2015年福建省高中数学竞赛
暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷
（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．设集合403x A x x Z x +??
=≤∈??-??
，，从集合A 中随机抽取一个元素x ，记2x ξ=，则随机
变量ξ的数学期望E ξ= 。
2．已知()()f x x g x =+，其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。若()f x 在区间
[)24，
上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为 。 3．1F 、2F 为椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使
得12PF PF ⊥，则椭圆离心率e 的取值范围为 。
4．已知实数x ，y ，z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为 。 5．已知函数2()cos
2
x
f x x π=，数列{}n a 中，()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}
n a 的前100项之和100S = 。
6．如图，在四面体ABCD 中，2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，且DA 与平面ABC
R = 。
7．在复平面内，复数1z 、2z 、3z 的对应点分别为1Z 、2Z 、3Z 。若12z z ==，
120OZ OZ ?=uuu r uuu r
，1231z z z +-=，则3z 的取值范围是 。
8．已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），则a 的取值范围为 。
9．已知2()2x f x m x nx =?++，若{}{
}
(
)0(())0x f x x f f x φ===
≠，则m n +的取值范围
为 。
10．若214sin
sin
sin tan 9
9929
n π
πππ
+++=L ，则正整数n 的最小值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11
．求函数2y x =
12．已知过点(01)P ，
斜率为k 的直线l 交双曲线C ：2
2
13
y x -=于A 、B 两点。 （1）求k 的取值范围；
（2）若2F 为双曲线C 的右焦点，且226AF BF +=，求k 的值。
13．如图，I 、D 分别为ABC △的内心、旁心，BC 与圆I 、圆D 相切，切点分别为E 、F ，
G 为AD 与BC 的交点。
（1）求证：
AI GE
AD GF
=； （2）若M 为EF 中点，求证：AE DM ∥。
（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）
14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整
点三角形。求以点(201572015)I ?，
为内心且直角顶点在坐标原点O 的整点直角三角形OAB 的个数。
15．若对任意的正整数m ，集合{}1299m m m m +++L ，，，，的任意n （3n ≥）元子集中，总有3个元素两两互素，求n 的最小值。
B
2015年福建省高中数学竞赛
暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．设集合403x A x x Z x +??
=≤∈??-??
，，从集合A 中随机抽取一个元素x ，记2x ξ=，则随机
变量ξ的数学期望E ξ= 。
【答案】 5
【解答】{}4321012A =----，，，，，，，随机变量ξ的取值为0，1，4，9，16。 易得，ξ的概率分布列为
∴ 122
11
0149165777
77
E ξ=?+?+
?+
?+?=。 2．已知()()f x x g x =+，其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。若()f x 在区间
[)24，
上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为 。 【答案】 9
【解答】依题意，有(2)(2)(2)()2()2f x x g x x g x f x +=+++=++=+。 ∵ ()f x 在区间[)24，上的最大值为1，
∴ ()f x 在区间[)46，上的最大值为3，在区间[)68，上的最大值为5，在区间[)810，上的最大值为7，在区间[)1012，上的最大值为9。
3．1F 、2F 为椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使
得12PF PF ⊥，则椭圆离心率e 的取值范围为 。
【答案】12?
????
， 【解答】设A 为椭圆C 的上顶点，依题意有1290F AF ∠≥?。
∴ 245F AO ∠≥?，1c b ≥。222
c a c ≥-，2212c a ≥，
12
e ≤<。 4．已知实数x ，y ，z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为 。 【答案】 12-
【解答】由柯西不等式，知
22222
222(23)(1)1(23)144x y z x x y z ??++=?≤++?++=??
。
∴ 2312
x y z ++≥-，当且仅当
1x ==
，即2x y z ===-时等号成立。 ∴ 23x y z ++的最小值为12-。 5．已知函数2()cos
2
x
f x x π=，数列{}n a 中，()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}
n a 的前100项之和100S = 。
【答案】 10200
【解答】依题意，有100
2222221001()2468981004(3799)n T f n ===-+-+--+=+++∑L L
399
42551002
+=?
