2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设2
()(1)(2)f x x x x =--，则'
()f x 的零点个数为（ ）
()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3
（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分
()a
t af x dx ?
（ ）
()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.
()D 三角形ACD 面积.
（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x
y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）
()A ''''''440y y y y +--= ()B '''
''
'
440y y y y +++=
()C ''''''440y y y y --+=
()D ''''''440y y y y -+-=
（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）
()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.
()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.
（6）设函数f 连续，若2222
()(,)uv
D f x y F u v dxdy x y +=
+??
，其中区域uv D 为图中阴影部分，则
F
u
?=? ()A 2()vf u ()
B 2()v
f u u ()C ()vf u ()D ()v
f u u
（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3
0A =，则（ ）
()A E A -不可逆，E A +不可逆.
()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.
()D E A -可逆，E A +不可逆.
（8）设1221A ??
=
???
，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-??
?-??
.
()B 2112-??
?-??
.
()C 2112?? ???.
()D 1221-??
?-??
.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且2
1cos[()]lim
1(1)()
x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.
（10）微分方程2()0x
y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.
（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线2
3
(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x
y
y z x ??
=
?
??
，则(1,2)
____z x ?=?.
（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分9分）
求极限()4
0sin sin sin sin lim x x x x x →-????. (16)（本题满分10分）
设函数()y y x =由参数方程2
0()ln(1)t x x t y u du =???=+???确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --?-=?
??=?
的解.求22y x ??. (17)（本题满分9分）求积分
1
?
.
(18)（本题满分11分）
求二重积分
max(,1),D
xy dxdy ??其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤
(19)（本题满分11分）
设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，
曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得
()()()b
a
f x dx f b a η=-?
(2)若函数()x ?具有二阶导数，且满足3
2
(2)(1),(2)()x dx ????>>
?，证明至少存在一点
(1,3),()0ξ?ξ''∈<使得
（21）（本题满分11分）
求函数2
2
2
u x y z =++在约束条件2
2
z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）
设矩阵2
221
212n n
a a a A a a ???
?
?= ?
???O
O O ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n
X x x =L ，
()1,0,,0B =L ，
（1）求证()1n
A n a =+；
（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）
设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+， （1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1
P AP -.
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题 (1)【答案】D
【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】
00
()()()()()()a
a a a
a
xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-?
???
其中()af a 是矩形ABOC 面积，0
()a
f x dx ?
为曲边梯形ABOD 的面积，所以0
()a
xf x dx '?为曲边三角形的面
积．
本题的难度值为0.829.
(3)【答案】D
【详解】由微分方程的通解中含有x
e 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根
1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的
微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A
【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点
因为 0
00ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x x
f x x x x x
++
++→→→→=?=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x x
x x x
++→→=-=-=
同理 0
lim ()0x f x -
→= 又 1
1
11ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++
++→→→→?
?=?== ?-?
? 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.
本题的难度值为0.486.
(5)【答案】B
【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在
极限.
本题的难度值为0.537. (6)【答案】A
【详解】用极坐标得 ()
222()
20
1
1
,()v
u u
f r r D
f u v F u v dv rdr v f r dr +===??
?
所以
()2F
vf u u
?=? 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C
【详解】2
3
()()E A E A A E A E -++=-=，2
3
()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D
【详解】记1221D -??
= ?-??，
则()2
1
2
142
1
E D λλλλ--=
=---，又()2
1
2
142
1
E A λλλλ---=
=----
所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.
又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2
【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()
lim lim lim ()[()2]4(1)()
x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-?==?- 011
lim ()(0)122
x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()x
x e
C --+
【详解】微分方程()20x
y x e
dx xdy -+-=可变形为
x dy y
xe dx x
--= 所以 111()dx dx x x x x x
y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----??????=+=?+=-+?? ?????
??
