实验六 双三次Bezier 曲面
一、实验目的
根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。
二、实验任务（2学时）
Bezier 曲面算法及其程序设计。
三、实验内容和实验步骤
1、算法描述
Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕
双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)：
（u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕
展开上式，有
代入得到： )()(),(m 0i ,,0,∑∑===v B u B P v u p n j m i n
j j i 33
,,3,3i 00(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ??????????????=??????????????????320,3321,3322,333,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ?=-+-+?=-+??=-+??=?320,3321,3322,333,3
()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v v
B v v ?=-+-+?=-+??=-+??=?0,00,10,20,31,01,11,21,3322,02,12,22,313313630(,)13300P P P P P P P P p u v u u u P P P P --????????-??????=????????-????32133136303300v v v ??--??????-?????????-????
令
则有： 生成曲面时可以通过先固定u, 变化v 得到一簇Bezier 曲线；然后固定v ，变化u 得到另一簇Bezier 曲线，两簇曲线交织生成Bezier 曲面。
2、要求：
根据给定的16个控制顶点：
P00(200,20,0),P01(150,0,100),P02(50,-130,100),P03(0,-250,50)；
P10(150,100,100),P11(100,30,100),P12(50,-40,100),P13(0,-110,100)；
P20(140,280,90),P21(80,110,120),P22(30,30,130),P23(-50,-100,150)；
P30(150,350,30),P31(50,200,150),P32(0,50,200),P33(-70,0,100)；
使用斜等测投影绘制双三次Bizer 网格曲面。
3、程序实现步骤：（工程名:BezierCurve2）
步骤1：创建“BezierCurve2”工程文件；
步骤2：创建类class ：“ P2”及“P3”；注意：P2 为二维点，含有两个成员变量“x ，y”，P3含有三个成员变量“x ，y ，z”。单击右键-→“new class”-→选择类型“Generic Class”名称为“ P2”及“P3”，添加成员变量（添加至“class EACH_ENTRY { public:”之内）：
class P2
{
public:
P2();
virtual ~P2(); double x;
double y;
};
class P3
{
public:
P3();
virtual ~P3();
321U u u u ??=??321V v v v ??=??1331363033001000be M --????-??=??-????0,00,10,20,31,01,11,21,32,02,12,22,33,0
3,13,23,3P P P P P P P P P P P P P P P P P ??????=??????(,)T T be be p u v UM PM V
=
double x;
double y;
double z;
};
步骤3：包含头文件并定义顶点对象。
1）在“class CBezierCurve2View : public Cview……”之前添加代码“#include "P3.h"”及“#include "P2.h"”；
#include "P3.h"//包含三维坐标点类
#include "P2.h"//包含二维坐标点类
2）在“class CBezierCurve2View : public CView……”内添加代码：
P3 P3[4][4];//三维顶点
P2 P2[4][4];//二维顶点
步骤4：添加成员函数。
1）C m n的函数实现，定义成员函数，命名为Multiply_n。方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；
2）伯恩斯坦多项式B m,n(t)的函数实现，添加CBezierCurve2View::bernstein。方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；
步骤5：在OnDraw（）中添加代码：
注意：添加头文件
#include "math.h"//数学头文件
#define Round(d) int(floor(d+0.5))//四舍五入宏定义
上述两行代码添加至：类CBezierCurve2View的所有成员函数代码之前。
1）窗口坐标变换，设置客户区中心为原点
CBezierCurve2Doc* pDoc = GetDocument();
ASSERT_V ALID(pDoc);
// TODO: add draw code for native data here
CRect rect;//定义客户区矩形
GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y 轴垂直向上
pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
rect.OffsetRect(-rect.Width()/2,-rect.Height()/2);
2）初始化16个控制顶点
P3[0][0].x=20; P3[0][0].y=0; P3[0][0].z=200;//P00
P3[0][1].x=0; P3[0][1].y=100;P3[0][1].z=150;//P01
P3[0][2].x=-130;P3[0][2].y=100;P3[0][2].z=50; //P02
P3[0][3].x=-250;P3[0][3].y=50; P3[0][3].z=0; //P03
P3[1][0].x=100; P3[1][0].y=100;P3[1][0].z=150;//P10
P3[1][1].x=30; P3[1][1].y=100;P3[1][1].z=100;//p11
P3[1][2].x=-40; P3[1][2].y=100;P3[1][2].z=50; //p12
P3[1][3].x=-110;P3[1][3].y=100;P3[1][3].z=0; //p13
P3[2][0].x=280; P3[2][0].y=90; P3[2][0].z=140;//P20
P3[2][1].x=110; P3[2][1].y=120;P3[2][1].z=80; //P21
P3[2][2].x=30; P3[2][2].y=130;P3[2][2].z=30; //P22
P3[2][3].x=-100;P3[2][3].y=150;P3[2][3].z=-50;//P23
P3[3][0].x=350; P3[3][0].y=30; P3[3][0].z=150;//P30
P3[3][1].x=200; P3[3][1].y=150;P3[3][1].z=50; //P31
P3[3][2].x=50; P3[3][2].y=200;P3[3][2].z=0; //P32
P3[3][3].x=0; P3[3][3].y=100;P3[3][3].z=-70;//P33
3) 三维控制顶点投影（采用斜等测法）至二维点：
for(int i=0;i<4;i++)
for(int j=0;j<4;j++)
{
P2[i][j].x=P3[i][j].x-P3[i][j].z/sqrt(2);
P2[i][j].y=P3[i][j].y-P3[i][j].z/sqrt(2);
}
// 以上代码实现：从三维到二维的斜等测投影（参照教材P173：式6-42）
4）绘制控制多边形
CPen NewPen,*pOldPen;
NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
for(int i1=0;i1<4;i1++)
{
pDC->MoveTo(Round(P2[i1][0].x),Round(P2[i1][0].y));
for(int j1=1;j1<4;j1++)
pDC->LineTo(Round(P2[i1][j1].x),Round(P2[i1][j1].y));
}
for(int j2=0;j2<4;j2++)
{
pDC->MoveTo(Round(P2[0][j2].x),Round(P2[0][j2].y));
for(int i2=1;i2<4;i2++)
pDC->LineTo(Round(P2[i2][j2].x),Round(P2[i2][j2].y));
}
pDC->SelectObject(pOldPen);
NewPen.DeleteObject();
// 以上代码绘制控制多边形
5）控制顶点标注序号
CString str;
pDC->SetTextColor(RGB(0,0,255));
for(int i3=0;i3<4;i3++)
{
for(int j3=0;j3<4;j3++)
{
str.Format("P%d,%d",i3,j3);
pDC->TextOut(Round(P2[i3][j3].x+10),Round(P2[i3][j3].y+2),str);
}
}
// 以上代码实现“控制顶点标注序号”
6）“曲面”生成
CPen PenRed(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义红色笔
pDC->SelectObject(&PenRed);//选择红色笔绘制曲面
double dt1=0.01,dt2=0.01;
double x,y,u,v;
double BU03,BU13,BU23,BU33;
double BV03,BV13,BV23,BV33;//U，V两个方向，三次曲面，共8个基函数
for(u=0;u<=1;u=u+dt1)
for(v=0;v<=1;v=v+dt2)
//对每一个u，v从0~1循环1/dt2+1次后，
//生成一条由1/dt2+1个点用直线串起来的“曲线”
//u从0~1循环1/dt2+1次后，生成1/dt1+1条“曲线”
{
BU03 = bernstein(0,3,u);//计算B0,3（u）
BV03 = bernstein(0,3,v);//计算B0,3（v）
BU13 = bernstein(1,3,u);//计算B1,3（u）
BV13 = bernstein(1,3,v);//计算B1,3（v）
BU23 = bernstein(2,3,u);//计算B2,3（u）
BV23 = bernstein(2,3,v);//计算B2,3（v）
BU33 = bernstein(3,3,u);//计算B3,3（u）
BV33 = bernstein(3,3,v);//计算B3,3（v）
//严格按照教材P201页，式7-21，为了简单起见，没有使用复杂的循环
