2008年考研数学二试题分析、详解和评注
一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设2()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D).
【详解】322()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-．
令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D).
(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0
()a
xf x dx '?
在几何上
表示【 】．
(A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】
'0
()()()()a
a a
xf x dx xdf x af a f x dx ==-?
??，
其中()af a 是矩形面积，0
()a
f x dx ?
为曲边梯形的面积，
所以'
()a
xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C).
(3)在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】．
(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.
(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).
【详解】由123cos2sin2x y C e C x C x =++，可知其特征根为
11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为
2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+
3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+-
所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).
(4) 判定函数ln ()|1|
x
f x x =
-，(0)x >间断点的情况【 】．
(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点． (C) 有两个无穷间断点. (D)有两个跳跃间断点. 【答案】 应选(A).
(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．
(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).
【详解】若若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).
(6)设函数()f x 连续，2
2
1x y +=，2
2
2
,1x y u u +
=>，若22(,)D
F u v =
，
则
F
u
?=?【 】． (A) 2
()vf u (B) ()vf u (C)
2()v f u u (D) ()v
f u u
【答案】 应选
(A).
【详解】利用极坐标，得
22220
1
1()
(,)()v u
u D
f r F u v dv rdr v f r dr
r
===??
?，所以
F
u
?=?2()vf u ．故应选(A). (7)设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若3
0A =，则下列结论正确的是【 】． (A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.
(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).
【详解】2
3
()()E A E A A E A E -++=-=，2
3
()()E A E A A E A E +-+=+=．
故E A -，E A +均可逆．故应选(C).
(8) 设1221A ??
= ???
，则在实数域上，与A 合同矩阵为【 】
． (A) 2112-??
?-?? . (B)
2112-?? ?-??. (C) 2112?? ???. (D) 1221-?? ?-??
.
【答案】 应选(D). 【详解】
221
2
(1)423(1)(3)021
E A λλλλλλλλ---=
=--=--=+-=-- 则121,3λλ=-=，记1221D -??
=
?-??
，则
221
2
(1)423(1)(3)021
E D λλλλλλλλ--=
=--=--=+-=- 则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.
二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) (9)已知函数()f x 连续，且01cos[()]
lim 1(1)()
x x xf x e f x →-=-，则(0)f =
【答案】 应填2．
(10)微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是 . 【答案】 应填()x y x C e -=-．
(11)曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+． 【详解】
(12)曲线23
(5)y x x =-的拐点坐标为 . 【答案】 (1,6)--． 【详解】 (13)设x y
y z x ??
=
???，则(1,2)
z x ?=? . 【答案
】
21)-． (14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．
三、解答题(15－23小题，共94分)．
(15)(本题满分9分) 求极限[]4
sin sin(sin )sin lim
x x x x x →-．
【详解1】[]40
sin sin(sin )sin lim
x x x x x →-[]3
sin sin(sin )lim
x x x x →-= ＝20cos cos(sin )cos lim
3x x x x x →-2
01cos(sin )lim 3x x x →-=
0sin(sin )cos lim 6x x x x →=(或22
01(sin )2lim 3x x x →=，或22
201sin (sin )2lim 3x x o x x →+=)
16
=． 【详解2】[]4
sin sin(sin )sin lim
x x x x x →-[]40
sin sin(sin )sin lim
sin x x x x x
→-= ＝30sin lim
t t t t →-2
01cos lim 3t t t →-=2202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 1
6
=
． (16)(本题满分10分)
设函数()y y x =由参数方程2
0()ln(1)t x x t y u du =??
?=+??
?确定，其中()x x t =是初值问题0
20
x
t dx te dt
x -=?-=???=?的解，求22d y dx ． 【详解1】由
20x dx
te dt
--=得 2x e dx tdt =，积分得2x e t C =+．
由条件00t x ==，得1C =，即2
1x e t =+，
故 2
ln(1)x t =+．
方程组2
20ln(1)ln(1)t x t y u du ?=+??=+??
?两端同时对t 求导得 2
2212ln(1)dx t dt t dy t t dt
?=??+?
?=+??． 所以22(1)ln(1)dy dy dt t t dx
dx dt
==++，
从而22
22
22(1)ln(1)(1)ln(1)d t t d t t d y dt
dx dx
dt
??++??
