2014年福建省高中数学竞赛
暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷
（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线1l ：260ax y ++=，2l ：2(1)10x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a = 。 2
．函数2()sin cos f x x x x =+（122x ππ??
∈????
，）的值域为 。 3．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，60CDA ∠=?。则三棱锥D ABC -的体积为 。
4．已知1F 、2F 为双曲线C ：2
2
124
y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限。若
124
3
PF PF =，则12PF F △内切圆半径为 。 5．已知集合{}2280A x x x =+->，{}2240B x x ax =-+≤。若0a >，且A B ?中恰有1个整数，则a 的取值范围为 。
6．若分数
p
q
（p ，q 为正整数）化成小数为0.198
p q =，则当q 取最小值时，
p q += 。
7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。 8．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，。平面区域D 由所有满足AP AB AC
λμ=+（1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，
组成的区域。若区域D 的面积为8，则a b +的最小值为 。
9． 23
201488889999A ????
????=+++
+??????????????
??
被63除的余数为 。
（符号[]x 表示不超过x 的最大整数。）
10．若a ，b ，c 为关于x 的方程320x x x m --+=的三个实根，则m 的最小值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．已知{}n a 为递增的等比数列，且126a a +=，3424a a +=。2
(1)n
n n a b a =-，数列{}
n
b 的前n 项和为n T ，求证：对一切正整数n 均有，3n T <。
12．已知F 为椭圆C ：22
143
x y +=的右焦点，椭圆C 上任意一点P 到点F 的距离与点P 到
直线l ：x m =的距离之比为
12
。 （1）求直线l 方程；
（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点F 的直线交椭圆C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交于M 、N 两点。以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
13．如图，在五边形ABCDE 中，BC AE ∥，AB BC AE =+，ABC CDE ∠=∠，M 为CE 中点，O 为BCD △的外心，且OM MD ⊥。延长DM 至点K ，使得MK MD =。
（1）求证：BKC BDC ∠=∠； （2）求证：2ABC BDA ∠=∠。
14．已知1
()ln(1)311
f x a x x x =++
+-+。 （1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：222
2
234
11
ln(21)411421431
414
n n n +++++
>+?-?-?-?-对一切正整数n 均成立。
15．给定2014个和为1的非负实数1a ，2a ，3a ，…，2014a 。
证明：存在1a ，2a ，3a ，…，2014a 的一个排列1x ，2x ，3x ，…，2014x ，满足
122320132014201411
2014
x x x x x x x x ++
++≤
。
2014年福建省高中数学竞赛
暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线1l ：260ax y ++=，2l ：2(1)10x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a = 。 【答案】
23
【解答】12212(1)03
l l a a a ⊥??++-=?=。 2．函数23()3sin sin cos f x x x x =+-
（122x ππ??
∈????
，）的值域为 。 【答案】 112x ??
∈-????
， 【解答】1cos 21313()3sin 2sin 2cos 2sin(2)222223
x f x x x x x π
-=?
+-=-=-。 由122x ππ??
∈????
，知，22633x πππ-≤-≤，1sin(2)123x π-≤-≤。
3．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，60CDA ∠=?。则三棱锥D ABC -的体积为 。
【答案】
4
3
【解答】如图，作DE ABC ⊥面于E ，连EA 、EC 、ED 。 ∵ BC CD ⊥，DA AB ⊥，
∴ EC CB ⊥，EA AB ⊥，四边形EABC 为矩形。 由AB BC =知，四边形EABC 为正方形，且DA DC =。 又60CDA ∠=?，因此，DAC △为正三角形，DA AC =。 ∴
2222EA ED EA EC +=+。于是，2ED EC ==。
∴ 三棱锥D ABC -的体积为114
(22)2323
????=。
4．已知1F 、2F 为双曲线C ：2
2
124
y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限。若124
3
PF PF =，则12PF F △内切圆半径为 。
【答案】 2
【解答】设14PF t =，则23PF t =，12432t t PF PF -=-=。
于是，2t =，18PF =，26PF =，
结合1210F F =知，12PF F △为直角三角形，12PF PF ⊥。 ∴ 12PF F △内切圆半径6810
22
r +-=
=。 5．已知集合{}2280A x x x =+->，{}2240B x x ax =-+≤。若0a >，且A B ?中恰有1个整数，则a 的取值范围为 。
【答案】 13562??