?=。 ∴ 1001002(1)(101)251000010200
S T f f =-+=?-+=。 6．如图，在四面体ABCD 中，2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，且DA 与平面ABC
所成角的余弦值为
3
则该四面体外接球半径R = 。
【答案】【解答】如图，作DO ABC ⊥面于O ，连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结DE 。则D A E ∠是DA 与平面ABC 所成的角，
c o s D A E ∠=
。
∵ 2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，
∴ DA DBC ⊥面，O 为ABC △的外心，且AB AC ==。
∴ DA DE ⊥，E 为BC 中点，结合c o s 3
D A
E ∠=
知，
AE =，BE ==
∴ 2B C B E ==DB DC ⊥。
∴ DA 、DB 、DC 两两互相垂直，四面体外接球半径R =
7．在复平面内，复数1z 、2z 、3z 的对应点分别为1Z 、2Z 、3Z 。若12z z ==，
120OZ OZ ?=uuu r uuu r
，1231z z z +-=，则3z 的取值范围是 。
【答案】 []13，
【解答】设111z x y i =+，222z x y i =+（i 为虚数单位），
∵ 12
z z ==120OZ OZ ?=uuu r uuu r
，
∴ 2222
11222x y x y +=+=，12120x x y y +=，
122z z +==。
设复数12z z +对应的点为P 。由1231z z z +-=知，点3Z 在以P 为圆心，1为半径的圆上。 又2OP =，因此，32121OZ -≤≤+，即3z 的取值范围是[]13，。
8．已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），则a 的取值范围为 。
【答案】 1(0)2
，
【解答】()()(1)(12)x x x x x x f x e x ae e ae x ae e '=-+-=+-。 依题意，()(12)0x x f x x ae e '=+-=有两个不同的实根。
设()12x g x x ae =+-，则()12x g x ae '=-，()0g x =有两个不同的实根。 若0a ≤，则()1g x '≥，()g x 为增函数，()0g x =至多1个实根，不符合要求。 若0a >，则当1ln
2x a <时，()0g x '>；1ln 2x a
>时，()0g x '<。 ∴ ()g x 在区间1ln 2a ??-∞ ???，上为增函数，1ln 2a ??
+∞????
，上为减函数。
∴ ()g x 的最大值为111
(ln
)ln 11ln 222g a a a
=+-=。 又x →-∞时，()12x g x x ae =+-→-∞；x →+∞时，()12x g x x ae =+-→-∞。 ∴ 当且仅当11(ln
)ln 022g a a =>，即102
a <<时，()0g x =恰有2个不同的实根。 设()0g x =的两根为1x ，2
x （12x x <）。则1x x <时，()0g x <，()0f x '<；12x x x <<时，()0g x >，()0f x '>；2x x >时，()0g x <，()0f x '<。
∴ 1x 为()f x 的极小值点，2x 为()f x 的极大值点。1
02
a <<
符合要求。 ∴ a 的取值范围为1
(0)2
，。
9．已知2()2x f x m x nx =?++，若{}{
}
(
)0(())0x f x x f f x φ===
≠，则m n +的取值范围
为 。
【答案】 [)04，
【解答】设{}1()0x x f x ∈=，则12111()20x
f x m x nx =?++=。
∴ 1(())
(0)0
f f x f m ===。 ∴ 2()f x x nx =+，222222(())()()()()()f f x f x nx x nx n x nx x nx x nx n =+=+++=+++。 由{}{}()0(())0x f x x f f x ===知，方程20x nx n ++=的解集A 是方程20x nx +=的解集
B 的子集。
若A φ=，则240n n =-<△，04n <<。
若A φ≠，设0x A ∈，则2002000
x nx n x nx ?++=??+=??，得0n =。
又04n ≤<时，{}()0x f x φ=≠，
所以，04n ≤<。m n +的取值范围是[)04，。 10．若214sin
sin
sin tan 9
9929
n π
πππ+++=L ，则正整数n 的最小值为 。 【答案】 4
【解答】由cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，知
2sin sin cos()cos()αβαβαβ=--+。
∴ 32s i n s i n c o s c o s 9
18
18
18
π
π
π
π?
=-， 2352sin
sin cos cos 9181818
ππππ?=-， ……………
(21)(21)2sin
sin cos cos 9181818
n n n ππππ-+?=- 上述各式左右两边分别相加，得
2(21)2(sin
sin
sin )sin cos cos 9
99181818
n n π
πππππ
++++?=-L 。 ∴ 14(21)2t a n s i n c o s c o s 2918
18
18n πππ
π+?
?=-
，(21)cos cos cos 181818
n πππ+=-。
∴ (21)c o s 018n π+=，(21)182
n k ππ
π+=+（k Z ∈），94n k =+（k Z ∈）。 ∴ 正整数n 的最小值为4。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11
．求函数2y x = 【解答一】由24830x x -+≥，得12x ≤
或32
x ≥。 ∴ 函数的定义域为1322????
-∞?+∞ ???????
，，。 ……………………… 5分
记()2y f x x ==
()22f x '==+
当32x >
时，易知()0f x '>
。()2f x x =32??
+∞????，上为增函数。 ∴ 32x ≥时，()f x 的最小值为3
()32
f =。 ………………………… 10分 当12x <
时，4(1)()22202(1)x f x x -'=+=<-=-。
∴ ()f x 在12?
