2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
（1
）若函数0(),0x f x b x >=?≤?
在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =
(B)1
2
ab =- (C)0ab = (D)2ab =
（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >-
(D)()()11f f <-
（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ） (A)12
(B)6
(C)4
(D)2
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（ ） (A)010t =
(B)01520t << (C)025t = (D)025t >
()
s
（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） (A) T
E αα-不可逆 (B) T
E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆
(D)2T
E αα-不可逆
（6）已知矩阵200021001A ????=?????? 2
100200
1B ????=??????100020002C ??
??=??????
，则（ ）
(A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似
(C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似
（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则()
()
P A B P A B >的充分必要条件是（ ） A.()
()
P B A P B A > B ()
()
P B A P B A < C. ()
(
)
P P B A B A >
D. ()
(
)
P P B A B A <
（8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是：（ ）
(A) 2
()i X μ∑-服从2
χ分布
(B) 2
12()n X X -服从2
χ分布
(C)
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布 (D) 2()n X μ- 服从2
χ分布
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9） 已知函数
21
()1f x x =
+ ,则(3)
(0)f =__________
（10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________ （11）若曲线积分
?-+-L y x dydy
xdx 122在区域(){}
2
2D ,1x y x
y =
+<内与路径无关，则a =
（12）幂级数
()
1
11
1n n n nx ∞
--=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x =
（13）设矩阵101112011A ????=??????
，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为 （14）设随机变量X 的分布函数为()()40.50.52x F x x -??
=Φ+Φ
???
，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX= 三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分）
设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，()
,x
y f e cosx =,求0
dy
d x x
=，22
d d x y x =
（16）（本题满分10分） 求21
lim ln 1n
n k k k k n n →=??+ ???∑
（17）（本题满分10分）
已知函数()y x 由方程3
3
3320x y x y +-+-=确定，求()y x 得极值
（18）（本题满分10分）
设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()
(1)0,lim 0x f x f x
+
→>< 证（1） 方程()0f x =在区间(0,1)至少存在一个根；
（2） 方程0)]([)()(2
='+''x f x f x f 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
（19）（本题满分10分） 设薄片型物体S 是圆锥面
Z =
被柱面22Z x = 割下的有限部分，其上任一点弧度
为
(,,)
u x y z z
=C （1）求C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程 （2）求 S 的质量M
（20）（本题满分11分）
设三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+ （1）证明()2r A =
（2）如果123βααα=++求方程组β=Ax 的通解
（21）（本题满分11分）
设二次型1322
21232121323
(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+，
在正交变换x Qy =下的标准型为22
1122y y λλ+ 求
a 的值及一个正交矩阵Q .
（22）（本题满分11分）
设随机变量X ，Y 互独立，且的概率分布为{}{}1
P 0P 22X X ====，Y 概率密度为()2,010,y y f y <
(1)求{}P Y EY ≤ (2)求Z X Y =+的概率密度
（23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,
,n x x x 相互独立，且均服从正态分布()
2,N μσ，该工程师记录的是n 次测量的绝对误差
(),1,2,,i i z x i n μ=-=，利用12,,
,n z z z 估计σ
(I)求1
z 的概率密度
(II)利用一阶矩求σ的矩估计量
(III)求σ的最大似然估计量
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分
()
11b
a
dx x x +∞
+?
收敛，则（ ）
()()()()11111111
A a b
B a b
C a a b
D a a b <>>><+>>+>且且且且
（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -
，则()f x 的一个原函数是（ ）
()()()()()()()()()()()()()()()()2
2
22
1,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ??-<-
?
==?
?
-≥+-≥???
?
??-<-
==??
++≥-+≥????
（3）若(
)(
)
2
2
2211y x
y x
=+=++()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）
()()()()()
()222
2
313111x
x A x x B x x C D x x +-+-
++
（4）已知函数(),0111
,,1,2,1
x x f x x n n n n ≤??
