实验六 双三次Bezier 曲面
一、实验目的
根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。
二、实验任务（2学时）
Bezier 曲面算法及其程序设计。
三、实验内容和实验步骤
1、算法描述
Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)：
（u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕
双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕
展开上式，有
代入得到：
)()(),(m 0i ,,0
,∑∑
===v B u B P v u p n j m i n j j i 33
,,3,3i 00
(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑
0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ??
????????????=?????????
?????????
320,3321,3322,333,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ?=-+-+?=-+??=-+??=?320,3321,3322,33
3,3()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v v B v v ?=-+-+?
=-+??=-+?
?=?0,00,10,20,31,0
1,11,2
1,33
2
1331363
0(,)1P P P P P P P P p u v u
u
u --?????
???-??????=????32
1331363
0v v ??
--??????-?????
令
则有： 生成曲面时可以通过先固定u, 变化v 得到一簇Bezier 曲线；然后固定v ，变化u 得到另一簇Bezier 曲线，两簇曲线交织生成Bezier 曲面。
2、要求：
根据给定的16个控制顶点：
P00(200,20,0),P01(150,0,100),P02(50,-130,100),P03(0,-250,50)； P10(150,100,100),P11(100,30,100),P12(50,-40,100),P13(0,-110,100)； P20(140,280,90),P21(80,110,120),P22(30,30,130),P23(-50,-100,150)； P30(150,350,30),P31(50,200,150),P32(0,50,200),P33(-70,0,100)； 使用斜等测投影绘制双三次Bizer 网格曲面。
3、程序实现步骤：（工程名:BezierCurve2）
步骤1：创建“BezierCurve2”工程文件；
步骤2：创建类class ：“ P2”及“P3”；注意：P2 为二维点，含有两个成员变量“x ，y”，P3含有三个成员变量“x ，y ，z”。单击右键-→“new class”-→选择类型“Generic Class”名称为“ P2”及“P3”，添加成员变量（添加至“class EACH_ENTRY { public:”之内）：
class P2 {
public: P2(); virtual ~P2(); double x; double y; };
class P3 {
321U u u u ??=??32
1V v v v ??=??1331363033001000be M --????-?
?=??-????0,00,10,20,31,01,11,21,32,02,12,22,33,0
3,13,23,3P P P P P P P P P P P P P P P P P ??????=??????(,)T T
be be p u v UM PM V
=
public:
P3();
virtual ~P3();
double x;
double y;
double z;
};
步骤3：包含头文件并定义顶点对象。
1）在“class CBezierCurve2View : public Cview……”之前添加代码“#include "P3.h"”及“#include "P2.h"”；
#include "P3.h"//包含三维坐标点类
#include "P2.h"//包含二维坐标点类
2）在“class CBezierCurve2View : public CView……”内添加代码：
P3 P3[4][4];//三维顶点
P2 P2[4][4];//二维顶点
步骤4：添加成员函数。
1）C m n的函数实现，定义成员函数，命名为Multiply_n。方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；
2）伯恩斯坦多项式B m,n(t)的函数实现，添加CBezierCurve2View::bernstein。方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；
步骤5：在OnDraw（）中添加代码：
注意：添加头文件
#include "math.h"//数学头文件
#define Round(d) int(floor(d+0.5))//四舍五入宏定义
上述两行代码添加至：类CBezierCurve2View的所有成员函数代码之前。
1）窗口坐标变换，设置客户区中心为原点
CBezierCurve2Doc* pDoc = GetDocument();
ASSERT_V ALID(pDoc);
// TODO: add draw code for native data here
CRect rect;//定义客户区矩形
GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y 轴垂直向上
pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
rect.OffsetRect(-rect.Width()/2,-rect.Height()/2);
2）初始化16个控制顶点
P3[0][0].x=20; P3[0][0].y=0; P3[0][0].z=200;//P00
P3[0][1].x=0; P3[0][1].y=100;P3[0][1].z=150;//P01
P3[0][2].x=-130;P3[0][2].y=100;P3[0][2].z=50; //P02
P3[0][3].x=-250;P3[0][3].y=50; P3[0][3].z=0; //P03
P3[1][0].x=100; P3[1][0].y=100;P3[1][0].z=150;//P10
P3[1][1].x=30; P3[1][1].y=100;P3[1][1].z=100;//p11
P3[1][2].x=-40; P3[1][2].y=100;P3[1][2].z=50; //p12
P3[1][3].x=-110;P3[1][3].y=100;P3[1][3].z=0; //p13