?-∞ ??
?，上为减函数，12x ≤时，()f x 的最小值为1()12f =。 ……… 15分
综合得，函数2y x =1。 ……………… 20分 【解答二】
函数化为(22)2y x =-+。 由2(22)1x -≥，知221x -≥，可设122sin x α-=
（22
ππ
α-≤≤，且0α≠） ………………………… 5分
当02
π
α<≤
时，11cos 1
222sin sin tan 2
y αααα+=
=+=+，当2πα=，即32x =时，
y 取最小值3。 ……………………… 10分
当02
π
α-
≤<
时，11cos 22tan 2
sin sin 2
y αα
αα-=
=+=+，当2πα=-，即12x =时，y 取最小值1。 ………………………… 15分
综合得，函数2y x =1。 …………………… 20分 或换元后利用导数求解。
【解答三】由2y x =+22(2)483y x x x -=-+，
∴ 2
2
2
44483y x y x x x -+=-+，23
48
y x y -=
-。 …………………… 5分 依题意，有2y x ≥，因此，231
482
y y y -≤-。 ………………… 10分
∴ 23
024
y y y --≥-，
(3)(1)02(2)y y y --≥-，解得12y ≤<或3y ≥。 …………… 15分
将1y =代入方程2y x =1
2
x =
。
∴ 1y =在函数2y x =
∴ 函数2y x =1。 ………………………… 20分
12．已知过点(01)P ，斜率为k 的直线l 交双曲线C ：2
2
13
y x -=于A 、B 两点。 （1）求k 的取值范围；
（2）若2F 为双曲线C 的右焦点，且226AF BF +=，求k 的值。 【解答】（1）设l 方程为1y kx =+。
由2
2131y x y kx ?-
=???=+?，得22(3)240k x kx ---=……… ①。 ∵ 直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，
∴ 2
22
30416(3)0
k k k ?-≠??=+->??△，解得22k -<<
，且k ≠ ∴ k
的取值范围为(2(2)-??，。 …………… 5分 （2）设11()A x y ，，22()B x y ，。则12223k x x k +=
-，122
4
3x x k
-=-。又2(20)F ，， ∴
213)21A F x ==-，
2221BF x =-。 ………………………… 10分
∵ 2121212
222164413(21)(21)42()11333k k k x x x x x x k
k
k
-++--
=-
++=-+=----，
∴ 23k <时，12(21)(21)0x x --<，
221212122121(21)(21)2AF BF x x x x x x +=-+-=---=-
==
。 由226AF BF +=
，得2
6
3k =-，解得2
1k =或21133k =>（舍去）。 ∴ 21k =，1k =±。 …………………………… 15分
234k <<时，12(21)(21)0x x -->，
221212122121(21)(21)21AF BF x x x x x x +=-+-=-+-=+-2
2213k
k =--。 由226AF BF +=，得2
22
163k
k
-=-，解得2k =-或32k =
或k =，均不符合，舍去。此时，满足条件的k 不存在。
综上可得，k 的值为1或1-。 …………………………… 20分
13．如图，I 、D 分别为ABC △的内心、旁心，BC 与圆I 、圆D 相切，切点分别为E 、F ，
G 为AD 与BC 的交点。
（1）求证：
AI GE
AD GF
=； （2）若M 为EF 中点，求证：AE DM ∥。
（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）
【解答】（1）设圆I 、圆D 的半径分别为r 、R ， 则
AI r
AD R
=。 …………………… 5分 （作IP AB ⊥于P ，DQ AB ⊥于Q ，则
AI IP r
AD DQ R
==。） 由条件知，A 、I 、D 三点共线，IE BC ⊥，DF BC ⊥。
∴ I E D F ∥，
GE IE r
GF DF R
==。 ∴
AI GE
AD GF
=。 ………………… 10分 （2）由AI GE GI AD GF GD ==，得AI GI GE
AD GD GF
+=+， 即AG GE AD GD GF
=+。
∴
A G
G E
A D G D A G G F G E
=
+--。 ………… 15分 ∵ M 为EF 中点，
()2GF GE MF MG ME MG MG -=+--=，
∴
22AG GE DG MG =，即AG GE
DG GM
=。 结合EGA MGD ∠=∠，可得EGA MGD △∽△。因此，GEA GMD ∠=∠。
∴ A E D M ∥。 ………………………………… 20分 另解：设ID 的中点为N ，则由I E
D F ∥，M 为EF 中点知，MN I
E D
F ∥∥，且1
()2
MN DF IE =
-。 由
AI IE AD DF =，可得AI IE AD AI DF IE =--，22AI IE DN MN =，即AI IE
DN NM
=。……… 15分 又AIE DNM ∠=∠。
∴ A I E
D N M △∽△，EAI MDN ∠=∠。 ∴ A
E D M ∥。 ………………………………… 20分
B
14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点(201572015)I ?，为内心且直角顶点在坐标原点O 的整点直角三角形OAB 的个数。
【答案】不妨设点A 在第一象限。
设xOI α∠=，则tan 7α=，直线OA 的斜率tan 1713
tan()41tan 174
OA k πααα--=-=
==++。 ∴ 4
3
OB k =-。 ……………………… 5分
由A 、B 为整点，设11(43)A t t ，，22(34)B t t -，，其中1t ，2t 为正整数。 ∴ 15O A t =，25OB t =。
∵ O A B △内切圆的半径2015520152
r OI ===?。 又2OA OB AB
r +-=
，2AB OA OB r =+-，
2
2
2
2(2)AB
OA OB r OA
OB
=+-=+。
∴ 222
1212(55252015)2525t t t t +-??=+。。 ………………… 10分 ∴ 2221212(22015)t t t t +-?=+。
设12015t x =+，22015t y =+，则222()(2015)(2015)x y x y +=+++。
∴ 2201520152015xy x y =++，2222(2015)(2015)22015251331x y --=?=???。
…………………………… 15分
由2OA r >，2OB r >知，2015x -，2015y -为正整数，又222251331???的正因数有
233354???=个。
∴ 符合条件的()x y ，
有54组。 ∴ 符合条件的三角形有54个。 ……………………… 20分
15．若对任意的正整数m ，集合{}1299m m m m +++L ，，，，的任意n （3n ≥）元子集中，总有3个元素两两互素，求n 的最小值。
【答案】考察集合{}123100L ，，，，（1m =时）的67元子集： {}246100391599P =L L ，，，，，，，，，（偶数与被3整除的奇数）。 显然P 中不存在3个两两互素的元素。
∴ 67n ≤不符合要求。 …………………… 5分 引理：对任意的正整数m ，集合{}12345m m m m m m +++++，，，，，的任意5元子集中，总有3个元素两两互素。
引理的证明：设集合A 是集合{}12345m m m m m m +++++，，，，，的一个5元子集。 ∵ m ，1m +，2m +，3m +，4m +，5m +这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍数。 ∴ 若A 中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。