=?<≤=?+?，则（ ）
（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导
（D ）()f x 在0x =处可导
（5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T
A 与T
B 相似 （B ）1A -与1
B -相似 （
C ）T
A A +与T
B B +相似
（D ）1
A A -+与1
B B -+相似
（6）设二次型()2
2
2
123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）
（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲 （C ）椭球面
（D ）柱面
（7）设随机变量(
)()0,~2
>σσ
μN X ，记{}2
σμ+≤=X P p ，则（ ）
（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少
（D ）p 随着σ的增加而减少
（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为
3
1
，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）
（A ）21- （B ）3
1
- （C ）
2
1
（D ）
3
1
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim
2
00
=-+?→x dt t t t x
x
（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA
（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,12
2
-=-+确定，则()_________
1,0=dz
（12）设函数()2
1arctan ax x
x x f +-
=，且1)0(='''f ，则________=a
（13）行列式
10001
00014
3
2
1
λλλ
λ--=-+____________.
（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2
,N
μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置
信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,2
2D r r π
πθθθ??
=≤≤+-
≤≤
???
?，计算二重积分D
xdxdy ??.
（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程02=+''+''ky y y 其中01k <<.
()I 证明：反常积分0()y x dx +∞
?收敛；
()II 若1)0(,1)0(='=y y ，求
()y x dx +∞
?
的值.
（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足
2(,)
(21),x y f x y x e x
-?=+?且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)
()t
L f x y f x y I t dx dy x y
??=+???
，并求()I t 的最小值
（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分
()
zdxdy
ydzdx dydz x I 3212+-+=??∑
（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，1
0'()2
f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数
1
1
()n n n x
x ∞
+=-∑绝对收敛；
（II ）lim n n x →∞
存在，且0lim 2n n x →∞
<<.
（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --???? ?
?== ? ? ? ?----???
?
当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？
（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -??
?
=- ? ???
（I ）求99
A
（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100
123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组
合。
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域()
{2
,01,D x y x x
y =
<<<<上服从均匀分布，令
1,0,X Y
U X Y ≤?=?
>?
（I ）写出(,)X Y 的概率密度；
（II ）问U 与X 是否相互独立？并说明理由；
（III ）求Z U X =+的分布函数()F z .
（23）设总体X 的概率密度为()??
?
??<<=其他,00,3,32
θθθx x x f ，其中()∞+∈，
0θ为未知参数，321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，令()321,,m ax X X X T =。 （1）求T 的概率密度
（2）确定a ，使得aT 为θ的无偏估计
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题
（1）设函数()f x 在∞∞（-,+）
连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（ ） （A ）0 （B ）1 (C) 2
(D) 3
21123x x x y e x e y ay by ce "?
?=+-+'+= ???（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则：
（ ） (A)3,1, 1.
(B)3,2, 1.
(C)3,2, 1.(D)3,2, 1.
a b c a b c a b c a b c =-=-=-===-=-=====
()1
1
(3)31(A)(B)(C).(D)n
n n n n a x x na x ∞∞
====-∑∑若级数条件收敛，则依次为幂级数的：
收敛点，收敛点.收敛点，发散点.发散点，收敛点发散点，发散点.
（ ）
（4）设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==
与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则
(,)D
f x y dxdy =??（ ）
（A ）
13sin 214
2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π
θπθ
θθθ??
（B
）34
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ?
(C)
13sin 214
2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π
θπθ
θθθ??
( D) 34
(cos ,sin )d f r r dr π
πθθθ?
（5）设矩阵21111214A a a ?? ?= ? ???，21b d d ?? ?= ? ???
，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（ ）
（A ）,a d ?Ω?Ω （B ）,a d ?Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω?Ω
（D ）,a d ∈Ω∈Ω
（6）设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2
2
2
1232y y y +-，其中123(,,)
P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则
123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（ ） （A ）2
2
2
1232y y y -+ （B ）222
123
2y y y +-
（C ）2
2
2
123
2y y y --
（D ）2
2
2
123
2y y y ++
（7）若,A B 为任意两个随机事件，则（ ） （A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥
（C ）()()
()2P A P B P AB +≤
（D ）()()
()2
P A P B P AB +≥
()(8)X,Y 2,1,3,2EX EY DX E X X Y ===+-=????设随机变量不相关，且则（ ）
(A)3- (B)3 (C)5-
(D)5
二、填空题 （9）2
0ln cos lim
_________.x x
x →=
（10）
=?
?
?