P3[2][0].x=280; P3[2][0].y=90; P3[2][0].z=140;//P20
P3[2][1].x=110; P3[2][1].y=120;P3[2][1].z=80; //P21
P3[2][2].x=30; P3[2][2].y=130;P3[2][2].z=30; //P22
P3[2][3].x=-100;P3[2][3].y=150;P3[2][3].z=-50;//P23
P3[3][0].x=350; P3[3][0].y=30; P3[3][0].z=150;//P30
P3[3][1].x=200; P3[3][1].y=150;P3[3][1].z=50; //P31
P3[3][2].x=50; P3[3][2].y=200;P3[3][2].z=0; //P32
P3[3][3].x=0; P3[3][3].y=100;P3[3][3].z=-70;//P33
3) 三维控制顶点投影（采用斜等测法）至二维点：
for(int i=0;i<4;i++)
for(int j=0;j<4;j++)
{
P2[i][j].x=P3[i][j].x-P3[i][j].z/sqrt(2);
P2[i][j].y=P3[i][j].y-P3[i][j].z/sqrt(2);
}
// 以上代码实现：从三维到二维的斜等测投影（参照教材P173：式6-42）
4）绘制控制多边形
CPen NewPen,*pOldPen;
NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
for(int i1=0;i1<4;i1++)
{
pDC->MoveTo(Round(P2[i1][0].x),Round(P2[i1][0].y));
for(int j1=1;j1<4;j1++)
pDC->LineTo(Round(P2[i1][j1].x),Round(P2[i1][j1].y));
}
for(int j2=0;j2<4;j2++)
{
pDC->MoveTo(Round(P2[0][j2].x),Round(P2[0][j2].y));
for(int i2=1;i2<4;i2++)
pDC->LineTo(Round(P2[i2][j2].x),Round(P2[i2][j2].y));
}
pDC->SelectObject(pOldPen);
NewPen.DeleteObject();
// 以上代码绘制控制多边形
5）控制顶点标注序号
CString str;
pDC->SetTextColor(RGB(0,0,255));
for(int i3=0;i3<4;i3++)
{
for(int j3=0;j3<4;j3++)
{
str.Format("P%d,%d",i3,j3);
pDC->TextOut(Round(P2[i3][j3].x+10),Round(P2[i3][j3].y+2),str);
}
}
// 以上代码实现“控制顶点标注序号”
6）“曲面”生成
CPen PenRed(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义红色笔
pDC->SelectObject(&PenRed);//选择红色笔绘制曲面
double dt1=0.01,dt2=0.01;
double x,y,u,v;
double BU03,BU13,BU23,BU33;
double BV03,BV13,BV23,BV33;//U，V两个方向，三次曲面，共8个基函数
for(u=0;u<=1;u=u+dt1)
for(v=0;v<=1;v=v+dt2)
//对每一个u，v从0~1循环1/dt2+1次后，
//生成一条由1/dt2+1个点用直线串起来的“曲线”
//u从0~1循环1/dt2+1次后，生成1/dt1+1条“曲线”
{
BU03 = bernstein(0,3,u);//计算B0,3（u）
BV03 = bernstein(0,3,v);//计算B0,3（v）
BU13 = bernstein(1,3,u);//计算B1,3（u）
BV13 = bernstein(1,3,v);//计算B1,3（v）
BU23 = bernstein(2,3,u);//计算B2,3（u）
BV23 = bernstein(2,3,v);//计算B2,3（v）
BU33 = bernstein(3,3,u);//计算B3,3（u）
BV33 = bernstein(3,3,v);//计算B3,3（v）
//严格按照教材P201页，式7-21，为了简单起见，没有使用复杂的循环
x=(BU03*P2[0][0].x+BU13*P2[1][0].x+BU23*P2[2][0].x+BU33*P2[3][0].x)*BV03+ (BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].x+BU23*P2[2][1].x+BU33*P2[3][1].x)*BV13+ (BU03*P2[0][2].x+BU13*P2[1][2].x+BU23*P2[2][2].x+BU33*P2[3][2].x)*BV23+
竖曲线练习题 1、设在桩号K2 ＋600 处设一竖曲线变坡点，高程m . i1 =1%, i2 = －2%,竖曲线半径3500 m试计算竖曲线个点高程（20m整桩即能被20整除的桩号） 解：ω= i2 －i1 = -2% －1% = -3% 为凸曲线。 曲线长L = Rω= 3500× = 105 m . 切线长T = L/2 = 105÷2 = m 竖曲线起点桩号= (K2 ＋600 ) －= K2 ＋ 竖曲线终点桩号= ( K2 ＋600) ＋= K2 ＋ 竖曲线起点高程= －× = m 竖曲线终点高程= －× = m 各20 m整桩 K2＋560 X1 = （K2 + 560）－( K2 + = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: －[(K2 + 600) －(K2 + 560)] X = m 设计高程－= m K2＋580 X1 = （K2 + 580）－( K2 + = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: －((K2 + 600) －(K2 + 580)) X = m 设计高程－= m K2＋600 X1 = T =（K2 + 6000）－( K2 + = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: m 设计高程－= m K2＋620 X1 = （K2 + ）－( K2 +620) = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: －((K2 + 620) －(K2 + 600)) X = 设计高程－= 9m K2＋640 X1 = （K2 + ）－( K2 +640) = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: －[(K2 + 640 －(K2 + 600)] X = m 长度不小于500 m 。试确定竖曲线最小半径值并计算K1 ＋800 、K1 ＋840、K1 ＋860 设计高程。 解：ω= i2 －i1 = % －（－）% = 4% 为凹曲线。
