§13.2合情推理与演绎推理
2014高考会这样考 1.从近几年的高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档为主；2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题．
复习备考要这样做 1.联系具体实例，体会几种推理的概念和特点，并结合这些方法解决一些应用问题；2.培养归纳、类比、演绎的推理思维模式，培养分析、解决问题的能力．
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．
合情推理的过程
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这
些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，
结论：?d∈M，d也具有某属性．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一
类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；
B：具有属性a′，b′，c′；
结论：B具有属性d′.
(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
2．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(2)“三段论”可以表示为
①大前提：M是P；
②小前提：S是M；
③结论：S是P.
用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.
[难点正本疑点清源]
1．在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．
2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．
3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
1．(2012·陕西)观察下列不等式：
1＋1
22<3 2，
1＋1
22＋1
32<
5
3，
1＋1
22＋1
32＋
1
42<
7
4，
……
照此规律，第五个
．．．不等式为________．
答案1＋1
22＋1
32＋1
42＋
1
52＋
1
62<
11
6
解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
∴第五个不等式为1＋1
22＋1
32＋
1
42＋
1
52＋
1
62<
11
6.
2．(2011·山东)设函数f(x)＝
x
x＋2
(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝
x
x＋2
，
f2(x)＝f(f1(x))＝
x
3x＋4
，
f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x
7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x
15x ＋16
，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 答案
x
(2n
－1)x ＋2n
解析 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .
所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x (2n －1)x ＋2n
.
3． 给出下列三个类比结论：
①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；
②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 B
4． “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝????13x
是指数函数(小前提)，所以函数y ＝
???
?13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于
( )
A ．大前提错误导致结论错
B ．小前提错误导致结论错
C ．推理形式错误导致结论错
D ．大前提和小前提错误导致结论错 答案 A
5． (2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，
则a 10＋b 10等于
( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
答案 C
解析 观察规律，归纳推理．
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等
于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.
题型一 归纳推理
例1 已知函数f (x )＝x 2
1＋x 2
，
(1)分别求f (2)＋f ????12，f (3)＋f ????13，f (4)＋f ????14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明； (3)求值：
f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)＋f ????12＋f ????13＋…＋f ???
?12 011. 思维启迪：所求函数值的和应该具有规律性，经观察可发现f (x )＋f ????
1x ＝1. 解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2
，
∴f (2)＋f ????12＝22
1＋22＋????122
1＋???
?122＝22
1＋22＋122
＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ????13＝1，f (4)＋f ????14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ????
1x ＝1，
证明：f (x )＋f ????1x ＝x
2
1＋x 2＋????1x 2
1＋???
?1x 2
＝x 21＋x 2＋1
x 2
＋1＝1. (3)由(2)可得，
原式＝f (1)＋????f (2)＋f ????12＋????f (3)＋f ????13＋…＋???
?f (2 011)＋f ????12 011 ＝f (1)＋2 010＝12＋2 010＝4 021
2
.
探究提高 本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17<210，7.5＋12.5
<210，8＋2＋12－2<210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．
答案若m>0，n>0，则当m＋n＝20时，有m＋n<210
解析观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是若m>0，n>0，则当m＋n ＝20时，有m＋n<210.
题型二类比推理
例2在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：
1
AD2＝
1
AB2＋
1
AC2，那么在四面体A
－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
思维启迪：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．
解
图①
如图①所示，由射影定理知
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴
1
AD2＝
1
BD·DC
＝
BC2 BD·BC·DC·BC＝
BC2
AB2·AC2.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴
1
AD2＝
AB2＋AC2
AB2·AC2＝
1
AB2＋
1
AC2.
∴
1
AD2＝
1
AB2＋
1
AC2.
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体A—BCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD，则1
AE2＝
1
AB2＋
1
AC2＋
1
AD2.
图②
如图②，连接BE 并延长交CD 于F ， 连接AF .
∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .
而AF ?平面ACD ，∴AB ⊥AF ， 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴
1AE 2＝1AB 2＋1
AF 2
. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1
AD 2.
∴
1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD 2
，故猜想正确． 探究提高 (1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为 ①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，
则a m ＋n ＝bn －am
n －m ；现已知等比数列{b n } (b ≠0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，
若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝__________. 答案 n －m b n
a m
解析 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b n
a m ，等差数列中的bn －am n －m 可以类比等比数列中的n －m
b n a m ，
故b m ＋n ＝n －m b n
a m
.
