7.设1>m ,在约束条件?? ? ??≤+≤≥1y x mx y x y 下,目标函数my x z +=的最大值小于2,则m 的取值 范围为() A.()211+, B.()+∞+,21 C.(1,3) D.()∞+,3 8.已知,x y 满足约束条件10, 230,x y x y --≤?? --≥? 当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下 取到最小值22a b +的最小值为( ) A 、5 B 、4 C D 、2 9.y x ,满足约束条件?? ? ??≥+-≤--≤-+0220220 2y x y x y x ,若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的 值为 A,12 1 -或 B.2 12或 C.2或1 D.12-或 10、当实数x ,y 满足?? ? ??≥≤--≤-+.1,01,042x y x y x 时,41≤+≤y ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 ________. 11.已知a>0,x,y 满足约束条件()1 33x x y y a x ?≥?+≤??≥-? 若z=2x+y 的最小值为1,则a= A.14 B. 1 2 C.1 D.2 12.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>?? +?->? 表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0)满足x 0- 2y 0=2,求得m 的取值范围是( ) A.4,3??-∞- ??? B. 1,3??-∞ ??? C. 2,3? ?-∞- ??? D. 5,3? ?-∞- ???
高中数学专题讲义-线性规划
【例1】 设O 为坐标原点,(1,1)A ,若点B 满足2222101212x y x y x y ?+--+????≥≤≤≤≤, 则OA OB ?u u u v u u u v 的最小值为( ) A .2 B .2 C .3 D .22+ 【例2】 已知变量,x y 满足120x y x y ????-? ≥≤≤,则x y +的最小值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【例3】 不等式组0,10, 3260x x y x y ??--??--?≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 . 典例分析 线性规划
【例4】设变量,x y满足约束条件 3 1 x y x y + ? ? -- ? ≥ ≥ ,则目标函数2 z y x =+的最小值为() A.1B.2C.3D.4 【例5】设变量,x y满足 0, 10 3260 y x y x y ? ? -- ? ?-- ? ≥ ≥ ≤ ,则该不等式组所表示的平面区域的面积等 于,z x y =+的最大值为. 【例6】目标函数2 z x y =+在约束条件 30 20 x y x y y +- ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≥ 下取得的最大值是________. 【例7】下面四个点中,在平面区域 4 y x y x <+ ? ? >- ? 内的点是() A.(0,0)B.(0,2)C.(3,2) -D.(2,0) -
【例8】已知平面区域 1 ||1 (,)0,(,) 1 y x y x x y y M x y y x ?? + ? ?? -+ ? ?? ??? Ω== ?????? ? ?? ????? ? ?? ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ,向区域Ω内 随机投一点P,点P落在区域M内的概率为() A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【例9】若x,y满足约束条件 30 03 x y x y x + ? ? -+ ? ? ? ≥ ≥ ≤≤ ,则2 z x y =-的最大值为. 【例10】已知不等式组 y x y x x a ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≤ ,表示的平面区域的面积为4,点() , P x y在所给平面区 域内,则2 z x y =+的最大值为______.
