数学学习中的猜想与合情推理
山东省沂水县第四中学（276400）袁红
推理与证明是《数学课程标准》中新增加的高中数学课程内容。数学中的推理包括演绎推理与合情推理。以往的数学课程中，忽视合情推理，新一轮基础教育数学课程改革中，给了合情推理以应有的关注。关于合情推理，著名数学家和数学教育家波利亚在他的著作《数学与猜想》中指出：“数学的创造过程是与其它知识的创造一样的，在证明一个定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细地证明之前，你先得猜测证明的思路。你要先把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地尝试。数学家的创造性成果是论证推理（演绎推理），即证明，但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。”这说明，猜想与合情推理是数学学习过程中不可缺少的思维方式。
猜想是思维主体从一定的依据出发，利用非逻辑手段，直接获得猜想性命题的创造性思维活动。它对于数学解题是有很大的帮助和好处的，是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认知过程，是一种创造性的思维活动。然而我们的猜想是通过合情推理而得到的。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），经过观察、分析、比较、联想、再进行归纳、类比，然后提出猜想性的推理。在合情推理的过程中，观察是基础，要仔细地看，耐心地读，要在不断地观察中寻找特点，摸索规律；掌握问题
之间的联系与差异，观察问题的变化与趋势。合情推理具有猜测和发现新结论，探索和提供解决问题的思路和方向的作用。
猜想与合情推理几乎涉及数学的方方面面，也是考查学生创造性思维的重要途径与载体。从近几年全国各地的高考试题来看，都加大了对观察归纳、类比猜想等能力的考察，具体体现在通过知识之间的类比、归纳、猜想得到相应的结论。开放、探索、研究型命题思路将是新高考能力考察的命题趋势，在选择题、填空题、解答题中都有可能涉及。因此，在平常的数学学习的过程中要切实重视知识之间的联系与拓展。现通过实例看一下：
一、由平面到空间
例1：半径为r 的圆的面积()2S r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作()0,+∞上的变量，则()22r r ππ'=， ①
① 式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为R 的球，若将R 看作()0,+∞上的变量，请你写出类似于①的式子: 。 ②
②式可用语言叙述为 . 解析:由已知条件提供的信息，由平面中的圆联想到空间中的球，找出球的两个常用的体积、表面积公式()34
3
V R R π=,()24S R R π=. ,类似
写出恰好成立。由32443R R ππ'??= ???
知：球的体积函数的导数等于球的表
面积函数.
答案: ① 32443R R ππ'
??= ???
② 球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
启示：1、本题立意主要是主要考查学生的类比意识和发散思维能力。
2、数学学习过程中要注重对学生类比能力的培养，在几何中，要注意直线和平面、角和二面角、三角形和三棱锥、平行四边形和棱锥的类比；在代数中，要注意因数分解和因式分解、有限和无限的类比；在数学结构关系中，要注意因果、对称、正逆、功能等的类比。
变式题：由图1所示，有面积关系：PA B PAB S PA PB S PA PB
''''
?=?，则由图2有体积关系：
P A B C P ABC
V V '''
--= 。
P A
B
A'
A
A'
（图1） （图2） 解析：由题意知三棱锥作为三角形的类比对象，如图1、图2中，与
PAB 、PA B ''相对应的，是三棱锥P ABC -、P A B C '''-；与P AB
''两条边PA '、PB '相对应的，是三棱锥P A B C '''-的三条侧棱PA '、PB '、PC '；与PAB 两条边PA 、PB 相对应的，是三棱锥P ABC -的三条侧棱PA 、
PB 、PC 。
由此，我们可以类比图1中面积关系得到图2中的体积关系为
PA PC PB PA PB PC
'''
????。上述猜想的证明：
1
2
1313
PA C P A B C P ABC
PAC
S h V V S h '''''--??=??1
211
sin 32
11sin 32
PA PC CPA h PA PC CPA h ''???∠?=???∠?PA PC PB PA PB PC '''
??=??。 方法规律：⑴ 本题是一个探索性问题，要求类比平面几何中的面积关系，研究三棱锥体积的关系。立体几何中的某些定理性质可以通过联想、类比平面几何中的有关定理性质得到。
⑵ 正确类比的关键是确定类比对象，如本题中三角形的类比对象是三棱锥，三角形边的类比对象是三棱锥的侧棱，三角形面积的类比对象是三棱锥的体积。
二、由个别到一般
例2: 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4…堆最底层(第一层)分别按图所示固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球,以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数,则
()3f =_________;()f n =________. (答案用n 表示)
解析:已知()11f =,观察图形可知()()()24,310,420,f f f ===又知下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数,而第一层的个数满足1,3,6,10,…,通项公式为()()
12
n n g n +=
,所以()()541535f f =+=； ()()()
12.
6
n n n f n ++=
进而猜想
()()()()()()
()()()()()()()
2
22121121231121221211126212.