????
，
【解答】{}42A x x x =<->或。
设2()24f x x ax =-+，则()f x 的轴对称0x a =>。 由(4)16840f a -=++>，知{}4B x x φ?<-=。 因此，A B ?中恰有的一个整数为3。
∴ (3)9640(4)16840f a f a =-+≤??=-+>?，解得13562a ≤<。故，a 的取值范围为13562??????，。
6．若分数
p
q
（p ，q 为正整数）化成小数为0.198
p q =，则当q 取最小值时，
p q += 。
【答案】 121 【解答】由10.1985p
q
=<
，知1
5
p q <，5q p >，记5q p m =+（m 为正整数）。 于是，
0.198
5p
p m
=+，0.198(5)0.199(5)p m p p m +<<+。
∴ 19.839.8m p m <<。
当1m =时，2039p ≤≤，取20p =，1m =时，q 最小为101。 又
20
0.198********
=符合要求。故，当q 最小时，121p q +=。
7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。 【答案】
5
12
【解答】投掷3粒骰子共有36216=种可能。考虑7162534=+=+=+。
投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有66630?-=（种）。
（分为(16)?，，，(16)?，，，(61)?，，，(61)?，，，(16)?，，，(61)?，，这6种可能，每类有6种情况。其中，(161)，，，(166)，，，(116)，，，(611)，，，(616)，，，(661)，，重复出现）
同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均为30种。
∴ 投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有33090?=种可能。 ∴ 所求概率为
905
21612
=。 8．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，。平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，组成的区域。
若区域D 的面积为8，则a b +的最小值为 。 【答案】 4
【解答】如图，延长AB 至点N ，延长AC 至点M ，使得
AN a AB =，AM b AC =。
四边形ABEC 、ANGM 、EHGF 均为平行四边形。 由条件知，点()P x y ，组成的区域D 为图中的阴影部分，即四边形EHGF （不含边界EH 、EF ）。
∵ (31)AB =，
，(13)AC =，，(22)BC =-，。 ∴
10AB =，10AC =，22BC =，
3cos 5
21010CAB ∠=
=??，4
sin 5CAB ∠=。
∴ 四边形EHGF 的面积为4
(1)10(1)1085
a b -?-?=。 ∴ (1)(1)1a b --=，11(
1)(1)211
a b a a a a +=++=-++--。 由1a >，1b >知，当且仅当11a -=，即2a b ==时，a b +取最小值4。
9． 23
201488889999A ????
????=+++
+??????????????
??
被63除的余数为 。
（符号[]x 表示不超过x 的最大整数。）
【答案】 56
【解答】∵ 对任意正整数k ，2189k -与289
k 均不是整数，且
2122188899k k
k --+=。 ∴ 对任意正整数k ，2122122188881817(mod 63)9999k k k k k ---????+=+-=-≡????????
。
∴ 23
201488881007756(mod 63)9999A ????
????=+++
+≡?≡????????????????
。
10．若a ，b ，c 为关于x 的方程320x x x m --+=的三个实根，则m 的最小值为 。
【答案】 5
27
-
【解答】依题意，有32()()()x x x m x a x b x c --+=---。 ∴ 3232()()x x x m x a b c x ab bc ca x abc --+=-+++++-。
∴ 1()1a b c ab bc ca m abc -=-++??-=++??=-?，11a b c ab bc ca m abc ++=??
++=-??=-?
。
∴ 21()1()1(1)1bc ab ca a b c a a a a =--+=--+=---=--。
2222()2()3a b c a b c ab bc ca ++=++-++=。
∴ 21a ≤，21b ≤，21c ≤中至少有一个成立。不妨设21a ≤，11a -≤≤。 ∴ 232(1)m abc a a a a a a =-=---=-++。
设32()m f a a a a ==-++，则2()321(31)(1)f a a a a a '=-++=-+-。
∴ 113a -<<-时，()0f a '<；113a -<<时，()0f a '>。()f a 在113?
?--????，上为减函数，在113??
-????