本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+
【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1
cos()1
1cos()x y y xy F dy y x
dx F x xy y x
-
-'-=-=-
'+
-， 将(0)1y =代入得
1x dy
dx ==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+ 本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53
235y x
x =-?23113
51010(2)
333x y x x x -+'=
-= ?134343
101010(1)
999x y x x x --+''=+=
1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在
在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)
21)- 【详解】设,y x
u v x y
=
=，则v z u = 所以
121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y
-?????=?+?=-+?????? 2ln 11ln x y
v
vy u y y u ux
y x y x ????
?
?=-+=?-+ ? ?
?????
?? 所以
(1,2)(ln 21)2
z x ?=-?
本题的难度值为0.575.
(14)【答案】-1
【详解】||236A λλ =??=Q 3
|2|2||A A =
3
2648λ∴
?=- 1λ?=- 本题的难度值为0.839.
三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )
lim
lim x x x x x x x x x
→→--= 2
2220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336
x x x x
x x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+Q 33
1sin(sin )sin sin (sin )6
x x x o x =-+
4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66
x x x x x
x o x x x x →→??-∴ =+=???? 本题的难度值为0.823. (16)【详解】
方法一：由
20x dx
te dt
--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222
ln(1)2(1)ln(1)21dy
dy t t
dt t t dx
t dx dt t +?===+++
222
22
2
[(1)ln(1)]2ln(1)221d
t t d y d dy t t t
dt dx t dx dx dx dt t ++++??=== ???
+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++
方法二：由
20x dx
te dt
--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222
ln(1)2(1)ln(1)21x dy
dy t t
dt t t e x dx
t dx dt t +?===++=+
所以 22
(1)x d y e x dx
=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一
：由于21
x -
→=+∞
，故21
?
是反常积分.
令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈
22
1
2
2220
000sin cos 2cos sin ()cos 22
t t t t t tdt t tdt dt t π
ππ===-?
???
22
222200
01sin 21sin 2sin 24
4164
4t
t t td t tdt π
π
ππ
π=
-=-+?? 2
220
11
cos 2168164t π
π
π=-=+
方法二：
21
?
12
20
1(arcsin )2x d x =?
1
211222
2000
1(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-??
令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈
1
2
22
200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-???
2
22200
111
(cos 2)cos 242164t t t tdt π
ππ=-+=-?
故，原式2
1
164
π=
+ 本题的难度值为0.631.
(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两
个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为
()max ,1D
xy dxdy ??
1
2
3
D D D xydxdy dxdy dxdy =++??????
1122
2
221110
2
2
11x x
dx dy dx dy dx xydy =++??????
1512ln 2ln 24
=++
-19
ln 24=+
本题的难度值为0.524.
(19)【详解】旋转体的体积20
()t
V f x dx π
=?
，侧面积0
2(t
S f x π=?，由题设条件知
2
()(t
t
f x dx f x =?
?
上式两端对t 求导得
2
()(f t f t = 即
y '=
由分离变量法解得
1ln(y t C =+， 即
t y Ce =
将(0)1y =代入知1C =
，故t y e =，1
()2
t t y e e -=+
于是所求函数为 1
()()2
x x y f x e e -==+
本题的难度值为0.497.
(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即
()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈
由定积分性质，有 ()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤
≤-?
，即 ()b
a
f x dx m M b a
≤
≤-?
由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b a
f x dx f b a
η=
-?
即
()()()b
a
f x dx f b a η=-?
(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 3
2
()()(32)()x dx ??η?η=-=?
又由 3
2
(2)()()x dx ???η>
=?，知 23η<≤
对()x ?在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)??<，()(2)?η?<得
1(2)(1)
()021
???ξ-'=
>- 112ξ<<
2()(2)
()02
?η??ξη-'=
<- 123ξη<<≤
在12[,]ξξ上对导函数()x ?'应用拉格朗日中值定理，有
2121
()()
()0?ξ?ξ?ξξξ''-''=
<- 12(,)(1,3)ξξξ∈?
本题的难度值为0.719. (21)【详解】
方法一：作拉格朗日函数22222
(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-
令 2222022020040
x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=??'=++=??