6
f n
g g g n n n n n n n n n n n =+++=++++++??
=
+++++++?
?+++??=+????++=
事实上，
答案:10,
()()
126
n n n ++. 启示：1、本题可通过观察——试验——猜测——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，由前三个图形的排列规律寻找这种图形的一般规律，并证明所得结论的正确性。
2、解决这类问题要注意两点：一是开始计算时要准确，以确保猜想的正确；二是在探索的过程中，要学会发现一般结论的方法。 变式题： 定义“等和数列”：在一个数列里，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫等和数列。这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，求18a 和21S 。 分析:由等和数列的定义得出通项公式,进而求出18a 和21S . 解法1:由“等和数列”的定义有:1223345a a a a a a +=+=+=
=,得135212n a a a a -=====,
24623n a a a a ===
==,
183a ∴=.
()()()211234192021S a a a a a a a =+++++++
5102=?+52=.
解法2:()()()()181817171616151514211()a a a a a a a a a a a a =+-+++-++++- ()211a a a =+-523=-=.
方法规律:在阅读理解的基础上，把握新定义的数列的概念,由等差数列类比等和数列,然后从给出的新数列的定义出发,由特殊到一般,归纳推理,或凑项裂项、累加,再推广到一般，从而解决问题.
三、由关系式到关系式
例3: 如图,对于函数()()20f x x x =>上任意两点()2,A a a 、()2,B b b ,线段AB 必在曲线段AB 的上方，设点C 分AB 的比为λ()0λ>，则由图
象中点C 在点C '上方可得不等式2
2211a b a b λλλλ++??> ?++??
。请分析函数()()ln 0g x x x =>的图象，类比上述不等式可以得到的不等式
是 。
（图2）
解析：首先弄清不等式2
2211a b a b λλλλ++??
> ?++??
的来龙去脉。按题中给出的信息，该不等式是“由图象中点C 在点C '上方”得到的，也就是说该不等式是这一几何特征的代数化。因为点C 分AB 的比为λ，又点A 、
B 坐标分别为()2
,a a 、()2
,b b ，
所以221a b λλ++是C 点的纵坐标，而1a b
λλ
++是C 点的横坐标，2
1a b λλ+??
?+??就是C '点的纵坐标。因此由C 点在点C '的上
方，即得2
2211a b a b λλλλ++??
> ?++??
。最后，作出函数()()ln 0g x x x =>的图象（如y
图2）进行比较分析。设函数图象上任意两点(),ln A a a 、(),ln B b b ，点
C 分AB 的比为λ(0a >,0b >,0)λ>,则C 点坐标为ln ln ,11a b a b λλλλ++??
?++??
，C '点坐标为,ln 11a b a b λλλ
λ++??
?++??。注意到C 点在C '点的下方，因此可以得到的不等式是
ln ln ln 11a b a b
λλλλ
++<++()0,0,0a b λ>>>。
启示：图1中的曲线向下凹，()C C y y f c '>=，而图2中的曲线向上凸，()C C y y g c '<=。本题可通过观察图形、类比关系式找出规律，进而得出结论。
四、由性质到性质
例4：已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>具有性质：若M 、N 是椭圆C
上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为,PM PN k k ，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关
的定值。试对双曲线22
22:1x y C a b
-=写出具有类似的特征的性质，并加以
证明。
解析： 类似性质为：若M 、N 为双曲线22
221x y a b
-=上关于原点对
称的两个点，点P 是双曲线上任一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k k 时，那么PM k 与PN k 之积是与P 点位置无关的定值。其证
明如下：设(),P x y ，(),M m n ，则(),N m n --，其中22221m n a b -=，即
()22
22
2b n m a a =-。 ,PM y m k x n -∴=-PN y n k x m
+=+，又22221x y a b -=，即
()22222b y x a a =-，()222
222b y n x m a
∴-=-。 222
222
P M P N
y n b k k
x m a -∴?==-。 故PM PN k k ?是与P 点位置无关的定值。
变式题： 已知等差数列有一性质：若{}n a 为等差数列，则通项为
12n
n a a a b n
++
+=
的数列{}n b 也是等差数列，类比上述命题，相应的等
比数列有性质：若{}n a 是等比数列()0n a >，则通项为n b = 的数列也是等比数列。
解析：由题意知，等比数列作为等差数列类比的对象，算术平均数作为几何平均数类比的对象，故当{}n a 是等比数列()0n a >
，则
n b
=
1121
n n n n n b a a a a q +==12
1n a q
-=， 2
1112
1n n n n
b a q
