同步练习
一、选择题（本题共13道小题，每小题0分，共0分）
设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥??
--≤??≥≥?
，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大
值为8，则ab 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知变量y x ,满足约束条件2203x y x y y +≥??-≤??≤≤?
，
，
，若目标函数ax y z +=仅在点()3,5处取得最小值, 则实数a 的取值范围为 ( ) A.()+∞,1
B.??
?
??+∞,73 C.()+∞,0 D.()1,-∞-
3.变量x ，y 满足约束条件时，x ﹣2y+m≤0恒成立，则实数m 的取值范
围为（ ）
A ． [0，+∞）
B ． [1，+∞）
C ． （﹣∞，3]
D ． （﹣
∞，0]
4.设x ，y 满足约束条件，则
的取值范围是（ ） A ． [2，5]
B ． [1，5]
C ． [，5]
D ．[，2]
5.已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+≥??
,221z x y =--，则z 的取值范围是（ ）
A ．5
[,5]3 B ．[0,5] C ．[0,5) D ．5[,5)3
6.如果实数y x ,满足不等式组??
?
??≥≤--≤-+103203x y x y x ，目标函数y kx z -=的最大值为6，最
小值为0，则实数k 的值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
7.已知0a >,x ,y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥??
+≤??≥-?
，若2z x y =+的最小值为1，则
a =( )
A.
14 B. 1
2
C ．1
D ．2
8.若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线
0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组2000
-+≥??
-≤??≥?kx y kx my y 表示的平面区域内部及边界上运
动，则21
b w a -=-的取值范围是（ ）
A ．),2[+∞
B ．]2,(--∞
C ．]2,2[-
D ．),2[]2,(+∞?--∞
9.若y x ,满足条件??
?
??≥≤-+≥+-,001532,
0653y y x y x ，当且仅当3==y x 时，y ax z -=取最小值,
则实数a 的取值范围是（ ）
A. 32,43??-
??? B. 23,34??- ??? C. 23,35??- ??? D. 33,45??
???
10.若实数,x y 满足约束条件2350
2500x y x y x +-≤??
--≤??≥?
,则函数|1|z x y =++的最小值是( )
A.0
B.4
C.
83 D.72
11.x ，y 满足约束条件20
220220
x y x y x y +-≤??
--≤??-+≥?，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，
则实数a 的值为（ ）
A ．12或1-
B ．2或1
2 C ．2或1 D ．2或1-
12.如果实数y x ,满足不等式组??
?
??≥≤--≤-+103203x y x y x ，目标函数y kx z -=的最大值为6，
最小值为0，则实数k 的值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
13.已知不等式组0,
360,60,x y k x y x y -+≥??
--≤??++≥?
表示的平面区域恰好被圆C ：
()
()2
2
233x y r -+-=所覆盖，则实数k 的值是（ ）
A. 3
B.4
C.5
D.6
二、填空题（本题共7道小题，每小题0分，共0分）
14.已知实数y x ,满足约束条件??
?
??≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若2≤-mx y 恒成立，则实数m 的取
值范围为 .
15.在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组??
?
??≤≤≤≤y x y x 2320给定，若(,)M x y 为D
上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则OM OA ?的最大值为 ．
16.已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥??
+-≥??+-≤?
若目标函数(0)z x ay a =+≥恰好．．
在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为 ▲ ．
17.已知点P (x ，y ) 满足条件0,,20x y x x y k ≥??
≤??++≤?
（k 为常数），若3z x y =+的最大值为
8，则k = ▲ 。
18.设,x y 满足约束条件??
?
??≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大
值为1，则
b
a 1
1+的最小值为 ▲ ． 19.设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范
围是 ▲ ．
20.设1m >，已知在约束条件
1y x y mx x y ≥??
≤??+≤?
下，目标函数22
z x y =+
的最大值为32
，则实数m 的值为___________．
试卷答案
1.D
知识点：简单线性规划 解析：由题意作出其平面区域，
则由目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，48a b +=， 则由4242
a b ab +?
