形如y = (ax+b) / (cx+d)的都可以用常数分离法
先想办法把分子（ax+b）换成含（cx+d）的式子，结果为（ax+b）=t
（cx+d）+m
这个过程是包含了主要的技巧：（ax+b）尽量往（cx+d）靠拢
1、先化x前面的系数，（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
2、加一项减一项使得获得（+d），（a/c）（cx）+ b =（a/c）（cx + d - d）+ b
3、把那一项不符合（cx+d）的去掉，
（a/c）（cx + d - d）+ b =（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b4、化简（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b =（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b为了方便下面的叙述，令t =（a/c），m = -（ad/c）+b
整个上面的过程就是：（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
=（a/c）（cx + d - d）+ b
=（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b=（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b
= t（cx+d）+m
以上就是分子的化简过程，接下来的就简单了
y = (ax+b) / (cx+d)
=〔t（cx+d）+m〕/ (cx+d)
= t +（m）/ (cx+d)
结束
（以上算法是针对分子分母x的次数相等，如y = (ax^2+b) / (cx^2+d)等均可以试用）
（若遇到分子分母x的次数不相等，则可以靠虑将x放入系数，有点复杂，现在学大学了，不知道高中具体是什么水平，所以把各种情况都写出来了）打的挺辛苦的，希望帮到你~
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
函数的值域(配方法，分离常数法) 一、配方法。 例1．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例2．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。 例3．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得： 2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。 练习．求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；⑤ y =。 【答案】①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；○6[0,2] 二、分离常数法 适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法 例4：求函数125 x y x -=+的值域。 解：∵177(25)112 222525225 x x y x x x -++-===-++++，
求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1) (1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
第 二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定 义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）
函数定义域、值域求法总结 一。求函数得定义域需要从这几个方面入手: (１)分母不为零 (2)偶次根式得被开方数非负。 (３)对数中得真数部分大于0。 (４)指数、对数得底数大于0,且不等于1 (5)y=tanｘ中x≠ｋπ＋π／2;ｙ=cotｘ中x≠kπ等等。 ( 6 )中ｘ 二、值域就是函数y=ｆ(x)中y得取值范围。 常用得求值域得方法: (1)直接法(２)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (５)换元法 (包括三角换元)(６)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (1０)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。 定义域得求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数得定义域: ①;②;③ 解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义, 而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、 ②∵3ｘ+2〈0,即x<－时,根式无意义, 而,即时,根式才有意义, ∴这个函数得定义域就是｛｜｝. ③∵当,即且时,根式与分式同时有意义, ∴这个函数得定义域就是｛|且｝ 另解:要使函数有意义,必须: 例2 求下列函数得定义域: ①② ③④ ⑤ 解:①要使函数有意义,必须: 即: ∴函数得定义域为: [］
