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高考数学合情推理与演绎推理

第36讲合情推理与演绎推理

1．合情推理 (1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．

②特点：是由__部分__到__整体__、由__个别

到__

一般__的推理． (2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理．

②特点：是由__特殊__到__特殊__的推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__.

③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断．

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(×)

(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)

解析(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．

(2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．

(3)正确．因为大前提错误，所以结论错误．

(4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)

A．使用了归纳推理

B．使用了类比推理

C．使用了“三段论”，但推理形式错误

D．使用了“三段论”，但小前提错误

解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．

3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(B)

A．28B．32

C．33D．27

解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.

则x－20＝12，因此x＝32.

4．给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；

②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；

③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

其中结论正确的个数是(B)

A．0B．1

C．2D．3

解析只有③正确．

5．观察下列不等式：

1＋1

22＜3 2，

1＋1

22＋1

32＜

3，

1＋122＋132＋142＜74， …

按此规律，第五个不等式为__1＋122＋132＋142＋152＋162<11

__.

解析观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1

(n ∈N *，n ≥2)，

所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<11

一类比推理

(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．

【例1】 (1)若数列{}a n 是等差数列，则数列{}b n ????

b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类

比这一性质可知，若正项数列{}c n 是等比数列，且{}d n 也是等比数列，则d n 的表达式应为( D )

A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n

B ．d n ＝c 1·c 2·…·c n

C ．d n ＝

c n 1＋c n 2＋…＋c n

D ．d n ＝n

c 1·c 2·…·c n

(2)在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE

BE .把这个

结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B ，且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是__AE EB ＝S △ACD

S △BCD

__.

解析 (1)若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋

n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d

＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2

， ∴d n ＝n

c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{

d n }为等比数列，故选D ．

(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD

S △BCD

二归纳推理

归纳推理中几种问题的处理技巧

(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．

(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．

(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

【例2】观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …

依此规律，第n 个等式可为__12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)

__.

解析第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋

1n 2，

右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

，

故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)

【例3】观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__28__个小正方形．

解析第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此a n ＝1＋2＋3＋…＋(n ＋1)．故a 6＝1＋2＋3＋…＋7＝7(1＋7)2

＝28，即第6个图中有28个小正方形．

【例4】 (2016·山东卷)观察下列等式：

????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43

×1×2；

????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43

×4×5； … 照此规律，

????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋???

?sin 2n π2n ＋1－2＝__43n (n ＋1)__.

解析通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，4

3后面第一个数是等

式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，4

3后面第二个数是第一个数的下一

个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即4

n (n ＋1)．

三演绎推理

演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．

【例5】数列{}a n 的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝

n ＋2

·S n (n ∈N *)，证明： (1)数列????

S n n 是等比数列；

(2)S n ＋1＝4a n .

证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2

n S n ，

∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ， ∴

S n ＋1n ＋1

＝2·S n n ，又S 1

1＝1≠0，(小前提)

故????

S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)

(2)由(1)可知

S n ＋1n ＋1＝4·S n －1

n －1

(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2

n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)

又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)

1．(2018·安徽淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( B )

A ．2 011

B ．2 012

C ．2 013

D ．2 014

解析根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ∈N *，则第二层的三个数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，第三层的五个数a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，这9个数之和为a ＋3a ＋24＋5a ＋80＝9a ＋104.由9a ＋104＝2 012，得a ＝212，是自然数，故选B ．

2．(2018·江西临川一中模拟)已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝

16×3×4×7,12＋22＋32＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝__1

6n (n ＋1)(2n ＋1)(n ∈

N *)__(其中n ∈N *)．

解析根据题意可归纳出12＋22＋…＋n 2＝1

6n (n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3

＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，故填1

n (n ＋1)(2n ＋1)．

3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为__6n ＋2__.

…

解析由题意知，图②的火柴棒比①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n 条小鱼需要(2＋6n )根．

4．(2018·北京海淀模拟)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋

f (2 018)

f (2 017)

＝__2_018__.

解析利用三段论．

因为f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，(大前提)

令b ＝1，则f (a ＋1)

f (a )＝f (1)＝2，(小前提)

所以f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 018)f (2 017)＝2.(结论)

所以原式＝

＝2 018.

易错点类比不当

错因分析：从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论．【例1】在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1

AC 2，那么在四

面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

解析如图(1)所示，由射影定理知AD 2＝BD ·DC ，

AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， ∴

1AD 2＝1

BD ·DC

＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2

AB 2·AC 2

. 又BC 2

＝AB 2

＋AC 2

，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2

， ∴

1AD 2＝1AB 2＋1

AC 2

. 四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD 于E ，则

1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1

AD 2

. 证明如下：如图(2)，连接BE 交CD 于F ，连接AF .

∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，

∴AB ⊥平面ACD ．而AF ?平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1

在Rt△ACD中，AF⊥CD，

AF2＝

AC2＋

AD2.

∴

AE2＝

AB2＋

AC2＋

AD2.

【跟踪训练1】在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地：在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有等式__b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)__成立．

解析在等差数列{a n}中，由a10＝0，得：a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝a n＋1＋a19－n ＝2a10＝0，

∴S19＝a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0(n<19)，

即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1，

又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－a n＋1，

∴a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.

若a9＝0，同理a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a17－n(n<17)．

在等比数列{b n}中，b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)

课时达标第36讲

[解密考纲]高考中，归纳推理和类比推理主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现．

一、选择题

1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(B)

A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数

C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数

D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数

解析对于A项，小前提与结论互换，错误；对于B项，符合演绎推理过程且结论正确；对于C项和D项，均为大前提错误，故选B．

2．请仔细观察1,1,2,3,5，()，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是(A)

A．8B．9

C．10D．11

解析观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A ．

3．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z } ，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2 013∈[3]； ②－2∈[2]；

③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确结论的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析因为2013＝402×5＋3，所以2013∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C ．

4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3, (cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( D )

A ．f (x )

B ．－f (x )

C ．g (x )

D ．－g (x )

解析由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，从而g (x )是奇函数．∴g (－x )＝－g (x )．

5．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算： a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3

＝2；

a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8

lg 7

＝3；….

若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 018时，“企盼数”k 为( C )

A ．22 017 ＋2

B ．22 017

C ．22 018－2

D ．22 017－4

解析 a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg (k ＋2)

lg 2

＝2 018，lg(k ＋2)＝lg 22 018，故k ＝22 018－2.

6．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲，乙，丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个

球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( B )

A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

解析假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误，故选B ．

二、填空题

7．(2018·河南开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成

的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a 2<∫a ＋

1a x 2d x <(a ＋1)2

.运用类比

推理，若对?n ∈N *，1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n