??++?-dx x x x 2
2||cos 1sin π
π_________. （11）若函数由方程+cos 2x
e xyz x x ++=确定，则(0,1)
dz
=.
（12）设Ω
是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则
(23)x y z dxdydz Ω
++???=
（13）n 阶行列式20
02-12
02
022
-12=
（14）设二维随机变量服从正态分布，则
三、解答题 （15）设函数
，3
()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，
k 值。
（16）设函数
()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与
直线0
x x =及x 轴所围成的区域的面积为4，且
(0)2,f =求()f x 的表达式。
（17）已知函数xy y x y x f ++=),(，曲线3:2
2
=++xy y x C ，求),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数.
（18）（本题满分10分）
（Ⅰ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明
（Ⅱ）设函数12(),()...()n u x u x u x 可导，12()()()...(),n f x u x u x u x =写出()f x 的求导公式.
（19）（本题满分10分）
已知
曲线L 的方程为,
z z x ?=?
?=??起点为
A ，终点为(0,
B ，计算曲线积分
2222()()()L
I y z dx z x y dy x y dz
=++-+++?
（20）（本题满分11分） 设向量组123,,ααα是3维向量空间3
的一个基，11322k βαα=+，222βα=，313(1)k βαα=++。
（Ⅰ）证明向量组123,,βββ是
3
的一个基；
（Ⅱ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的ξ。
（21）（本题满分11分）
设矩阵02-3-1331-2A a ?? ?=- ?? ??相似于矩阵1-2000031B b ?? ?= ?
? ??
. （Ⅰ）求,a b 的值.
（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1
P AP -为对角阵.
（22）（本题满分11分） 设随机变量X 的概率密度为
-2ln 20
()=0
0x x f x x ?>?
≤? 对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y
为观测次数.
（Ⅰ）求Y 的概率分布； （Ⅱ）求EY .
（23）（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为
11(;)=10
x f x θθθ
?≤≤?
-???其他
其中θ为未知参数，12.....n X X X ，为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求θ的矩估计. （Ⅱ）求θ的最大似然估计.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
１．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin
+=
（D ）x
x y 12sin
+= 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤
3．设)(x f 是连续函数，则=?
?
---y y dy y x f dy 1110
2
),(（ ）
（A ）?
??
?---+2
1001
1
010
x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ）?
??
?----+0
101
1
10
1
2
x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(
（C ）?
??
?
+++θθππθθπ
θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10
2
10
20
dr r r f d dr r r f d
（D ）
?
??
?
+++θθππ
θθπ
θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10
2
10
20
rdr r r f d rdr r r f d
4．若函数{
}
??-∈---=--π
π
ππ
dx x b x a x dx x b x a x R
b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ）
（A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2
5．行列式d
c d
c b a b a
000
000
0等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-
6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的 （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件
7．设事件A 与B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1
（B ）0.2
（C ）0.3
（D ）0.4
8．设连续型随机变量21X X ,相互独立，且方差均存在，21X X ,的概率密度分别为)(),(x f x f 21，随机变量1Y 的概率密度为))()(()(y f y f y f Y 21211
+=，随机变量)(2122
1X X Y +=，则（ ）
（A ）2121DY DY EY EY >>, （B ）2121DY DY EY EY ==, （C ）2121DY DY EY EY <=, （D ）2121DY DY EY EY >=,
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为 ．
10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足3
1e y =)(的解为 ．
12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分
?
=+L
ydz zdx ．
13．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ．
14．设总体X 的概率密度为?????<<=其它
,,),(02322θθθθx x
x f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单样本，若∑=n
i i X C 12是2
θ的无偏估计，则常数C = ．
三、解答题
15．（本题满分10分） 求极限)ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 11121
1
2
+
--?