b a q +-
=1
2q =，
{}n b ∴
由此看来，归纳和类比是合情推理常用的思维方法，它们都是具有创造性的或然推理。不论是有大量的特例，经过分析、概括，发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同特点是，结论往往超出前提控制的范围。所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法。《新课程标准》在推理与证明部分设计了合情推理的内容，要求学生通过运用合情推理探索与发现数学结论和思路，体会合情推理在数学发现中的作用。因此，这些内容的学习有助于发展学生的创新意识和创新能力。
2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，
让实验教学走进小学数学课堂 很多老师觉得数学趆来趆难上了，是呀，学生不开口，神仙难下手。有人说使用多媒体，不可否认，多媒体给我们的课堂教学带来了诸多方便和实效。但是我认为：在新理念下实施课堂教学也未必每节课都使用多媒体，如果过多采用多媒体教学，学生容易对很多内容有一种过眼云烟的感觉，没有那种踏踏实实的体验。其实，有一些数学课，只要我们的课堂思路清晰，设计新颖，不浮不躁，把“数学实验教学”带到课堂教学中去，合理地、有效地使用学具，让动手实验与思维联系起来，那么既能够培养兴趣、激发思维，又能化抽象为具体，化枯燥为生动，更好协助学生理解抽象的数学概念，其效果也能达到甚至胜过“多媒体演示”。 一、用数学实验来激发学生的学习兴趣。 古人说：“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。”兴趣是激发学习热情，产生内在动力的关键。数学实验正是建立在学生认知水平和已有知识经验基础上，能直观地探索抽象的数学问题，化枯燥为有趣，这个个过程会增强学生学习数学的兴趣，并让学生享受成功的快乐。如在“行程问题”学习时较多学生感觉理解难，如果教师把一些“玩具”带进课堂，以提升学习过程，采用仿真和模拟的方法，再现实际问题的应用过程，使学生身在其中，理解题意。例如行程问题中可带上实验室的“平板小车”，用线拉动实行演示，体积问题可带自制的长方体盒子和量筒（或烧杯）等用水灌装。这样边玩边学习，即使是教材的难点，学生也会从直观形象中理解数量关系，让学生感受到了数学应用的真实性。 二、用数学实验让学生在实践中感悟算理 就以五年级“分数乘分数”的内容为例吧，理解与掌握分数乘分数的计算法则（算理）是本节课的教学难点，为了突破这个难点，在教学过程中，教师为学生提供了充裕的探究时间及必备的学具（如长方形纸），并提出了明确具体的操作、探究要求，如，先折出一张的四分之三，并涂上阴影部分；再把阴影部分平均分成4份，其中的3份涂上其它颜色；然后回到第一张纸，即展开整张纸；再把刚才折纸的操作活动用算式表示出来。教师则巧妙地转向“幕后”，把学生推至台前，把课堂真正还给学生。其间教师仅作适时、适度、恰当的点拨与引导，如，“请同学们认真观察黑板上各算式，并结合自己折纸的过程，看看有什么新的发现？”让学生亲历猜想、验证、观察比较、概括归纳一系列的数学思维活动。这样学生通过动手折一折、涂一涂等丰富的实践活动，借助直观的图形，调动已
小学数学中的合情推理 (2009-07-29 16:35:15) 分类：教学 标签： 杂谈 合情推理，是美籍数学家波利亚在30年代提出的概念，它是指“观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正和调控等方法”。波利亚在致力改变美国数学落后状态的工作中，大力倡导合情推理的方法，并获得成功。 在数学学科教学中，我们重视和加强了双基教学，但学生在校所学到的学科知识，随着他们离开学校，多数会逐渐忘掉，甚至有的会忘得“一干二净”。如果说“教育是所有学会的东西都忘却以后，仍然留下来的那些东西”（M?劳厄），学生学习数学获得的不仅仅是知识，除此之外，更为重要的是思想与方法。而在研究探究性学习的今天，我们的教学一直在研究如何组织和组织的形式上，对在发展过程中使用的合情推理等方法没有予以足够的重视，而这些恰恰是人的优秀文化素质的重要组成部分。再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息，不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓。 一、合情推理在数学能力发展中的功能和作用 《数学课程标准（实验稿）》在课程的具体目标中明确提出了“培养和发展学生的合情推理能力”。合情推理，它“是在认知过程中，主体根据自己在日常生活中积累的知识、经验，经过非演绎（或非完全演绎）的思维而得到合乎情理、理想化结论的一种推理方式”。其主要表现在：“它可能是……”（猜测），“做出来看一看”（实验），“由上所述可得……”（归纳），“将人心比自心”（类比），“可以想象”（联想）等。 合理推理与通常所说的论证推理是不相同的。论证推理是可靠的；而合情推理是根据经验、知识、直观与感觉得到的一种可能性结论的推理，它推出的结论不一定都正确，却和论证推理一样在数学和生活中都有广泛的应用。在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都应用合情推理。一些科学发现的思维，也主要是合情推理：量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德“称”出来的；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。事实证明，合情推理的这两种主要推理方式…归纳?和…类比?，不受逻辑规则的约束具有强烈的创造性质，它推动了数学的进步和发展。尽管由类比、归纳得出的结论不一定正确，必须加以论证才能确立，但它在数学教学中突出发展学生创造性思维的