x=(BU03*P2[0][0].x+BU13*P2[1][0].x+BU23*P2[2][0].x+BU33*P2[3][0].x)*BV03+ (BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].x+BU23*P2[2][1].x+BU33*P2[3][1].x)*BV13+ (BU03*P2[0][2].x+BU13*P2[1][2].x+BU23*P2[2][2].x+BU33*P2[3][2].x)*BV23+ (BU03*P2[0][3].x+BU13*P2[1][3].x+BU23*P2[2][3].x+BU33*P2[3][3].x)*BV33;
y=(BU03*P2[0][0].y+BU13*P2[1][0].y+BU23*P2[2][0].y+BU33*P2[3][0].y)*BV03+ (BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].y+BU23*P2[2][1].y+BU33*P2[3][1].y)*BV13+ (BU03*P2[0][2].y+BU13*P2[1][2].y+BU23*P2[2][2].y+BU33*P2[3][2].y)*BV23+ (BU03*P2[0][3].y+BU13*P2[1][3].y+BU23*P2[2][3].y+BU33*P2[3][3].y)*BV33;
if(v==0)
pDC->MoveTo(Round(x),Round(y));
else
pDC->LineTo(Round(x),Round(y));
}
//以上双重循环程序u=0、u=dt、u=2dt……u=1的共1/dt+1条“纵向”曲线段
for(v=0;v<=1;v=v+dt2)
for(u=0;u<=1;u=u+dt1)
{
BU03 = bernstein(0,3,u);
BV03 = bernstein(0,3,v);
BU13 = bernstein(1,3,u);
BV13 = bernstein(1,3,v);
BU23 = bernstein(2,3,u);
BV23 = bernstein(2,3,v);
BU33 = bernstein(3,3,u);
BV33 = bernstein(3,3,v);
x=(BU03*P2[0][0].x+BU13*P2[1][0].x+BU23*P2[2][0].x+BU33*P2[3][0].x)*BV03+
(BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].x+BU23*P2[2][1].x+BU33*P2[3][1].x)*BV13+
(BU03*P2[0][2].x+BU13*P2[1][2].x+BU23*P2[2][2].x+BU33*P2[3][2].x)*BV23+
(BU03*P2[0][3].x+BU13*P2[1][3].x+BU23*P2[2][3].x+BU33*P2[3][3].x)*BV33;
y=(BU03*P2[0][0].y+BU13*P2[1][0].y+BU23*P2[2][0].y+BU33*P2[3][0].y)*BV03+
(BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].y+BU23*P2[2][1].y+BU33*P2[3][1].y)*BV13+
(BU03*P2[0][2].y+BU13*P2[1][2].y+BU23*P2[2][2].y+BU33*P2[3][2].y)*BV23+
(BU03*P2[0][3].y+BU13*P2[1][3].y+BU23*P2[2][3].y+BU33*P2[3][3].y)*BV33;
if(u==0)
pDC->MoveTo(Round(x),Round(y));
else
pDC->LineTo(Round(x),Round(y));
}//此双重循环程序v=0、v=dt、v=2dt……v=1的共1/dt+1条“横向”曲线段
//上述两批“纵向”及“横向”曲线段，犹如“织布”般“纵横交错”,dt取值越小，“布”越密实。（3）编译、运行后查看结果，如图1所示。
图1 双三次Bezier曲面程序结果
四、总结和思考
1．查看实验结果，验证算法的正确性；
2．在程序中，修改参数dt（包括dt1和dt2）的增量值，分别取“0.001”、“0.02”、“0.04”
及“0.1”，观察并分析结果。
3．修改相关参数，增加顶点数目分别至5*5个或更多。考虑如何修改程序，并查看实验结果；
%%%%%%%%%%三次非均匀B样条曲面的绘制 clc clf clear A=input('请输入控制点：')%16个控制顶点要求以列向量表示点的坐标[2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5;2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5;1 2 3 1 3 4 6 2 7 5 6 2 9 1 3 4]; n=input('请输入所需绘制B样条曲线的次数：'); Vx=[A(1,1:4);A(1,5:8);A(1,9:12);A(1,13:16)];%将控制顶点的x坐标放到维数为4的方阵中 V y=[A(2,1:4);A(2,5:8);A(2,9:12);A(2,13:16)];%将控制顶点的y坐标放到维数为4的方阵中Vz=[A(3,1:4);A(3,5:8);A(3,9:12);A(3,13:16)];%将控制顶点的z坐标放到维数为4的方阵中plot3(A(1,:),A(2,:),A(3,:),'o');%输出控制顶点 hold on syms u syms w P_uwx=[0]; P_uwy=[0]; P_uwz=[0]; for i=1:1:4; for j=1:1:4 u0=0;u1=0;u2=0;u3=0;u4=1;u5=1;u6=1;u7=1;%给定4个控制顶点所取的节点矢量 