+∞
→．
16．（本题满分10分）
设函数)(x f y =由方程062
23=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值．
17．（本题满分10分）
设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x =满足x x e y e z y
z
x z 2222
2
4)cos (+=??+??．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
18．（本题满分10分）
设∑为曲面)1(2
2≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分：dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-??∑
19．（本题满分10分） 设数列{}{}n n b a ,满足2
02
0π
π
<
<< =1 n n b 收敛． （1）证明0=∞ →n n a lim ； （2）证明级数 ∑∞ =1n n n b a 收敛． 20．（本题满分11分） 设??? ? ? ??---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵． （1）求方程组0=AX 的一个基础解系； （2）求满足E AB =的所有矩阵B ． 21．（本题满分11分） 证明n 阶矩阵??????? ? ?111111 111 与?????? ? ??n 00200100 相似． 22．（本题满分11分） 设随机变量X 的分布为2 121= ===)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ． （1）求Y 的分布函数； （2）求期望).(Y E 23．（本题满分11分） 设总体X 的分布函数为?????<≥-=- 00012 x x e x F x , ,),(θθ，其中θ为未知的大于零的参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单随机样本， （1）求)(),(2X E X E ； （2）求θ的极大似然估计量θ ． （3）是否存在常数a ，使得对任意的0>ε，都有0=? ?????≥-∞ →εθa P n n ^ lim ？ 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题（1~8题，每题4分） 1.已知极限0arctan lim k x x x c x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（ ） A. 12,2k c ==- B. 1 2,2k c == . 13,3k c ==- D. 1 3,3 k c == 2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 3.设1 ()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==?，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4 -=S （ ） A . 3 4 B. 14 C. 14 - D. 3 4 - 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，22 4:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记 )4,3,2,1(32633=??? ? ??-+???? ??+=?i dy x x dx y y I i i ，则{}1234max ,,,I I I I = A. 1I B. 2I C. 3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 6.矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ?? ? ? ??? 相似的充分必要条件为（ ） A. 0,2a b == B. 0,a b = 为任意常数 C. 2,0a b == D. 2,a b = 为任意常数 7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22 (0,2)X N ，23 (5,3)X N ，{}22(1 ,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（ ） A. 123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >> 8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则{} 2P Y c >=( ) A. a B. a -1 C. a 2 D a 21- 二、填空题（9-14小题，每小题4分） 9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定，则0 1lim [()1]n n f n →-＝ 。 10.已知y 1=e 3x –xe 2x ，y 2=e x –xe 2x ，y 3= –xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y = 。 11.设224 sin ()sin cos t x t d y t y t t t dx π= =?=?=+?为参数，则 。 12. 2 1 ln (1) x dx x +∞ =+? 。 13.设A=(a ij )是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式.若a ij +A ij =0(i ，j=1,2,3），则｜A ｜＝ 。 14.设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则P{Y ≤a+1|Y ＞a}= 三．解答题： （15）（本题满分10分） 计算 dx x x f )(1 ? ，其中f(x)＝.) 1ln(1 dt t t x +? (16)(本题10分) 设数列｛a n ｝满足条件：0123,1(1)0(2).n n a a a n n a n -=--≥＝ ，＝ S （x ）是幂级数 .n n n a x ∞ =∑的和函数 （1）证明：()()0;''-=S x S x （2）求().S x 的表达式 （17）（本题满分10分） 求函数的极值y x e x y y x f ++=)3 (),(3. (18)(本题满分10分) 设奇函数f(x)在[]1,1-上具有二阶导数，且f (1)=1，证明： （I ）存在.1)(1,0='∈ξξf ），使得（ （Ⅱ）存在1,1() 1.f f ηηη'''∈ -+=（），使得（） 19.(本题满分10分) 设直线L 过A （1,0,0），B （0,1,1）两点将L 绕z 轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面0,2z z ==所围成的立体为Ω。 （1）求曲面∑的方程； （2）求Ω的形心坐标。 20.（本题满分11分） 设101,101a A B b ???? == ? ????? ，当a,b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B,并求所有矩阵C 。 21.（本题满分11分） 设二次型22 123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α?? ?= ? ???，123b b b β?? ?= ? ??? 。 （1）证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+； （2）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22 122y y +。 22.（本题满分11分） 设随机变量X 的概率密度为 令随机变量2,1,,12,1,2x Y x x x ≤?? =< （1）求Y 的分布函数； （2）求概率{}P X Y ≤. 23.(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为23,0, (;)0,x e x f x x θ θθ-?>?=??? 其他其中θ为未知参数且大于零， 12,,n X X X ，为来自总体X 的简单随机样本。 （1）求θ的矩估计量； （2）求θ的最大似然估计量。
相关主题
文本预览