猜想在小学数学教学中的运用分析关于猜想在小学数学教学中的运用分析 1．猜想在新课引入中的运用。 提问：这个小正方形的面积是多少？（r2）这个大正方形的面积是多少？（4r2）猜一猜圆面积大约在什么范围呢？（圆面积＜ 4r2）。 教师问：比4r2小一点，那到底是多少呢？大家知道吗？现在我们就来探讨解决这个问题。这样通过猜想，使学生初步勾勒出知识 的轮廓，从整体上了解所学的内容，启动了学生思维的闸门，使其 思维处于亢奋状态。 2.“猜想”在新知学习中的运用。 在学生学习数学知识过程中，加入“猜想”这一催化剂，可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成的速度，从而抓住事物的 本质特征，得出结论。如在圆的周长教学中，教师让学生拿出事先 准备好的学具：若干个大小不一的圆、一根绳子、一把米尺、一个 圆规。问“要研究圆的周长，你想提出什么样的方法？”学生经过 观察、思索、动手操作，提出猜想：“用绳子量出圆的周长，再量 绳子长度行吗？”“把圆直接放在直尺上滚动，量出圆的周长行吗？”“对于这个圆，用绳子量出它的两个直径的长度，试一试能 否还围成这个圆。不行，再量出三、四个直径的长度，看可不可以 围成这个圆。猜想：圆的周长是不是三、四个直径的长度？”显然 这是一个很了不起的猜想。教师追问：“为什么你要提出这样的猜想？”学生回答：“用圆规画圆，半径越长，圆就越大，也就是直 径越长，圆的周长就越长，所以，用直径求圆的周长，既准确，又 省力。”由此可见，通过学生一系列的自主猜想，诱发了跳跃思维，加快了知识形成的'进程。
3．“猜想”在新知巩固中的运用。 可见，老师在教学中利用猜想，为学生创造了更多的自主思考机会激发了学生学习的内驱力，发展了学生的潜在能力，使学生在认识所学知识、理解所学知识的同时，智力水平不断提高。
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示
四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )
大胆猜想-小心求证——小学数学课堂教学 例谈
大胆猜想，小心求证——小学数学课堂 教学例谈 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 摘要： 关键词： 【案例】 在教学一个小数的近似数的课堂教学上，教师刚出示了例1：“保留两位小数，它的近似数是多少？”，一些学生就迫不及待地举手回答： 生1：老师，是。 生2：不，应该是。 生3：我觉得应该是…… 课堂气氛瞬即热烈起来了。 我本想让学生从求整数近似数的方法迁移思考求小数近似数的方法，但学生猜想的答案让我意识到，如果在这时我打断学生的争辩再按照原本的教学设计进行引导，对学生的学习热情是一个很大的打击。于是我让不同意见的学生各自说出自己的猜想过程：“说说你是怎样想到这个答案呢？”
生4：因为接近3，所以≈3，但因为要保留两位小数，所以根据小数的性质，≈ 。 生5：因为要保留两位小数，所以我认为应该看小数部份的第三位，千分位上是3，不满5，要舍去，所以≈。 生6：因为接近3，但是要保留两位小数，十分位和百分位上的数都满5了，要向前一位进1，所以≈。 听完发言后，我再让同学们根据他们的猜想过程，结合求整数近似数的方法去认真地思考、讨论，哪一个猜想的方法是正确的。同学提出了不少的疑问： 生7：要保留两位小数，为什么要把它们先看成整数呢？ 生8：运用四舍五入方法求整数近似数的时候，要看省略尾数左起的第一位。那么求保留两位小数的近似数，应该看哪一位呢？…… 在同学的质疑和思辩中，学生们逐渐对求小数近似数的方法清晰起来了，其实求小数近似数的方法与求整数近似数的方法相似，要看省略尾数左起的第一位，运用四舍五入的方法求出。 【反思】
小学数学教学中的合情推理 在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息经常需要作出选择和判断，进而进行推理、作出决策。因而，义务教育《数学课程标准》指出：“数学课程的学习，强调学生的数学活动，发展学生的推理能力。”推理分论证推理和合情推理两种。数学对发展推理能力的作用，人们早已认同并深信不疑。但是，长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式发展学生的论证推理能力，忽视了合情推理能力的培养。应当指出，数学需要论证推理，更需要合情推理。 一、合情推理的含义 合情推理是一种合乎情理、好像为真的推理，它是数学发现的方法之一。合情推理，不全都依据数学公理体系和数学定理进行推理，而是运用了一些特殊的推理方法，从所得命题的真假性来看，不像论证推理所得的命题那样严密和稳定。似真非真和似真确真这两种情况都有可能发生。因此，合情推理又被称为似真推理。数学中的合情推理是多种多样的，其中归纳推理和类比推理是两种用途最广的特殊合情推理。法国数学家拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳和类比。” 二、发展学生合情推理的意义 首先，是实施新课标的需要。《数学课程标准》中明确：归纳和类比是合情推理的主要形式，并指出：第一学段“初步学
会选择有用的信息进行简单的归纳和类比”，第二学段“进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力”，第三学段“体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力”。其目的是有序地培养学生的推理能力，但小学阶段以发展学生初步的合情推理能力为主要目标。 其次，是由小学生的认知特点决定的。鉴于小学生的年龄与认知特点，他们不可能通过具有严格标准的逻辑推理来发现和掌握数学原理和概念。因此，在小学数学教材中大量地采用了像数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推理的方法。再次，是学生学习数学的过程要求。波利亚说过：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”费赖登塔尔认为，学生学习数学是一个有指导的再创造的过程。数学学习本质是学生的再创造。数学知识的学习并不是简单的接受，而必须以再创造的方式进行。因此，在数学学习的过程中，应给学生提供具有充分再创造的通道，以激励学生进行再创造的活动。把数学知识学习的过程展开、还原，让学生经历观察、比较、归纳、类比……即合情推理提出猜想，然后再通过演绎，推理证明猜想正确或错误。数学网 三、发展学生合情推理的策略