②要使函数有意义,必须: ∴定义域为:{ x｜｝ ③要使函数有意义,必须: ? ∴函数得定义域为: ④要使函数有意义,必须: ∴定义域为: ⑤要使函数有意义,必须: 即 x< 或 x〉∴定义域为: ２定义域得逆向问题 例３若函数得定义域就是Ｒ,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题) 解:∵定义域就是R,∴ ∴ 练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围; 3复合函数定义域得求法 例4 若函数得定义域为［-１,1],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: ∴函数得定义域为: 例5 已知f(x)得定义域为［—1,1],求f(2x—１)得定义域。 分析:法则f要求自变量在［-１,1]内取值,则法则作用在2x－1上必也要求2x-1在［－1,1］内取值,即－１≤2x-1≤１,解出ｘ得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2ｘ－1)中2x－１与f(ｘ)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤２x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。 (注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。) 解:∵ｆ(ｘ)得定义域为［—1,1］, ∴—1≤２x－1≤1,解之0≤x≤1, ∴f(2x－1)得定义域为[0,１］。 例6已知已知ｆ(x)得定义域为[－1,1],求f(ｘ２)得定义域。 答案:—１≤x2≤1 x２≤1－１≤ｘ≤1 练习:设得定义域就是[-3,］,求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: 得: ∵≥0 ∴ ∴函数得定域义为: 例7 已知f(2x－1)得定义域为［0,１］,求f(x)得定义域 因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-１, x∈［0,1］求得得值域［-1,1］就是f(ｘ)得定义域、 练习: 1已知f(3ｘ－１)得定义域为[—1,２),求f(2ｘ+１)得定义域。) (提示:定义域就是自变量ｘ得取值范围) 2已知ｆ(ｘ2)得定义域为［－１,１］,求f(x)得定义域
分离常数法与分离变量法在数学解题中的应用 1.分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+等。解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。 2.分离常数法的常考题型： （1）判断分式函数的单调性；（2）求分式函数的值域； 3.分离变量法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离变量，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。分离变量法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到。解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。 4.分离变量法的常考题型： （1）函数零点问题；（2）函数单调性问题； （3）不等式恒成立问题；（4）不等式有解问题； （5）求定点、定直线问题； 5.函数的“存在性”问题和“任意性”问题（共十类）： （1）相同函数，不同变量（分别考虑）： (I)对任意2211D x D x ∈∈，，M x f x f ≤-)()(21成立M x f x f ≤-?min max )()(； （2）不同函数，相同变量（构造函数）： (I)对任意D x ∈，)()(x g x f ≤成立0)]()([0)()(max ≤-?≤-?x g x f x g x f ； (II)存在D x ∈，使)()(x g x f ≤成立?存在D x ∈，0)]()([0)()(in ≤-?≤-m x g x f x g x f ； （3）不同函数，相等关系（函数值域之间的关系）： (I)存在D x ∈，使)()(x g x f =成立?存在D x ∈，)()(0)()(x g x f x g x f -?=-有零点； (II)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ?值域)(x g ?值域； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f =成立)(x f ?值域)(x g 值域φ≠； （4）不同函数，不同变量（函数最值大小的比较）： (I)对任意2211D x D x ∈∈，，)()(21x g x f ≤成立min max )()(x g x f ≤?； (II)存在11D x ∈，使得任意22D x ∈时，)()(21x g x f ≤成立min in )()(x g x f m ≤?； (III)存在11D x ∈，22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max in )()(x g x f m ≤?； (IV)对任意11D x ∈，存在22D x ∈，使)()(21x g x f ≤成立max a )()(x g x f x m ≤?； 总结：（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较； （2）把等量关系转化为函数值域之间的关系；
高中数学重点题型与思维方法归纳 一、集合、逻辑、函数、导数、定积分 1.集合的运算——①图示法P1 9；②验证法P111；③空集分类法P2 14；④转化法P14 2.子集（元素）个数——①列举法；②2n法P1 6；③转化法P125 8 3.充分必要条件——①大小法(小充分，大必要)P3 1；②推导法(推出充分被推必要互推充要)P3 3 4.命题的否定——①结论否定法；②全特互化法)P3 4 5.求定义域——①有意义法（具体函数或实际问题）P6 12；②整体不变法(抽象函数)P5 5 6.求值域——①图象法；②单调性法P5 8、P7 8；③反函数法；④分离常数法P12 13（1）； ⑤配方法P10 13；⑥最值法 7.求最值——①函数值域法P7 8、P21 8、P86 13；②均值不等式法P11 4；③线性规划法； ④导数法P103 6；⑤转化法（立体与平面、同侧与异侧P67 5、P73 7、相离与相切P101 11） 8.求解析式——①换元法；②待定系数法P10 13（1）；③构造方程法P6 13；④化归法P22 13 9.