分离常数专项训练
1.(本小题10分) 函数的值域为( )
A.
B.
C.
D.
2.(本小题10分) 函数的定义域是，则其值域为( )
A.
B.
C.
D.
3.(本小题10分) 已知，则函数的值域是( )
A.
B.
C.
D.
4.(本小题10分) 函数的值域为( )
A.
B.
C.
D.
5.(本小题10分) 若函数的值域是，则此函数的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
6.(本小题10分) 函数的值域是( )
A.
B.
C.
D.
7.(本小题10分) 函数的值域是( )
A.
B.
C.
D.
8.(本小题10分) 函数的值域是( )
A.
B.
C.
D.
9.(本小题10分) 函数的值域是( )
A.
B.
C.
D.
10.(本小题10分) 若函数的值域为，则实数的值为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
这份资料是全部内容已经完成的一部分， 写中。此资料是必修一函数部分的总结， 同学有所帮助。 路。部分题目仅仅是题目。 的题目，总结这一类题目的思路与方法。活学活用。 第一部分典型例题解析 一、函数部分 一、函数的值域：求函数值域的常用方法有 方法、判别式、换元、分离常数法、方程法）。 1、函数y=的值域是（）。A、[0,+ B、[0,4) C[0,4] D（0,4） 解析：本题是指数函数与幂函数复合， 各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。 [) 40160 0160,4 x x x x ∴∴≥ ≤ Q＞16-4＜；要根号有意义，16-4 综上可知：16-4＜ 2、若函数() y f x =的值域是 1 ,3 2 ?? ?? ?? ，则函 1 ()() () F x f x f x =+的值域是（）。 11051010 .,3.2,.,.3, 23223 A B C D ???????? ???????? ???????? 解析：本题是复合函数求值域，可变 11 (),()(),,3 2 f x t F x F t t t t ?? ===+∈?? ?? 。 方法一：定义求单调区间 21 212121 2112 212112 12 12 12 1212 12 12 11 (),()(),,3,, 2 111 ()()()()(1). 1 011 1 11(1)0 1 1111 1 (1)0 f x t F x g t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ?? ===+∈?? ?? ∴-=+-+=-- -∴? - ? - Q 令＞ ＞，∴＞。当＞时，求得＜ ＜，＜。此时＜，函数递减。 当＜时，求得＞＞，＞。 此时＞，函数递增 [] 1 ,1,1,3.. 2 151010 (),(1)2,(3).()2,. 2233 x x g g g F x ?? ∴∈∈ ?? ?? ?? ∴===∴∈?? ?? 。 时函数递减.时函数递增 学了不等式的话，我们可以由基本不等式求单调 11 0,2, 1. 1 1 ,3 2 t t t t t t t ∴+≥=?= = = 此时 时，函数取得最小值。然后判断 时的函数值即可。 2 34 x y x = - 的值域是（） 44 ,)(,) 33 -∞+∞ U B. 22 (,)(,) 33 -∞+∞ U C.R 24 ,)(,) 33 -∞+∞ U 分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。 22882 .0,. 3439129123 22 ,, 33 x y x x x =+≠∴≠ --- ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? Q U 24 .(34)2.. 3432 2 320. 3 22 ,, 33 x y y x x x x y y y ?∴-=?= -- ∴-≠?≠ ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? U 2 1 22 x y x x + = ++ 的值域是（）。 11 (,) 22 - B.(11 ,,) 22 ?? -∞-+∞ ?? ?? U C. 11 , 22 ?? -?? ?? ]1,1 - () 2 2 2 2 2 (21)210. 22110, , (21)210 11 =40.,. 22 ) yx y x y x x R y x y b a c y ?+-+-= ++=++≠ ∈ +-+-= ?? -≥∈-?? ?? 方程有意义。 在R上有根。 解得 讨论一元一次方程情况 1 1 (1) 1 y x x = ++ + ，参考例题2两个方法。 R的函数() y f x =的值域为[],a b，则函数
函数的值域(配方法，分离常数法) 一、配方法。 例1．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例2．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。 例3．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得： 2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。 练习．求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；⑤ y =。 【答案】①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；○6[0,2] 二、分离常数法 适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法 例4：求函数125 x y x -=+的值域。 解：∵177(25)112 222525225 x x y x x x -++-===-++++，
求值域方法 常用求值域方法 （1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例1、求函数 1 ,[1,2]y x x = ∈的值域。 例2、 求函数x 3y -=的值域。 【同步练习1】函数2 21x y += 的值域. （2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2 类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例1、求函数 225,y x x x R =-+∈的值域。 例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 例3、求()()22log 26log 62log 22 222 2-+=++=x x x y 。（配方法、换元法） 例4、设02x ≤≤，求函数1 ()4321x x f x +=-+g 的值域． 例5、求函数13432-+ -=x x y 的值域。（配方法、换元法） 例6、求函数x x y 422+--=的值域。（配方法） 【同步练习2】 1、求二次函数2 42y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域. 2、求函数342-+-=x x e y 的值域. 3、求函数421,[3,2]x x y x --=-+∈-的最大值与最小值. 4、求函数])8,1[(4 log 2log 22 ∈?=x x x y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数1 2 ()4 325x x f x -=-?+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2