在数学教学中如何发展学生的合情推理能 力 合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断，因而在平时的教学中如何教会学生合情推理，是值得探讨的。在数学教学中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重视思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。 一、在“数与代数”中培养合情推理能力 在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的“规则”――公式、法则、推理律等。因而计算中有推理，现实世界中的数量关系往往有其自身的规律。对于代数运算不仅要求会运算，而且要求明白算理，能说出运算中每一步依据所涉及的概念运算律和法则，代数不能只重视会熟练地正确地运算和解题，而应充分挖掘其推理的素材，以促进思维的发展和提高。如：求绝对值1-51=？ 1+51=？I―2l=？1+21=？1-3/21=？ 1+3/21=？从上面的运算中，你发现相反数的绝对值有什么关系？并作出简捷的叙述。通过这个例子，教学可以培养学生的合情推理能力，再结合数轴，可以
让学生初步接触数形结合的解题方法，并且让学生了解绝对值的几何意义。 二、在“空间与图形”中培养合情推理能力 在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理。又要重视合情推理。初中数学新课程标准关于《空间与图形》的教学中指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理能力。”并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中.要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。 三、在“统计与概率”中培养合情推理能力 统计中的推理是合情推理，是一种可能性的推理，与其它推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。如：为筹备新年联欢晚会，准备什么样的水果才能最受欢迎？首先应由学生对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该
小学数学教学中如何培养小学生的推理能力小学生在数学课上学习一点有关推理的知识，是《课标》指定的一个重要的教学内容。《数学课程标准》中指出：“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人学习和生活经常使用的思维方式。推理一般的包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。在小学阶段，主要学习合情推理，即归纳推理和类比推理。而归纳推理又多表现为不完全归纳推理”。数学推理，是从数和形的角度对事物进行归纳类比、判断、证明的过程，它是数学发现的重要途径，也是帮助学生理解数学抽象性的有效工具。在小学数学教学中，如能重视强化学生的推理意识，培养学生的推理能力，既有利于帮助学生形成言必有据一丝不苟的良好习惯，也有利于学生掌握科学的思维方法，促进已有知识、经验、技能的有效迁移，提高学生的学习效率。在小学数学教学中如何培养小学生的推理能力？下面谈谈我在教学中的一些体会。 一、在小学数学教学中，要让学生说理，养成学生推理有据的好习惯 语言是思维的外壳，组织数学语言的过程，也是教给学生如何判断的推理过程，而与语言最密不可分的是演绎推理，小学生解题时大多是不自觉地运用了演绎推理，因此教学中教师必须追问为什么，要求学生会想、会说推理依据，养成推理有据的习惯，例如：14和15是不是互质数时一定要学生这样回答：公因数只有1的两个数叫做互质数，因为14和15 只有公因数1，所以14和15是互质数。这样运用演绎推理方法，经常进行说理训练，有利于培养学生的演绎推理能力。 二、教给学生正确的推理方法 小学生学习模仿性大，如何推理、需要提出范例，然后才有可能让学生学会推理。小学数学中不少数学结论的得出是运用了归纳推理，教学时就要有意识地结合数学内容为学生示范如何进行正确的推理。例如，在教乘法交换律时，我是这样引导学生学习的，计算多组算式：5×3=15、3×5=15所以5×3=3×5还有：15×4=4×15引导学生观察、分析，找出这些算式的共同点：左、右两边因数相同，交换因数的位置积不变，归纳出乘法交换律。 三、要把培养学生的推理能力贯穿在日常的数学教学中 能力的发展决不等同于知识技能的获得。知识可以用“懂”来描述，技能可以用“会”来描述，都可以立竿见影。能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行，因此教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、验证等数学活动过程，并把推理能力的培养有机地结合在这一过程中。例如；在讲《分数的初步认识》这一课时时，学生在认识了二分之一，三分之一，四分之一……这些分数后，提出问题：二分之一和三分之一哪个分数大？先让学生说出自己的的猜想，接着验证：取两张相同的纸片，一个折出二分之一，另一个折出三分之一，再比较大小，一目了然，二分之一大于三分之一。接着再推理三分之一和四分之一哪个分数大？从而得出结论：分子为一的分数，分母小的分数大。这样再完成教学任务的同时，不知不觉中培养了学生的推理能力。 四、要把推理能力的培养植根于学生熟悉的生活实践中 要想促进学生推理能力更好地发展，除了书本知识外，还有很多活动能有效地发展学生的推理能力，例如：①大树与影子有什么关系，成什么比例，计算糖水里含糖量可能用什么比例解答，在解答之前，要用变化规律进行猜想，得到合情推理，再进行验证。②用举反例的方式证明结论不成立，如给小明家打电话，若多次接通但无人接听，则由此得出“小明不在家”的判断。③开展一些有趣的游戏或活动，培养学生的推理能力，如分圆比赛，就能得出“圆的周长与∏有关系”这一结论。
