悠久的 历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅 导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马 大定理的阅读材料。初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求：2，3 ；：4 ；：1；： 1，2，5；：1。第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程多元一次不定方程勾股数费尔马大定理。习题要求：1，2，4；：2，3。第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、 费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求：2，6；：1；： 2，3；1，2。第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方 程威尔逊定理。习题要求：1；：1，2；：1，2。第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号、素数模同

余方程的解法习题要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1。第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质原根存在的条件指标及n次乘余模2及合数模指标组、特征函数习题要求：3。 第一章整除 一、主要内容整除的定义、带余除法定理、余数、最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理、Eratosthesen筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。 二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据，掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。能熟练求出二个整数的最大公因数和最小公倍数，掌握高斯函数[x]的性质及其应用。 三、重点和难点（1）素数以及它有关的性质，判别正整数a 为素数的方法，算术基本定理及其应用。（2）素数有无穷多个的证明方法。（3）整除性问题的若干解决方法。（4）[x]的性质及其应用，n！的标准分解式。 四、自学指导整除是初等数论中最基本的概念之一，b∣a的意思是存在一个整数q，使得等式a=bq成立。因此这一标准作为

初等数论 教学大纲doc文档

附录1：教学大纲的格式 为便于各院系编辑印制课程教学大纲，建议理论课程、实验课程、专业实习课程分别采用以下格式： 1、理论课程教学大纲建议格式：（小括号内为说明文字）： 初等数论 Elementary Number Theory 【课程编号】（必备项1）【课程类别】专业主干课 【学分数】2 【适用专业】数学与应用数学 【学时数】36 【编写日期】2006.9 一、教学目标让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。 二、教学内容和学时分配 第一章整数的可除性（6学时） 1.整除的概念带余数除法 2.最大公因数与辗转相除法 3.整除的进一步性质及最小公倍数 4.质数算数基本定理 5.函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 第二章不定方程（4学时） 1.二元一次不定方程 2.多元一次不定方程 3.勾股数 4.费马问题的介绍 第三章同余（6学时） 1.同余的概念及其基本性质 2.剩余类及完全剩余系 3.简化剩余系与欧拉函数 4.欧拉定理费马定理及其对循环小数的应用 5.公开密钥—RSA体制 6.三角和的概念 第四章同余式（6学时） 1.基本概念及一次同余式 2.孙子定理 3.高次同余式的解数及解法 4.质数模的同余式 第五章二次同余式与平方剩余（8学时）

1.一般二次同余式 2.单质数的平方剩余与平方非剩余 3.勒让德符号 4.前节定理的证明 5.雅可比符号 6.和数模的情形 7.把单质数表成二数平方和 8.把正整数表成平方和 第六章原根与指标（6学时） 1.指数及其基本性质 2.原根存在的条件 3.指标及n次剩余 4.模2a及合数模的指标组 5.特征函数 （一）总论让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。 学时（课堂讲授学时+课程实验学时）36 主要内容：整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平方剩余、原根与指标 教学要求：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。 重点、难点（可选项2） 其它教学环节（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）： （二）第一章整数的可除性学时（课堂讲授学时+课程实验学时）6 主要内容： 1.整除的概念带余数除法 2.最大公因数与辗转相除法 3.整除的进一步性质及最小公倍数 4.质数算数基本定理 5.函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 教学要求：1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。 2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。 3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。 4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。 重点、难点：（可选项）整除的概念带余数除法、最大公因数与辗转相除法、整除的进一步性质及最小公倍数、质数算数基本定理、函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：1学时习题课

初等数论中蕴含的数学思想

初等数论中蕴含的数学思想 摘要：通过对初等数论中的某些问题的解决思路的总结概括，以及对其中重要定理或引理的证明过程的回顾，探讨了数论中蕴含的几类数学思想方法，即：转化、整体、配对、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用。 关键字：初等数论;数学思想方法;整除 Mathematical Thinking in Elementary Number Theory Abstract:By elementary number theory problems in some of the ideas summed up. And we review the proof process of some important theorems or lemmas. It is discussed that several mathematics thought way in Elementary theory. That is, conversion, overall, matching materials, groups and group representations thinking method and integer matrix in the application of elementary number theory. Key words: elementary theory ,mathematical way of thinking，division

数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”. 在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础. 数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法.本文以初等数论中重要的定理的证明为据，配以具体的数论问题，谈谈初等数论中蕴含的转化、整体、归纳、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用. 1 转化思想方法 转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯. 整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决. 例1 证明对于任意整数n ，数6 233 2n n n ++是整数. 证明 () ()()216 1 326623232++=++=++n n n n n n n n n 又由于两个连续整数的乘积是2的倍数，三个连续整数的乘积是3的倍数，并且()13,2=，所以有 ()()21|2++n n n 和()()21|3++n n n ()()21|6++n n n 即6 233 2n n n ++是整数. 从历史上来看，不定方程问题的求解是推动数论发展的最主要课题.有的不定方程问题直接求解或证明比较困难，因而常常转化为整除问题解决.