技巧：十种求初等函数值域的方法 【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法. 【关键词】初等函数；值域 函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结. 一 观察法 观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数2 3+= x y , 显然其值域为),0()0,(+∞?-∞∈y . 此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得. 二 分离常数法 此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如d cx b ax y ++= 形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与 分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域. 例如对于函数2 31--= x x y , 利用恒等变形, 得到: ) 23(31312331)23(3 1--=-- -=x x x y , 容易观察得出此函数的值域为),(),(31 31+∞?-∞∈y . 三 配方法
对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域. 例1 求函数3 42-+-=x x e y 的值域. 解答: 此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得: 1)2(2 +--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u e y =得到y 为增函数且 0>y , 故函数3 42 -+-=x x e y 的值域为: ],0(e y ∈. 四 判别式法 此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数0),(=y x f 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题. 例2 求函数2 212+++= x x x y 的值域. 解答: 先将此函数化成隐函数的形式得: 012)12(2=-+-+y x y yx , (1) 这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式 0)12(4)12(2≥---=?y y y , 解得: 11≤≤- y . 故原函数的值域为: ],[21 21-∈y . 五 基本不等式法 利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件. 例3 求函数1 2++=x x y 的值域. 解答: 211 11 2 ≥+ +== +++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为 ),2[+∞∈y .
分离常数法与分离参数法 一:分离常数法: 是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有 22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p +++++====+++++等。 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1）用分离常数法求分式函数的值域 例1：求函数31()2 x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ???? -++-+= ==+---。由1x ≤，得 21x -≤-。 所以1102 x -≤ <-。故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性 例2：已知函数f(x)= (),x a a b x b +≠+,判断函数f(x)的单调性。 解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b ++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。 3)用分离常数法求分式函数的最值 例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101 x x x +++的最小值。 解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()2 11711101 x x x +-++-+????????+
()()21514 1x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411 x x +=+，即x=1时，等号成立。所以当x=1时，f(x)取得最小值9. 二：分离参数法 分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。分离参数法在解决不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数的单调性中参数的取值范围问题时经常用到。解题的关键是分离出参数后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。 1. 用分离参数法解决函数有零点的问题 例4：已知函数g(x)= 24ax x -+,在[]2,4上有零点，求a 的取值范围 解：因为函数g(x)= 24ax x -+在[]2,4上有零点，所以方程24ax x -+=0在[]2,4上有实根，即方程4a x x =+在[]2,4上有实根，令4()f x x x =+，则a 的取值范围等价于函数f(x)在[]2,4上的值域。 又()()22 224'()10x x f x x x +-=-=≥在[]2,4上恒成立，所以f(x)在[]2,4上是增函数。所以 (2)()(4),f f x f ≤≤即4()5f x ≤≤所以45a ≤≤ 2. 用分离参数法解决不等式恒成立问题 例5已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：原不等式可以化为2 (1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立。 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段。于是有{2(2)2(1)210},f x x -=---+<和2(2)2(1)210f x x =--+<即 22230x x +->，｜｜｜｜且22210,x x --<解得 1122x -++<< 3．用分离参数法解决函数的单调性问题 例6已知2222()x ax a x f x +-=在[)1,+∞上是单调增函数，求a 的取值范围。