4.3 某条道路变坡点桩号为K25+460.00，高程为780.72.m，i1＝0.8％，i2＝5％，竖曲线半径为5000m。（1）判断凸、凹性；（2）计算竖曲线要素；（3）计算竖曲线起点、K25+400.00、K25+460.00、K25+500.00、终点的设计高程。 解：ω＝i2-i1＝5％－0.8％＝4.2％凹曲线 L＝R?ω＝5000×4.2％＝210.00 m T＝L/2＝105.00 m E=T2/2R＝1.10 m 竖曲线起点桩号：K25+460－T＝K25+355.00 设计高程：780.72－105×0.8％＝779.88 m K25+400： 横距：x＝（K25+400）－（K25+355.00）＝45m 竖距：h＝x2/2R＝0.20 m 切线高程：779.88+45×0.8％＝780.2 m 设计高程：780.24+0.20＝780.44 m K25+460：变坡点处 设计高程=变坡点高程+E=780.72+1.10＝781.82 m 竖曲线终点桩号：K25+460＋T＝K25+565 设计高程：780.72+105×5％＝785.97 m K25+500：两种方法 1、从竖曲线起点开始计算 横距：x＝（K25+500）－（K25+355.00）＝145m 竖距：h＝x2/2R＝2.10 m 切线高程（从竖曲线起点越过变坡点向前延伸）：779.88+145×0.8%=781.04m 设计高程：781.04+2.10＝783.14 m 2、从竖曲线终点开始计算 横距：x＝（K25+565）－（K25+500）＝65m 竖距：h＝x2/2R＝0.42 m 切线高程 （从竖曲线终点反向计算）：785.97-65×5%=782.72m 或从变坡点计算：780.72+（105-65）×5%=782.72m 设计高程：782.72+0.42＝783.14 m
例7.2.1试用最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，做出拟合曲线。 (1)做散点图 x=[-2.5,-1.7,-1.1,-0.8,0,0.1,1.5,2.7,3.6]; y=[-192.9,-85.50,-36.15,-26.52,-9.10,-8.43,-13.12,6.50,68.04]; plot(x,y,'r*') legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'),ylabel('y') title('例7.2.1的数据点(xi,yi)的散点图') 2.CFTOOL工具箱使用 Shift+enter:换行输入 Gaussian：高斯曲线 Interpolant：最小二乘法差值 Polynomial：多项式 3.y1=polyfit(x,y,3) 拟合多项式的阶数为3 4.matlab绘制三维曲面图已知曲线关系方程 以二元函数图z = xexp(-x^2-y^2) 为例讲解基本操作， （1）首先需要利用meshgrid函数生成X-Y平面的网格数据，如下所示： % 生成二维网格数据 xa = [-2,0.2,2]; ya =[-1,0.15,1.5]; [x,y] = meshgrid(xa,ya); （2）此外，需要计算纵轴数据(z轴），如下所示： % calculate z data z = x.*exp(-x.^2 - y.^2); （3）在计算出(x,y,z)数据后，就可以使用三维绘图函数mesh绘制三维曲面图，如下所示：mesh(x,y,z); 4（2）、另一种方法： [x,y] = meshgrid(-2:0.2:2,-1:0.15:1.5); z = x.*exp(-x.^2 - y.^2); mesh(x,y,z); 5.由三组散点图绘制曲面（网格划分） xyz=[40 2 1.4 40 5 2.5 40 7 1.4 40 9 0.9 70 8 5.6 ]; tri = delaunay(xyz(:,1), xyz(:,2));
1． 道路中线一转折处A ，转折角0 60=α，其旁有一重要建筑物，基础尺寸为m m 85?. 外边缘距A 点最短距离为25m,欲保留该建筑物，已知该路的设计车速为40h km /，道路宽度为24m,路拱横坡为2%，1.0=μ，问该弯道的可能最小半径值？ 解：（1）按地形地物控制计算平曲线半径 )(422 24 525min m E =+ += 根据公式 )(7.2721 30sec 42 1 2 sec 0max min m E R =-= -= α 地形 取 )(300m R = （2）按满足设计车速、行车舒适和经济要求计算 根据公式 )(160) 02.01.0(1271600)(1272min m i V R =-?=-=μ 因为地形地物条件许可，且min min R R ≥地形，所以取 )(300m R = 该弯道的可能最小半径为300m 2． 某二级汽车专用公路上有一变坡点，桩号为,20010+k 切线标高为120.28m,两相邻路段 的纵坡为m R i i 5000%,3%,521=-==凸，试设计该变坡处的竖曲线。 解：（1）竖曲线长度 )(400m R L ==ω 切线长度 )(2002 m L T == 外距 )(422 m R T E == （2）求竖曲线的起点的终点桩号 起点桩号 0001020020010+=-+K K 终点桩号 4001020020010+=++K K （3）求各桩号的设计标高 竖曲线起点00010+K 切线标高 )(28.11005.020028.120m =?- 设计标高 )(28.110m 处10010+K 至起点距离 x =10100-10000=100m
竖曲线自动计算表格 篇一：Excel竖曲线计算 利用Excel表格进行全线线路竖曲线的统一计算 高速公路纵断面线型比较复杂，竖曲线数量比较多。由于相当多的竖曲线分段造成了设计高程计算的相对困难，为了方便直接根据里程桩号计算设计高程，遂编制此计算程序。程序原理： 1、根据设计图建立竖曲线参数库； 2、根据输入里程智能判断该里程位于何段竖曲线上； 3、根据得到的竖曲线分段标志调取该分段的曲线参数到计算表格中； 4、把各曲线参数带入公式进行竖曲线高程的计算； 5、对程序进<0 = J=0; M-P=0 = J=1 B: K<=D =B=-M ; KD = B=P 程序特色： 1、可以无限添加竖曲线，竖曲线数据库不限制竖曲线条数； 2、直接输入里程就可以计算设计高程，不需考虑该里程所处的竖曲线分段；
3、对计算公式进行保护，表格中不显示公式，不会导致公式被错误修改或恶意编辑。 程序的具体编制步骤： 1、新建Excel工作薄，对第一第二工作表重新命名为“参数库”和“计算程序”，根据设计图建立本标段线路竖曲线的参数库，需要以下条目： （1）、竖曲线编号； （2）、竖曲线的前后坡度（I1、I2）不需要把坡度转换为小数； （3）、竖曲线半径、切线长（不需要考虑是凸型或凹型）；（4）、竖曲线交点里程、交点高程； （5）、竖曲线起点里程、终点里程（终点里程不是必要参数，只作为复核检测用）；如图1所示： 图1 2、进行计算准备： （1）、根据输入里程判断该里程所处的曲线编号： 需要使用lookup函数，函数公式为“LOOKUP(A2,参数库!H3:H25,参数库!A3:A25)”。如图2所示： 里程为K15+631的桩号位于第11个编号的竖曲线处，可以参照图1 进行对照 （2）、在工作表“程序计算”中对应“参数库”相应的格式建立表格