B1=(u4-u3-u)^3/((u4-u3)*(u4-u2)*(u4-u1)); B2=((u3-u1+u)*(u4-u3-u)^2)/((u4-u3)*(u4-u2)*(u4-u1))+((u5-u3-u)*(u4-u3-u)*(u3-u2+u))/((u5-u 2)*(u4-u3)*(u4-u2))+((u5-u3-u)^2*u)/((u5-u3)*(u5-u2)*(u4-u2)); B3=((u4-u3-u)*(u3-u2+u)^2)/((u5-u2)*(u4-u3)*(u4-u2))+((u5-u3-u)*u*(u3-u2+u))/((u5-u3)*(u5-u2)*(u4-u3))+((u6-u3-u)*u^2)/((u6-u3)*(u5-u3)*(u4-u3)); B4=u^3/((u6-u3)*(u5-u3)*(u4-u3)); B=[B1;B2;B3;B4];%三次非均匀B样条基函数矩阵（自由曲线曲面造型技术139页） w0=0;w1=0;w2=0;w3=0;w4=1;w5=1;w6=1;w7=1;%给定4个控制顶点所取的节点矢量 C1=(w4-w3-w)^3/((w4-w3)*(w4-w2)*(w4-w1)); C2=((w3-w1+w)*(w4-w3-w)^2)/((w4-w3)*(w4-w2)*(w4-w1))+((w5-w3-w)*(w4-w3-w)*(w3-w2 +w))/((w5-w2)*(w4-w3)*(w4-w2))+((w5-w3-w)^2*w)/((w5-w3)*(w5-w2)*(w4-w2)); C3=((w4-w3-w)*(w3-w2+w)^2)/((w5-w2)*(w4-w3)*(w4-w2))+((w5-w3-w)*w*(w3-w2+w))/((w 5-w3)*(w5-w2)*(w4-w3))+((w6-w3-w)*w^2)/((w6-w3)*(w5-w3)*(w4-w3)); C4=w^3/((w6-w3)*(w5-w3)*(w4-w3)); C=[C1;C2;C3;C4];%三次非均匀B样条基函数矩阵 Puwx=Vx(i,j)* B(i)*C(j);%控制顶点的x坐标与两个方向的基函数做乘积 Puwy=V y(i,j)* B(i)*C(j); Puwz=Vz(i,j)* B(i)*C(j); P_uwx=P_uwx+Puwx;%得到曲面的x坐表关于u,w的表达式（自由曲线曲面造型技术146页） P_uwy=P_uwy+Puwy;%得到曲面的y坐表关于u,w的表达式 P_uwz=P_uwz+Puwz;%得到曲面的z坐表关于u,w的表达式 end end
实验六 双三次Bezier 曲面 一、实验目的 根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。 二、实验任务（2学时） Bezier 曲面算法及其程序设计。 三、实验内容和实验步骤 1、算法描述 Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕 双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕 展开上式，有 代入得到： )()(),(m 0i ,,0,∑∑===v B u B P v u p n j m i n j j i 33 ,,3,3i 00(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ??????????????=??????????????????320,3321,3322,333,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ?=-+-+?=-+??=-+??=?320,3321,3322,333,3 ()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v v B v v ?=-+-+?=-+??=-+??=?0,00,10,20,31,01,11,21,3322,02,12,22,313313630(,)13300P P P P P P P P p u v u u u P P P P --????????-??????=????????-????32133136303300v v v ??--??????-?????????-????
课程名称：《计算机图形学》 论文题目：双三次Bezier曲面的绘制 教学部： 年级： 班级： 学号： 姓名：
摘 要：本文主要讨论了在VC++中使用OpenGL 绘制Bezier 、NURBS 等典型曲面的一般性方法和OpenGL 的特点及功能，OpenGL 可以与Visual C++紧密接口，便于实现机械手的有关计算和图形算法，可保证算法的正确性和可靠性 。 关键词：Bezier 曲面；OpenGL ；曲面绘制 一、设计概述 1．设计要求 1）掌握双三次Bezier 曲面定义： Bezier 曲面与 Bezier 曲线有相同的性质，Bezier 曲面片是由特征多面体的顶点决定的，利用两组正交的 Bezier 曲线逼近由控制点网格描述的曲面。给定（n+1）*（m+1）个点Pjk （i=0，1…n ；j=0，1，...m ），则可以生成一个n*m 次的Bezier 曲面片，其表示形式为 其中Pij 是Bezier 曲面片的特征多面体。当m=n=3时，特征多面体有16个顶点，其相应的Bezier 曲面片称为双三次Bezier 曲面片。 2）实现矩阵相关运算； 双三次Bezier 曲面片的矩阵表示为 其中 2．设计方案 ∑∑ ===m i n j n j m i j i Q v B u B p v u 00,,,)()(),([0,1] v)(u,∈T T b b Q V GM UM v u =),(????????? ???----=0001003303631331b M ????????????=44434241343332312423222114131211P P P P P P P P P P P P P P P P G []123u u u U =[]123v v v V =