画图——①特殊点法P15 9；②变换图象法P15 8、P27 7；③假设验证法P15 6； ④奇偶分析法P15 9；⑤导数法（原增导在上，原减导在下）P103 3 10.零点或交点——①图象法P9 8；②零点交点转化法P18 11；③韦达定理法P17 8； ④解方程法P17 1、P17 10；⑤估算法P17 5；⑥导数法 11.一元二次方程根的分布——①图象法P67 9；②判别韦达法P9 9 12.单调性问题——①图象法P7 9；②复合法（同增异减）P9 11；③定义法； ④导数法P12 13、P101 10、P103 5、P103 9；⑤性质法 13.奇偶性问题——①特殊值法P7 6；②定义法P16 14（1）；③化半法P8 13；④图象法P21 12 14.周期性问题——①图象法；②定义法P7 7；③三角公式法 15.对数计算——①逆运算转化法P13 3、P21 9；②化同法P13 5；③换底法 16.函数的应用——①列式法P19 4；②建模法P20 14、P64 14；图表法 17.求导数——①定义法P103 1；②公式法P101 2 18.求切线方程——①△=0法；②导数法P102 13、P104 11；③距离法（适用于圆） 19.求极值——①图象法P103 2；②导数法（左正右负极大值，左负右正极小值）P104 10、P104 13 20.求定积分或曲线围成面积——①图象法P105 11；②积分公式法P105 5；③概率法 二、三角函数、平面向量 1.三角函数符号（或角的象限）——①单位圆法P23 7；②πk2法P23 5 Rt法P25 2；②同角公式法 2.三角函数知一求余——①? 3.三角化简求值——①化切法P25 9；②化弦法；③1的代换P24 13；④和积互化P25 4； ⑤公式法P29 10；⑥换角法P30 13；⑦转化法（化同角、化同名、化同次）P25 8、P28 14 4.对称问题——①图象P21 12；②整体不变法；③公式法；④验证法P28 12 5.解三角形——①正弦定理P33 8；②余弦定理P33 9；③化边法P34 13；④化角法 6.平面向量的运算——①图解法P35 10、P97 9；②公式法P41 3；③坐标法P37 1、P41 10 7.向量平行（共线）问题——①成比例法P37 2；②公式法P35 2、P73 11、P99 7、12 8.向量垂直问题——①几何法P39 10；②公式法P39 7、P96 14 9.求夹角——①几何法P37 5；②公式法P41 11 10.求长度（模）——①平方法P37 9；②解三角形法P41 2
用分离常数法解高考题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
用分离常数法解2014年高考题 1 用分离常数法讨论方程根的个数 题1 (2014年高考课标全国卷I 理科第11题即文科第12题)已知函数 32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 ( ) A.(2,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,2)-∞- D.(,1)-∞- 答案 C 解 因为函数3 2 ()31f x ax x =-+的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于x 的方程a x x =?? ? ??-??? ??3 113有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”，也等价于 “关于x 的方程a x x =-3 3有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”． 用导数容易作出曲线3 3x x y -=如图1所示： 图1 由图1可得答案C ． 题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数??? ??∈-∈-+=] 1,0(,]0,1(,311 )(x x x x x f ，且 m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围 是( )
A.]21,0(]2,49(? -- B.]21 ,0(]2,411(?-- C.]32,0(]2,49(?-- D.]32,0(]2,411(?-- 答案 A 解 设)11(1 ) ()(≤<-+= x x x f x h ，题意即曲线)(x h y =与直线m y =有两个公共点． 因为?????? ?≤<+-≤<-?? ? ??-+=) 10(1 11) 01(2311)(2 x x x x x h ，由复合函数单调性的判别法则“同 增异减”可得函数)(x h 在??? ??--31,1上是减函数，在]1,0(,0,31??? ???-上均是增函数，从 而可作出曲线)(x h y =的草图如图2所示，由此可得答案． 图2 题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，21 ()22 f x x x =-+ ，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 答案 10,2?? ??? 解 作出函数21 ()2(03)2 f x x x x =-+ ≤<的图象如图3所示：
分离常数法与分离参数法 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有 2 [(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51 x x =++++59≥=. 当且仅当411 x x += +，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程2 40x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x =+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x =+ ，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.