计算题 1. 某城市道路相邻两段纵坡分别为1i =-3%，2i =2%，变坡点里K1+150,变坡点高程200.53m ，要使变坡点处得设计高程不小于201.80，则该竖曲线半径最小为多少（取到千米整数倍） 解：ω=2i -1i =2%-（-3%）=5% E+200.53≥201.80 ∴221+200.53201.808 R i -≥（i ），R ≥4064 取R=5000m 2. 城市道路相邻变坡分别为1i =3%，2i =-2%，变坡点里程为K1+150，变坡点高程为200.53m ，该竖曲线半径为5000m 。 （1） 计算竖曲线坡差ω并判断其竖曲线类型，计算竖曲线长，切线长，竖曲线外距 （2） 求竖曲线起点、终点桩号 （3） 计算K1+130桩号设计高程 解：(1)ω=2i -1i =-2%-3%=-5% L=R ω=5000×5%=250m T=L/2=250/2=125m E= 2 2T R =1.56m (2)QD=(K1+150)-125=K1+025.00 ZD=(K1+150)+125=K1+275.00 (3)K1+130装号设计标高：用变坡点里程为K1+150，故该桩号在变坡点前x=125-20=105m ，又因为切线长为125m,故该桩号在竖曲线起点和终点范围内， 2 2x y R ==1.10m ，H 切=200.53-20×3%=199.93m ，H 求=H 切-y=199.93-1.10=198.83m 3.某路线平面部分设计资料如下： JD1=K0+819.562 JD2=K1+270.427 ZH1=K0+619.150 ZH2=K1+095.155 HY1=K0+734.150 YH1=K0+849.351 HZ1=K0+964.351 （1） 试计算弯道1的切线长，曲线长，缓和曲线长及曲线中点桩号 （2） 试计算交点1和交点2间距 （3） 若交点1与交点2的曲线是属于反向曲线，且该道路设计速度v=80km/h ，曲线 1和曲线2之间的直线长度，该曲线间的直线长度是否满足直线最小长度的要求，为什么？ 解：（1）切线长l 切=200.412m 曲线长l 曲=345.201m 缓和曲线长l 缓=115m QZ1=K0+791.751m
%%%%%%%%%%三次非均匀B样条曲面的绘制 clc clf clear A=input('请输入控制点：')%16个控制顶点要求以列向量表示点的坐标[2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5;2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5;1 2 3 1 3 4 6 2 7 5 6 2 9 1 3 4]; n=input('请输入所需绘制B样条曲线的次数：'); Vx=[A(1,1:4);A(1,5:8);A(1,9:12);A(1,13:16)];%将控制顶点的x坐标放到维数为4的方阵中 V y=[A(2,1:4);A(2,5:8);A(2,9:12);A(2,13:16)];%将控制顶点的y坐标放到维数为4的方阵中Vz=[A(3,1:4);A(3,5:8);A(3,9:12);A(3,13:16)];%将控制顶点的z坐标放到维数为4的方阵中plot3(A(1,:),A(2,:),A(3,:),'o');%输出控制顶点 hold on syms u syms w P_uwx=[0]; P_uwy=[0]; P_uwz=[0]; for i=1:1:4; for j=1:1:4 u0=0;u1=0;u2=0;u3=0;u4=1;u5=1;u6=1;u7=1;%给定4个控制顶点所取的节点矢量 B1=(u4-u3-u)^3/((u4-u3)*(u4-u2)*(u4-u1)); B2=((u3-u1+u)*(u4-u3-u)^2)/((u4-u3)*(u4-u2)*(u4-u1))+((u5-u3-u)*(u4-u3-u)*(u3-u2+u))/((u5-u 2)*(u4-u3)*(u4-u2))+((u5-u3-u)^2*u)/((u5-u3)*(u5-u2)*(u4-u2)); B3=((u4-u3-u)*(u3-u2+u)^2)/((u5-u2)*(u4-u3)*(u4-u2))+((u5-u3-u)*u*(u3-u2+u))/((u5-u3)*(u5-u2)*(u4-u3))+((u6-u3-u)*u^2)/((u6-u3)*(u5-u3)*(u4-u3)); B4=u^3/((u6-u3)*(u5-u3)*(u4-u3)); B=[B1;B2;B3;B4];%三次非均匀B样条基函数矩阵（自由曲线曲面造型技术139页） w0=0;w1=0;w2=0;w3=0;w4=1;w5=1;w6=1;w7=1;%给定4个控制顶点所取的节点矢量 C1=(w4-w3-w)^3/((w4-w3)*(w4-w2)*(w4-w1)); C2=((w3-w1+w)*(w4-w3-w)^2)/((w4-w3)*(w4-w2)*(w4-w1))+((w5-w3-w)*(w4-w3-w)*(w3-w2 +w))/((w5-w2)*(w4-w3)*(w4-w2))+((w5-w3-w)^2*w)/((w5-w3)*(w5-w2)*(w4-w2)); C3=((w4-w3-w)*(w3-w2+w)^2)/((w5-w2)*(w4-w3)*(w4-w2))+((w5-w3-w)*w*(w3-w2+w))/((w 5-w3)*(w5-w2)*(w4-w3))+((w6-w3-w)*w^2)/((w6-w3)*(w5-w3)*(w4-w3)); C4=w^3/((w6-w3)*(w5-w3)*(w4-w3)); C=[C1;C2;C3;C4];%三次非均匀B样条基函数矩阵 Puwx=Vx(i,j)* B(i)*C(j);%控制顶点的x坐标与两个方向的基函数做乘积 Puwy=V y(i,j)* B(i)*C(j); Puwz=Vz(i,j)* B(i)*C(j); P_uwx=P_uwx+Puwx;%得到曲面的x坐表关于u,w的表达式（自由曲线曲面造型技术146页） P_uwy=P_uwy+Puwy;%得到曲面的y坐表关于u,w的表达式 P_uwz=P_uwz+Puwz;%得到曲面的z坐表关于u,w的表达式 end end