1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：
第36讲 合情推理与演绎推理 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理． ②特点：是由__部分__到__整体__、由__个别 __ 到__ 一般__的推理． (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理． ②特点：是由__特殊__到__特殊__的推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__. ③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(×) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×) (3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×) 解析(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理． (2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适． (3)正确．因为大前提错误，所以结论错误． (4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确． 2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C) A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(B) A．28B．32 C．33D．27 解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x－20＝12，因此x＝32. 4．给出下列三个类比结论： ①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n； ②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是(B) A．0B．1 C．2D．3 解析只有③正确． 5．观察下列不等式： 1＋1 22＜3 2， 1＋1 22＋1 32＜ 5 3，
§2.1.1 合情推理（1） 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义； 2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. ~ P30，找出疑惑之处） 28 在日常生活中我们常常遇到这样的现象： （1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程. 二、新课导学 学习探究 探究任务：归纳推理 问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 . 新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理. 典型例题 例1 观察下列等式：1+3=4=， 1+3+5=9=， 1+3+5+7=16=， 1+3+5+7+9=25=， …… 你能猜想到一个怎样的结论？ 变式：观察下列等式：1=1 1+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100，
…… 你能猜想到一个怎样的结论？ 例2已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式. 变式：在数列{}中，（），试猜想这个数列的通项公式. 动手试试 练1. 应用归纳推理猜测的结果.
练2. 在数列{}中，，（）,试猜想这个数列的通项公式. 三、总结提升 学习小结 1．归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. 知识拓展 1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现不是素数，推翻费马猜想. 2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 学习评价 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2.若，下列说法中正确的是（）. A.可以为偶数 B.一定为奇数 C.一定为质数 D.必为合数 3.已知，猜想的表达式为（）. A. B. C. D. 4.，经计算得猜测当时，有__________________________. 5.从中得出的一般性结论是_____________ . 课后作业 1. 对于任意正整数n，猜想与的大小关系.