高中数学必修5常考题型:简单的线性规划问题
简单的线性规划问题 【知识梳理】 线性规划的有关概念 【常考题型】 题型一、求线性目标函数的最值 (X+2Q2, 【例1】设变重X, *满足约束条件〈2x+ y<4, 则目标函数z= 3x- V的取值范围 〔4*- - 1, 是() 3 A. -6 C. [-L6] D. -6, 3. "+2E, [解析]约束条件〈2X+V<4,y> - 1所表示的平面区域如图阴影部分,直线y= 3x- Z斜率为
3 z 取最小值- 3 .??z=3x-y 的取值范围为6」,故选A. [答案]A 【类题通法】 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域,正确理解z 的几何意义,对一个封闭图形而 言,最优解一般在可行域的边界上取得.在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. 【对点训练】 X- 4y< -3, 3x+5y<25, 求z 的最大值和最小值. Q1, [解]作出不等式组表示的平面区域,即可行域,如图所示.把z=2x+>变形为v=-2x +乙则得到斜率为-2,在)/轴上的截距为乙旦随z 变化的一组平行直线.由图可以看出, 当直线z=2x+*经过可行域上的点/时,截距z 最大,经过点8时,截距z 最小. |x-4y+3 = 0, 解方程组i3H5 =。,得/点坐标为厚), X=l, 解方程组L-4*+3 =。,得8点坐标为("), 大值 = 2x5 + 2=12, z 建小值=2x 1 + 1 = 3. ( 于4尸 3=0 =0
题型二、求非线性目标函数的最值 ( X- y+5>0, X+VA O,x<3. ⑴求"=/+必的最大值与最小值; V ⑵求 >=六的最大值与最小值. X— O [解]画出满足条件的可行域如图所示, (1) /+,=。表示一组同心圆(圆心为原点Q,旦对同一圆上的点】+必的值都相等,由图可知:当(X, M在可行域内取值时,当旦仅当圆。过c点时,〃最大,过(0,0)时,〃最小.又Q3,8),所以u意大也=73、"缺小值=0. y (2) v^=—表示可行域内的点Rx, H到定点Q(5,0)的斜率,由图可知,蜘最大,处。最 A— O 小,又03,8), 8(3, -3), -3 3 8 所以/ 是大渲= 3 — 5 = 1',照小坦=3 _ 5 = 一4? 【类题通法】 非线性目标函数最值问题的求解方法 ⑴非线性目标函数最值问题,要充分理解非线性目标函数的几何意义,诸如两点间的距离(或平方),点到直线的距离,过已知两点的直线斜率等,充分利用数形结合知识解题,能起到事半功倍的效果?
高中数学线性规划汇总
直线与线性规划 由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线 在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外, 还有以下七类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤??≤??+≥? ,则z=x+2y 的取值范围是 ( ) A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、(3,5] 变式训练1:已知x ,y 满足约束条件 30 5≤≥+≥+-x y x y x ,则y x z -=4的最小值为______________. 变式训练2:若?? ?≥+≤≤2,22y x y x ,则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 ( ) A .[2 ,6] B . [2,5] C . [3,6] D . [3,5] 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 变式训练1:由12+≤≤≤x y x y 及围成的几何图形的面积是多少? 变式训练2:已知),2,0(∈a 当a 为何值时,直线422:422:2221+=+-=-a y a x l a y ax l 与及坐标轴围 成的平面区域的面积最小? 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|+|y|≤2的点(x ,y )中整点(横纵坐标都是整数)有( ) A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 变式训练1:不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为 ( ) A . 13个 B . 10个 C . 14个 D . 17个 变式训练2:.在直角坐标系中,由不等式组230,2360,35150,0 x y x y x y y ->??+-?--?
高中数学线性规划问题
高中数学线性规划问题 精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-
高中数学线性规划问题 一.选择题(共28小题) 1.(2015?马鞍山一模)设变量x,y满足约束条件:,则z=x﹣3y的最小值() A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8 2.(2015?山东)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=() A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3 3.(2015?重庆)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为() A.﹣3 B.1 C.D.3 4.(2015?福建)变量x,y满足约束条件,若z=2x﹣y的最大值为2,则实数m等于() A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
5.(2015?安徽)已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是 () A.﹣1 B.﹣2 C.﹣5 D.1 6.(2014?新课标II)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为() A.10 B.8 C.3 D.2 7.(2014?安徽)x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为() A.或﹣1 B.2或C.2或1 D.2或﹣1 8.(2015?北京)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为() A.0 B.1 C.D.2 9.(2015?四川)设实数x,y满足,则xy的最大值为()A.B.C.12 D.16
10.(2015?广东)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为 () A.4 B.C.6 D. 11.(2014?新课标II)设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为 () A.8 B.7 C.2 D.1 12.(2014?北京)若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为() A.2 B.﹣2 C.D.﹣ 13.(2015?开封模拟)设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的取值范围为() A.[2,8]B.[4,13]C.[2,13]D. 14.(2016?荆州一模)已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 () A.3 B.﹣3 C.1 D.