??++??=
=
2222
2ln(1)2(1)[ln(1)1]21t t t t t t t ++==++++．
17（本题满分
9分）计算
21
?
．
【详解1
】 由于21
lim x -
→=+∞
，故21
?
是反常积分．
令arcsin x t =，有sin x t =，[0,
)2
t π
∈．
21
22
20
0cos 2sin ()22
t t
t tdt dt ππ
==-?
??
22
20
01
sin 24
4t td t π
π
=-?2
220
sin 21sin 21644t t tdt π
π
π=-+? 2
20
1
cos 2168t π
π
=-21164π=+． 【详解
2】
21
122
01(arcsin )2
x d x =
?
?
2122
200
1(arcsin )(arcsin )2x x x x dx π
=-?
2
1
20
(arcsin )8
x x dx π=
-?
令arcsin x t =，有sin x t =，[0,
)2
t π
∈．
1
2
2
2001(arcsin )sin 22x x dx t tdt π=??
22
200
1(cos 22cos 2)4t t t tdt π
π
=--?
2
1
16
4
π=
-
， 所以
22
1
1164
π=
+?
． (18)(本题满分11分) 计算
max{,1}D
xy dxdy ??，其中{}(,),02,02D x y x y =≤≤≤≤．
【详解】将区域D 分成如图所示得两个子区域12,D D 和3D ．于是
1
2
3
max{,1}max{,1}max{,1}max{,1}D
D D D xy dxdy xy dxdy xy dxdy xy dxdy =++????????
1
2
3
11D D D xydxdy dxdy dxdy =++??????1122
22
21110
22
x x
dx xydy dx dy dx dy =++??????
1519ln 212ln 2ln 244
=
-++=+． (19)(本题满分11分)
设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =．对任意的
[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周
生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式． 【详解】根据题意，因为
旋转体体积2
0()t
V f x dx π=?
，侧面积0
2(t
S f x π=?．
所以 2
2()2(t
t f x dx f x π
π=?
?．
上式两边同时对t 求导得
2()(f t f t =
解得 1ln(y t C +
=+，t y Ce +
=．
由(0)1y =，得1C =．
所以 t y e += 或 1()()2
t
t y f x e e -==
+． (20)(本题满分11分) (I)
证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得
()()()b
a
f x dx f b a η=-?
；
(II)
若函数()x ?具有二阶导数，且满足(2)(1)??>，3
2
(2)()x dx ??>?
，则至少存在
一点(1,3)ξ∈，使得()0?ξ''<．
【证法1】若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则必存在最大值M 和最小值m ．即
()m f x M ≤≤，[,]x a b ∈
于是有
()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-?．
即
1
()b a
m f x dx M b a ≤
≤-?
根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点[,]a b η∈，使得
1
()()b a f f x dx b a
η=
-? 因此而的证．
（II ）存在[2,3]η∈，使得3
2
()()x dx ??η=?
．
由3
2
(2)()()x dx ???η>
=?
，知(2,3]η∈．
由(2)(1)??>，利用微分中值定理，存在1(1,2)ξ∈，使得
1(2)(1)
()021
???ξ-'=
>-．
由(2)()??η>，利用微分中值定理，存在2(2,)ξη∈，使得
2()(2)
()02
?η??ξη-'=
<-．
存在存在12(,)(1,3)ξξξ∈?，使得
2121
()()
()0?ξ?ξ?ξξξ''-''=
<-．
（21）(本题满分11分)
求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值． 【详解1】作拉格朗日函数
22222(,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμ=++++-+++-．
令
2222022020040x
y z F x x F y y F z x y z x y z λμλμλμ?'=++=??'=++=??'
=-+=??+-=?
?++-=??
解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),x y z x y z ==--故所求得最大值为72,最小值为6． 【详解2】由题意知，4
4
2
2
2
2
2u x y x y x y =++++在条件2
2
4x y x y +++=下的最值．
令3232
22442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y x y x y λλ?'=++++=??'=++++=??+-++=??
2222022020040x
y z F x x F y y F z x y z x y z λμλμλμ?'=++=??'=++=??'
=-+=??+-=?
?++-=??
解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),x y z x y z ==--故所求得最大值为72,最小值为6．
(22) (本题满分12分)．
设n 元线性方程组Ax b =，其中
2222212121212a a a a a A a a a a ?? ? ?