首先，我是一个软件菜鸟，对于纬地道路也是听说了很久却不会用，待到真要使用的时候按照网上搜来的步骤总是运行不下去，苦苦钻研几天，也询问了一些同学，好在最终可以完成路线的平、纵、横断面布置及相关图表的输出。先将成果分析给有需求的人，赠人玫瑰，手留余香~ 纬地道路详细步骤： 1、首先在目的硬盘新建一个文件夹，按喜好为文件夹命名，比如说abc。 2、打开纬地系统，点击左上角“项目”→新建项目，在弹出的对话框填写新建项目名称abc，点击浏览为项目文件指定存放路径，找到所建文件夹abc的位置，并为新建项目文件命名，这里为abc.prj，点击确定，完成项目新建。 3、打开电子图（CAD .dwg文件类型）。 4、搞清楚各个图层的状态需要进行什么约束{（等高线╱约束线）、（地形点╱地形点的）}。 5、然后关闭图形，不进行修改 6、数模→数模组管理→新建数模→确定→关闭。 7、数模→三维数据读入→DWG 或 DXF 格式→找到刚打开的电子图读入将等高线设为约束线→地形点设为地形点→点击开始读入。 8、①数模→三角构网②数模→网格显示→显示所有网格→确定。 9、数模→数模组管理，弹出的对话框中选中显示的数模文件，点击保存数模，指定路径并命名为abc，文件后缀为（.dtm）→再次选中对话框中的文件，点击保存数模组，生成并保存.gtm文件，路径保持默认，即为文件夹abc，最后一次选中对话框中的文件，点击打开数模→关闭
10、打开地形图，设计→主线平面设计→找到自己要设计的路线起点→点击后→点插入→是→对除起终点之外的其他交点进行“拖动R”来设置平曲线→计算绘图→点存盘→是，得到“.jd”文件，并根据提示将交点文件自动转化为“.pm”文件。 11、项目→设计向导→下一步（多次重复下一步）自动计算超高加宽→完成（根据提示自动建立：路幅宽度变化数据文件（*.wid）、超高过渡数据文件（*.sup）、设计参数控制文件（*.ctr）、桩号序列文件（*.sta)等数据文件。 12、数模-→数模应用→纵断面插值，弹出对话框，勾选插值控制选项，点击开始插值，生成纵断面地面线文件（*.dmx）以及地面高程文件(*.zmx)。 13、数模-→数模应用→横断面插值，弹出对话框，选取绘制三维地面线及输出组数（其他默认），点击开始插值，生成横断面地面线文件(*.hdm)。） 14、CAD 新建→选择最后一个文件夹→打开→打开acadiso. 文件（样板文件）。 15、设计→纵断面设计→计算显示→确定。 16、设计→纵断面设计→选点（此时可以打开cad的栅格显示，在最下边）→在图上选第一个高程点点（左边端点起），再接着点击插入，插入几个变坡点，最后一个右边端点→点击实时修改对纵坡顶修改（将竖曲线调整到合理）→存盘→计算显示→删除纵断面图。 17、设计→路基设计计算→点击“... ”→保存→搜索全线→确定→计算 18、设计→横断面设绘图→选中土方数据文件→点击“... ”→保存→绘图控制→（选中记录三维数据、插入图框、绘出路槽图）→计算绘图→保存，在CAD合适位置完成横断面设计图的输出。 19、点击“表格“按需要输出各种表格。
Matlab 曲面插值和拟合数值求导 Q：v=[ ]；t=0:0.05:4;如 何求出dv/dt;是要先拟合出曲线在求导函数吗？ A：数值计算有误差的.简单可以那么做 diff(v)./diff(t) 拟合最好了.用cftool工具做做看呢 用polyfit拟合也可以 插值和拟合都是数据优化的一种方法，当实验数据不够多时经常需要用到这种方法来画图。在matlab中都有特定的函数来完成这些功能。这两种方法的确别在于： 当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值； 当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。 插值： 对于一维曲线的插值，一般用到的函数yi=interp1(X,Y,xi,method)，其中method包括nearst，linear，spline，cubic。 对于二维曲面的插值，一般用到的函数zi=interp2(X,Y,Z,xi,yi,method)，其中method也和上面一样，常用的是cubic。 拟合： 对于一维曲线的拟合，一般用到的函数p=polyfit(x,y,n)和 yi=polyval(p,xi)，这个是最常用的最小二乘法的拟合方法。 对于二维曲面的拟合，有很多方法可以实现，但是我这里自己用的是Spline Toolbox里面的函数功能。具体使用方法可以看后面的例子。 对于一维曲线的插值和拟合相对比较简单，这里就不多说了，对于二维曲面的插值和拟合还是比较有意思的，而且正好胖子有些数据想让我帮忙处理一下，就这个机会好好把二维曲面的插值和拟合总结归纳一下，下面给出实例和讲解。 原始数据 x=[1:1:15]; y=[1:1:5];
z=[0.2 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 0.25 0.26 0.26 0.29 0.25 0.29; 0.27 0.31 0.3 0.3 0.26 0.28 0.29 0.26 0.26 0.26 0.26 0.29; 0.41 0.41 0.37 0.37 0.38 0.35 0.34 0.35 0.35 0.34 0.35 0.35; 0.41 0.42 0.42 0.41 0.4 0.39 0.39 0.38 0.36 0.36 0.36 0.36; 0.3 0.36 0.4 0.43 0.45 0.45 0.51 0.42 0.4 0.37 0.37 0.37]; z是一个5乘12的矩阵。 直接用原始数据画图如下： surf(x,y,z) title(’Original data Plot’); xlabel(’X'), ylabel(’Y'), zlabel(’Z'), colormap, colorbar; axis([0 15 0 6 0.15 0.55])
竖曲线计算 竖曲线定义：纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段曲线缓和，这条连接两个纵坡线的曲线称为竖曲线。 竖曲线作用： 1)以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点处冲击， 2)确保道路纵向行车视距； 3)将竖曲线与平曲线恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导以及舒适感。 变坡点：在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点。 竖曲线分类：竖曲线常采用圆曲线，可以分为凸形和凹形两种。 凹凸竖曲线判断：如上图，当前坡段坡度大于后坡段坡度时为凸型曲线；当前坡段坡度小于后坡段坡度时为凹曲线；坡度：通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度。（注：判断是凹凸竖曲线时，坡度含正负号，例如，前坡段坡度为－2.3%，后坡段坡度为－1.4%，因为－2.3%<－1.4%，故此竖曲线为凹形竖曲线，我们习惯把上坡段用“＋”表示，下坡段用“－”表示） 道路纵断面线形常采用直线、竖曲线两种 线形，二者是纵断面线形的基本要素。竖曲线 技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。凸 形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半 径以保证安全行车的需要。凹形的竖曲线，视 距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽 车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制 离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。 竖曲线基本要素： 竖曲线长:L 切线长：T 外距：E 半径：R 竖曲线起终点桩号计算： 竖曲线起点桩号：变坡点桩号－T