高中数学简单线性规划习题专项练习
一、选择题 1.在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线x -2y +4=0的上方,则t 的取值范围是( ) A .(-∞,1) B .(1,+∞) C .(-1,+∞) D .(0,1) [答案] B [解析] ∵点O(0,0)使x -2y +4>0成立,且点O 在直线下方,故点(-2,t)在直线x -2y +4=0的上方-2-2t +4<0,∴t>1. 2.)若2m +2n<4,则点(m ,n)必在( ) A .直线x +y -2=0的左下方 B .直线x +y -2=0的右上方 C .直线x +2y -2=0的右上方 D .直线x +2y -2=0的左下方 [答案] A [解析] ∵2m +2n≥22m +n ,由条件2m +2n<4知, 22m +n<4,∴m +n<2,即m +n -2<0,故选A. 3.不等式组???? ? x≥0x +3y≥43x +y≤4所表示的平面区域的面积等于( ) [解析] 平面区域如图.解? ???? x +3y =43x +y =4得A(1,1),易得B(0,4),C ????0,43, |BC|=4-43=8 3. ∴S △ABC =12×83×1=4 3. 4不等式组???? ? x +y≥22x -y≤4x -y≥0所围成的平面区域的面积为( ) A .3 2 B .6 2 C .6 D .3 [答案] D
[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ,易求B(4,4),A(1,1),C(2,0) ∴S △ABC =S △OBC -S △AOC =12×2×4-1 2×2×1=3. 5设变量x ,y 满足约束条件???? ? y≤x x +y≥2y≥3x -6,则目标函数z =2x +y 的最小值为( ) A .2 B .3 C .5 D .7 [答案] B [解析] 在坐标系中画出约束条件???? ? y≤x x +y≥2y≥3x -6所表示的可行域为图中△ABC ,其中A(2,0), B(1,1),C(3,3),则目标函数z =2x +y 在点B(1,1)处取得最小值,最小值为3. 6.已知A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x ,y)在△ABC 内部及边界运动,则z =x -y 的最大值及最小值分别是( ) A .-1,-3 B .1,-3 C .3,-1 D .3,1 [解析] 当直线y =x -z 经过点C(1,0)时,zmax =1,当直线y =x -z 经过点B(-1,2)时,zmin =-3. [答案] B 7(在直角坐标系xOy 中,已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x =0,y =0,2x +3y =30,则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( ) A .95 B .91 C .88 D .75
高中数学必修5:简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题 【知识概述】 线性规划是不等式应用的一个典型,也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中,通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值,或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习,希望同学们能够掌握线性规划的方法,解决考试中出现的各种问题. 解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点 1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题; 2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节 (1)作出平面区域;(直线定”界”,特“点”定侧); (2)求目标函数的最值. (3)求目标函数z=ax+by最值的两种类型: ①0 b>时,截距最大(小),z的值最大(小); ②0 b>时,截距最大(小),z的值最小(大); 【学前诊断】 1.[难度] 易 满足线性约束条件 23, 23, 0, x y x y x y +≤ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? 的目标函数z x y =+的最大值是() A.1 B.3 2 C.2 D.3 2.[难度] 易 设变量,x y满足约束条件 0, 0, 220, x x y x y ≥ ? ? -≥ ? ?--≤ ? 则32 z x y =-的最大值为( ) A.0 B.2 C.4 D.6
3. [难度] 中 设1m >,在约束条件1y x y mx x y ≥??≤??+≤? 下,目标函数z x my =+的最大值小于2,则m 的取 值范围为( ) A .(1,1 B .(1)+∞ C .(1,3) D .(3,)+∞ 【经典例题】 例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为( ) A.5 B.4 C.1 D.8 例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥??--≤??≥≥? ,若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小 值为8,则a b +的最小值为____________. 例4. 在约束条件下0,0,,24, x y x y s x y ≥??≥??+≤??+≤?当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )
最新高中数学线性规划各类习题精选