，上为增函数。 ∴ m 有最小值15()327f -=-。此时，13a =-，13b =-，53c =或13a =-，53b =，1
3
c =-。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．已知{}n a 为递增的等比数列，且126a a +=，3424a a +=。2
(1)
n
n n a b a =-，数列{}
n b 的前n 项和为n T ，求证：对一切正整数n 均有，3n T <。
【解答】设{}n a 的公比为q ，则0q >。
由126a a +=，3424a a +=，知1123
11624a a q a q a q +=??+=?，12
2
a q =??=?。 ∴ 1222n n n a -=?=。 …………………………… 5分
∴ 222(1)(21)n
n n n n a b a ==
--。 ∵ 2n ≥时，
1211222211
(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121
n n n n n n n n n n n n n n b ---==<==----------，
…………………………… 10分
∴ 2n ≥时，
1223111111
11
(
)()(
)21321212121
212121
n n n n
T b -<+-+-++-=+-<-------。 ……………………………… 15分
又1n =时，1123T b ==<。
∴ 对一切正整数n 均有3n T <。 …………………………… 20分
12．已知F 为椭圆C ：22
143
x y +=的右焦点，椭圆C 上任意一点P 到点F 的距离与点P 到
直线l ：x m =的距离之比为
12
。 （1）求直线l 方程；
（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点F 的直线交椭圆C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交于M 、N 两点。以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
【解答】（1）(10)F ，，设()P x y ，为椭圆C
1
2
=。 ∴ 2224(1)4()x y x m -+=-。将224123y x =-代入，并整理得2(82)160m x m -+-=。 由点()P x y ，为椭圆上任意一点知，方程2(82)160m x m -+-=对22x -≤≤的x 均成立。 ∴ 820m -=，且2160m -=。解得4m =。
∴ 直线l 的方程为4x =。 …………………… 5分 （2）易知直线DE 斜率不为0，设DE 方程为1x ty =+。
由221
14
3x ty x y =+??
?+=?
?，得22(34)690t y ty ++-=。
设11()D x y ，
，22()E x y ，，则122634t y y t -+=+，12
29
34
y y t -=+。 …………… 10分 由(20)A -，
，知AD 方程为1100(2)2y y x x --=++，点M 坐标为116(4)2
y
M x +，。 同理，点N 坐标为226(4)2
y
N x +，。 ………………… 15分
由对称性，若定点存在，则定点在x 轴上。设(0)G n ，
在以MN 为直径的圆上。 则21212
12126636(4)(4)(4)022(2)(2)
y y y y GM GN n n n x x x x ?=-?-=-+
=++++，，。 ∴ 221212
21212123636(4)(4)0(3)(3)3()9
y y y y n n ty ty t y y t y y -+=-+=+++++。
即222
36(9)
(4)093(6)9(34)
n t t t t ?--+
=-+-++，2(4)90n --=，1n =或7n =。 ∴ 以MN 为直径的圆恒过x 轴上两定点(10)，
和(70)，。 ………………… 20分 注：若只求出或证明两定点中的一个不扣分。
也可以由特殊的直线l ，如1x =，得到圆与x 轴的交点(10)，
和(70)，后，再予以证明。
13．如图，在五边形ABCDE 中，BC AE ∥，AB BC AE =+，ABC CDE ∠=∠，M 为CE 中点，O 为BCD △的外心，且OM MD ⊥。延长DM 至点K ，使得MK MD =。
（1）求证：BKC BDC ∠=∠； （2）求证：2ABC BDA ∠=∠。
【解答】（1） ∵ M 为KD 中点，且OM MD ⊥， ∴ OK OD =，点K 在BCD △的外接圆上。 ∴ BKC BDC ∠=∠。 ………… 5分
（2）延长AE 至点T ，使得ET BC =。联结TB ，TC ，
TD ，TK ，KE 。
由AB BC AE =+知，AT AB =。 又BC AE ∥。
∴ CBT BTA ABT ∠=∠=∠，2ABC BTA ∠=∠，且四边形BCTE 为平行四边形。 ∴ M 也是BT 中点。 …………… 10分 ∴ 四边形BKTD 为平行四边形，BKD KDT ∠=∠。 四边形KCDE 为平行四边形，CKD KDE ∠=∠。 ∴ BKC BKD CKD ∠=∠-∠
KDT KDE EDT =∠-∠=∠。
∴ BDC BKC EDT ∠=∠=∠。 ……… 15分 ∴ BDT BDE EDT BDE BDC ∠=∠+∠=∠+∠
