1 2016年福建省高中数学竞赛
暨2016年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案
(考试时间:2016年5月22日上午9:00-11:30,满分160分)
一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)
1.若函数()3cos()sin()63
f x x x ππωω=+--(0ω>)的最小正周期为π,则()f x 在区间02π??????
,上的最大值为
。 【答案】 【解答】∵ ()3c o s ()s i n ()3c o s ()s i n ()6
3662f x x x x x πππππωωωω=+--=+-+- 3cos()cos()4cos()666x x x πππ
ωωω=+++=+,且()f x 的最小正周期为π。 ∴ 2ω=,()4cos(2)6f x x π=+。又02x π??∈????
,时,72666x πππ≤+≤, ∴ 266x π
π+=,即0x =时,()f
x 在区间02π??????
,上取最大值 2.已知集合{}2320A x x x =-+≤,13B x a x ??=?-??
,若A B ?,则实数a 的取值范围为 。
【答案】 1()2
-+∞, 【解答】{}12A x x =≤≤。由
13a x <-,得3103ax a x -++<-。 ∴ 0a =时,{}3B x x =<。满足A B ?。
0a >时,由3103ax a x -++<-,得1(3)03x a x -+>-,133B x x x a ??=<>+???
?或。满足A B ?。 0a <时,由3103ax a x -++<-,得1(3)03x a x -+<-,133B x x a ??=+<???
。由满足A B ?,得131a +
<,102a -<<。
2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 (考试时间:5月10日上午8:30-11:00) 一、选择题(每小题6分,共36分) ??的子集有(集合1.)Nx?xx?1?3,A?A.4个B.8个C.16个D.32个 【答案】 C ??。3 ,,,1,知,结合,得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。的子集有 ∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称,则:2.若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为() 211C.B.D.A.1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线,:取点xy?(?11)0,?1),y?2x?1AA(0,0)A(?1l 上。在直线2ll。在直线的交点又直线与直线x?y1)P,(11211?l。过和∴两点,其方程为?xy?1)0),P(1A?(1,22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。与坐标轴交于和∴两点,),(00)(?1,22243.给出下列四个判断: (1)若,为异面直线,则过空间任意一点,总可以找到直线与,都相交。 aa bbP??????。,和直线,若(2)对平面,则,??l∥ll??????。和直线,若,则(3)对平面,,?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。内一点,且(4)对直线,,和平面,则,若过平面P2211122其中正确的判断有() A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】 B 【解答】(3)、(4)正确;(1)、(2)不正确。 ????内,且不在直线上时,,过1),设的平面为和在平面,则当点对于(ba∥aabP 找不到直线同时与,都相交。a b
中点,则二面,为4.如图,已知正方体DC?ABABCD CDE1111)角的正切值为(BAB?E?12222 D..A.1 B . C 4 【答案】 D 图第4题于如图,作于,作,连结。【解答】ABFO?OEOFABEF?1
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共48分) 1.“a =2, 2b =”是“曲线C :22 221(,,0)x y a b R ab a b +=∈≠经过点 ( ) 2,1”的( A ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案:A. 解答:当a =2, 2b =曲线C :22 221x y a b +=经过 ( ) 2,1;当曲线C :22 221x y a b +=经过 点 ( ) 2,1时,即有 2 221 1a b +=,显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2, 2b =”是“曲线C :22 221x y a b +=经过点 ( ) 2,1”的充分不必要条件。 2.已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++,则实数m 的取值范围为( B ). A . 1m > B . 312m << C .3 32 m << D .3m > 答案:B. 解答:由题意可知: 222 (1)2(2)(1)(1) m m m m m m m m ++>+??+>++++?解得3 12m <<。 3. 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为BB 1的中点, 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C ). A . 36 B . 1 2 C . 3 3 D .63 答案:C. 解答:以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则 11 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,) 2 D A C D M ,且平面 1ACD 的法向量为 1n = (1,1,1),平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =- 。因此123 cos ,3 n n <>= ,即二面角第3题图 M C 1 B 1D 1 A 1 C D A B