求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数 ，可变为解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 就是利用函数和的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得 ，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为 ，而，所以 ，故 （5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域 当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域 因，故函数在上递减、 在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 4cos 2sin 2+--=x x y 2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y )32(log 22 1++-=x x y u y 2 1log =322++-=x x u 2 21 22+-+= x x x y 2 2122+-+= x x x y 0 12)1(22 =-++-y x y yx 0=y 21-=x 0=y 0≠y 0)12(4)]1(2[2 ≥--+-=?y y y 021332133≠+≤≤-y y 且]2 13 3,2133[+-1 cos 3 cos 2+-= x x y 1cos 521cos 3cos 2+-=+-= x x x y ]2,0(1cos ∈+x ]2 5 ,(1cos 5--∞∈+-x ]2 1,(--∞∈y 4 32+= x x y 0=x 0=y 0≠x x x y 43+ = 0>x 44 24=?≥+ x x x x 0 用分离常数法解高考题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 用分离常数法解2014年高考题 1 用分离常数法讨论方程根的个数 题1 (2014年高考课标全国卷I 理科第11题即文科第12题)已知函数 32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 ( ) A.(2,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,2)-∞- D.(,1)-∞- 答案 C 解 因为函数3 2 ()31f x ax x =-+的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于x 的方程a x x =?? ? ??-??? ??3 113有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”，也等价于 “关于x 的方程a x x =-3 3有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”． 用导数容易作出曲线3 3x x y -=如图1所示： 图1 由图1可得答案C ． 题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数??? ??∈-∈-+=] 1,0(,]0,1(,311 )(x x x x x f ，且 m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围 是( ) A.]21,0(]2,49(? -- B.]21 ,0(]2,411(?-- C.]32,0(]2,49(?-- D.]32,0(]2,411(?-- 答案 A 解 设)11(1 ) ()(≤<-+= x x x f x h ，题意即曲线)(x h y =与直线m y =有两个公共点． 因为?????? ?≤<+-≤<-?? ? ??-+=) 10(1 11) 01(2311)(2 x x x x x h ，由复合函数单调性的判别法则“同 增异减”可得函数)(x h 在??? ??--31,1上是减函数，在]1,0(,0,31??? ???-上均是增函数，从 而可作出曲线)(x h y =的草图如图2所示，由此可得答案． 图2 题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，21 ()22 f x x x =-+ ，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 答案 10,2?? ??? 解 作出函数21 ()2(03)2 f x x x x =-+ ≤<的图象如图3所示： 分离常数法与分离参数法 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有 2 [(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51 x x =++++59≥=. 当且仅当411 x x += +，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程2 40x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x =+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x =+ ，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤. 函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法 一、求函数定义域的方法 (一) 直接法求定义域 关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。 一般需要关注的解题要点： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。( 6 )0x 中x 0≠ 例1 求下列函数定义域 ①21)(-=x x f ②x x x f -++=211)( ③0)32(2 )3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y (二)解题时要关注定义域 函数的三要素是定义域，值域和对应关系。其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。 例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22 x f x f +的最大值。 例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。 (三)有关抽象函数的定义域问题 抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如 x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。 例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。 例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。 例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2 x x f +的定义域。 二、求函数值域的方法 (一)层层分析法(直接法) 这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。在分析的题目中常常以分式为背景，当遇到分式上下都有自变量x 的时候，要注意分离常数法的例7 求函数1 222--=x x y 的值域。 分离常数法与分离参数法的应用 娄底二中 康惠如 一）:分离常数法: 是研究分式函数的一种代数变形的常用方法:主要的分式函数有 22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p +++++====+++++等。 