若A 中元素为2奇3偶。由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍数。因此，3个偶数中必有1个数既不是3的倍数，也不是5的倍数，它与2个奇数两两互素。结论成立。
∴ 引理成立。 …………………… 10分 对任意的正整数m ，将集合{}1299m m m m +++L ，，，，划分成如下17个集合：
{}112345A m m m m m m =+++++，，，，，， {}267891011A m m m m m m =++++++，，，，，， ……………
{}16909192939495A m m m m m m =++++++，，，，，，
{}1796979899A m m m m =++++，，，。 ……………………… 15分 显然上述17个集合的两两交集为空集，并集为集合{}1299m m m m +++L ，，，，。 设集合M 是集合{}1299m m m m +++L ，，，，的68元子集。
若集合M 有4个元素来自集合17A 。由于m 为奇数时，96m +、97m +、98m +两两互素；
m 为偶数时，97m +、98m +、99m +两两互素。因此，M 中至少有3个元素两两互素。 若集合M 至多3个元素来自集合17A 。则M 至少有65个元素来自集合1A 、2A 、…、16A 。根据抽屉原理，M 至少有5个元素来自同一个集合，不妨设它们来自集合1A 。由前面的引理可知，它们中存在3个两两互素的元素。
∴ 集合M 中总有3个两两互素的元素。
∴ 68n =符合要求，即对任意的正整数m ，集合{}1299m m m m +++L ，，，，的任意68元子集中，总有3个元素两两互素。
∴ n 的最小值为68。 ………………………… 20分
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理 科 数 学 注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝ （2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
2015年高考理科数学试卷全国1卷 1．设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B （C （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12 3．设命题p ：2 ,2n n N n ?∈>，则p ?为（ ） （A ）2 ,2n n N n ?∈> （B ）2,2n n N n ?∈≤ （C ）2,2n n N n ?∈≤ （D ）2,=2n n N n ?∈ 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（ （B ）（ （C ）（3- ，3） （D ）（3-，3 ） 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部 的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =- + （B ）1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC = + （D ）4133 AD AB AC =-
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 （5月10日8:30至11:00） 一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从 小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ． 2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ． 3．设线段BC α?，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面 α成30?角，且 2A B B C C D c m ===，则线段AD 的长度为 ． 4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ． 5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33 (,)P m m n n --向该圆引两 条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个． 6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ． 7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分） （必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ．
（必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x =，2 2 sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ． 8．如果实数a ，b 使得21x x --是201520152 1211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字 为 ． 二（本题满足16分） 求2232x y -=的整数解． 三（本题满足20分） 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=?，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =．
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷） 参考答案及评分标准 一试 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22 a b a +=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=． 2．若实数α满足ααtan cos =，则αα 4cos sin 1 +的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 2 2=+αα， 得 )cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224 αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα． 3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111???=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示 n z 的共轭复数，则=2015z ． 答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有 211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+?+=+． 4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ?的最小值为 ． 答案 34 ． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则 由||||DP BQ = 得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=--- ,因此， 22133()(2)(1)(1)1()244 PA PQ t t t t t t ?=-?-+-?--=-+=-+≥ ． 当12t =时，min 3 ()4 PA PQ ?= ． 5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案： 2 55 ．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.