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00-11∶00 满分150分 一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)。每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(02)B ,,点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △,则点C 的坐标为( ) A .(13), B .(33), C .(33), D .(31), 【答案】 B 【解答】如图,设CD x ⊥轴于点D 。 依题意,23CA OA ==,260CAO BAO ∠=∠=?。 所以,3CD =,3AD =,3OD =。 因此,点C 的坐标为(33), 。 2.若实数a ,b 满足232a a +=,232b b +=,且a b ≠,则22(1)(1)a b ++=( ) A .18 B .12 C .9 D .6 【答案】 A 【解答】依题意,a ,b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此,由韦达定理得,3a b +=-,2ab =-。 []22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解:222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3.若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根,则符合条件的所有实数a 的值的总和为( ) A .6- B .30- C .32- D .38- 【答案】 D 【解答】方程 22240224 x x x a x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根,则168(8)0a =-+=△,6a =-。 6a =-时,方程①的根121x x ==-,符合要求。 若2x =是方程①的根,则8880a +++=,24a =-,此时,方程①的另一个根为4x =-,符合要求。 若2x =-是方程①的根,则8880a -++=,8a =-,此时,方程①的另一个根为0x =,符合要求。
福建省2017-2018学年高一数学竞赛试题 一、选择题:本大题共6个小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|1327x A x =≤≤,{} 22|log ()1B x x x =-<,则A B =( ) A .(12), B .(]13-, C .[)02, D .(1) (02)-∞-,, 2.若直线l 与两直线1l :70x y --=,2l :1313110x y +-=分别交于A ,B 两点,且线段AB 中点为(12)P ,,则直线l 的斜率为( ) A .2- B .3- C .2 D .3 3.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、E 分别为棱BC 、 1BB 的中点,N 为正方形11B BCC 的中心.l 为平面1A MN 与平面1A MN 与平面1D BE 的交线,则直线l 与正方体底面ABCD 所成角的大小为( ) A .30? B .45? C .60? D .90? 4.如图,在三棱锥S ABC -中,6SA SB AB BC CA =====,且侧面ASB ⊥底面ABC ,则三棱锥S ABC -外接球的表面积为( ) A .60π B .56π C.52π D .48π 5.已知定义在R 上的函数()f x 满足:(](]2 2210()201x x f x x x ?--∈-?=?-∈?? ,,,,且(2)()f x f x += ,
52()2 x g x x -= -,则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为( ) A .14 B .12 C.11 D .7 6.已知点(20)A -,,(20)B ,,(02)C ,,直线y kx b =+(0k >)交线段CA 于点D ,交线段CB 于点E .若CDE △的面积为2,则b 的取值范围为( ) A .11), B .223?? ???, C.324??- ???, D .213???, 二、填空题:每题6分,满分36分. 7.函数23 ()log )f x x ?? ??=??????? 的最小值为 . 8.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PA AB =.E 、F 分别为PD 、BC 的中点,则二面角E FD A --的正切值为 . 9.若函数22()24f x x ax a =-+-在区间2 2a a ??-??,(0a >)上的值域为[]40-,,则实数a 的取值范围为 . 10.已知集合{}13579A =, ,,,,集合a B a A b A a b b ?? =∈∈≠???? ,,且,则集合B 中元素的个数为 . 11.n 的和为 . 12.给出下列10个数:1,2,4,8,16,32,64,a ,b ,c ,其中a ,b ,c 为整数,且64c b a >>>.若对每个正整数753n ≤,都可以表示成上述10个数中某些数的和(可以是1个数的和,也可以是10个数的和,每个数至多出现1次) ,则b 的最小值为 . 三、解答题:本大题共5小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.已知DEF △三边所在的直线分别为1l :2x =-, 2l :40x +-=,3l :40x --=,C 为DEF △的内切圆. (1)求C 的方程;
2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查 地理试题 第I 卷(选择题。共44分) 本卷共22小题,每小题2分,共计44分。在每小题列出的四个选项中,只有一项是最 符合题目要求的。 云桂高铁自昆明到南宁, 如图1所示,在杨关站接入南宁铁路枢纽时设计了两个初选方 案,方案I 客运线直达南宁站; 方案n 客运线经过南宁南站到达南宁站。 读图完成1—2题。 图1 1 ?选择方案n 的理由主要是 A ?跨河桥梁较少 B ?沿途站点较少 C .建设成本较低 D .线路长度较短 2?与方案I 相比,实施方案n 可能带来的影响是 A ?导致南宁站的负荷增加 B ?促进南宁城区向西北扩展 C ?导致南宁南站的地位下降 D ?促进南宁南站附近商业发展 就业人口密度即单位面积中某一行业就业人口的多少。 图2示意以上海为中心的长三角 地区2000年和2009年纺织服装、鞋帽制造业就业人口密度的空间变化。 读图完成3?4题。 ????:??: il-'diiSriir?!:*:-? 帀;亍用述再回苗应;叮芳U 工南n 3站.: 方案 HE Gia 匡1城区 ?火车站 一原有铁路 二问?云桂鬲铁 0 5km ?:?■?: 图2