'=-+=??'=+-=?'=++-=??
解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.
方法二：问题可转化为求2
2
4
2
2
4
2u x y x x y y =++++在2
2
4x y x y +++=条件下的最值 设4
4
2
2
2
2
2
2
(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-
令 3232
22442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λ
λλ'?=++++=?'=++++=??'=+++-=?
解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入2
2
z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：
2
2
2
21
2
2
21213210
122122
1122a a a a a a a a a A r ar a a a a
=
-=O O L O O
O O O
O O
O O
O
12130
1240
1
34(1)2(1)3231(1)0
n n n a a a
n a a n a r ar a n a n
n
n a n
--+-
=?
??=++O K O O
O O
O 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n
n D n a =+．
当1n =时，12D a =，结论成立．
当2n =时，222
2132a D a a a
=
=，结论成立．
假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得
22
12
10
2121212n n a a a a D aD a a
-=-
O
O O O
O
21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+
故 ||(1)n
A n a =+
证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2
122n n n D aD a D --=-， 所以 2
11212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-
222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=L
即 12
122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++
2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+L
1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+?=+
(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n
A n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为
22
2
112
2
(1)(1)
112102*********n n n n
n n a a a a
a a a a D na a a a a --?-?-=
==O O O O
O O O
O O
O O
O
所以 11(1)n n D n
x D n a
-=
=+
(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为
12101101001000n n x x x x -?????? ? ? ?
? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?
? ? ?????
??M O O
M 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为
()()10000100,T
T
k k +L L
为任意常数．
本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)
证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3
α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)
Q 11,A αα=-22A αα=
∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=
则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.
证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)
用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得
1123233()0k k k k ααα-+++= (2)
(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)
因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)
得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.
(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，
123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+
123100(,,)011001ααα-?? ?= ? ???100011001P -?? ?
= ? ???
所以 1
100011001P AP --?? ?= ? ???
.
本题的难度值为0.272.
2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数2 0()ln(2)x f x t dt =+?则()f x '的零点个数 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)函数(,)arctan x f x y y =在点(0,1)处的梯度等于 (A)i (B)-i (C)j (D)-j (3)在下列微分方程中,以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是 (A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+= (D)440y y y y ''''''-+-= (4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是 (A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛 (D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛 (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则 (A)-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B)-E A 不可逆,+E A 可逆 (C)-E A 可逆,+E A 可逆 (D)-E A 可逆,+E A 不可逆 (6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程 (,,)1x x y z y z ?? ? = ? ??? A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则 A 的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (A)()2F x (B) ()()F x F y (C) ()2 11F x --???? (D) ()()11F x F y --???????? (8)设随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+= (D){}211P Y X =+= 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (11)已知幂级数()0 2n n n a x ∞ =+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()0 3n n n a x ∞ =-∑的 收敛域为 . (12)设曲面∑ 是z =的上侧,则2xydydz xdzdx x dxdy ∑ ++=?? . (13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 . (14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == .
2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题： 1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设f ( x)x2 (x 1)(x 2) ，求 f ( x)的零点个数() A0B1C2D3 (2) 如图，曲线段方程为y f (x) ， 函数在区间 [0, a] 上有连续导数，则 y C(0, f(a))A(a, f(a)) a 定积分xf (x)dx 等于() y=f(x) A曲边梯形 ABOD 面积. B梯形 ABOD 面积. D C曲边三角形 ACD 面积. D 三角形ACD面积. O B(a,0)x (3) 在下列微分方程中，以y C1e x C2 cos2x C3 sin 2x ( C1, C2 , C3为任意常数)为通解 的是 () A y y 4 y 4 y 0 . B y y 4y 4 y 0 . C y y 4 y 4 y 0 . D y y 4y 4y 0 . (4) 判断函数f ( x)ln x sin x( x 0) 间断点的情况( ) x 1 A有 1 个可去间断点， 1 个跳跃间断点B有 1 个跳跃间断点， 1 个无穷间断点C有两个无穷间断点 D有两个跳跃间断点
(5) 设函数 f (x) 在 ( , ) 内单调有界， x n 为数列，下列命题正确的是 ( ) A 若 x n 收敛，则 f (x n ) 收敛 . B 若 x n 单调，则 f (x n ) 收敛 . C 若 f (x n ) 收敛，则 x n 收敛 . D 若 f ( x n ) 单调，则 x n 收敛 . 设函数 f 连续.若F u, v f x 2 y 2 D uv 为图中阴影部分，则 (6) x 2 dxdy ，其中区域 D uv y 2 F ( ) y x 2+y 2 =u 2 u A vf u 2 x 2+y 2 =1 B v f u 2 u C vf u v D uv D v f u u O x (7) 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵 . 若 A 3 O ，则 ( ) A E A 不可逆， E A 不可逆. B E A 不可逆， E A 可逆. C E A 可逆， E A 可逆. D E A 可逆， E A 不可逆 . 1 2 A 合同的矩阵为 ( ) (8)设A ，则在实数域上与 2 1 2 1 . 2 1 A 2 B 2 1 1 2 1 1 2 C . D 1 1 2 2 . . 二、填空题： 9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . (9) f ( x) 连续， lim 1 cos(sinx) 1，则 f (0) 2 x (e x 1) f ( x) (10) 微分方程 ( y x 2e x )dx xdy 0 的通解是 y
2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（） ()A 0 ()B ()C ()D 3 （2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a t af x dx ?（） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（） （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （6）设函数f 连续，若22(,)uv D F u v =?? ，其中区域uv D 为图中阴影部分， 则 F u ?=? （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A = ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （8）设1221A ?? = ??? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则( ) 10 lim n n n n a b --→+（ ） ()A a . ()B 1a -. ()C b . ()D 1b -. （2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0 ()()x f t dt g x x = ?的（ ） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷. ()D 振荡. （3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域 { (,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ） ()A ()()0D f y g x dxdy =??. ()B ()()0D f x g y d x d y = ??. ()C [()()]0D f x g y dxdy +=??. ()D [()()]0D f y g x dxdy +=??. （4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分 '0 ()a xf x dx ? （ ） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （6）设1221A ?? = ??? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-?? ?-?? ()B 2112-?? ?-?? ()C 2112?? ? ?? ()D 1221-?? ?-??. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ） ()A ()2F x . ()B ()()F x F y .
2008年考研数学二试题分析、详解和评注 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】322 ()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 '0 ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积，所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通 解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D). (4) 判定函数ln ()|1| x f x x = -，(0)x >间断点的情况【 】．
2008年考研数学（三）真题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0 ()()x f t dt g x x = ?的（ ） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点. （2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分 ()a t af x dx ? 等于 （ ） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3 ）已知(,)f x y = （A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在 （4）设函数f 连续，若22(,)uv D f u v = ?? ，其中uv D 为图中阴影部分，则 F u ?=?（ ） （A ）2 ()vf u （B ） 2()v f u u （C ）()vf u （D ）()v f u u （5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （6）设1221A ?? = ???则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ） ()A 2112-?? ?-?? . ()B 2112-?? ?-?? . ()C 2112?? ??? . ()D 1221-?? ?-?? . （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设函数2 ()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数为（ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 【答案】()D 【考点】导数的四则运算 【难易度】★★ 【详解】 解析：()()()()()() 22221212494f x x x x x x x x x x x '=--+-+-=-+ 令()0f x '=，则可得()f x '零点的个数为3. （2）如图，曲线方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续导 数，则定积分 '()a xf x dx ? 等于（ ） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. 【答案】()C 【考点】定积分的分部积分法，定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】 解析： ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx '==-? ??，其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ?为 曲边梯形的面积，所以 ()a xf x dx '? 为曲边三角形ACD 的面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为 通解的是（ ） ()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=. ()D 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】()D 【考点】线性微分方程解的性质及解的结构定理