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1)用分离常数法求分式函数的值域 例1：求函数31()2 x f x x +=-(1)x ≤的值域 解:由已知有()()32213277()3.2 22x x f x x x x ???? -++-+===+---。由1x ≤，得 21x -≤-。 所以1102 x -≤<-。故函数f （ｘ)的值域为{}:43y x -≤<. 2）用分离常数法判断分式函数的单调性 例２：已知函数f(x)= (),x a a b x b +≠+,判断函数f(x)的单调性。 解:由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b ++--=+≠++.所以,当0a b ->时,函数ｆ(x ）在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数;当a-ｂ<0时,函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。 ３)用分离常数法求分式函数的最值 例3:设x ＞-1，求函数f （x)＝ 27101 x x x +++的最小值。 解:因为x ＞-1，所以ｘ+１>0.f(x)= ()()211711101 x x x +-++-+????????+ ()()21514 1x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411 x x +=+,即x=1时,等号成立。所以当x=1时，ｆ(x ）取得最小值9. 二：分离参数法 分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变 方法四 分离（常数）参数法 1.练高考 1.【2016高考北京文数】函数()(2)1 x f x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】1 ()11121 f x x =+ ≤+=-，即最大值为2. 2.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 12 ()∏由()I 知2 a b c += , 所以 2 2 2 2222cos 22a b a b a b c C ab ab +?? +- ?+-??= =311842 b a a b ??=+-≥ ???， 当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为 12 . 3.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项. (Ⅰ)设2 2 * 1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列； (Ⅱ)设 () 22 * 11 ,1,n n n n k a d T b n N === -∈∑，求证：2111.2n k k T d =<∑ 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 4.【2016高考江苏卷】已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设1 2,2 a b == . （1）求方程()2f x =的根; （2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （3）若01,1a b <<＞ ，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。 【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】 （1）因为12,2 a b == ，所以()22x x f x -=+. 用分离常数法解2014年高考题 1 用分离常数法讨论方程根的个数 题1 (2014年高考课标全国卷I 理科第11题即文科第12题)已知函数 32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( ) A.(2,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,2)-∞- D.(,1)-∞- 答案 C 解 因为函数3 2 ()31f x ax x =-+的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于x 的方程a x x =?? ? ??-??? ??3 113有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”，也等价于“关 于x 的方程a x x =-3 3有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”． 用导数容易作出曲线3 3x x y -=如图1所示： 图1 由图1可得答案C ． 题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数??? ??∈-∈-+=] 1,0(,]0,1(,311 )(x x x x x f ，且 m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.]21,0(]2,49(?-- B.]2 1 ,0(]2,411(?-- C.]32,0(]2,49(?-- D.]3 2,0(]2,411(?-- 答案 A 解 设)11(1 ) ()(≤<-+= x x x f x h ，题意即曲线)(x h y =与直线m y =有两个公共点． 因为?????? ?≤<+-≤<-?? ? ??-+=) 10(1 11) 01(2311)(2 x x x x x h ，由复合函数单调性的判别法则“同增异减” 可得函数)(x h 在??? ? ?--31,1上是减函数，在]1,0(,0,3 1?? ????-上均是增函数，从而可作出曲线 )(x h y =的草图如图2所示，由此可得答案． 图2 题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当 [0,3)x ∈时，21 ()22 f x x x =-+ ，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 答案 10, 2?? ??? 解 作出函数2 1 ()2(03)2 f x x x x =-+ ≤<的图象如图3所示： 求函数类型Cx D y Ax B +=+值域的教法的改进 彭增军 （四川省绵阳市绵阳中学实验学校 621000） 摘要：求函数类型Cx D y Ax B +=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域直接用反函数法和分离常数法显得突兀生硬,学生难以接受.本文从反比例函数出发利用函数图象的平移得到分离常数法,进而层层深入得到求函数类型Cx D y Ax B += +(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域的方法.这种教法循序渐进过渡自然,学生更容易接受. 关键词：反函数法;常数分离法;反比例函数;图象的平移 众所周知,对函数而言最为重要的是函数三要素:定义域,值域,对应关系.从历届学生对函数三要素掌握的情况来看,值域是最薄弱的一个环节.因为求函数值域的题目形式多难度大,学生在众多的求函数值域的方法中往往莫衷一是举手无措.求函数值域的一些常用方法有：反函数法、分离常数法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等等.