题型三 演绎推理
例3 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝
n ＋2
n
·S n (n ∈N *)，证明：
(1)数列????
??
S n n 是等比数列；
(2)S n ＋1＝4a n .
思维启迪：在推理论证过程中，一些稍复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成．大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式．
证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2
n S n ，
∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴
S n ＋1n ＋1
＝2·S n n ，又S 1
1＝1≠0，(小前提)
故????
??
S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知
S n ＋1n ＋1＝4·S n －1
n －1
(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2
n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)
又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
探究提高 演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．
已知函数f (x )＝－a a x ＋a
(a >0且a ≠1)．
(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点????12，－1
2对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．
(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点????12，－1
2对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )． 由已知得y ＝－a
a x ＋a
，
则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a x
a x ＋a ，
f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x
＋a ＝－a ·a x
a ＋a ·a x
＝－a x
a x ＋a ，
∴－1－y ＝f (1－x )，
即函数y ＝f (x )的图象关于点????12，－1
2对称． (2)解 由(1)有－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.
∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1.
则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.
归纳不准确致误
典例：(5分)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6
的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示．
2 009 2 010 2 011 )
A ．1 003
B ．1 005
C ．1 006
D ．2 010
易错分析 本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系．可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系．本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a 2n ＝n (n ∈N *)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a 4n －3＋a 4n －1＝0(n ∈N *)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当n 为偶数时a n ＝n ，就会得到a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝2 010的错误结论，而选D.
解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，…，这个数列的规律是奇数项为1，－1,2，－2,3，…，偶数项为1,2,3，…，故a 2 009＋a 2 011＝0，a 2 010＝1 005，故a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005.
答案 B
温馨提醒 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具.
方法与技巧
1． 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理
能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2． 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特
殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． 3． 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论
一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)． 失误与防范
1． 合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2． 演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密
性，书写格式的规范性．
3． 合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推
理
( )
A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确
答案 C
解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．
2． 由710>58，911>810，1325>9
21，…，若a >b >0，m >0，则b ＋m a ＋m 与b a
之间的大小关系为( )
A ．相等
B ．前者大
C ．后者大
D ．不确定
答案 B
3． 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a
b
”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 B
解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．
4． 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函
数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于
( )
A ．f (x )
B ．－f (x )
C ．g (x )
D ．－g (x )
答案 D
解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 2
2
.运用类
比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R ＝________. 答案
a 2＋
b 2＋
c 2
2
解析 通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 2
2
.证明：
作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a 2
＋b 2
＋c 2
，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 2
2
，这也是所求的三棱锥的外
接球的半径．
6． 在平面内有n (n ∈N *，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这
n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是______，f (n )的表达式是________．
答案 16 f (n )＝n 2＋n ＋2
2
解析 由题意，n 条直线将平面分成n (n ＋1)2＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋2
2.
7． 仔细观察下面○和●的排列规律：
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○ ●……
若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________． 答案 14
解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)
2，易知f (14)＝119，f (15)
＝135，故n ＝14. 三、解答题(共22分)
8． (10分)已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，