?= ? ?
? ? ???
，12n x x x x ?? ? ?= ? ???
，12n b b
b b ?? ? ?= ? ??? ．
（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；
（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．
【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2
2
2
2
2121
21
||212n n
a a a a a D A a a a a ==
以下用数学归纳法证明(1)n n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2
22
2132a D a a a
=
=，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得
2
2
12
2
1
2121
21
2212n n n a a a a a D aD a a a a --=-
2122n n aD a D --=- 1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+
故 (1)n
A n a =+．
【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，
2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-= ．于是(1)n n D n a =+
（I ）【证法2】消元法．记2
2
2
2
2121
21
||212n
a a a a a A a a a a =
221
2
2213
12
121
2
212n
a a a a r ar a a a a -
32
22
2
2130
124
123
3
21212n
a a a r ar a a
a a a a -
=
21213
12
21
1
111
n n n
a a a a n r ar n
n a n n a n ---
-+
(1)n n a =+．
（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为
2
2
2
112
2
2
2
1
11
21021
21
21
21
212122n n n
n a a
a a a a a a D na a a a a a a a a ---=
==
所以，11(1)n n D a
x D n a
-=
=
+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为
12101101001000n n x x x x -?????? ? ? ?
? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?
? ? ?????
??
此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为
()()010100T T
x k =+ ，其中k 为任意常数．
(23) (本题满分10分)
设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足
321A ααα=+，
(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1
P AP -．
【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=． 用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=． 因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+， 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=， 即113220k k αα-=．
由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此
130k k ==，从而有20k =．
故
123
,,ααα线性无关． （II ）由题意，100011001AP P -??
?= ? ???
．而由
（I ）知，123,,ααα线性无关，
从而123(,,)P ααα=可逆．故
1100011001P AP --??
?
= ? ???
．
2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数2 0()ln(2)x f x t dt =+?则()f x '的零点个数 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)函数(,)arctan x f x y y =在点(0,1)处的梯度等于 (A)i (B)-i (C)j (D)-j (3)在下列微分方程中,以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是 (A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+= (D)440y y y y ''''''-+-= (4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是 (A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛 (D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛 (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则 (A)-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B)-E A 不可逆,+E A 可逆 (C)-E A 可逆,+E A 可逆 (D)-E A 可逆,+E A 不可逆 (6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程 (,,)1x x y z y z ?? ? = ? ??? A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则 A 的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (A)()2F x (B) ()()F x F y (C) ()2 11F x --???? (D) ()()11F x F y --???????? (8)设随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+= (D){}211P Y X =+= 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (11)已知幂级数()0 2n n n a x ∞ =+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()0 3n n n a x ∞ =-∑的 收敛域为 . (12)设曲面∑ 是z =的上侧,则2xydydz xdzdx x dxdy ∑ ++=?? . (13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 . (14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == .
2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题： 1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设f ( x)x2 (x 1)(x 2) ，求 f ( x)的零点个数() A0B1C2D3 (2) 如图，曲线段方程为y f (x) ， 函数在区间 [0, a] 上有连续导数，则 y C(0, f(a))A(a, f(a)) a 定积分xf (x)dx 等于() y=f(x) A曲边梯形 ABOD 面积. B梯形 ABOD 面积. D C曲边三角形 ACD 面积. D 三角形ACD面积. O B(a,0)x (3) 在下列微分方程中，以y C1e x C2 cos2x C3 sin 2x ( C1, C2 , C3为任意常数)为通解 的是 () A y y 4 y 4 y 0 . B y y 4y 4 y 0 . C y y 4 y 4 y 0 . D y y 4y 4y 0 . (4) 判断函数f ( x)ln x sin x( x 0) 间断点的情况( ) x 1 A有 1 个可去间断点， 1 个跳跃间断点B有 1 个跳跃间断点， 1 个无穷间断点C有两个无穷间断点 D有两个跳跃间断点