线性规划 1 基础知识: 2 一、知识梳理 3 1. 目标函数: P=2x+y是一个含有两个变量x和y的函数,称为4 目标函数. 5 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 6 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点. 7 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问 8 题,通常称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法9 来解决. 10 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划. 11 二:积储知识: 12 一. 1.点P(x 0,y )在直线Ax+By+C=0上,则点P坐标适合方程,即Ax +By +C=0 13 2. 点P(x 0,y )在直线Ax+By+C=0上方(左上或右上),则当B>0时,Ax +By +C>0; 14 当B<0时,Ax 0+By +C<0 15 3. 点P(x 0,y )在直线Ax+By+C=0下方(左下或右下),当B>0时,Ax +By +C<0; 16 当B<0时,Ax 0+By +C>0 17 注意:(1)在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C, 18 所得实数的符号都相同, 19 (2)在直线Ax+By+C=0的两侧的两点,把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数20 的符号相反, 21 即:1.点P(x 1,y 1 )和点Q(x 2 ,y 2 )在直线 Ax+By+C=0的同侧,则有(Ax 1 +By 1 +C) 22
( Ax 2+By 2+C)>0 23 2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧,则有(Ax 1+By 1+C )24 ( Ax 2+By 2+C)<0 25 二.二元一次不等式表示平面区域: 26 ①二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直角坐标系中表示直线27 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不. 包括边界; 28 ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0(或≤0)在平面直角坐标系中表示直线29 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 30 注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 31 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 32 取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 33 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)34 代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一35 个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的36 平面区域.特殊地, 当C ≠0时,常把原点作为特殊点,当C=0时,可用(0,37 1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需38 画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。 39 40 例题: 41 1. 如图1所示,已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -,点(,) P x y 42 在ABC ?内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题:若目标函数是z = 43 或23 1y z x +=+,你知道其几何意义吗?你能否借助其几何意义求得min z 44 和max z ? 45 2. 如图1所示,已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -, 46
高中数学解题方法谈线性规划求最值问题
线性规划求最值问题 一、与直线的截距有关的最值问题 例1 已知点()P x y ,在不等式组2010220x y x y -??-??+-? ,,≤≤≥表示的平面区域上运动,则z x y =-的 取值范围是( ). (A )[-2,-1] (B )[-2,1] (C )[-1,2] (D )[1,2] 解析:由线性约束条件画出可行域如图1,考虑z x y =-, 把它变形为y x z =-,这是斜率为1且随z 变化的一族平行 直线.z -是直线在y 轴上的截距.当直线满足约束条件且 经过点(2,0)时,目标函数z x y =-取得最大值为2; 直线经过点(0,1)时,目标函数z x y =-取得最小值为-1.故选(C ). 注:本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为(0,1),(2,1),(2,0),然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为[-1,2]更为简单.这需要有最值在边界点取得的特殊值意识. 二、与直线的斜率有关的最值问题 例2 设实数x y ,满足20240230x y xc y y --??+-??-? ,,,≤≥≤,则y z x =的最大值是__________. 解析:画出不等式组所确定的三角形区域ABC (如图2),00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ,,,确定的直线的斜率,要求z 的最大值,即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由图2可以看出直线OP 的斜率最大,故P 为240x y +-=与230y -=的交点,即A 点. ∴312P ?? ???,.故答案为32 . 注:解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -= =-的 几何意义,当然本题也可设y t x =,则y tx =,即为求 y tx =的斜率的最大值.由图2可知,y tx =过点A 时, t 最大.代入y tx =,求出32 t =, 即得到的最大值是32 . 三、与距离有关的最值问题