小学数学教学中较困惑的几个问题新课改的实施已经有几个年头了,在这几年里,我们的课堂教学发生了翻天覆地的变化:教师由单纯的知识传授者转变为教学活动的组织者、学生探索知识的引导者和合作者。教学内容的选取更加密切联系社会实际和学生生活实际，学生的学习普遍采用自主、合作、探究的方式，师生之间关系和谐、民主、平等。但同时也给教师带来了严峻的挑战。作为一名一线的数学教师，在新课程教学理念逐渐的深入人心的氛围之中，困惑却越来越了。 一、关于“调动学生学习积极性”的困惑 现在的学生学习主动性差，让老师牵着鼻子走，学生累，老师更累。老师想方设法的来调动学生学习的兴趣，课堂上创设情景似乎是一个很有效的方法，可是久而久之，学生的兴趣就没有刚开始那么浓了，有时候就是流于形式了。如何让学生以饱满热情参加学习，真正提高学习效果，感受数学的美。 二、关于“小组学习”的困惑 小组合作的学习方式能充分体现教学民主，能给予学生更多自由活动的时间和相互交流的机会。从我教学实践中感悟到：小组合作的学习方式看似简单易学，但稍有不慎就会使课堂气氛得不到较好的调控，达不到预期的目的。很多时候“合作”都只是流于形式，盲目跟从，学生没有得到真正发展，我在教学《三角形
的内角和》时，导入新课后，教师先提出问题：让学生猜猜三角形的内角和是多少度。有部分学生说出是1800。此时，我立即要学生四人一组讨论研究，证明自己的猜想。学生马上围在一起，你一言我一语，表面看起来很热闹，但都是拿着自己的三角形在说一些与此没有多大关系的话，因为对于老师的问题学生无从下手，当然让学生汇报时，只是用了量一量的方法,而拼一拼、折一折的方法无人问津。 小组合作学习确实增加了学生参与的机会。但是常常是好学生机会更多，扮演着一种帮助的角色；困难学生成了听众，得不到独立思考的机会而直接从好学生中获得信息，致使困难学生在小组合作学习中的获益比在班级教学中的获益还少，在小组活动中好学生发言的机会多，代表小组汇报的现象多；小组活动中出现的一些放任自流的现象，……等等这些问题，不能不引起我们的思考。 在教学中，如何使“小组合作”不流于形式？什么时候是采取“小组合作”最恰当的时机？如何在“小组合作”中，使困难学生也真正参与到学习中，真正收到班级教学中所得不到的收获呢？有时学生确实参与讨论，当讨论汇报的正尽兴时，下课铃响了，给学生的时间短，合作学习只停留在表面，时间长了，常完不成教学任务，这该怎么办？
让生活走进小学数学课堂 摘要：本文以《数学课程标准》理论为指导，从小学生生活经验出发，提出了“让生活走进小学数学课堂”的教学理念，并遵循学生学数学的规律，主要是运用教学案例，从创设生活情境，激发学习兴趣；创设性的使用教材，使例题生活化；练习设计生活化，提高实践操作能力；运用生活经验，解决数学问题等几方面分析论证和实践了这一理念“使学生感受数学与生活的密切联系，亲历数学的过程”，收到了良好的教学效果。 关键词：生活；数学；小学课堂 新的《数学课程标准》明确要求“使学生感受数学与生活的密切联系，从学生已有的生活经验出发，让学生亲历数学的过程”。这是小学数学教学的基本任务，也是数学教学的指导思想和重要原则。数学源于生活，又服务于生活，正如陶行知先生所说：“生活即教育，生活教育是供给人生需要的教育，不是假的教育。人生需要什么，我们就教什么”。可见，把生活问题数学化，数学问题生活化，使学生从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，感受数学的魅力是多么重要。 一、创设生活情境，激发学习兴趣 兴趣是一种具有积极作用的情感，而人的情感又总是在一定的环境中产生的。心理学研究表明，当学习内容和学生熟悉的生活背景越接近，学生自觉接纳知识的程度就越高，兴趣也就越浓。生活中常用的各种知识，像按比例分配水电费、计算储蓄存款利息、日常生活中打折购物、按一定的比例设计平面图等问题均发生在学生的身边，并且充满着生活的情趣。因此，教师要多创设教学情境，从现实生活中引入数学知识，使数学知识生活化，让学生带着生活问题进入课堂，使他们觉得所学习的内容是和实际生活息息相关的，是生活中急待解决的问题，给数学找到生活的原型。 案例一：“相同的数减相同的数等于0” 教师可以创设这样一个情景：师：这里真热闹，小鸟们也情不自禁地飞上了枝头，（播放《小鸟飞》的音乐，4个戴小鸟头饰的学生“飞”了出来，音乐结束，“小鸟”又飞回去了。）师：你们能用自己的话说说刚才发生了什么事吗？或者根据刚才的事情提出数学问题吗？有的学生说现在有0只小鸟，有的学生根据这一情景编了应用题：“枝头上飞来了4只小鸟，又飞走了4只小鸟，问还剩多少只小鸟？”教师可以马上抓住这一点切入，让学生根据这一应用题列算式：4-4=0。学生很快地理解了算理，领悟到了两个相同的数做差等于0这一规律。
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第二节 合情推理与演绎推理 高考试题 考点一 合情推理 1.(2011年江西卷,理7)观察下列各式:55 =3125,56 =15625,57 =78125,…,则52011 的末四位数字为( ) (A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125 解析:∵55 =3125,56 =15625,57 =78125,58 =390625, 59 =1953125,510 =9765625,…, ∴5n (n ∈Z 且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化, 记5n (n ∈Z 且n ≥5)的末四位数为f(n), 则f(2011)=f(501×4+7)=f(7), ∴5 2011 与57 的末四位数字相同,均为8125. 