第一篇 2008年考研题及答案与解析 一、选择题：l～8小题．每小题4分。共32分下列每题给出的四个选项中．只有一个选项是符台题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上
二、填空题9～14小题，每小题4分，共24分请将答案写在答题纸指定位置上。 三、解答题：l5～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 【15】(本题满分9分) (16)(本题满分l0分) 设函数Y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题 (17)(本题满分9分) (18)(本题满分11分) (19)(本题满分11分) 设f(x)是区间上具有连续导数的单调增加函数，对任意的
直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在教值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。 (20)(本题满分11分) (I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点使得 (21)（本题满11分） (22)(本题满分12分) 设n元线性方程组Ax=b，其中 (I)证明行列式 (Ⅱ)当n为何值时，该方程组有唯一解，并求x； (Ⅲ)当n为何值时，该方程组有无穷多解，并求遁解 (23)(本题满分l0分) 设A为3阶矩阵，为A的分别属于特征值-1．1的特征向量，向量满足
2008年考研数学二参考答案及解析 一、选择题 (1)(分析)f（0)=f(1)=f（2)=0，由罗尔定理知，在(0，1)，(1，2)各有一个零点,又 其中af （a)是矩形ABOC的面积，是曲梯梯形ABOD的面积因此是曲边三角形是曲边三角形ACD的面积选(c) (3)【分析】从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1,±2i(i=，对应的特征方程是 因此所求的微分方程是选(D) (4)【分析】只有间断点x=0，一l由于故x=0是可去间断点.又 故x=1是跳跃间断点选(A) (5)【分析】因f(x)在内单调有界，当单调时，单调有界收敛，选(B)
2008年考研数学一真题 一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设函数,则的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B。 【解析】 且，则是唯一的零点 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 (2)函数在点处的梯度等于 (A)(B) (C)(D) 【答案】A。 【解析】
所以 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (3)在下列微分方程中，以 为通解的是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D。 【解析】 由通解表达式 可知其特征根为 可见其对应特征方程为 故对应微分方程为 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确 的是 (A)若收敛，则收敛 (B)若单调，则收敛 (C)若收敛，则收敛 (D)若单调，则收敛 【答案】B。 【解析】 【方法一】 由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。 【方法二】 排除法：若取,,则显然单调， 收敛，但，显然不收敛，排除A。 若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。 综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 (5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则 (A)不可逆，不可逆 (B)不可逆，可逆 (C)可逆，可逆 (D)可逆，不可逆 【答案】C。 【解析】 因为 所以可知可逆，可逆 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件 (6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
2008年考研数学二试题分析详解 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】3 2 2 ()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 ' ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积，所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通 解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).
2008考研数学(二)真题及参考答案 D
（6）设函数f 连续，若222 2 (,)uv D F u v dxdy x y =+?? ，其中区域uv D 为 图中阴影部分，则F u ?=? ()A 2()vf u () B 2()v f u u ()C ()vf u ()D () v f u u （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3 A =，则 （ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （8）设 1221A ??= ? ?? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-?? ?-?? . ()B 2 11 2-?? ?-? ? . ()C 2112?? ??? . ()D 1 22 1-?? ?-? ? . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且2 1cos[()]lim 1(1)() x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =. （10）微分方程2()0 x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =. （11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23 (5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x y y z x ??= ? ?? ，则(1,2) ____ z x ?=?.
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（ ） (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > () s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆 （6）已知矩阵200021001A ????=?????? 2 100200 1B ????=??????100020002C ?? ??=?????? ，则（ ）
2008-2019年考研数学一 真题答案及解析 目录 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (2) 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (6) 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (10) 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (14) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (18) 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (21) 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (25) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (29) 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (34) 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (38) 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (42) 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (46) 1
2 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=??，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A.()()2,3r A r A == B.()() 2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()() 1,1r A r A ==
2008年考研数学二试题分析、详解和评注 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】322()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 '0 ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积， 所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos2sin2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).