方法四 分离（常数）参数法 1.练高考 1.【2016高考北京文数】函数()(2)1 x f x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】1 ()11121 f x x =+ ≤+=-，即最大值为2. 2.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 12 ()∏由()I 知2 a b c += , 所以 2 2 2 2222cos 22a b a b a b c C ab ab +?? +- ?+-??= =311842 b a a b ??=+-≥ ???， 当且仅当a b =时，等号成立.
故 cos C 的最小值为 12 . 3.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项. (Ⅰ)设2 2 * 1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列； (Ⅱ)设 () 22 * 11 ,1,n n n n k a d T b n N === -∈∑，求证：2111.2n k k T d =<∑ 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 4.【2016高考江苏卷】已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设1 2,2 a b == . （1）求方程()2f x =的根; （2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （3）若01,1a b <<＞ ，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。 【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】 （1）因为12,2 a b == ，所以()22x x f x -=+.
高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 0≥ 11≥， ∴函数1y 的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。 【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。 二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】 求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时， ，当 时， 故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知 ，求函数 的最值。
【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配 方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐 标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2 【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t （2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 图1 图2 图3 ①如图1所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有 ，此时，当 时，函数取得最小值 。 ②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有 ，即 。当时，函数取得最小 值 。 ③如图3所示，若顶点横坐标在区间 右侧时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值 综上讨论，g(t)=?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min t t t t t x f (2)221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ?+≤?=<
用分离常数法解2014年高考题 1 用分离常数法讨论方程根的个数 题1 (2014年高考课标全国卷I 理科第11题即文科第12题)已知函数 32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( ) A.(2,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,2)-∞- D.(,1)-∞- 答案 C 解 因为函数3 2 ()31f x ax x =-+的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于x 的方程a x x =?? ? ??-??? ??3 113有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”，也等价于“关 于x 的方程a x x =-3 3有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”． 用导数容易作出曲线3 3x x y -=如图1所示： 图1 由图1可得答案C ． 题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数??? ??∈-∈-+=] 1,0(,]0,1(,311 )(x x x x x f ，且 m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.]21,0(]2,49(?-- B.]2 1 ,0(]2,411(?--
C.]32,0(]2,49(?-- D.]3 2,0(]2,411(?-- 答案 A 解 设)11(1 ) ()(≤<-+= x x x f x h ，题意即曲线)(x h y =与直线m y =有两个公共点． 因为?????? ?≤<+-≤<-?? ? ??-+=) 10(1 11) 01(2311)(2 x x x x x h ，由复合函数单调性的判别法则“同增异减” 可得函数)(x h 在??? ? ?--31,1上是减函数，在]1,0(,0,3 1?? ????-上均是增函数，从而可作出曲线 )(x h y =的草图如图2所示，由此可得答案． 图2 题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当 [0,3)x ∈时，21 ()22 f x x x =-+ ，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 答案 10, 2?? ??? 解 作出函数2 1 ()2(03)2 f x x x x =-+ ≤<的图象如图3所示：
第二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定 义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 1 11 +=的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 ()214 34 32-+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定
⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切） （4）确定函数值域的常见方法： ①直接法：从自变量x 的围出发，推出()y f x =的取值围。 例：求函数1y =的值域。 0≥11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 ②配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函 数的值域问题，均可使用配方法。 例：求函数2 42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 解：22 42(2)6y x x x =-++=--+， ∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴2 1(2)9x ≤-≤
求函数的值域（常用） 一、用非负数的性质 例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2 +2;（2） ≥-1). 练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________． 练2： 求函数y = 练3：求函数的值域。 练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y （3）2234x x y -+-= ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=
二、分离常数法 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域． 例1：求下列函数的值域：（1）y=21 x x ++（2）y=2211x x -+. 练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3 214222++++=x x x x y 三、利用函数单调性 已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3 的值域.