答案:D 2.(2012年湖北卷,理13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则 (1)4位回文数有 个; (2)2n+1(n ∈N +)位回文数有 个. 解析:1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有 1001,1111,1221,…,1991,2002,…,9999,共90个,5位回文数中,首末位数字不能为0,有9种选法,第2、4位数字有10种选法,第3位数字有10种选法,故5位回文数共有9×102 =900个,故猜想2n+1(n ∈N +)位回文数有9×10n 个. 答案:(1)90 (2)9×10n 3.(2013年陕西卷,理14)观察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12 -22 +32 -42 =-10, … 照此规律,第n 个等式可为 . 解析:观察规律可知,第n 个式子为12 -22 +32 -42 +…+(-1)n+1n 2 =(-1)n+1 ()12 n n +. 答案:12 -22 +32 -42 +…+(-1)n+1n 2 =(-1) n+1()12 n n + 4.(2012年陕西卷,理11)观察下列不等式 1+212<32, 1+212+213<53, 1+ 212+213+214<74 , …
小学数学教学中培养学生合情推理能力 内容摘要数学教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用。因此，课堂教学中，教师应该根据教材内容对学生进行合情推理能力的培养。它不仅能够提高课堂教学质量，更重要的是有助于学生创新意识的培养和创新能力的提高。 关键词小学数学教学合情推理能力培养 质疑：我过去认为新教材轻视了对概念的准确定义以及定理的推理论证，没有展开分析、讨论，只要求学生去记概念、定理，讲求会用就行，这叫知其然，不知其所以然，显然不利于学生的长期发展。如：如教学“三角形的内角和等于180°”时，教师先出示三角形的某一个角（其余两个角用纸板遮住），让学生说出是什么类型的三角形？①露出一只钝角时；②露出一只直角时；③露出一只锐角的时候。当出示了第③种情况时，有的说是锐角三角形，有的说是直角三角形，但老师拿出的却不是他们所猜测的三角形，这是什么原因呢？有什么办法才能知道、判断准确呢。而是让学生用剪纸拼接实验来加以说明，这是逻辑推理的一大忌讳，不利于学生逻辑推理能力的培养，而失去了数学的严谨性。通过认真解读《数学课程标准》而消除了误解，课标中提出“学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。” 数学家波利亚说:“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式，叫做推理。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性
小学数学教学中较困惑问题 新课改的实施已经有几个年头了,在这几年里,我们的课堂教 学发生了翻天覆地的变化:教师由单纯的知识传授者转变为教学活动的组织者、学生探索知识的引导者和合作者。教学内容的选取更加密切联系社会实际和学生生活实际，学生的学习普遍采用自主、合作、探究的方式，师生之间关系和谐、民主、平等。但同时也给教师带来了严峻的挑战。作为一名一线的数学教师，在新课程教学理念逐渐的深入人心的氛围之中，困惑却越来越多了。 一、关于“调动学生学习积极性”的困惑 现在的学生学习主动性差，让老师牵着鼻子走，学生累，老师更累。老师想方设法的来调动学生学习的兴趣，课堂上创设情景似乎是一个很有效的方法，可是久而久之，学生的兴趣就没有刚开始那么浓了，有时候就是流于形式了。如何让学生以饱满的热情参加学习，真正提高学习效果，感受数学的美？ 二、关于“小组学习”的困惑 小组合作的学习方式能充分体现教学民主，能给予学生更多自由活动的时间和相互交流的机会。从我教学实践中感悟到：小组合作的学习方式看似简单易学，但稍有不慎就会使课堂气氛得不到较好的调控，达不到预期的目的。很多时候“合作”都只是流于形式，盲目跟从，学生没有得到真正发展，我在教学《三角形的内角和》时，导入新课
后，教师先提出问题：让学生猜猜三角形的内角和是多少度。有部分学生说出是1800。此时，我立即要学生四人一组讨论研究，证明自己的猜想。学生马上围在一起，你一言我一语，表面看起来很热闹，但都是拿着自己的三角形在说一些与此没有多大关系的话，因为对于老师的问题学生无从下手，当然让学生汇报时，只是用了量一量的方法,而拼一拼、折一折的方法无人问津。 小组合作学习确实增加了学生参与的机会。但是常常是好学生机会更多，扮演着一种帮助的角色；困难学生成了听众，得不到独立思考的机会而直接从好学生中获得信息，致使困难学生在小组合作学习中的获益比在班级教学中的获益还少，在小组活动中好学生发言的机会多，代表小组汇报的现象多；小组活动中出现的一些放任自流的现象，……等等这些问题，不能不引起我们的思考。 在教学中，如何使“小组合作”不流于形式？什么时候是采取“小组合作”最恰当的时机？如何在“小组合作”中，使困难学生也真正参与到学习中，真正收到班级教学中所得不到的收获呢？有时学生确实参与讨论，当讨论汇报的正尽兴时，下课铃响了，给学生的时间短，合作学习只停留在表面，时间长了，常完不成教学任务，这该怎么办？ 合作学习时，优生活动多，学困生成了旁观者，如何发挥小组合作学习的作用，提高合作学习的实效性？ 三、在数学应用题教学中的一些困惑