2015年湖南省高中数学竞赛（A 卷） （2015-06-27） 一、选择题（每个5分，共6题） 1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为 A. 116 9 B. 367 C. 36 2.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是 A. B. C . 3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则 A. A B > B. A B ≥ C. A B ≠ D. A 和B 的大小关系不确定 4.对所有满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程1 1cos n m C ρθ =-表示的不同双曲线条数为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5.使关于x k 有解的实数k 的最大值是 A. C. 6.设22{|,,}M x y x y Z αα==-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3 二、填空题（每个8分，共6题） 7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列123(,,,...)A ααα=，定义△A 为序列213243(,,,...)αααααα---，它的第n 项是1n n αα+-，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且19920αα==，则1α的值为： 9.满足使1[] 2n I =为纯虚数的最小正整数n= 10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：
二Ｏ一五年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案 一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分） 1．已知ABC ?的外接圆半径为R ，且B b a C A R s i n )2()s i n (s i n 22 2 -=-（其中a 、 b 分别是A ∠、B ∠的对边）. 那么C ∠的大小为___________. 答案：45° 2．集合{2135}A x a x a =+≤≤+,{333}B x x =≤≤,()A A B ?, 则a 的取值范围是___________ 答案：()28,41,3a ??∈-∞-???? . 3．11 1102910 1111116 66...61C C C ++++-被8除所得的余数是_____________. 答案：5 4．在数列{}n a 中，122,10,a a ==对所有的正整数n 都有21n n n a a a ++=-，则2015a = . 答案：-10 5．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.则二面角P —BD —A 的大小为__________． 答案：60°. 6．设双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，A 是双曲线 渐近线上的一点，212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为 11 3 OF ,则双曲线的离心率为 . 答案： 2 7．已知,a b 两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==,则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++的最小值是____________. 8．若关于x 的方程24x kx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围为____________. 答案：14k k ? ?>??? ? 9．设x ，y 是正实数，且1x y +=，则22 21 x y x y +++的最小值是 . 答案： 14 10．设()f x 是定义在整数集上的函数，满足条件：⑴(1)1,(2)0f f ==；⑵对任意的,x y 都有()()(1)(1)(f x y f x f y f x f y +=-+-，则(2015)f =___________. 答案：-1
2015年全国高中数学联赛一试 一、 填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分 1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值是 2.若实数θ满足cos tan θθ=,则41cos sin θθ +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位, n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值是 4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC 上(包括点,)D C 的动点P 与CB 延长线上(包括点)B 的动点Q 满足||||DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则实数ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若 ,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为
二、 本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分) 若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 10.(本小题满分20分) 设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得31{|14}{24,2,,,1,3}28 i j a a i j ≤<≤=----,求1234a a a a +++的值. 11.(本小题满分20分) 在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.
绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）设复数z满足1+z 1z - =i，则|z|= （A）1 （B）2（C）3（D）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A） 3 2 -（B） 3 2 （C） 1 2 -（D） 1 2 （3）设命题P：?n∈N，2n>2n，则?P为 （A）?n∈N, 2n>2n（B）?n∈N, 2n≤2n （C）?n∈N, 2n≤2n（D）?n∈N, 2n=2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 （5）已知M（x0 ，y0）是双曲线C： 2 21 2 x y -=上的一点，F1、F2是C上的 两个焦点，若1 MF?2 MF＜0，则y0的取值范围是
（A）（- 3 3 ， 3 3 ）（B）（- 3 6 ， 3 6 ） （C）（ 22 3 -， 22 3 ）（D）（ 23 3 -， 23 3 ） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D为ABC所在平面内一点=3，则 （A）=+(B)= （C）=+(D)= (8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 (A)（）,k (b)（）,k (C)（）,k(D)（）,k
高中数学2015年全国课标卷理科第17题解析 数列既是高中数学的重要内容，又是高等数学的基础，不仅涉及的基础知识、数学思想与方法量多、面广，而且和函数、方程、不等式、几何等知识联系紧密，以复杂多变、综合性强、解法灵活等特点成为高考的中高档题。纵观近几年高考数学试题, 每年都有涉及数列求和综合题,我们应立足教材和大纲要求,深刻理解数列定义、通项公式、前n 项和公式,熟悉数列求和的基本方法,借助化归转化、分类讨论等数学思想和方法,适应高考数列综合应用的要求。下面就以2015年全国课标卷理科第17题进行讲评。 高考题： （2015年全国课标卷理科第17题)n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2 n n a a += 错误！未找到引用源。. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设错误！未找到引用源。 ,求数列错误！未找到引用源。}{n b 的前n 项和. 1.审题分析 本题考查的知识：等差数列通项公式的求法和裂项相消法求和。能力：第（1）问中求等差数列的通项公式主要考查推理论证能力，第（2）问中求和考查了求解能力和转化与化归思想方法的应用。首先利用n a 与n S 的关系 n a =n S 1--n S )2(≥n 推导出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列， 利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；然后根据（Ⅰ）得到数列{n b }的通项公式，利用裂项相消法求数列}{n b 的前n 项和即可。 2.解题过程 试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3， 当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，
2015 年全国高中数学联合竞赛 参考答案及评分标准 一试 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2 )(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22 a b a +=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=． 2．若实数α满足ααtan cos =，则αα 4cos sin 1 +的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 2 2=+αα， 得 )cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224 αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα． 3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111???=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示 n z 的共轭复数，则=2015z ． 答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有 211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+?+=+． 4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线 上（包含点B ）的动点Q =，则PQ PA ?的最小值为 ． 答案 34 ． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则 由||||DP BQ =u u u r u u u r 得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---u u u r u u u r ,因此， 22133()(2)(1)(1)1()244 PA PQ t t t t t t ?=-?-+-?--=-+=-+≥u u u r u u u r ． 当12t =时，min 3 ()4 PA PQ ?=u u u r u u u r ． 5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案： 2 55 ．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有3 12C =220种． 下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能
2015年全国 数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2 2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 （6月14日上午8:3011:30--） 一、 填空题 1 、若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字 和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是 ． 答案：13个． 解 ：可顺次列举出： 100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961 ． 2 、函数 2281448 y x x x x =---的最大值 是 ． 答案：3 解：(8)(6)(8)86y x x x x x x x = ---=--686 x x x -= +- 其定义域为68x ≤≤，当6x =时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为3 3 、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360 x y ++=所截得的线段长为 2 ，则直线l 的方程 为 ． 答案：715x y +=或者75x y -=．
3 解：设l 的方程为2(1)y k x -=-，将此方程分别与 4310 x y ++=及4360x y ++=联立，解得交点坐标3758,3434 k k A k k --+?? ?++? ? 与312108,3434 k k B k k --+?? ?++? ? ，据2AB = 得 22 5523434k k k ???? += ? ?++???? () 22 25(1) 2 34k k +=+，所以17 k =，2 17 k =- ， 分别代入所设方程，得到715x y +=或者75x y -=． 4 、0 13 sin10 - = ． 答案：4． 解 ：00 000000000 13cos1013sin 30cos10cos30sin102244sin102sin10cos102sin10cos10-=?= sin 2044sin 20 =?=． 5 、满足21x x -≥的实数 x 的取值范围 是 ． 答案： 21,?-??? ． 解：用图像法：令2 1y x = -圆，它与直线y x =交点22，半圆位于交点左侧的