(5) 设函数 f (x) 在 ( , ) 内单调有界， x n 为数列，下列命题正确的是 ( ) A 若 x n 收敛，则 f (x n ) 收敛 . B 若 x n 单调，则 f (x n ) 收敛 . C 若 f (x n ) 收敛，则 x n 收敛 . D 若 f ( x n ) 单调，则 x n 收敛 . 设函数 f 连续.若F u, v f x 2 y 2 D uv 为图中阴影部分，则 (6) x 2 dxdy ，其中区域 D uv y 2 F ( ) y x 2+y 2 =u 2 u A vf u 2 x 2+y 2 =1 B v f u 2 u C vf u v D uv D v f u u O x (7) 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵 . 若 A 3 O ，则 ( ) A E A 不可逆， E A 不可逆. B E A 不可逆， E A 可逆. C E A 可逆， E A 可逆. D E A 可逆， E A 不可逆 . 1 2 A 合同的矩阵为 ( ) (8)设A ，则在实数域上与 2 1 2 1 . 2 1 A 2 B 2 1 1 2 1 1 2 C . D 1 1 2 2 . . 二、填空题： 9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . (9) f ( x) 连续， lim 1 cos(sinx) 1，则 f (0) 2 x (e x 1) f ( x) (10) 微分方程 ( y x 2e x )dx xdy 0 的通解是 y
2０08年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一）试卷 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内．） (1）设函数2 0()ln(2)x f x t dt =+?则()f x '的零点个数 (Ａ）0 ???? ? ?(B)1 ? ? (C)２?? ? ?? ??（D)３ (２)函数(,)arctan x f x y y =在点(0,1)处的梯度等于 (A ）i ?? ?? ????(B)－i ? （C)j ? ?????（Ｄ)-j (3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是 (Ａ)440y y y y ''''''+--= ? (B)440y y y y ''''''+++= (Ｃ)440y y y y ''''''--+= ? ?(Ｄ)440y y y y ''''''-+-= (4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是 (A ）若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 ??（Ｂ)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C ）若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛 ??(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛 (5）设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则 (A)-E A 不可逆，+E A 不可逆? ? (B)-E A 不可逆,+E A 可逆 ?(C ）-E A 可逆,+E A 可逆? ? ?(D ）-E A 可逆,+E A 不可逆 （6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 (,,)1x x y z y z ?? ? = ? ??? A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则 A 的正特征值个数为 (A ）0 (B)1 (Ｃ)2? (D)３ （7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (Ａ)()2F x ? ? ? ??(Ｂ) ()()F x F y (C) ()2 11F x --????? ??? ?(D) ()()11F x F y --???????? (8)设随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= ?? ?(Ｂ）{}211P Y X =-= (C ）{}211P Y X =-+= ? ???（D){}211P Y X =+= 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共２４分，请将答案写在答题纸指定位置上.) (9）微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （11）已知幂级数()0 2n n n a x ∞ =+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散,则幂级数() 3n n n a x ∞ =-∑的收敛域为 . （12)设曲面∑是224z x y =--,则2xydydz xdzdx x dxdy ∑ ++=?? . （1３)设A 为２阶矩阵,12,αα为线性无关的２维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 . （14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == .
2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（） ()A 0 ()B ()C ()D 3 （2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a t af x dx ?（） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（） （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （6）设函数f 连续，若22(,)uv D F u v =?? ，其中区域uv D 为图中阴影部分， 则 F u ?=? （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A = ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （8）设1221A ?? = ??? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则( ) 10 lim n n n n a b --→+（ ） ()A a . ()B 1a -. ()C b . ()D 1b -. （2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0 ()()x f t dt g x x = ?的（ ） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷. ()D 振荡. （3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域 { (,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ） ()A ()()0D f y g x dxdy =??. ()B ()()0D f x g y d x d y = ??. ()C [()()]0D f x g y dxdy +=??. ()D [()()]0D f y g x dxdy +=??. （4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分 '0 ()a xf x dx ? （ ） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （6）设1221A ?? = ??? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-?? ?-?? ()B 2112-?? ?-?? ()C 2112?? ? ?? ()D 1221-?? ?-??. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ） ()A ()2F x . ()B ()()F x F y .