竞赛数学中的初等数论(精华版)

《竞赛数学中的初等数论》 贾广素编著 2006-8-21

序 言 数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在1991年，IMO 在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为6道IMO 试题中有5道与数论有关。 数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的人均可以研究数论――在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。可是这也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。 初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论定理。做数论题，其实只要整除理论即可，然而要很快地解决数论问题，则要我们多见识，以及学习大量的解题技巧。这里我们介绍一下数论中必需的一个内容：对于N r q N b a ∈?∈?,,,，满足r bq a +=，其中b r <≤0。 除了在题目上选择我们努力做到精挑细选，在内容的安排上我们也尽量做到讲解详尽，明白。相信通过对本书学习，您可以对数论有一个大致的了解。希望我们共同学习，相互交流，在学习交流中，共同提高。 编者：贾广素 2006-8-21于山东济宁

第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制， 这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与 国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理 数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012211101010a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们 所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的 普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是 现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种 数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是 一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 典例分析 例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与 八进制，并将其表示成多项式形式。 分析与解答 分析：用2作为除数（若化为p 进位制就以p 作为除数），除2004商1002，余数为0；再 用2作为除数，除1002商501余数为0；如此继续下去，起到商为0为止。所得的各次余 数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。 解：

精品课程申请表

精品课程建设有关工作流程 （试行） ☆申报、评审 一、申报条件 1、申报课程，必须是公共基础课、专业基础课、专业主干课或实验课，且连续开设三年以上，并通过合格课程验收。 2、课程负责人一般应具有讲师及以上职称，并具有较高的学术、教学水平。 3、课程组成员有省部级以上教学成果或教改项目，且每年人均发表高质量的教育教学研究论文1篇以上。 4、课程在教材建设、实验实训条件、教学效果等方面基础较好，在校内有良好影响、能起示范作用或具有一定特色。 5、课程网站建设有一定基础。 二、申请准备 1、搞好课程网站资源建设 ①网站必有内容： 01申请表、02课程简介、03课程组成员介绍、04教学大纲、05授课计划、06授课教案、07多媒体课件、08习题及解答、09试题（试题答案可不上传）、10实践（实验、实训、实习）指导、11、参考文献目录、12佐证材料、13教学录像。 注：教学录像内容要求至少提供3位主讲教师(含课程负责人)不少于3学时的现场教学录像。教学录像格式要求为流媒体，能在线播放，播放流畅；视频图像质量较好，声音清晰，二者无错位；访客能交互地选择播放音视频课件，并可对教学录像实现播放、暂停、停止、跳跃等功能。其他技术标准详见院精品课程网站。 ②网站可选内容(建议)： 欢迎语（即欢迎界面）、课程建设规划、课程设计、自主学习项目、学习网站、学习园地、教学成果及评价、自我评价、相关讲座等。 2、课程组负责人填写《湖南交通工程学院精品建设课程立项申请表》（附件一），向系部提出申请。 三、立项评审

1、系部进行初审，拿出初审意见。填写《湖南交通工程学院精品建设课程立项（及结项）汇总表》（附件二）。 2、学院教学委员会评审，达到立项标准的，准予立项。 ☆中期检查 1、课程组填写《院级精品建设课程中期检查情况表》（附件三）。课程组在院精品课程网站上提供课程相关资料，并确保网站资源完整、及时更新。 2、撰写精品建设课程中期总结。 3、教务处检查教学文件及其网络资源更新情况。评审期间凡课程网站无法访问或不符合要求者，将视为自动淘汰或放弃参评资格。 ☆建设标准 一、教学队伍 1、课程负责人与主讲教师师德好，学术造诣高，教学能力强，教学经验丰富，教学特色鲜明。 2、教学团队中的教师责任感强、团结协作精神好；知识结构、年龄结构和学缘结构、青年教师培养计划科学合理。 3、教学思想活跃，教学改革有创意；有省级以上的教学成果、规划教材或教改项目；发表了高质量的教研论文。 二、教学内容 1、课程内容设计要体现现代教育思想，符合科学性、先进性和教育教学的规律。其中，理论课程内容经典与现代的关系处理得当，具有基础性、研究性、前沿性，能及时把学科最新发展成果和教改教研成果引入教学；实验课程内容（含独立设置的实验课）的技术性、综合性和探索性的关系处理得当，能有效培养学生的实践能力和创新能力。 2、教学内容注重理论联系实际，课内课外结合，融知识传授、能力培养、素质教育于一体；能够开展相关实习、社会调查或其他实践活动，成效显著。 三、教学条件