竖曲线终点桩号：变坡点桩号＋T 如右图所示，两个相邻的纵坡为i1和i2,竖曲线半径为R,则测设元素为： 曲线长L=R ×α 由于竖曲线的转角α很小，故可以认为： α=i1-i2；所以L=R （i1-i2） 切线长T=Rtan 2 α 因为α很小，tan 2α=2α；所以可以推出： T=R ·2α=2L =21R （i1-i2） 又因为α很小，可以认为：ＤＦ=Ｅ；ＡＦ=Ｔ 根据三角形ＡＣＯ与三角形ＡＣＦ相似，根据相似三角形“边角边”定理得出： Ｒ：Ｔ=Ｔ：２Ｅ； 于是如上图外距Ｅ＝R T 22 , 同理可导出竖曲线上任意一点Ｐ距切线纵距的计算公式：y ＝R x 22 式中：x —竖曲线上任意一点P 到竖曲线起点或终点的水平距离 Y —值在凹形竖曲线中为正号，在凸形竖曲线中为负号。 故竖曲线中任意一点的高程： Ｈ＝O H ±x ·i R x 22 式中：O H —竖曲线起点或终点的高程(O H =变坡点的高程±T ·i ,) i —纵坡的坡度 x —竖曲线上任意一点P 到竖曲线起点或终点的水平距离 例题：竖曲线半径R=3000m,相邻坡段坡度为i1=+3.1%,i2=+1.1%,变坡点桩号为K16+770，其高程为396.67m ，若曲线上每10米设置一个桩，计算竖曲线上整10m 桩点的高程。 解：（1）计算竖曲线测设元素 根据如上公式：L =R ×α= R （i1-i2）=3000×(3.1%-1.1%)=60m T=2L =2 60=30m ；E=R T 22=30002302 =0.15 （2）计算竖曲线起、终点桩号和高程
实验六 双三次Bezier 曲面 一、实验目的 根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。 二、实验任务（2学时） Bezier 曲面算法及其程序设计。 三、实验内容和实验步骤 1、算法描述 Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕 双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕 展开上式，有 代入得到： )()(),(m 0i ,,0,∑∑===v B u B P v u p n j m i n j j i 33 ,,3,3i 00(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ??????????????=??????????????????320,3321,3322,333,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ?=-+-+?=-+??=-+??=?320,3321,3322,333,3 ()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v v B v v ?=-+-+?=-+??=-+??=?0,00,10,20,31,01,11,21,3322,02,12,22,313313630(,)13300P P P P P P P P p u v u u u P P P P --????????-??????=????????-????32133136303300v v v ??--??????-?????????-????
第二节 竖曲线设计 纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。 竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。 纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。 一、竖曲线 如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i 1 和i 2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i 1-i 2 ，其中i 1、i 2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。 当 i 1- i 2为正值时，则为凸形竖曲线。当 i 1 - i 2 为负值时，则为凹形竖曲线。 （一）竖曲线基本方程式 我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。其基本方程为： Py x 22= 若取抛物线参数P 为竖曲线的半径 R ，则有： Ry x 22 = R x y 22= （二）竖曲线要素计算公式 竖曲线计算图示 1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得： ==PQ h )()(2112 li y l x R y y A A q p ---=-R l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω
3、竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 = 2 ω R 4、竖曲线的外距： E =R T 22 ⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：R x y 22 = 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ； R —为竖曲线的半径，m 。 二、竖曲线的最小半径 (一)竖曲线最小半径的确定 1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素 （1）缓和冲击 汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。 （2）经行时间不宜过短 当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。因此，汽车在凸形竖曲线上行驶的时间不能太短，通常控制汽车在凸形竖曲线上行驶时间不得小于3秒钟。 （3）满足视距的要求 汽车行驶在凸形竖曲线上，如果竖曲线半径太小，会阻挡司机的视线。为了行车安全，对凸形竖曲线的最小半径和最小长度应加以限制。 2.凹形竖曲线极限最小半径确定考虑因素 （1）缓和冲击： 在凹形竖曲线上行驶重量增大；半径越小，离心力越大；当重量变化程度达到一定时，就会影响到旅客的舒适性，同时也会影响到汽车的悬挂系统。 （2）前灯照射距离要求 对地形起伏较大地区的路段，在夜间行车时，若半径过小，前灯照射距离过短，影响行车安 全和速度；在高速公路及城市道路上有许多跨线桥、门式交通标志及广告宣传牌等，如果它们正好处在凹形竖曲线上方，也会影响驾驶员的视线。 （3）跨线桥下视距要求 为保证汽车穿过跨线桥时有足够的视距，汽车行驶在凹形竖曲线上时，应对竖曲线最小半径加以限制。