试证明：f (x )为R 上的单调增函数． 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， ∵x 1 9． (12分)f (x )＝1 3x ＋3 ，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般 性结论，并给出证明． 解 f (0)＋f (1)＝130 ＋3＋1 31＋3 ＝ 11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝3 3 ， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝3 3 . 由此猜想f (x )＋f (1－x )＝ 33 . 证明：f (x )＋f (1－x )＝13x ＋3＋1 31－x ＋3 ＝13x ＋3＋3x 3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x 3(3＋3x ) ＝3＋3x 3(3＋3x )＝33 . B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (1) 1*1＝1，(2)(n +1) *1＝n *1+1，则n *1等于 ( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1 D ．n 2 答案 A 解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1， 得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2 ＝…＝1*1＝1，∴n *1＝n. 2． 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0D ○＋a 1，h 1＝h 0D ○＋a 2，D ○＋运算规则为0D ○＋0＝0,0D ○＋1＝1,1D ○＋0＝1，1D ○＋1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 ( ) A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011 答案 C 解析 对于选项C ，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝0D ○＋1＝1，而h 1＝h 0D ○＋a 2＝1D ○＋1＝0，故传输信息应是10110. 3． (2012·课标全国)设点P 在曲线y ＝1 2 e x 上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( ) A ．1－ln 2 B.2(1－ln 2) C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2) 答案 B 解析 由题意知函数y ＝1 2e x 与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲 线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离的2倍，设y ＝1 2e x 上点(x 0， y 0)处的切线与y ＝x 平行，有12e x 0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴y ＝x 与y ＝1 2e x 上点的最小距 离是 2 2 (1－ln 2)， ∴所求距离为 2 2 (1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)． 二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 给出下列命题： 命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1 x 的一个交点； 命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8 x 的一个交点； 命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27 x 的一个交点； … 请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为_____________． 答案 点(n ，n 2 )是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3 x 的一个交点 解析 观察题中给出的命题易知，命题n 中交点坐标为(n ，n 2)，直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3x .故猜想命题n ：点(n ，n 2 )是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点． 5． (2012·湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249 等．显然2位回文数有9个，11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则 (1)4位回文数有________个； (2)2n ＋1(n ∈N ＋)位回文数有________个． 答案 90 9×10n 解析 (1)4位回文数有： 1001,1111,1221，…，1991,10个 2001,2112,2222，…，2992,10个 …… 9009,9119,9229，…，9999,10个 共90个． (2)5位回文数有： ? ?? ??10001，10101，10201，…，10901，10个 11011，11111，11211，…，11911，10个 12021，12121，12321，…，12921，10个…… 19091，19191，19291，…，19991，10个100个． …… ? ?? ? ?90009，90109，90209，…，90909 91019，91119，91219，…，91919 92029，92129，92229，…，92929…… 99099，99199，99299，…，99999.100个 5位回文数共9×102个，又3位回文数有9×101个 2n ＋1位回文数共9×10n 个． 6． (2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π 2 ＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 答案 3 018 解析 当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋1)·cos 4k ＋1 2 π＋1＝1， 当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋2)·cos 4k ＋2 2 π＋1 ＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1， 当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋3)·cos 4k ＋3 2π＋1＝1， 当n ＝4k ＋4(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋4)·cos 4k ＋4 2 π＋1 ＝(4k ＋4)＋1＝4k ＋5， ∴a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝1－4k －1＋1＋4k ＋5＝6. ∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 012 ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＝6×503＝3 018. 三、解答题 7． (13分)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足 a 2n ＝S 2n －1，n ∈N * .数列{b n }满足b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求a 1、d 和T n ； (2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n 得????? a 21＝S 1，a 22＝S 3，即????? a 2 1＝a 1，(a 1＋d )2 ＝3a 1 ＋3d ， 解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. ∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ???12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝1 2????1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1 . (2)①当n 为偶数时，要使不等式λT n n ＝ 2n ＋8 n ＋17恒成立． ∵2n ＋8 n ≥8，等号在n ＝2时取得， ∴此时λ需满足λ<25. ②当n 为奇数时，要使不等式λT n ∵2n －8 n 是随n 的增大而增大， ∴n ＝1时2n －8 n 取得最小值－6， ∴此时λ需满足λ<－21. 综合①②可得λ<－21， ∴λ的取值范围是{λ|λ<－21}． §13.4 数学归纳法 2014高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力． 复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [难点正本 疑点清源] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 1． 凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 π 解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π. 2． 用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1 2n －1 2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<， 绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） [最新修正版]2014高考数学全套知识点（通用版） 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 50 15392522∈-- 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ []如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。 []（答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--21 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-21 210 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ 高考能力测试步步高数学基础训练43 基础训练43 概率与统计(一) ●训练指要 掌握离散型随机变量的分布列、期望和方差的意义，会求简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差. 一、选择题 1.随机变量ξ1是1个无线寻呼台1 min 内接到的寻呼次数；随机变量ξ2是某工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸误差；随机变量ξ3是测量1个学生身高所得的数值(精确到1 cm)；随机变量ξ4是1个沿数轴进行随机运动的质点的坐标，那么这4个随机变量中，离散型随机变量的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.1± 22 C.1+ 2 2 D.1- 2 2 3.如果ξ是离散型随机变量，η=3ξ+2,那么 A.E η=3E ξ+2,D η=9D ξ B.E η=3E ξ,D η=3D ξ+2 C.E η=3E ξ+2,D η=9E ξ+4 D.E η=3E ξ+4,D η=3D ξ+2 二、填空题 5.