得，ab ≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．故选D ．
【思路点拨】由题意作出其平面区域，求出目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解． 2.D 略 3.
考点： 简单线性规划． 专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析： 由题意作出其平面区域，x ﹣2y+m≤0表示了直线上方的部分，故由
解得，x=4，y=2；代入即可．
解答： 解：由题意作出其平面区域，
x ﹣2y+m≤0表示了直线上方的部分， 故由
解得，x=4，y=2；
则4﹣2×2+m≤0， 则m≤0． 故选D ． 点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题． 4.A 略 5.C 6.B
试题分析：不等式组表示的可行域如图，()()()0,3,1,1,2,1C B A -
∵目标函数y kx z -=的最小值为0，∴目标函数y kx z -=的最小值可能在A 或B 时取得；
∴①若在A 上取得，则02=-k ，则2=k ，此时，y x z -=2在C 点有最大值，
6032=-?=z ，成立；
②若在B 上取得，则01=+k ，则1-=k ，此时，y x z --=，在B 点取得的应是最大值，
故不成立，2=∴k ，故答案为
B.
考点：线性规划的应用. 7.
【知识点】简单的线性规划。E5
【答案解析】B 解析：由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，
由目标函数2z x y =+的几何意义为直线l ：2y x z =-+在y 轴上的截距，知当直线
l 过可行域内的点(1,2)B a -时，目标函数2z x y =+的最小值为1，则
1221,2
a a -==
。 故选B.
【思路点拨】根据线性约束条件画出可行域，再利用目标函数所表示的几何意义求出a 的值。 8.D 9.C 10.
【知识点】简单线性规划的应用；简单线性规划．E5
【答案解析】A 解析：作出可行域如图，
由
，可得A
，
由
，可得B （0，）， 由
，可得C （0，﹣5）．
A 、
B ．
C 坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，
又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=﹣1时，z 取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN 时x+y+1=0．z 都取得最小值0． 故选A ．
【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z 最小值即可． 11.D 略 12.B
试题分析：不等式组表示的可行域如图，()()()0,3,1,1,2,1C B A -
∵目标函数y kx z -=的最小值为0，∴目标函数y kx z -=的最小值可能在A 或B 时取得；
∴①若在A 上取得，则02=-k ，则2=k ，此时，y x z -=2在C 点有最大值，
6032=-?=z ，成立；
②若在B 上取得，则01=+k ，则1-=k ，此时，y x z --=，在B 点取得的应是最大值，
故不成立，2=∴k ，故答案为
B.
考点：线性规划的应用. 13.D 14.
略 15.7 略 16.
【知识点】简单的线性规划问题E5
的条件，即可求出a的取值范围．17.-6
略
18.4
略
19.[21，31]
略
2
20.3
略
线性含参经典小题 1.已知0>a ，y x ,满足约束条件，()?? ? ??-≥≤+≥.3,3,1x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则=a （） A.41 B.2 1 C.1 D.2 2.已知变量y x ,满足约束条件，?? ? ??≤-≤+-≥+-.01,033,032y y x y x 若目标函数ax y z -=仅在点()03， -处取得最大值，则实数a 的取值范围为（ ） A. (3，5) B.(∞+， 21) C.(-1，2) D.(13 1，) 3.若y x ,满足?? ? ??≤--≥-≥+.22,1, 1y x y x y x 且y ax z 2+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ） A.（-1,2） B.（-2,4） C.（-4,0） D.（-4,2） 4.若直线x y 2=上存在()y x ,满足约束条件?? ? ??≥≤--≤-+.,032,03m x y x y x 则实数m 的最大值为（ ） A.-1 B.1 C.2 3 D.2 5.若不等式组? ??? ??? ≤+≥≤+≥-a y x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.34≤a B.10≤ 7.设1>m ，在约束条件?? ? ??≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值 范围为（） A.()211+， B.()+∞+,21 C.(1，3) D.()∞+，3 8.已知,x y 满足约束条件10, 230,x y x y --≤?? --≥? 当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下 取到最小值22a b +的最小值为（ ） A 、5 B 、4 C D 、2 9.y x ,满足约束条件?? ? ??≥+-≤--≤-+0220220 2y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的 值为 A,12 1 -或 B.2 12或 C.2或1 D.12-或 10、当实数x ，y 满足?? ? ??≥≤--≤-+.1,01,042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ________. 11.已知a>0,x,y 满足约束条件()1 33x x y y a x ?≥?+≤??≥-? 若z=2x+y 的最小值为1,则a= A.14 B. 1 2 C.1 D.2 12.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>?? +? 表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－ 2y 0=2，求得m 的取值范围是（ ） A.4,3??-∞- ??? B. 1,3??-∞ ??? C. 2,3? ?-∞- ??? D. 5,3? ?-∞- ??? 例1：生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。 