曲线拟合方法概述 工业设计 张静 1014201056 引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。 1 曲线拟合的概念 在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。 曲线拟合(Curve Fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对(x i ,y i )，i =1，2，3…，m ，其中各x i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表 达式y =f(x)来反映量x 与y 之间的依赖关系。即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。 2 曲线拟合的方法 2.1最小二乘法 最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即： δ=∑-=n i y x f i i 02) )(( 对上式求导，使其等于0，则可以求出f(x)的系数a,b,c ，从而求解出拟合函数。 2.2 移动最小二乘法 移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概
课程名称：《计算机图形学》 论文题目：双三次Bezier曲面的绘制 教学部： 年级： 班级： 学号： 姓名：
摘 要：本文主要讨论了在VC++中使用OpenGL 绘制Bezier 、NURBS 等典型曲面的一般性方法和OpenGL 的特点及功能，OpenGL 可以与Visual C++紧密接口，便于实现机械手的有关计算和图形算法，可保证算法的正确性和可靠性 。 关键词：Bezier 曲面；OpenGL ；曲面绘制 一、设计概述 1．设计要求 1）掌握双三次Bezier 曲面定义： Bezier 曲面与 Bezier 曲线有相同的性质，Bezier 曲面片是由特征多面体的顶点决定的，利用两组正交的 Bezier 曲线逼近由控制点网格描述的曲面。给定（n+1）*（m+1）个点Pjk （i=0，1…n ；j=0，1，...m ），则可以生成一个n*m 次的Bezier 曲面片，其表示形式为 其中Pij 是Bezier 曲面片的特征多面体。当m=n=3时，特征多面体有16个顶点，其相应的Bezier 曲面片称为双三次Bezier 曲面片。 2）实现矩阵相关运算； 双三次Bezier 曲面片的矩阵表示为 其中 2．设计方案 ∑∑ ===m i n j n j m i j i Q v B u B p v u 00,,,)()(),([0,1] v)(u,∈T T b b Q V GM UM v u =),(????????? ???----=0001003303631331b M ????????????=44434241343332312423222114131211P P P P P P P P P P P P P P P P G []123u u u U =[]123v v v V =
第三节竖曲线 纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。可采用抛物线或圆曲线。 一、竖曲线要素的计算公式 相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1 ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。 1.二次抛物线基本方程：
或 ω：坡度差（%）； L：竖曲线长度； R：竖曲线半径 2.竖曲线诸要素计算公式
竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小） L=Rω 竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2 竖曲线上任一点竖距h： 竖曲线外距： 二、竖曲线最小半径（三个因素） 1.缓和冲击对离心加速度加以控制。 ν(m/s) 根据经验，a=0.5~0.7m/s2比较合适。我国取a=0.278,则Rmin=V2/3.6 或 Lmin=V2ω/3.6 2.行驶时间不过短 3s的行程 Lmin=V.t/3.6=V/1.2 3.满足视距的要求
分别对凸凹曲线计算。 (一)凸形竖曲线最小半径和最小长度 按视距满足要求计算 1.当L 2) L≥ST L 第 3 章 一、填空题 1 ．在公路路线纵断面图上，有两条主要的线：一条是 _____ ；另一条是 _____ 。 2 ．纵断面设计就是根据汽车的 _____ 、 _____ 、 _____ 和 _____ ，以及当地气候、地形、地物、地质、水文、土质条件、排水要求、工程量等来研究这条空间线形的纵坡布置。 3 ．纵断面的设计线是由 _____ 和 _____ 组成的。 4 ．纵坡度表征匀坡路段纵坡度的大小，它是以路线 _____ 和 _____ 之比的百分数来量度的，即 i= 和 h/l （％）。 5 ．理想的纵坡应当 _____ 平缓，各种车辆都能最大限度地以接近 _____ 速度行驶。 6 ．最大纵坡的确定主要根据汽车的 _____ 、 _____ 、 _____ ，并要保证 _____ 。 7 ．最小坡长通常以计算行车速度行驶 _____ 的行程来作规定。 8 ．设置爬坡车道的目的主要是为了提高高速公路和一级公路的 _____ ，以免影响 _____ 的车辆行驶。 9 ．纵断面线型的布置包括 _____ 的控制， _____ 和 _____ 的决定。 10 ．纵断面图上设计标高指的是 _____ 的设计标高。 11 ．转坡点是相邻纵坡设计线的 _____ ，两转坡点之间的水平距离称为 _____ 。 12 ．调整纵坡线的方法有抬高、降低、 _____ 、 _____ 纵坡线和 _____ 、 _____ 纵坡度等。 13 ．凸形竖曲线的最小长度和半径主要根据 _____ 和 _____ 来选取其中较大者。 14 ．凹形竖曲线的最小长度和半径主要根据 _____ 和 _____ 来选取其中较大者。 15 ．纵断面设计图反映路线所经中心 _____ 和 _____ 之间的关系。 16 ．竖曲线范围内的设计标高必须改正，按公式 h= l 2 /2R 只计算， l 代表距 _____ 的距离，竖曲线上任一点 l 值在转坡点前从竖曲线 _____ 标起，在转坡点后从竖曲线 _____ 标起。 17 ．凸形竖曲线的标高改正值为 _____ ，凹形竖曲线为 _____ ， _____ ；设计标高：未设竖曲线的标高 _____ 。 竖曲线高程计算公式推导及计算流程 1. 竖曲线介绍 竖曲线是指在纵断面内，两个坡线之间为了延长行车视距或者减小行车的 冲击力，而设计的一段曲线。一般可以用圆曲线和抛物线来充当竖曲线。由于圆曲线的计算量较大，所以，通常采用抛物线作为竖曲线，以减少计算量。 2. 竖曲线高程计算流程 竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下： a. 计算竖曲线的基本要素：竖曲线长L ；切线长T ；外失距E b. 