(胡文2021年年两省一市高考题)一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________.(用数字作答) 三、解答题 6.一个袋子里装有分别标有数字的小球，其中标有1的有1个，标有2的有2个，…标有9的有9个，现从中任意取出1个，求取出的球上所标数字的分布列以及所取之球所标数字为奇数的概率. 求：(1)E ,D ,; (2)设η=2ξ+3,求E η,D η. 8.现要从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比武比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下： 次品数ξ 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 次品数ξ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 高考能力测试步步高数学基础训练43答案 一、1.B 2.D 3.A 二、4.0.2 0.7 5.1.2 ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 451 452 453 454 455 456 457 458 45 9 其中所取之球所标数字为奇数的概率为： .9 54597531459457455453451=++++=++++ 7.(1)E ξ=－ 31;D ξ=9 5 σξ=35=ξD (2)E η=2E ξ+3= 37D η=4D ξ=9 20 . 8.E ξ1=E ξ2=1.3 D ξ1=0.41 D ξ2=1.21 故两人平均水平基本一致，但乙技工的波动性较大，故应选甲参赛. 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示 四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( ) 2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（理科） 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A={x|x2-4x-5＜0}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（） A. {1，2，3，4} B. {2，3} C. {3，4} D. {4，5} 2.若复数z的共轭复数为（3-i）i，则=（） A. 1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i 3.已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和，若S6=-7S3，a2+a4=10，则a1=（） A. 3 B. -1 C. 2 D. -2 4.若x，y满足，若z=2x-3y有最小值为-7，则z的最大值是（） A. 7 B. 14 C. 18 D. 20 5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤 四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的外接球的表面积是（） A. 平方丈 B. 平方丈 C. 平方丈 D. 平方丈 6.如图所示的程序框图，若输入的a的值为15，则输出的结果是 （） A. 84 B. 120 C. 162 D. 210 7.已知f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x＜1时，f（x）=，若f（）=-，则f（1）+f（） =（） A. B. C. D. 8.设x=-是函数f（x）=ln（x+2）-ax2-3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（） A. 2 B. 1 C. D. 9.已知函数f（x）=（1-2sin2x）sin（）-2sin x cosxcos（-θ）（）在[-]上单调递 增，且f（）≤m，则实数m的取值范围为（） A. [，+∞） B. [，+∞） C. [1，+∞） D. [，+∞） 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，CC1，BC的中点，则直线B1G与平面B1EDF 所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 11.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，且l与x轴的交点为P，过P的直线与C交于A，B 两点，以AB为直径的圆过点F，则|AB|=（） A. 4 B. 4 C. 3 D. 6 12.在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，BE=1，点M是平面ABC上的任意一点，则 （2）的最小值为（） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.在的展开式中，常数项为______（用数字表示） 14.已知α满足tan（α+）=-3-2，则tan2α=______ 15.数列{a n}满足+=，a1=1，a8=，b n=a n a n+1，则数列{b n}的前n项和为______． 16.已知双曲线=1的离心率为e，若点（2，）与点（e，2）都在双曲线上，则该双曲线的渐 近线方程为______ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知7c=2a，cos C=- （Ⅰ）求sin B的值； （Ⅱ）若D为AB中点，且△ABC的面积为，求CD的长度 18.齐齐哈尔医学院大一学生甲、乙、丙三人为了了解昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系， 他们到气象局与校卫生所抄录了1至6月份每月15号的昼夜温差值与因患感冒而就珍的人数，得到如下表格： 2014高考数学必考知识点：立体几何 考试内容 平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理． 平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 考试要求 （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离． （3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理． （4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理． （5）会用反证法证明简单的问题． （6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念． （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． （9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式． 9（B）．直线、平面、简单几何体 考试内容： 平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线． 直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理． 两个平面的位置关系． 空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离． 直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影． 平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 考试要求： （1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理． （3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘． 第二章点、直线、平面之间的位置关系 §2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1平面 1．A 2.D 3.C 4.D 5．0 6．A∈m 7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点， 即点S在交线上， 由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示． ∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD 和平面SAC的 交线． 8．证明∵l1?β，l2?β，l1D∥\l2， ∴l1、l2交于一点，记交点为P. ∵P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3， ∴l1，l2，l3交于一点． 9．C10.C 11．③ 12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上． 13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1， 又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上， ∴C1、O、M三点共线． (2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E、C、D1、F四点共面． 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1．D2．C3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60°(2)45° 7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得GH 綊12AD .又BC 綊1 2AD ， ∴GH 綊BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解 由BE 綊1 2AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面． 8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角， 又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°. (2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ， ∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ， ∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形， 又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°. 