3?与甲地相比,乙地发展纺织服装、鞋帽制造业的主要区位优势是 A .地价较低 B .历史悠久 C .交通便捷 D .原料充足 4?图中所示的2000?2009年长三角地区就业人口密度的变化,将主要导致 A .城市化水平的提高 B .高新技术产业发展 c .第一产业产值降低 D .环境人口容量增大 山药是缠绕性藤本植物,其地下根茎可食、可入药,幼苗期不耐寒,性喜光,宜在排水 良好处种植。图3示意华北某山药种植基地的地形,图4示意该地采用攀爬网种植山药。读图完成5—6题。 5. 甲、乙、丙、丁四处中,种植山药条件最好的是 A .甲8 .乙C .丙D .丁 6. 种植山药采用攀爬网的主要目的是 A .减轻霜冻对幼苗的危害 B .有利于田间排水 C .有利于山药的充分采光 D .便于果实的收获 图5示意长江口部分沙岛群演变过程。读图 完成7?9题。 7. 1880 —1945年,①、②、③、④四处 侵蚀速率大于堆积速率的是 A .① B .② C .③ D .④ &据河口沙岛群的空间演变趋势,推测 长江河口地区一百多年来 A .河口不断拓宽,河道不断变深B C.北航道航行条件始终好于南航道 D 9.近年来长江 口水下沙洲淤积速度变慢,其原因可能是流域内 A .河流输沙量增大8 .湖泊面积减小 C .植被覆盖率提高 D .降水强度变大 图3图4 .海水侵蚀作用大于河流堆积作用 海平面上升速率小于泥沙沉积速率
大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标 准 The latest revision on November 22, 2020
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00-11∶00 满分150分 一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)。每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根,则32442m m m ++-的值为( ) A .3- B .2- C .1- D .1 2.如图,ABCD 、DEFG 都是正方形,边长分别为m 、n (m n <)。坐标原点O 为 AD 的中点,A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点,则n m =( ) A .31+ B .21+ C .231- D .221- 3.如图,G 为ABC △的重心,点D 在CB 延长线上,且1 2 BD BC =,过D 、G 的直线交AC 于点E ,则 AE AC =( ) A .2 5 B .3 5 C . 3 7 D . 47 4.如图,H 、O 分别为ABC △的垂心、外心,45BAC ∠=?,若ABC △外接圆的半径 为2,则AH =( ) A .23 B .22 C .4 D .31+ 5.满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y , 有( ) H O B C A (第4题图) (第2题图) E G B D (第3题图)
2015年福建省高一数学竞赛试题 (考试时间:5月10日上午8:30-11:00) 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.集合{}13A x x x N =-<∈,的子集有( ) A .4个 B .8个 C .16个 D .32个 【答案】 C 【解答】由13x -<,知24x -<<,结合x N ∈,得{}0123A =,,,。 ∴ A 的子集有4216=个。 2.若直线2l 与直线1l :21y x =-关于直线y x =对称,则2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A .1 B . 23 C .12 D .14 【答案】 D 【解答】在直线1l :21y x =-取点(01)A -,,则(01)A -,关于直线y x =的对称点(10)A '-,在直线2l 上。 又直线1l 与直线y x =的交点(11)P ,在直线2l 。 ∴ 2l 过(10)A '-,和(11)P ,两点,其方程为11 22 y x = +。 ∴ 2l 与坐标轴交于(10)-,和1(0)2,两点,2l 与坐标轴围成的三角形的面积为1 4 。 3.给出下列四个判断: (1)若a ,b 为异面直线,则过空间任意一点P ,总可以找到直线与a ,b 都相交。 (2)对平面α,β和直线l ,若αβ⊥,l β⊥,则l α∥。 (3)对平面α,β和直线l ,若l α⊥,l β∥,则αβ⊥。 (4)对直线1l ,2l 和平面α,若1l α∥,21l l ∥,且2l 过平面α内一点P ,则2l α?。 其中正确的判断有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】 B 【解答】(3)、(4)正确;(1)、(2)不正确。 对于(1),设a a '∥,过a '和b 的平面为α,则当点P 在平面α内,且不在直线b 上时,找不到直线同时与a ,b 都相交。
准考证号 _____________________ 姓名 ______________ (在此卷上答题无效) 机密★启用前 2016年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学 本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分.第I 卷 1至3页,第n 卷4至6页, 满分 150 分. 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上?考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2 ?第I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号?第n 卷用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作 答?若在试题卷上作答,答案无效. 3 ?考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回. 第I 卷 12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 (1)已知 a,b R , i 是虚数单位,若 i 与2 bi 互为共轭复数,则 2 (a bi) (A) 3 4i (B) 3 4i (D) 5 (C ) 5 4i (2)执行如图所示的程序框图,若要使输出的 4i y 的值等于3, 则输入的x 的值可以是 (A) 1 (B) (C ) 8 (D) (3)已知cos 2,则 sin2 的值等于 珀束+ ?选择题:本大题共