第83课 合 情 推 理
1. 能利用归纳和类比进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.
2. 会运用所学知识对结论进行判断和证明.
1. 阅读：选修12第27～31页(理科阅读选修22相应内容).
2. 解悟：①合情推理，归纳推理和类比推理的过程分别是怎样的？各有哪些特点？②归纳推理和类比推理得到的结论一定是正确的吗？体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
3. 在教材空白处，完成选修12第33页练习第3、4题，第35页练习第2、3题(理科完成选修22相应任务).
基础诊断
1. 数列1，3，7，13，x ，31，…中的x ＝ 21 .
2. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列. 类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，
T 8T 4 ， T 12T 8
成等比数列. 解析：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 28，T 12＝b 121q 66
，所
以T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38，即????T 8T 4
2＝T 4·T 12T 8，故T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列. 3. 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋
x 3＋27x 3≥4，…，类比得：x ＋a
x
n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝ n n . 解析：当n ＝1时，a ＝1；当n ＝2时，a ＝22＝4；当n ＝3时，a ＝33＝27，…，所以当x ＋a
x
n ≥n ＋1(n ∈N *)时，a ＝n n . 4. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1
4，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝ 1
27
.
解析：如图，正四面体PABC ，D 为底面三角形ABC 的中心，设正四面体的棱长为a ，
则AD ＝33a ，PD ＝63a.设OA ＝R ，OD ＝r ，则R 2
＝????63a －R 2＋???
?33a 2，所以R ＝64a ，r ＝
6
12
a ，所以正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1，故正四面体PABC 的内切球体积与外接球体积之比V 1V 2＝1
27
.
范例导航
考向? 归纳推理问题
例1 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为 n 2－n ＋62
.
解析：该数阵前n －1行共用了1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）
2个数，因此，第
n 行(n ≥3)从左向右的第3个数，是全体正整数中的第n （n －1）2＋3个，即为n 2－n ＋6
2
.
如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：
原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，…，以此类推，则标签2 0162的格点的坐标为 (－1 008，－1 008) .
解析：观察图中的点，点(0，0)处标0，即02，点(－1，－1)处标4，即22，点(－2，－2)处标16，即42，…，由此推断点(－n ，－n)处标(2n)2，当(2n)2＝2 0162时，n ＝1 008，故标2 0162的格点的坐标为(－1 008，－1 008).
【备用题】 已知函数f(x)＝
bx ＋1（ax ＋1）2
(x ≠－1
a ，a>0)，满足f(1)＝log 162，f(－2)＝1.
(1) 求函数f(x)的表达式；
(2) 已知数列{x n }的项满足x n ＝[1－f(1)]·[1－f(2)]·[1－f(3)]·…·[1－f(n)]，试求x 1，x 2，x 3，x 4；
(3) 猜想数列{x n }的通项公式.
解析：(1) 因为f(1)＝log 162，f(－2)＝1，代入
f(x)＝bx ＋1
（ax ＋1）2
，得?????b ＋1（a ＋1）2
＝1
4，－2b ＋1（1－2a ）2
＝1，
解得?
????a ＝1，b ＝0，
所以f(x)＝
1
（x ＋1）2
(x ≠－1).
(2) x 1＝1－f(1)＝1－14＝3
4，
x 2＝3
4×????1－19＝23， x 3＝23×????1－116＝58， x 4＝58×????1－125＝35
. (3) 把x 1，x 2，x 3，x 4的值分别写成： x 1＝34，x 2＝46，x 3＝58，x 4＝6
10，
于是归纳猜想，得x n ＝n ＋22n ＋2.
考向? 类比推理问题
例2 已知结论“等边三角形的中心将它一边上的高所分两段之比是2∶1”. (1) 对于正四面体，有类似的结论吗？请表示出来； (2) 请用数学知识证明你的结论或说明其成立.