2015年全国高中数学联赛（B 卷） （一试） 一、填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数???+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x x a x f x ，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取 值范围是 2：已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为 3：某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为： ),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值是 4：设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为3 π，则=1AA 5：已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得 121100a a a a k >+???++的最小正整数k 的值是 6：设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{} )(2),(22y x y x y x A +=+=和 {}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为 7：设P 为椭圆13 42 2=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为 8：正2015边形201521A A A ???内接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,， 则1≥+j i OA OA 的概率为 二、解答题 9：（本题满分16分）数列{}n a 满足,31=a 对任意正整数n m ,，均有mn a a a n m n m 2++=+ （1）求{}n a 的通项公式； （2）如果存在实数c 使得 c a k i i <∑=11对所有正整数k 都成立，求c 的取值范围
2015年高中数学竞赛 复赛试题及答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置．） 1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是 A ． 5 6 B ． 23 C ． 12 D ． 13 2．若α是第四象限角，且2cos 2 sin 212 cos 2 sin α α α α -=-，则 2 α 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 3. 已知点O A B 、、不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且22+OP OA BA =，则 A ．点P 不在直线A B 上 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段AB 的延长线上 D ．点P 在线段AB 的反向延长线上 4．设+∈R n m ,，若直线04)1()1(=-+++y n x m 与圆4)2()2(2 2 =-+-y x 相切，则m n +的取值范围是 A .]31,0(+ B .),31[+∞+ C . ),222[+∞+ D .]222,0(+ 5. 已知正方体C 1 的棱长为C 1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 2，以C 2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 3，则凸多面体C 3的棱长为 A ．18 B ．29 C ．9 D ．26 6. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(3)()f x f x +=-,且在区间]2 3 , 0[上是增函数,若方程m x f =)()0(
2015年全国高中数学联赛(山东赛区)三等奖名单 (2015-09-30 19:03:33) 转载▼ 标 签： 教育 分类：方舟记事 https://www.doczj.com/doc/7f5764022.html,/s/blog_48f445fb0102vunp.html 姓名性别地市学校 武翔宇男泰安市新泰一中 徐文远男泰安市新泰一中 徐锐男泰安市泰安二中 张文琛男东营市山东省垦利第一中学焦竞杰男东营市广饶一中 黄昆男德州市齐河一中 张昊杰男德州市德州一中东校区 刘宸男日照市日照一中 韩子文女日照市日照一中 贾乘兴男淄博市淄博实验中学 王赞程男淄博市山东淄博第一中学安鑫宇男淄博市淄博实验中学 杨奕男淄博市淄博实验中学 王雨伦男日照市莒县二中 孔繁鼎男聊城聊城一中 孙浩鑫男烟台市烟台一中 刘申宁男聊城莘县一中 赵宽宇男聊城莘县实验高中 程雪颖女临沂沂南一中 王宇晖男菏泽巨野一中 孟浩然男临沂山东省平邑第一中学张学顶男临沂临沂一中 徐真男临沂临沂一中 谭哲贤济南章丘四中 张阳熠女济南市山东省实验中学 苗壮男青岛胶州市实验中学 臧海彬男青岛山东省莱西市实验学校李昂斐女济宁育才中学 邓玉林女青岛青岛市经济开发区第一中学 封赫男滨州市阳信县第一中学张宗鲲女德州市平原一中
赵振宇日照市日照一中 杨晨男淄博市淄博七中 李帅男淄博市淄博实验中学孙恺女淄博市淄博四中 任甲源男聊城莘县一中 孟祥东男聊城阳谷一中 裴森男潍坊市寿光现代中学王敬业男青岛胶州市实验中学薛松男青岛胶州市第一中学刘岩男泰安市泰安一中 高晓磊男青岛平度市第九中学李晓男泰安市东平高级中学李欣珂女济宁育才中学 刘浩男青岛青岛市经济开发区第一中学 刘军希男枣庄市枣庄实验高中 王昊东日照市五莲一中 董洁女滨州市阳信县第一中学 伊骊帆男淄博市山东省桓台第一中学孟德成男日照市莒县一中 翟雨彤女聊城聊城一中 孔令超女聊城聊城一中 肖云鹏男烟台市莱州一中 刘祥涛男烟台市烟台四中 刘业萌男聊城莘县实验高中 王玥女威海市威海二中 刘杨男威海市威海二中 苑航男菏泽郓城一中 周子涵男临沂临沂商城实验学校 刘宇航男临沂临沂一中 燕新宇男临沂临沂一中 吕东宸男临沂临沂一中 张晓涵女潍坊市青州一中 张宗璞济南市山师附中 张强男济南历城二中 王敬文男潍坊市高密市第一中学 吴浩南男潍坊市山东省安丘市第一中学张恒男潍坊市潍坊市临朐县第一中学姜斌男青岛山东省平度第一中学张寒萌女济宁邹城市第一中学 侯芊如女枣庄市枣庄八中东校 张小鹏男滨州市阳信县第一中学 郭磊男德州市临邑一中 李亦轩男淄博市淄博实验中学
2015全国高中数学联赛四川预赛试题 (满分140分,2015.5.17于郫县) 一.单项选择题（共6小题，每题5分） 1.已知n 为正整数，二项式n x x )1(32+ 的展开式中含有7x 项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a,b,c,若 C c B b A a cos 3cos 2cos ==，则A ∠的大小为（ ） A.6π B.4π C.3π D.12 5π 3.已知二面角βα--l 的大小为300，则由平面α上的圆在平面β上的正射影得到的椭圆的离心率为（ ） A.31 B.21 C.33 D.2 3 4.记函数1232)(++-=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为（ ） A.26 B.2 C.3 D.2 5.已知正三棱锥P-ABC 的底面ABC 是正三角形，该三棱锥的外接球的球心O 满足 0=++OC OB OA ，则二面角C PB A --的余弦值为（ ） A.61 B.82 C.51 D.3 3 6.设质数p ，满足存在正整数x,y 使得22221,21y p x p =-=-，则符合条件的质数p 的个数为 ） A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题（共6小题，每题5分） 7.i 为虚数单位，复数i i z -+= 124，则z =_______________ 8.若c b a 964==，则=+-c b a 121_______________ 9.已知点P ),(y x 满足2≤+y x ，则到x 轴的距离1≤d 的点P 的概率是_______________ 10.设042cos 2,01cos sin =++-=-?+πy y x x ，则)2s i n (y x -的值是 _______________ 11.在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PA=2，PC=21，则=?PD PB _______________ 12.对任意正整数n ，定义函数)(n μ如下：1)1(=μ，且当22121≥????=k k p p p n ααα时，? ??==???==-=，否则01,)1()(21t t n αααμ，其中k p p t ,,,11???≥是不同的质数. 若记},,,{21k x x x A ???=为12的全部不同正因数的集合，则=∑=k i i x 1)(μ_______________ 三．解答题（共4小题，每题20分） 13.已知数列}{n a 满足：321,1,a a a +成等差数列，且对任意的正整数n ，均有2 32211+-=+n n n a S 成立. （1）求321,,a a a ； （2）求数列}{n a 的通项公式.