解： 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70) 工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20， 线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 2x -y _2 例1、设变量x、y满足约束条件x 一y _ _1，则z =2x ? 3y的最大值为__________ 。 x y _1 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 \ >1, 例2、已知」x-y+1兰0,则x2+y2的最小值是_」“(x-1)2+(y+2『”值域？ 2x - y - 2 <0 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 Zf x _0 例3、在约束条件y_0 下，当3乞s乞5时，目标函数Z=3x?2y的最大值的变化范围是() |y x _s y 2x^4 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线x2-y2 =4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是() fx-yZ0 「x-yX0 『x-y^0 "x-y 兰0 (A) x y _ 0 (B) x y 乞0 (C) x y 乞0 (D) x y _ 0 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 (1 ：：: x ：「v ‘：：4 例5已知变量x，y满足约束条件若目标函数ax y (其中a 0)仅在 [―2 兰x—y 兰2 点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 __________ 。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 丄x y _ 2 _ 0 _ 例6在平面直角坐标系中，不等式组x_y，2_0表示的平面区域的面积是()(A)4、、2 (B)4 [八0 (C) 2.2 (D)2 七、研究线性规划中的整点最优解问题 ”5x-11y —22, 例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件<2x+3yX9, 则 、2x 兰11. z =10x 10y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如z =-—a时，可把z看作是动点P x, y与定点Q b, a连线的斜率，这样目 x —b 标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。 x—y+ 2W 0，V 11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++= 线性含参经典小题 1．已知0>a ,y x ,满足约束条件，()?? ? ??-≥≤+≥.3,3,1x a y y x x 若y x z +=2的最小值为１,则=a () Ａ.41 B.2 1 C.1 Ｄ.２ ２．已知变量y x ,满足约束条件,?? ? ??≤-≤+-≥+-.01,033,032y y x y x 若目标函数ax y z -=仅在点()03， -处取得最大值,则实数a 的取值范围为（ ） Ａ． (3,５) B ．（∞+，2 1) C.（-１，2) Ｄ.（13 1， ） 3．若y x ,满足?? ? ??≤--≥-≥+.22,1, 1y x y x y x 且y ax z 2+=仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是( ) Ａ．(－1,2） B.（－２,4) Ｃ．（-4,0) D ．（-４,2） 4.若直线x y 2=上存在()y x ,满足约束条件?? ? ??≥≤--≤-+.,032, 03m x y x y x 则实数m 的最大值为( ） Ａ.-1 B ．1 C.2 3 D.2 5.若不等式组? ??? ??? ≤+≥≤+≥-a y x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.34≤a Ｂ.10≤ 6.若实数y x ,满足不等式组,?? ? ??≥-+≤-≤-.02,01,02a y x y x 目标函数y x t 2-=的最大值为２,则实数ａ的 值是( ） A.-2 B.０ C.1 D.2 7．设1>m ，在约束条件?? ? ??≤+≤≥1y x mx y x y 下,目标函数my x z +=的最大值小于2,则m 的取值范 围为（) Ａ.()211+， B.()+∞+,21 Ｃ.（１，3） D.()∞+， 3 8.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤??--≥? 当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下 取到最小值22a b +的最小值为（ ) Ａ、５ B 、4 Ｄ、２ 9.y x ,满足约束条件?? ? ??≥+-≤--≤-+0220220 2y x y x y x ,若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值 为 Ａ,12 1 -或 B.2 12或 C.2或1 D.12-或 10、当实数x ,y 满足?? ? ??≥≤--≤-+.1,01,042x y x y x 时,41≤+≤y ax 恒成立,则实数a 的取值范围是＿_＿__ ＿__. １１.已知a ＞０,x,y 满足约束条件()1 33x x y y a x ?≥?+≤??≥-? 若ｚ=2ｘ+y 的最小值为1,则a= 习题 2-1 判断下列说法是否正确: （1）任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题; （2）对偶问题的对偶问题一定是原问题; （3）根据对偶问题的性质, 当原问题为无界解时, 其对偶问题无可行解, 反之, 当对偶问题无可行解时, 其原问题具有无界解; （4）若线性规划的原问题有无穷多最优解, 则其对偶问题也一定具有无穷多最优解; （5）若线性规划问题中的b i, c j值同时发生变化, 反映到最终单纯形表中, 不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况; （6）应用对偶单纯形法计算时, 若单纯形表中某一基变量x i<0, 又x i所在行的元素全部大于或等于零, 则能够判断其对偶问题具有无界解。 （7）若某种资源的影子价格等于k, 在其它条件不变的情况下, 当该种资源增加5个单位时, 相应的目标函数值将增大5k; （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解, 若y i >0, 说明在最优生产计划中第i 种资源已经完全耗尽; 若y i =0, 说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()??? ??≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解: (1)令'''444x x x =-, 增加松弛变量5x , 剩余变量6x , 则该问题的标准形式如下所示: ''' 12344''' 12344''' 123445''' 123446'''1234456max 342554222214..232 ,,,,,,0 z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-?-+-+-=?+-+-+=??-++-+-=??≥? (2)令'z z =-, '11x x =-, '''333x x x =-, 增加松弛变量4x , 则该问题的标准形式如下所示: ''''' 1233'''' 1233'''' 12334''''12334 max 22334 ..26,,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =+-+?++-=?+-++=??≥? 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题, 并对照 简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3， 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求 线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 XE2 例1、 若X 、y 满足约束条件y 乞2 ，则z=x+2y 的取值范围是 () X y -2 解：如图，作出可行域，作直线 l : x+2y = 0，将 l 向右上方平移，过点 A (2,0 )时， 有最小值 2,过点B (2,2 )时，有最大值6,故选A 二、求可行域的面积 Rx + y? ° 例2、不等式组｛x + y-3兰°表示的平面区域的面积为 解：如图，作出可行域，△ ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 勺面积减去梯形 A [2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D ( 3,5] X + y =2 y k () \ \ A 4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 X + y - 3 = ° \\B M Av O c\ y =2 —? X -6= 0 OMAC y 2 A O X X =2 B y =2 门2 2X + y =5 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x| + |y| w 2的点（x , y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） 四、求线性目标函数中参数的取值范围 工x y _5 例4、已知x 、y 满足以下约束条件 x-y 5汕 x^3 z=x+ay （a>0）取得最小值的最优解有无数个，则 值为 （） A 、一 3 B 3 C 、一 1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线 l : x+ay = 0,要使目标函数z=x+ay （a>0）取得最 A 9 个 B 、10 个 C 、13 个 解：|x| + |y| w 2等价于 上十y 乞 2 x-y <2 \ -x y - 2 D 14个 (X — 0,y 一 0) (x —0,yY0) (x 0,y —0) 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界） ,使 a 的 2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理（附答案解析） x 3y 3, 1. （ 17 全国卷 I ，文数 ）设 x ，y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为（ ） 7 y 0, A ． 0 B ． 1 C ．2 D ．3 答案： D 解析：如图，由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 （即 x 轴）的交点 A(3,0) 时， z 能取到最大值，把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ，故选 D. x 2 y 1 2.（17 全国卷 I, 理数 14 题）设 x ，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案： 5 x 2 y 1 解析：不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值， 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图，易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时，纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ，此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ，解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5. 2x+3y 30 3. （17 全国卷Ⅱ，文数 7、理数 5）设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是（） A.-15 C.1D9 答案： A 2x+3y 30 解析：不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示， y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ，3 时，目标函数 z2x y 取到最小值，此时有 z min 26315 ，故所求z 最小值为15． ）设，满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. （17 全国卷Ⅲ，文数 5 x0，则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案： B 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 （即x 轴）的交点A0,3处取得最小值， 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值，此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.