2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则' ()f x 的零点个数为（ ） ()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3 （2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()a t af x dx ?（ ） ()A 曲边梯形ABOD 面积. ()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） ()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+= ()D ''''''440y y y y -+-= （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （6）设函数f 连续，若2222(,)uv D F u v dxdy x y = +??，其中区域uv D 为图中阴影部分，则 F u ?=? ()A 2()vf u () B 2()v f u u ()C ()vf u ()D ()v f u u
2008年考研数学二真题及参考答案 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】3 2 2 ()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 '0 ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积，所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通 解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).
2008考研数学一真题及答案 一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2 ()ln(2)x f x t dt = +? ，则()f x '的零点个数为【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B). 【详解】2 2 ()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+?=+． 显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-?=-?<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点． 又2 2 2 4()2ln(2)02x f x x x ''=++ >+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点． 故()f x '有且只有一个零点．故应选(B). （2）函数(,)arctan x f x y y =在点(0,1)处的梯度等于【 】 (A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A). 【详解】因为222211f y y x x x y y ?==?++．2 2222 1x f x y x y x y y -?-==?++． 所以 (0,1) 1f x ?=?， (0,1) 0f y ?=?，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A). （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数） 为通解的是【 】 (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0 ()()x f t dt g x x = ?的（ ） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点. 解：B 分析：()()0 ()lim ()lim lim 0x x x x f t dt g x f x f x →→→===?，所以0x =是函数()g x 的可去间断点。 （2）设f 连续，221x y +=，222x y u +=，1u >，则()222 2 ,D f u v F u v dudv u v +=+， 则 F u ?=?（ ） ()A ()2vf u ()B ()v f u ()C ()2v f u u () D ()v f u u 解：选A 分析；用极坐标得()222() 222 01 1 ,()v u u f r r D f u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v += ==+?? ? ()2F vf u u ?=? （3）设24 (,)x y f x y +=则函数在原点偏导数存在的情况是( ) ()A (0,0),(0,0)x y f f ''存在存在 ()B (0,0),(0,0)x y f f ''存在不存在 ()C (0,0),(0,0)x y f f ''不存在存在 ()D (0,0), (0,0)x y f f ''不存在不存在 解： C 分析： 011(0,0)lim lim 00 x x x x e f x x →→--'==--00011lim lim 100x x x x e e x x →+→+--==--， 001 lim 10 x x e x -→--=--
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1）若函数1cos ,0(),0x x f x ax b x ?->? =??≤? 在x=0连续，则 (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A)1 1()0f x dx ->? (B)1 2()0f x dx -? ? (D) 1 1 1 0()()f x dx f x dx -??x y x f x y x f 则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f < （6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >
2018全国研究生入学考试考研数学二试题 本试卷满分150，考试时间180分钟 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.若1)(lim 2 1 2 =++→x bx ax e x x ，则（） （A ）1 ,21-== b a （B ）1,21 --==b a （C ）1,21==b a （D ）1 ,2 1 -==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是 （A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）x x f cos )(=（D ）x x f cos )(=3.设函数???≥-=010,1)(x x x f ，＜，?? ? ??≥--≤-=0 ,01,1 -,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续， 则 （A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1 ,3-==b a （D ）2 ,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且 ? =1 0)(dx x f ，则 （A ）0)(＜x f '时，0 )21(＜f （B ）0)(＜x f ''时，0 )21(＜f （C ）0)(＞x f '时，0 )2 1 (＜f （D ）0)(＞x f ''时，0 )2 1 (＜f 5.设dx x x M ?-++=2222 1)1(π π ，dx e x N x ?-+=221ππ，dx x K ?- +=22 )cos 1(ππ，则 （A ）K N M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）N M K ＞＞（D ）M N K ＞＞6. = -+-?? ? ? ----dy xy dx dy xy dx x x x x 1 20 1 22 2 )1()1(