2015年全国高中数学联赛（B 卷）（一试） 一、填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数???+∞∈∈-=) ,3(log ]3,0[)(2 x a x x a x f x ，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取 值围是 2：已知3 )(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为 3：某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为： ),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度， 则b a +的最大值是 4：设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为 3 π ，则=1AA 5：已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得 121100a a a a k >+???++的最小正整数k 的值是 6：设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{} )(2),(22y x y x y x A +=+=和 {}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为 7：设P 为椭圆13 42 2=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为 8：正2015边形201521A A A ???接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,， 1≥+的概率为 二、解答题 9：（本题满分16分）数列{}n a 满足,31=a 对任意正整数n m ,，均有mn a a a n m n m 2++=+ （1）求{}n a 的通项公式； （2）如果存在实数c 使得c a k i i <∑=11 对所有正整数k 都成立，求c 的取值围
2015年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力（高级中学） 一、 选择题 1.若多项式()432341f x x x x x =+---和()321g x x x x =+-- ，则f (x )和g (x )的公因式为 A.x+l B.x+3 C.x-1 D.X-2 【解析】A ：由辗转相除法可得 2.已知变换矩A =[1 000 200 03],阵则A 将空间曲面(x ?1)2+(y ?2)2+(Z ?1)2=1 变成 A. 球面 B. 椭球线 C. 抛物线 D. 双曲线 【解析】B ：由已知的条件设曲面经矩阵A 变化后为 [1 000 20003][x y z ]=[x 2y 3z ]=[ x ＇y ＇z ＇] , 则x= x ＇, y=12y ＇, z=13y ＇故其方程为 (x ?1)2+(12y ?2)2+(13Z ?1)2=1； 3.为研究7至10岁少圭牢手儿嚣的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市100名和1000名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为α、β (单位:cm 阴阳、严的大小关系为 A. α＞β B. α＜β C. α=β D.不能确定 【解析】D:随机抽样的结果之间关系无法确定； 4.已知数列{a n }与数列{b n }，n=1,2,3…则下列结论不正确的是
A ． 若对任意的整数n,有a n ≤b n ，lim n→∞ b n =b,且b <0,则a <0; B ． 若lim n→∞ a n =a,lim n→∞ b n =b,且a N 时，a n ≥b n 则 a >b D ． 若对任意的正整数n,有a n ≥b n ，lim n→∞a n =a,lim n→∞ b n =b,且b>0,则a>0 【解析】B:取a n =1n ,b n =1?1 n ,lim n→∞a n =0,lim n→∞b n =b,0<1,而a 1=1> b 1=0, a 1=b 1=1 2 ，因此结论不正确； 5. 下列关系不正确的是 C.(a ??b ??)2+(a ?×b ??)2 =a ?2b ??2 D. (a ?×b ??)×c ?=(a ??c ?)b ??+(b ???c ?)a ? 【解析】B: 由向量积的性质可得(a ?+c ?)×b ??=a ?×b ??+c ?×b ?? A.(-3，3) B.(?13,13］ C.［?13,1 3） D. [-3,3] 7. 20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是 A ．贝利-克莱因运动 B.大众教学 C ．新数学运动 D.PISA 项目 【解析】A: 第一次数学课程改革发生在20世纪初，史部"克菜园-贝利运动'.英国数学家贝利提出"数学教育应该面向大众"、"数学教育必须重视应用"的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须