计算竖曲线起终点的桩号：竖曲线起点的桩号=变坡点的桩号－T c. 计算竖曲线上任意点切线标高及改正值： 切线标高=变坡点的标高±（x T -）?i 改正值：2 21x R y = d. 计算竖曲线上任意点设计标高 某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高+ y 某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－y 3. 竖曲线高程计算公式推导 已知条件： 第一条直线的坡度为1i ，下坡为负值， 第一条直线的坡度为2i ，上坡为正值， 变坡点的里程为K ，高程为H ， 竖曲线的切线长为B A T T T ==, 待求点的里程为X K 曲线半径R 竖曲线特点： 抛物线的对称轴始终保持竖直，即：X 轴沿水平方向，Y 轴沿竖直方向，从而保证了X 代表平距，Y 代表高程。 抛物线与相邻两条坡度线相切，抛物线变坡点两侧一般不对称，但两切线长相等。 竖曲线高程改正数计算公式推导 设抛物线方程为： ()021≠++=a c bx ax y 设直线方程为： ()02≠+=k b kx y 由图可知，抛物线与直线都经过坐标系222Y O X 的原点2O ,所以可得： 00==b c ； 分别对21y y 、求导可得： b ax y +=2'1 k y ='2 当0=x 时，由图可得： b i y ==1'1 k i y ==1'2 当L x =时，由图可得： 第二章线路纵断面测量设计 第一节基平测量与中平测量 线路的纵断面测量设计就是把线路的各点中桩的高程测量出来，并绘制到一定比例尺的图上进行纵断面的拉坡设计、竖曲线设计、设计高程计算等。 一、基平测量 当线路较长时，为保证测量中桩各点高程的准确性，通常需要把已知的高程点引测到整条线路的附近，每隔一定的距离引测一点，作为线路的基平点。在此点附近的线路中桩高程都可以用此点作为基础高程进行测量。这个引测得过程就称为基平测量。如下图： 图2-1 实线为线路中心线，虚线为水准仪测量的路线。 BM0为已知水准高程点，BM1、BM2、……为线路基本点。 1、2、3、……为水准仪的测站点。 L1、L2、L3、……为高程传递点。 注意事项： 1、水准仪在摆站时要注意整平，点位尽量落在与前视后视距离相近的位置，确保消除仪器的内部误差。 2、瞄准后视读数后，立即转向瞄准前视，这时还必须保持整平状态，若此时精平水准泡错开，则瞄准前视后，还必须在此状态下进行精平，然后再读数。 3、为确保测量的准确性，要求往返测量，精度在普通测量学的要求以内，读数方可使用。也可以用双面尺的方法进行校核，在测量中尽量每站进行校核。 4、基平测量的数据应进行平差处理后方可使用。具体平差方法见普通测量知识。 5、测量时，水准尺应该垂直，读数时应首先消除视差，司仪者读中丝卡位的最小数据，以保证读数最准确。 6、立尺的测量员必须保证尺的底端不带泥土，用塔尺时要注意尺间不脱节。 二、中平测量 中平测量就是在基平测量的基础上，基平时引测的高程点作为基准高程，用水准仪测出每个中桩的地面高程，又称中桩抄平。 图2-2 三、记录 记录时应该注意的是要保证填写准确，判断哪些是前视，哪些是中视，哪些是后视。传递高程的点应该既有前视也有后视，只有中视的点没有传递高程。 例题：按下图填写表格，并计算高程，1点高程100.00。 1.352 1.124 1.420 1.893 0.432 0.473 0.765 1.732 1.676 0.02 1.798 1.823 图2-3 测点后视中视前视高程备注 1 1.35 2 100 2 1.124 100.228 3 0.765 1.420 99.932 4 0.02 1.732 98.965 5 1.798 97.187 6 1.823 97.162 7 1.893 1.676 99.021 以3点为后 缓和曲线逐桩坐标计算（转载） 摘要：利用一缓和曲线算例，通过数学分析，推导出缓和曲线逐桩坐标计算公式，此公式可作为道路测设中的范例来运用，有很强的指导意义。 关键词：缓和曲线、公式、逐桩坐标 一、引言 道路建设中，由于受地形或地质影响，经常需要改变线路方向，为满足行车要求，往往要用曲线把两条直线连接起来。曲线的构成形式无外乎圆曲线和缓和曲线，本文以河北省沿海高速某曲线段为例推导出缓和曲线的逐桩坐标计算公式，以方便图纸的审核，满足施工放样的需求。本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作为道路测设中的范例运用。 二、公式推导 1 、实例数据 河北省沿海高速公路一缓和曲线（如图）：AB 段为缓和曲线段，A 为ZH 点，B 为HY 点，R B=800m ；A 点里程为NK0+080 ，切线方位角为θA=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐标为X A=4355189.493,Y A=476976.267 ；B 点里程为NK0+158.125 ，切线方位角为θB=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐标为X B=4355174.669 ，Y B=477052.964 ，推求此曲线段内任意点坐标。 2 、公式推导及实例计算 方法一：弦线偏角法 1 ）公式推导 由坐标增量的计算方法我们不难理解，求一点坐标可以根据其所在直线的方位角以及直线上另一点的坐标和距待求点的距离。所以我们可以利用ZH 点，只要知道待求点距ZH 点的距离（弦长S ）和此弦与ZH 点切线方位角的夹角（转角a ），即可求出该点坐标。 根据回旋线方程C=RL ，用B 点数据推导出回旋线参数： C=RL S=800*78.125=62500 （L S为B 点至ZH 点的距离） 设待求点距ZH 点距离为L 因回旋线上任意点的偏角β0=L2/2RL S, 且转角a=β0/3 ， 可得该点转角a 。（曲线左转时a 代负值）。 根据缓和曲线上的弧弦关系S=L-L5/90R2L S2， 可以求出待求点至ZH 点的弦长。 然后我们利用坐标增量计算公式可以推导出缓和曲线任意点坐标计算公式： X=X A+S*cos （θA+a ）=4355189.493+ （L-L5/90R2L S2）*cos （θA+L2/6RL S） Y=Y A+S*sin （θA+a ）=476976.267+ （L-L5/90R2L S2）* sin （θA+L2/6RL S） 式中θA=100 ° 0 ′ 24.1 ″ 2 ）实例计算 现在我们利用此公式计算桩号为NK0+140 的坐标 第一步，求出L=140-80=60 米 第二步，求出a=180L2/6 π RL S=0 ° 33 ′ 00.14 ″ 第三步，求出S=L-L5/90R2L S2=60-605/ （90*8002*78.1252）=59.998 第四步：将a ，S 值代入缓和曲线计算公式，可求出桩号为NK0+160 点的坐标为： X=4355178.501 ，Y=477035.249 。公路勘测设计各章节习题及答案
竖曲线高程计算公式推导过程及计算流程
竖曲线拉坡公式
坐标计算实例(缓和曲线)
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