9．D 10．B 11．①③ 12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线． (2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相 交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在 Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝1 2AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 13．解 如图，取AC 的中点P . 连接PM 、PN ， 则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝1 2CD ， 所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式： 黑龙江省高考数学一模试卷（理科）A卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共20分) 1. （2分）(2017·鹰潭模拟) 已知（ +i）?z=﹣i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 2. （2分）(2017·南海模拟) 已知A={x∈N|﹣1＜x＜2}，B={x∈R|x2+5x﹣14＜0}，则A∩B=（） A . {x|﹣1＜x＜2} B . {0，1} C . {x|﹣7＜x＜2} D . {0，1，2，3，4} 3. （2分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（） A . 若m∥α，n∥α，则m∥n B . 若m⊥α，α⊥β，则m∥β C . 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β D . 若m⊥α，m∥β，则α⊥β 4. （2分） (2017高一下·池州期末) 如图，在圆心角为90°的扇形中以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC 与∠BOC都不小于30°的概率是（） A . B . C . D . 5. （2分）(2017·渝中模拟) 下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y的值为3，那么应输入x=（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 6 6. （2分）(2017·宿州模拟) 向量，满足| |=1，| |=2，?（+ ）=0，则 在方向上的投影为（） B . - C . 0 D . - 8. （2分） (2016高三上·吉安期中) 已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（） A . [ ，5] B . [0，5] C . [0，5） D . [ ，5） 9. （2分） f（x）=sin（2x+）的图像按平移后得到g（x）图像，g（x）为偶函数，当||最小时，=（） A . B . C . D . 10. （2分） (2016高二下·大庆期末) 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0， ]时，f（x）=cosx，则f（）的值为（） A . ﹣ 绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数 学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ， － ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的 是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边 为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为 2018年黑龙江省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（） A．B．C． D． 4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为 （） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3D．i=i+4 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（） A．B．C．D． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（） A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（） 2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学试题卷（文史类） 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件 （B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3 福利：本教程由捡漏优惠券（https://www.doczj.com/doc/7f5978176.html, ）整理提供 领红包：支付宝首页搜索“527608834”即可领取支付宝红包哟 领下面余额宝红包才是大红包，一般都是5-10元 支付的时候把选择余额宝就行呢 每天都可以领取早餐钱哟！ 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 2017年省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数等于（） A. B. C. D. 2. 设集合，．若，则 A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯（） A.盏 B.盏 C.盏 D.盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 5. 设，满足约束条件，则的最小值是（） A. B. C. D. 6. 安排名志愿者完成项工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，则不同的安排方式共有（） A.种 B.种 C.种 D.种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成 绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 8. 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的 A. B. C. D. 9. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则 的离心率为（） A. B. C. D. 10. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线 与所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 11. 若是函数的极值点，则的极小值为（） A. B. C. D. 12. 已知是边长为的等边三角形，为平面一点，则的 最小值是 A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|230}A x x x =--≥,{|22}B x x =-<≤,则A B = ( ) A .[2,1]-- B .[1,2)- C .[1,1]- D .[1,2) 2. 3 2 (1i)(1i)+=- ( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()|f x ()g x 是奇函数 C .()f x |()|g x 是奇函数 D .|()()|f x g x 是奇函数 4.已知F 为双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A .18 B .38 C . 58 D . 78 6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则 ()y f x =在[0,π]的图象大致为 ( ) A . B . C . D . 7.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M = ( ) A . 203 B . 72 C .165 D .158 8.设π(0,)2α∈,π(0,)2 β∈,且1sin tan cos β αβ+=,则 ( ) A .π32αβ-= B .π 32αβ+= C .π22αβ-= D .π 22αβ+= 9.不等式组1, 24x y x y +??-?≥≤的解集记为D ,有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ?∈,22x y +-≥； 2p ：(,)x y D ?∈,22x y +≥； 3p ：(,)x y D ?∈,23x y +≤； 4p ：(,)x y D ?∈,21x y +-≤. 其中的真命题是 ( ) A .2p ,3p B .1p ,2p C .1p ,4p D .1p ,3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个 交点,若4FP FQ =,则||QF = ( ) A .72 B .3 C .52 D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A .(2,)+∞ B .(1,)+∞ C .(,2)-∞- D .(,1)-∞- 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A .B .6 C .D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 (用数字填写答案). 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,2a =,且(2)(sin b A +- sin )()sin B c b C =-,则ABC △面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ,使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 姓名________________ 准考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ----------------2014《步步高》高考数学第一轮复习13 数学归纳法
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