2008年考研数学二试题分析、详解和评注 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】322 ()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 '0 ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积，所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通 解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D). (4) 判定函数ln ()|1| x f x x = -，(0)x >间断点的情况【 】．
2008年考研数学（三）真题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0 ()()x f t dt g x x = ?的（ ） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点. （2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分 ()a t af x dx ? 等于 （ ） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3 ）已知(,)f x y = （A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在 （4）设函数f 连续，若22(,)uv D f u v = ?? ，其中uv D 为图中阴影部分，则 F u ?=?（ ） （A ）2 ()vf u （B ） 2()v f u u （C ）()vf u （D ）()v f u u （5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （6）设1221A ?? = ???则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ） ()A 2112-?? ?-?? . ()B 2112-?? ?-?? . ()C 2112?? ??? . ()D 1221-?? ?-?? . （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1 ）若函数10(),0x f x ax b x ?->? =??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（ ） (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > () s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆 （6）已知矩阵200021001A ????=?????? 2 100200 1B ??? ?=? ?????100020002C ?? ??=?????? ，则（ ）
2008年考研数学一真题 一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设函数f (x )= ∫ln?(2+t)dt x 2 ,则f′(x)的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 。 【解析】 f ′(x )=2x?ln?(2+x 2)且ln?(2+x 2)≠0，则x =0是f′(x)唯一的零点 综上所述，本题正确答案是B 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 (2)函数f (x,y )=arctan x y 在点(0,1)处的梯度等于 (A )i (B )?i (C )j (D )?j 【答案】A 。 【解析】 gradf (x,y )=ef(x,y)ex i +ef(x,y)ey j ef(x,y)ex =1 y 1+(x y )2=y x 2+y 2?,ef(x,y)ey =? x y 2 1+(x y ) 2=?x x 2+y 2 所以gradf (x,y )|(0,1)=f ′x (0,1)i +f ′y (0,1)j =1?i +0?j =i 综上所述，本题正确答案是A 。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (3)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3 为任意常数)为通解的是 (A)y′′′+y′′?4y′?4y=0(B)y′′′+y′′+4y′+4y=0 (C)y′′′?y′′?4y′+4y=0(D)y′′′?y′′+4y′?4y=0 【答案】D。 【解析】 由通解表达式y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x 可知其特征根为λ1=1,λ2,3=±2i 可见其对应特征方程为(λ?1)(λ2+4)=λ3?λ2+4λ?4=0故对应微分方程为y′′′?y′′+4y′?4y=0 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 (4)设函数f(x)在(?∞,+∞)内单调有界，{x n}为数列，下列命题正确 的是 (A)若{x n}收敛，则{f(x n)}收敛 (B)若{x n}单调，则{f(x n)}收敛 (C)若{f(x n)}收敛，则{x n}收敛 (D)若{f(x n)}单调，则{x n}收敛 【答案】B。 【解析】
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设函数2 ()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数为（ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 【答案】()D 【考点】导数的四则运算 【难易度】★★ 【详解】 解析：()()()()()() 22221212494f x x x x x x x x x x x '=--+-+-=-+ 令()0f x '=，则可得()f x '零点的个数为3. （2）如图，曲线方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续导 数，则定积分 '()a xf x dx ? 等于（ ） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. 【答案】()C 【考点】定积分的分部积分法，定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】 解析： ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx '==-? ??，其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ?为 曲边梯形的面积，所以 ()a xf x dx '? 为曲边三角形ACD 的面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为 通解的是（ ） ()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=. ()D 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】()D 【考点】线性微分方程解的性质及解的结构定理
第一篇 2008年考研题及答案与解析 一、选择题：l～8小题．每小题4分。共32分下列每题给出的四个选项中．只有一个选项是符台题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上
二、填空题9～14小题，每小题4分，共24分请将答案写在答题纸指定位置上。 三、解答题：l5～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 【15】(本题满分9分) (16)(本题满分l0分) 设函数Y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题 (17)(本题满分9分) (18)(本题满分11分) (19)(本题满分11分) 设f(x)是区间上具有连续导数的单调增加函数，对任意的
直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在教值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。 (20)(本题满分11分) (I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点使得 (21)（本题满11分） (22)(本题满分12分) 设n元线性方程组Ax=b，其中 (I)证明行列式 (Ⅱ)当n为何值时，该方程组有唯一解，并求x； (Ⅲ)当n为何值时，该方程组有无穷多解，并求遁解 (23)(本题满分l0分) 设A为3阶矩阵，为A的分别属于特征值-1．1的特征向量，向量满足
2008年考研数学二参考答案及解析 一、选择题 (1)(分析)f（0)=f(1)=f（2)=0，由罗尔定理知，在(0，1)，(1，2)各有一个零点,又 其中af （a)是矩形ABOC的面积，是曲梯梯形ABOD的面积因此是曲边三角形是曲边三角形ACD的面积选(c) (3)【分析】从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1,±2i(i=，对应的特征方程是 因此所求的微分方程是选(D) (4)【分析】只有间断点x=0，一l由于故x=0是可去间断点.又 故x=1是跳跃间断点选(A) (5)【分析】因f(x)在内单调有界，当单调时，单调有界收敛，选(B)
2008年考研数学一真题 一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设函数,则的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B。 【解析】 且，则是唯一的零点 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 (2)函数在点处的梯度等于 (A)(B) (C)(D) 【答案】A。 【解析】