CDE ABC =∠=∠。
∴ 180BDT BAT ABC BAT ∠+∠=∠+∠=?。 ∴ B 、A 、T 、D 四点共圆。 ∴ BDA BTA ∠=∠。
∴ 22ABC BTA BDA ∠=∠=∠。 …………… 20分
14．已知1
()ln(1)311
f x a x x x =++
+-+。 （1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：2222
23411
ln(21)411421431
414
n n n ++++
+
>+?-?-?-?-对一切正整数n 均成立。
【解答】（1）22222
13(1)(1)13(6)2()31(1)(1)(1)
a x a x x a x a f x x x x x +++-++++'=-+==++++。 若2a ≥-，则60a +>，0x >时，()0f x '>。此时，()f x 在区间[)0+∞，上为增函数。 ∴ 0x ≥时，()(0)0f x f ≥=。2a ≥-符合要求。 …………………… 5分 若2a <-，则方程23(6)20x a x a ++++=有两个异号的实根，设这两个实根为1x ，2x ，且120x x <<。
∴ 20x x <<时，()0f x '<。()f x 在区间[]20x ，上为减函数，2()(0)0f x f <=。 ∴ 2a <-不符合要求。
∴ a 的取值范围为[)2-+∞，。 …………………… 10分 （2）由（1）知，0x >时，不等式1
2ln(1)3101
x x x -+++->+恒成立。 ∴ 0x >时，
1
312ln(1)1
x x x +->++恒成立。 令2
21
x k =
-（*k N ∈），得122
312ln(1)2
2121
121
k k k +?
->+--+-， 整理得 2
8821
2ln 4121
k k k k ++>--。 …………………… 15分 ∴
21121
ln
41421
k k k k ++>--。令1k =，2，3，…，n ，得 2213ln 41141>?-，2315ln 42143>?-，2417ln 43145>?-，…，21121
ln 41421
n n n n ++>?--。
将上述n 个不等式的左右两边分别相加，得
222
2
234
11357
211
ln()ln(21)411421431
414135214
n n n n n ++++++
>????
=+?-?-?-?--。 ∴
222
2
234
11
ln(21)411421431414
n n n +++++
>+?-?-?-?-对一切正整数n 均成立。 …………………………… 20分
15．给定2014个和为1的非负实数1a ，2a ，3a ，…，2014a 。
证明：存在1a ，2a ，3a ，…，2014a 的一个排列1x ，2x ，3x ，…，2014x ，满足
122320132014201411
2014
x x x x x x x x ++
++≤
。 【解答】为方便起见，称和式12232013201420141y y y y y y y y ++
++为2014个实数1y ，2y ，…，
2014y 的“循环和式”。
由于2014个排列：1b ，2b ，3b ，…，2014b ； 2b ，3b ，…，2014b ，1b ； 3b ，4b ，…，2014b ，
1b ，2b ；……；2014b ，1b ，2b ，…，2013b 。对应的“循环和式”是同一个“循环和式”。
因此，1a ，2a ，3a ，…，2014a 的2014!个排列对应2013!个“循环和式”。
………………………… 5分
记这2013!个“循环和式”为1P ，2P ，3P ，…，k P 。其中2013!k =。 设这2013!个“循环和式”总和为S ，即123k S P P P P =+++
+。
由于每一个m a （1m =，2，3，…，2014）在每个“循环和式”中均出现两次，因此，在
S 中共出现22013!?次。
∴
12014
22012i j i j S a a ≤<≤=??∑
（
）！。 ………………………… 10分
（这里
1213120142324220142013201412014
i j i j a a a a a a a a a a a a a a a a ≤<≤=++
++++
++
+∑
）
另一方面，由2222
2
1232014123201412014
2
()()i j i j a a a a a a a a a a ≤<≤=+++
+-+++
+∑
，
以及柯西不等式：22222222
2
12320141232014()(1111)()a a a a a a a a +++
+≤+++++++
+，
得 222
2
12320141
2014a a a a +++
+≥
，12014
1212014i j i j a a ≤<≤≤-∑。
∴
12014
2013
22014
i j i j a a ≤<≤≤
?∑
。 ……………………… 15分
∴ 20132013!
22012!220142014
S ≤
??=?。
∴ 1P ，2P ，3P ，…，k P 中至少有一个不大于12013!2014S ≤。设1
2014
l P ≤，则对应的“循环和式”为l P 的排列符合要求。
∴ 存在一个1a ，2a ，3a ，…，2014a 的排列符合要求。 …………………… 20分