《初等数论》教学大纲

《初等数论》教学大纲 课程编码：110823 课程名称：初等数论 学时/学分：54/3 先修课程：《数学分析》、《高等代数》 适用专业：信息与计算科学 开设教研室：代数与几何教研室 一、课程性质与任务 1．课程性质：初等数论是信息与计算科学专业的一门专业必修课程。该课程是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科，也是一个古老的数学分支。初等数论是现代密码学的一门基础课程，也是高等学校信息安全专业的一门重要的基础课。初等数论在计算技术、通信技术等技术学科中也得到了广泛的应用。 2．课程任务：初等数论是信息与计算科学专业的一门重要的专业必修课，开设的目的在于使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系，为进一步学习信息安全领域的其它学科打下坚实的基础。 二、课程教学基本要求 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。 通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。 1. 有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。 2. 本课程开设在第5学期，总学时54，其中课堂讲授54学时，课堂实践0学时。教学环节以课堂讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及CAI课件，在教学方法和手段上采用现代教育技术。 3. 成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。成绩评定采用百分制，60分为及格。

数学与统计学院数学基地班专业人才培养方案-兰州大学数学与统计学院

数学与统计学院 数学基地班专业人才培养方案 　 一、专业简介 专业名称：数理基础科学专业代码：070103M 为了贯彻“理科兰州会议”精神，全面加强基础科学研究和教学人才的培养，1990年建立了兰州大学“数学基础科学研究和教学人才培养基地”（简称数学基地），2008年，成为“甘肃省基础科学人才培养基地”。数学基地始终坚持“强化数学基础，淡化专业界限，加强创新能力，提高整体素质”的培养思路，经过多年的努力和探索，数学基地得到了长足的发展，在学科建设、师资队伍建设、教学研究和改革等方面均取得了显著成绩，基地的软硬件设施有了明显改善，基地班学生培养质量有了很大提高，形成了具有兰大特色的人才培养模式。 数学学科具有数学一级学科博士点，具有从学士、硕士、博士到博士后的完整人才培养体系。数学基地具有一支治学严谨、研究领域广泛、实力雄厚的师资队伍，在数学科学的研究上具有突出的专业优势。 本专业注重科研与教学相结合，坚持实行教授博导上讲台，聘请教学经验丰富、教学效果好的教师担纲重要的基础课教学；聘请优秀学者主讲特色课程，突出自身优势学科；聘请活跃的青年学者指导优秀学生研讨并提供给学生一些有益的科研创新经历和体验。同时，坚持定期邀请国内外知名学者、专家为学生介绍其相关学科的基本概况及最新进展，使其了解当前数学领域的基本形势，为以后的数学理论研究与应用打下坚实的基础。 二、专业的人才培养定位与目标 本专业培养具有良好的数学素养，掌握数学学科的基本理论和方法，受到科学研究初步训练的本学科及相关学科的研究生优质生源，并可到科研机构、学校机构及企事业单位等从事教学、科学研究、应用开发、工程计算、软件研制及管理工作。

国家精品课程主讲教材

Visual Basic 程序设计教程（第三版第三版）） 龚沛增 杨志强 陆慰民 编 国家精品课程主讲教材 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 高等教育百门精品课程教材

教学安排

程序设计概述 概述第1章 Visual Basic程序设计 1.1 Visual Basic 简介 1.2 VB集成开发环境 1.3 创建应用程序过程 1.4 VB帮助系统