所以 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (3)在下列微分方程中，以 为通解的是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D。 【解析】 由通解表达式 可知其特征根为 可见其对应特征方程为 故对应微分方程为 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确 的是 (A)若收敛，则收敛 (B)若单调，则收敛 (C)若收敛，则收敛 (D)若单调，则收敛 【答案】B。 【解析】 【方法一】 由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。 【方法二】 排除法：若取,,则显然单调， 收敛，但，显然不收敛，排除A。 若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。 综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 (5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则 (A)不可逆，不可逆 (B)不可逆，可逆 (C)可逆，可逆 (D)可逆，不可逆 【答案】C。 【解析】 因为 所以可知可逆，可逆 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件 (6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
2008年考研数学二试题分析详解 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】3 2 2 ()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 ' ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积，所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通 解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).
2008考研数学(二)真题及参考答案 D
（6）设函数f 连续，若222 2 (,)uv D F u v dxdy x y =+?? ，其中区域uv D 为 图中阴影部分，则F u ?=? ()A 2()vf u () B 2()v f u u ()C ()vf u ()D () v f u u （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3 A =，则 （ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （8）设 1221A ??= ? ?? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-?? ?-?? . ()B 2 11 2-?? ?-? ? . ()C 2112?? ??? . ()D 1 22 1-?? ?-? ? . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且2 1cos[()]lim 1(1)() x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =. （10）微分方程2()0 x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =. （11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23 (5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x y y z x ??= ? ?? ，则(1,2) ____ z x ?=?.
2008-2019年考研数学一 真题答案及解析 目录 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (2) 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (6) 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (10) 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (14) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (18) 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (21) 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (25) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (29) 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (34) 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (38) 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (42) 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (46) 1
2 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=??，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A.()()2,3r A r A == B.()() 2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()() 1,1r A r A ==
2008年考研数学二试题分析、详解和评注 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】322()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 '0 ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积， 所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos2sin2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).
2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则' ()f x 的零点个数为（ ） ()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3 （2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()a t af x dx ?（ ） ()A 曲边梯形ABOD 面积. ()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） ()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+= ()D ''''''440y y y y -+-= （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （6）设函数f 连续，若2222(,)uv D F u v dxdy x y = +??，其中区域uv D 为图中阴影部分，则 F u ?=? ()A 2()vf u () B 2()v f u u ()C ()vf u ()D ()v f u u
2008年考研数学二真题及参考答案 一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】3 2 2 ()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D). (2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a xf x dx '? 在几何上 表示【 】． (A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 '0 ()()()()a a a xf x dx xdf x af a f x dx ==-? ??， 其中()af a 是矩形面积，0 ()a f x dx ? 为曲边梯形的面积，所以' ()a xf x dx ?为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C). (3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通 解的是【 】． (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2x y C e C x C x =++，可知其特征根为 11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+- 所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).
2008考研数学一真题及答案 一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2 ()ln(2)x f x t dt = +? ，则()f x '的零点个数为【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B). 【详解】2 2 ()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+?=+． 显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-?=-?<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点． 又2 2 2 4()2ln(2)02x f x x x ''=++ >+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点． 故()f x '有且只有一个零点．故应选(B). （2）函数(,)arctan x f x y y =在点(0,1)处的梯度等于【 】 (A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A). 【详解】因为222211f y y x x x y y ?==?++．2 2222 1x f x y x y x y y -?-==?++． 所以 (0,1) 1f x ?=?， (0,1) 0f y ?=?，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A). （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数） 为通解的是【 】 (A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).