练1：求函数122+- =x x y ()0>x 的值域. 练2：求函数x x y 213--=的值域. 四、利用判别式 特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ?≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y = 234 x x +的最值．
练1：利用判别式方法求函数222231 x x y x x -+=-+的值域． 五、利用换元法求值域 有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数 的值域。 练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域. 1x x y -+=
分离常数法与分离参数法的应用 娄底二中 康惠如 一）:分离常数法: 是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有 22s i n ;;;s i n x x a x b a x b x c m a n m x n y y y y p a q c x d p x q m x n x p +++++====+++++等。 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1）用分离常数法求分式函数的值域 例1：求函数31 ()2 x f x x += -(1)x ≤的值域 解：由已知有()()3221 327 7 ()3.2 2 2 x x f x x x x ??? ? -++-+= = =+ ---。由1x ≤，得 21x -≤-。 所以1 102 x -≤ <-。故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性 例2：已知函数f(x)= (),x a a b x b +≠+,判断函数f(x)的单调性。 解：由已知有f(x) = ()1,x b a b a b x b x b x b ++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在 (,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a-b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函 数。 3)用分离常数法求分式函数的最值 例3：设x>-1,求函数f(x)= 2 710 1 x x x +++的最小值。 解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()2 1171110 1 x x x +-++-+????????+ () ()2 15141 x x x ++++= +4(1)51 x x =++ ++4(1)51 x x =++ ++当且仅当, 411 x x +=+，即 x=1时，等号成立。所以当x=1时，f(x)取得最小值9. 二：分离参数法 分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变
求函数类型Cx D y Ax B +=+值域的教法的改进 彭增军 （四川省绵阳市绵阳中学实验学校 621000） 摘要：求函数类型Cx D y Ax B +=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域直接用反函数法和分离常数法显得突兀生硬,学生难以接受.本文从反比例函数出发利用函数图象的平移得到分离常数法,进而层层深入得到求函数类型Cx D y Ax B += +(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域的方法.这种教法循序渐进过渡自然,学生更容易接受. 关键词：反函数法;常数分离法;反比例函数;图象的平移 众所周知,对函数而言最为重要的是函数三要素:定义域,值域,对应关系.从历届学生对函数三要素掌握的情况来看,值域是最薄弱的一个环节.因为求函数值域的题目形式多难度大,学生在众多的求函数值域的方法中往往莫衷一是举手无措.求函数值域的一些常用方法有：反函数法、分离常数法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等等.求函数类型Cx D y Ax B +=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域,反函数法和分离常数法是最简单、最普遍也最具典型性的方法.然而从学生做作业反馈的情况来看,这两种方法掌握的并不理想.通过听课翻阅资料发现,在求函数类型Cx D y Ax B += +(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域的教法上略作改进,效果则要好得多.下面将通过一个例子来具体说明: 例：求函数321 x y x -=-的值域. 解：反函数法： 由321x y x -=-经过整理变形得23 y x y -=-,此时把y 看作自变量x 看作因变量,x 是y 的函数,函数23y x y -= -的定义域为{|3}y y ≠,所以函数321x y x -=-的值域为{|3}y y ≠. 分离常数法： 323(1)113111 x x y x x x --+= ==+---, ∴函数321x y x -=-的值域为{|3}y y ≠. 求函数的值域是在高一第一章集合与函数概念中学习的,学生的具体情况是刚刚从初三步入高一,之前没有接触过“反函数”和“分离常数”,老师为讲授这一道题直接用这两种方法,数学会感到突兀生硬甚至困惑不解.如果用反函数法,势必要引入反函数的有关概念,这样一来,那么要讲的知识就多了.如果用分离常数法,之前没有任何铺垫过渡,那么学生就会产生疑惑,比如为什么要分离出来一个常数呢.鉴于以上考虑,反函数法是不可取的,当然在学完反函数的有关概念之后上例可以作为反函数应用的一个很好的例子.倘若从反比例函数出发,再利用函数图象的平移,最终得到分离常数法,解法就更加完美了.下面给出上例改进后的作法:
分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有 ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-. ∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有 2[(1)1]7[(1)1]10()1 x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++ 59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2 ()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有