求函数类型Cx D y Ax B +=+(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域,反函数法和分离常数法是最简单、最普遍也最具典型性的方法.然而从学生做作业反馈的情况来看,这两种方法掌握的并不理想.通过听课翻阅资料发现,在求函数类型Cx D y Ax B += +(,,,A B C D 为常数,且0)A ≠的值域的教法上略作改进,效果则要好得多.下面将通过一个例子来具体说明: 例：求函数321 x y x -=-的值域. 解：反函数法： 由321x y x -=-经过整理变形得23 y x y -=-,此时把y 看作自变量x 看作因变量,x 是y 的函数,函数23y x y -= -的定义域为{|3}y y ≠,所以函数321x y x -=-的值域为{|3}y y ≠. 分离常数法： 323(1)113111 x x y x x x --+= ==+---, ∴函数321x y x -=-的值域为{|3}y y ≠. 求函数的值域是在高一第一章集合与函数概念中学习的,学生的具体情况是刚刚从初三步入高一,之前没有接触过“反函数”和“分离常数”,老师为讲授这一道题直接用这两种方法,数学会感到突兀生硬甚至困惑不解.如果用反函数法,势必要引入反函数的有关概念,这样一来,那么要讲的知识就多了.如果用分离常数法,之前没有任何铺垫过渡,那么学生就会产生疑惑,比如为什么要分离出来一个常数呢.鉴于以上考虑,反函数法是不可取的,当然在学完反函数的有关概念之后上例可以作为反函数应用的一个很好的例子.倘若从反比例函数出发,再利用函数图象的平移,最终得到分离常数法,解法就更加完美了.下面给出上例改进后的作法: 3.1.1函数及其表示方法 第1课时函数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻 画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 教学重点：函数的概念；符号“y＝f(x)”的含义；函数的定义域和值域的求法． 教学难点：符号“y＝f(x)”的含义及已知函数解析式求函数定义域的方法. 【情境导学】(教师独具内容) 夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱． 同学们，你知道顾客是怎么晓得店主坑人的吗？ 【知识导学】 知识点一函数的概念 (1)函数的传统定义 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有□01唯一确定的值与其对应，那么就称□02y是□03x的函数． (2)函数的近代定义 一般地，给定两个□04非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有□05唯一确定的实数y与x对应，则称□06f为定义在集合A上的一个 函数，记作□07y＝f(x)，x∈A. 知识点二函数的定义域和值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，□01x称为自变量，□02y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的□03定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的□04值域． 知识点三确定函数的两个要素 □01定义域； □02对应关系． 知识点四两个函数相同的条件 □01定义域相同； (2)□02对应关系相同． 知识点五求函数定义域常用的依据 □01分式中分母不能为零； □02二次根式中的被开方数要大于等于零． 【新知拓展】 对函数概念的理解 (1)A，B都是非空实数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如y＝x－1 1－x 就不是 函数． (2)集合A就是定义域，因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应． (3)集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到C?B. (4)符号“y＝f(x)”表示“x对应的函数值”，f表示对应关系． (5)“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”． (6)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个数值，是常量；f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．例如，f(x)＝2x表示函数；当x＝3时，f(3)＝6，是一个常量． 分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有 ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-. ∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有 2[(1)1]7[(1)1]10()1 x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++ 59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2 ()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有 方法四 分离（常数）参数法 分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法 分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域） 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d += +，22 ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 例1. 已知函数()242x x a a f x a a -+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的值域； （Ⅲ）当[] 1,2x ∈时， ()220x mf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3?? +∞???? . 【解析】试题分析： (Ⅰ)由函数为奇函数可得()()f x f x -=-，即242422x x x x a a a a a a a a ---+-+=-++，可得2a =．（Ⅱ）分离常数可得()2121x f x =- +，故函数为增函数，再由211x +>，可得211121 x -<-<+，即可得函数的值域．(Ⅲ) 通过分离参数可得()( )212221 x x x m +-≥ -在[]1,2x ∈时恒成立，令()2 113x t t =-≤≤，，则有 ()()2121 t t m t t t +-≥ =-+，根据函数2 1y t t =- +的单调性可得函数的最大值，从而可得实数m 的取值用分离常数法解高考题
(分离常数法与分离参数法)
高中的数学必修一函数解题方法
分离常数法和分离参数法的应用
分离常数参数法-高考理科数学解题方法练习题
用分离常数法解高考题
分离常数发求值域
3.1.1函数及其表示方法第1课时(新教材教师用书)
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分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义
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