1.1 Visual Basic 简介 1.1.1 Visual Basic的发展1.1.2 Visual Basic的特点1.1.3 如何学习Visual Basic

1.1.1 Visual Basic 的发展BASIC BASIC（（Beginner ’s All-purpose Symbolic Instruction Code Instruction Code））语言的发展概况语言的发展概况（（四阶段阶段）：）： 1.1.初级初级初级Basic Basic Basic：：64~7474，，Basic Basic语言问世语言问世 2.2.微机微机微机Basic Basic Basic：：75~8585，，微机上固化微机上固化Basic Basic Basic语言语言 3.3.结构化结构化结构化Basic Basic Basic：：86~9090，，结构化的结构化的Basic Basic Basic语言语言 4.4.可视化可视化可视化Basic Basic Basic：：9191至今至今至今，，VB VB（（微软推出微软推出））

Visual Basic 的发展 19911991年 年Microsoft Microsoft公司推出公司推出Visual Basic1.0，以可视化工具为界面设计可视化工具为界面设计、、结构化结构化Basic Basic Basic语言为基语言为基础，以事件驱动为运行机制以事件驱动为运行机制。。从19911991年的年的年的VB1.0VB1.0VB1.0至至19981998年的年的年的VB6.0VB6.0VB6.0的多次版本升级的多次版本升级的多次版本升级，，功能更强大功能更强大、、完善，应用面更广应用面更广。。 2000年发布Visual https://www.doczj.com/doc/8a15603389.html, ，2005年发布

数论教学大纲

《数论》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：初等数论 英文名称：Elementary Number Theory 课程编号：2411218 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第5学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 初等数论是我院数学与应用数学专业的一门重要的基础课，是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科。初等数论与中学数学教育有着密切的联系，并给现代数学提供理论基础。 3．本课程的教学目的和任务 本课程开设的目的在于使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，为从事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求 本课程的先修课程是《高等代数》，初等数论的理论和方法在计算机科学、代数编码、密码学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为数学、计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础。同时由于数论问题的丰富性、多样性及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。本课程主要使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，为从

事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1、闵嗣鹤，严士健，初等数论（第三版）.北京.高等教育出版社，2003 2、郑克明，数论基础（第一版），重庆.西南师范大学出版社，1991 3、潘承洞，潘承彪，初等数论（第二版）.北京.北京大学出版社， 2004 三教学方法和教学手段说明 教学方法：讲授法 四成绩考核办法 本课程以教务处相关文件规定考核。 第一部分整数的可除性（14学时） 一、教学目的 1、掌握整除的概念及有关性质，熟悉带余数除法定理。

初等数论知识点汇总

第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012 21 11010 10 a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012 21 1a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；

初等数论教学大纲

《初等数论》教学大纲 Elementary number theory 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、课程性质与目的 1. 课程目标 初等数论是数学与应用数学专业一门专业选修课。通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除、不定方程、同余、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的实际工作打下良好基础。 2. 与其它课程的关系 本课程是初等数学研究、C语言程序设计A，近世代数等课程的后续课程。 3. 开设学期 按培养方案规定的学期开设。 三、教学方式及学时分配 四、教学内容、重点 第一章整数的可除性 1. 教学目标 理解整数整除的概念、最大公约数的概念、最小公倍数的概念，掌握带余除法与辗转相除法；理解素数与合数的概念；理解和掌握素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法；掌握函数[x]和 {x} 的性质。 2. 教学内容 （1）整数整除、剩余定理：带余除法与辗转相除法；最大公约数的概念、性质及求最大公约数的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。（2）素数与合数：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数

的求法；函数[x] {x} 的性质及其应用。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 辗转相除法，整数的素数分解定理。 5. 本章难点 求最大公因子的方法。 第二章不定方程 1. 教学目标 理解不定方程的概念，理解和掌握元不定方程有整数解的条件，会求一次不定方程的解。 2. 教学内容 （1）一次不定方程，多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解条件，求简单的多元一次不定方程的解。（2）二元一次不定方程有整数解的条件，求一次不定方程的解。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 多元一次不定方程有解条件，二元一次不定方程有整数解的条件。 5. 本章难点 不定方程的整数解的形式，求多元不定方程的整数解。 第三章同余、同余式 1. 教学目标 理解整数同余的概念，理解和掌握同余的基本性质、整数具有素因子的条件函数相关性质；理解剩余类与完全剩余系的概念，理解欧拉函数的定义及性质；掌握欧拉定理、费马定理、孙子定理。 2. 教学内容 （1）整数同余：整数同余的概念、同余的基本性质；整数具有素因子的条件；利用同余简单验证整数乘积运算的结果。（2）剩余类与完全剩余系：剩余类与完全剩余系的概念；判断剩余系的方法；欧拉函数的定义及性质；欧拉定理、费马定理。（3）同余式的基本概念、孙子定理。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理。 5. 本章难点