解析：(1) 正四面体的中心将它一个面上的高所分两段之比为3∶1. (2) 设正四面体ABCD 的中心为O ，分别连结OA ，OB ，OC ，OD.
由正四面体的性质可知，其中心到各个面的距离相等，设为r ，其四个面的面积均相等，设为S ，
设其高为h ，则该四面体的体积
V ＝V OABC ＋V OBCD ＋V OCDA ＋V ODAB ，
所以13Sh ＝13Sr ＋13Sr ＋13Sr ＋13Sr ＝4
3
Sr ，
所以h ＝4r ，
即正四面体的中心将它一个面上的高所分成两段长的比为3∶1.
已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2
n 2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e .试将该
命题类比到双曲线中，给出一个真命题是 在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2
n 2＝1(m>0，n>0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率
是e ，则|sin A －sin C|sin B ＝1
e
.
解析：根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2
n 2＝1(m>0，n>0，p ＝m 2＋n 2)
上，双曲线的离心率是e.因为1e ＝a c ＝2a 2c ＝|AB －BC|AC ，所以由正弦定理得1e ＝|sin A －sin C|
sin B
.
自测反馈
1. 多面体 面数(F) 顶点数(V)
棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体
6
8
12 归纳猜想一般凸多面体中，F ，V ，E 所满足的等式是 F ＋V －E ＝2 .
2. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则他们的面积之比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的体积之比为 1∶8 .
解析：在空间内，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以它们的体积之比为1∶8.
3. 在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2
＝BC 2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD 的三个侧面ABC ，ACD ，ADB 两两相互垂
直，则 S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD .”
解析：因为三个侧面ABC ，ACD ，ADB 两两垂直，所以AB ⊥AC ，AC ⊥AD ，AD ⊥AB ，则由勾股定理得AB 2＋AC 2＝BC 2，AC 2＋AD 2＝CD 2，AD 2＋AB 2＝BD 2.设AB ＝x ，AC ＝y ，AD ＝z ，所以BC ＝x 2＋y 2，CD ＝y 2＋z 2，BD ＝x 2＋z 2.根据余弦定理可得
cos ∠BCD ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC·CD ＝y 2
x 2＋y 2·y 2＋z 2，则sin ∠BCD ＝1－cos 2∠BCD ＝1－y 4（x 2＋y 2）（y 2＋z 2）
＝x 2y 2＋x 2z 2＋y 2z 2
（x 2＋y 2）（y 2＋z 2）
，所以由三角形面积公式得S △BCD
＝12BC·CD·sin ∠BCD ＝12
x 2＋y 2·y 2＋z 2·x 2y 2＋x 2z 2＋y 2z 2（x 2＋y 2）（y 2＋z 2）＝12
x 2y 2＋y 2z 2＋x 2z 2
，
即S 2BCD ＝14x 2y 2＋14y 2z 2＋14
x 2z 2
＝S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2
△ADB . 4. 在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的顶点坐标分别为A(0，a)，B(b ，0)，C(c ，0)，点P(0，p)在线段OA 上(异于端点).设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F. 一同学已正确算出直线OE 的方程为????1b －1c x ＋????
1p －1a y ＝0，则OF 的方程为 ????1b －1c x －????1p －1a y ＝0 .
解析：由截距式可得直线AB ：x b ＋y a ＝1，直线CP ：x c ＋y
p
＝1，两式相减得????1b －1c x －????1p －1a
y ＝0，显然，直线AB 与CP 的交点F 满足此方程.又原点O 也满足此方程，故直线OF 的方程为????1b －1c x －????1p －1a y ＝0.
1. 归纳推理和类比推理是合情推理的两种常见形式，合情推理得到的结论是猜测的性质，不全正确.
2. 归纳推理是从个别事实中推演出一般性的结论，是从特殊现象到一般现象的推理.通常归纳的个体数目越多，那么推广的一般性命题也会越可靠.
3. 你还有哪些体悟，写下来：