（17 全国卷Ⅲ，理数13）若 x，y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________． 高考中含参数线性规划问题专题(学生版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考中线性规划专题 纵观近几年高考试题，线性规划问题是每年的必考内容。题型多以选择题、填空题出现，它是直线方程在解决实际问题中的运用，特别是含参数线性规划问题，与数学中的其它知识结合较多，题目灵活多变，要引起高度重视. 近三年全国卷是这样考 1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T15)若x,y 满足约束条件?? ? ??≤-+≤-≥-0400 1y x y x x 则y x 的最 大值为 . 2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T15)若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤?? -+≤??-+≥?则 z=3x+y 的最大值为 . 3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T14)若x,y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为 . 4.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T4)若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤?? --≥??-+≤?则z=2x+y 的最大值为 . 5. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T9) 设x,y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥?? --≤??-+≥? 则 z=x+2y 的最大值为( ) A.8 B.7 C.2 D.1 6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T9)设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤?? -+≤??--≥? 则 z=2x-y 的最大值为 ( ) A.10 B.8 C.3 D.2 7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y 满足约束条件 ()133x x y y a x ?≥? +≤??≥-? 若z=2x+y 的最小值为1,则a= ( ) A.14 B. 1 2 C.1 D.2 8.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设,x y 满足约束条件 10,10,3,x y x y x -+≥?? +-≥??≤? ，则23z x y =-的最小值是（ ） A.7- B.6- C.5- D.3- 9．（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ14）设x ，y 满足约束条件 ? ? ?≤-≤-≤≤013 1y x x ，则y x z -=2的最大值为______. 10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ15）若x y 、满足约束条件 0,34,34,x x y x y ≥?? +≥??+≤? 则z x y =-+的最小值为 . 11.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表 示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 . 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2 解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整 点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点 （0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2．线性规划问题的一般形式有何特征？ 3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2．线性规划的可行解集是凸集。 3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 > j σ 对应的变量都 可以被选作换入变量。 8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9．单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。 10．一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1．某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示： 线性规划专题 一、命题规律讲解 1、求线性（非线性）目标函数最值题 2、求可行域的面积题 3、求目标函数中参数取值范围题 4、求约束条件中参数取值范围题 5、利用线性规划解答应用题 一、线性约束条件下线性函数的最值问题 线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组， 目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成 的区域，区域内的各点的点坐标x, y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值 和最小值的点的坐标x, y 即简单线性规划的最优解。 x 4y 3 例 1 已知3x 5 y 25 ， z 2x y ，求 z 的最大值和最小值 x 1 x y 1 例 2 已知x, y满足2x 4 y 1 ，求z= x 5 y 的最大值和最小值 x 2 y 6 二、非线性约束条件下线性函数的最值问题 高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标x, y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 x, y 即最优解。 例 3已知x, y满足，x2y2 4 ，求 3x 2 y 的最大值和最小值 4 例 4求函数y x x 1,5的最大值和最小值。 x 三、线性约束条件下非线性函数的最值问题 这类问题也是高中数学中常见的问题， 它也可以用线性规划的思想来进行解决。 它的约束条件是一个 二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段） ，区域内的各 点的点坐标 x, y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 x, y 即最优 解。 x y 1 0 例 5 已知实数 x, y 满足不等式组 x y 1 0 ，求 x 2 y 2 4x 4 y 8 的最小值。 y 1 y 0 y 1 例 6 实数 x, y 满足不等式组 x y 0 ，求 的最小值 2x y 2 x 1 四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题 在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决， 它的约束条件是一个二元不等式 组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段） ，区域内的各点 的点坐标 x, y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 x, y 即最优解。 例 7 已知 x, y 满足 y 1 x 2 ，求 y 的最大值和最小值 x 2 《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2． 线性规划的可行解集是凸集。 3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1． 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示： 高中数学含参数的线性规 划题目及答案 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 线性含参经典小题 1.已知0>a ，y x ,满足约束条件，()?? ? ??-≥≤+≥.3,3,1x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则=a （） A.41 B.2 1 2.已知变量y x ,满足约束条件，?? ? ??≤-≤+-≥+-.01,033,032y y x y x 若目标函数ax y z -=仅在点()03， -处取得最大值，则实数a 的取值范围为（ ） A. (3，5) B.(∞+， 21) C.(-1，2) D.(13 1，) 3.若y x ,满足?? ? ??≤--≥-≥+.22,1, 1y x y x y x 且y ax z 2+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ） A.（-1,2） B.（-2,4） C.（-4,0） D.（-4,2） 4.若直线x y 2=上存在()y x ,满足约束条件?? ? ??≥≤--≤-+.,032,03m x y x y x 则实数m 的最大值为（ ） C.2 3 5.若不等式组? ??? ??? ≤+≥≤+≥-a y x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.34≤a B.10≤ 线性规划练习题含答案 一、选择题 A ．4 5 - B ．1 C ． 2 D ．无法确定【答案】B 【解析】解：如图所示 要是目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则令ax+y=0,并平移过点C 24 (,)33 ，（可行域最 左侧的点）的边界重合即可。注意到a>0，只能与AC 重合，所以a=18．已知点集{}2 2 (,)48160A x y x y x y =+--+≤， {} (,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N . 若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是 A. 1 B. 2 C. 22 D. 4【答案】B 【解析】解：因为点集A 表示的为圆心为（2,4），半径为2的圆，而点集B 表示为绝对值函数表示的区域则利用数形结合思想，我们可以求解得到。【题型】选择题 9．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??-≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A ． -5 B ．1 C ． 2 D ． 3 【答案】D 【解析】解：当a<0时，不等式表示的平满区域如图中的M ，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a 0≥，此时不等式表示的区域为如图中的N ，区域为三 角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B （1,4），代入y=ax+1，得a=310．已知方程：2 20x ax b ++= (,)a R b R ∈∈，其一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内，则22 (3)z a b =++的取值范围为 A. B. 1(,4)2 C. (1,2) D. (1,4)【答案】B 【解析】解： 2( ,2)2222f (x)x ax 2b,f (0)0 f (1)0,f (3)0b 0,a 2b 10,2a 2b 40a b z (a 3)b -1z 2解：设由图像可知，三者同时成立，求解得到由线性规划知识画出可行域，以为横轴，为纵轴，再以为目标，几何意义为区域内的点到（3,0）的距离的平方，当a=-1，b=0时，z 最大为4，当点到直线 a+2b+1=02的距离为，最小为，由题目，不能去边界2=++><>>++<++>=++11．的取值范围是则满足约束条件变量122,012430 ,++=≤-+≥≥?????x y s y x x y x y x （ ）A ．[1,4] B ．[2,8] C ．[2,10] D ．[3,9]【答案】B 【解析】约束条件034120x y x x y ≥≥+-≤?????表示的区域如图，221112y y s x x ++=++=?，11y x ++表示点（x ，y ）与点（-1，-1）的斜率，PB 的斜率为最小值，PA 的斜率为最大值，斜率的取值范围是[1,4]，112y x ++?的取值范围是[2,8]。 12．若变量x,y 满足约束条件1 325x y x x y ≥-?? ≥??+≤? 则z=2x+y 的最大值为 （A ）1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C 【解析】：∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =13．在集合 }4,1,1|),{(≤+≥≥=y x y x y x A 中，y x 2+的最大值是线性规划典型例题
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