7.2 定义与命题
第2课时定理与证明
教学目标
（1）了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论
（2）掌握真、假命题及反例的概念，并能判断命题的真假。
（3）了解本教材所采用的公理
学习策略
1.在学习过程中要充分展示自己的语言表达能力，要敢于暴露自己的缺点和不足力求改正
和提高。
2.进行适当的巩固练习，同时注意在课余时间自行消化理解学习中出现的问题。
3.不能死记硬背名词的解释，而应侧重于对名词的理解。
学习过程
一情境导入：
体验证明的步骤：对于命题“如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直”是否正确？转化为如图所示的图形，已知条件为AB∥CD，AB⊥EF，请问CD与EF垂直吗？为什么？
二.新课学习：
(1)预习课本168---170页内容
(2)_____________ 称为公理。
______________称为定理。
______________称为证明
小组合作学习
下列说法中不正确的是（）
A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B.命题是判断一件事情的句子
C.公理的正确与否必须用推理的方法来证实
D.要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可
教师精讲
1、公理、定理及证明
公理：公认的真命题称为公理，它不需要证明。
定理：经过证明的真命题称为定理。
证明：演绎推理的过程称为证明。
2.本书中我们已经认识的8条公理如下：
①两点确定一条直线。
②两点之间线段最短。
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
⑥两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
⑦两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
⑧三边对应相等的两个三角形全等．
此外，等式的有关性质和不等式的有关性质也作为公理。
3.从这些基本事实出发，我们可以证明下
面的定理：
定理：同角（或等角）的补角相等。
同角（或等角）的余角相等。
三角形的任意两边之和大于第三边。
三.尝试应用：
1. 下列平行线的判定方法中是公理的是( )
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C ．内错角相等，两直线平行
D ．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
2.、某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样能缩短路程（ ）
A.直线公理：两点确定一条直线
B.线段最短的公理：两点之间的所有连线中，线段最短
C.平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
D.直线公理和线段最短公理
3. 已知：如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，∠AOC 与∠BOD 是对顶角．求证：∠AOC ＝∠BOD.
4.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，求证：∠1＝∠A ，∠2＝∠B.
四.自主总结：
命题⎩⎨⎧分类⎩⎨⎧公理：公认的真命题定理：经过证明的真命题证明：推理的过程
五.达标测试
1.“两条直线相交成直角，就叫做两直线相互垂直”这个句子是（ ）
A.定义
B.命题
C.公理
D.定理
2.下列说法正确的是( )．
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
3.对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________(用序号表示)．
4.求证：直角三角形的两个锐角互余．
5.如图所示，在直线AC上取一点O，作射线OB，OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC.求证：OE⊥OF.
尝试应用答案：
1.B
2.B
3.证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．
∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．
4.证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
又∵∠1＋∠B＝90°，
∴∠2＝∠B，同理可证：∠1＝∠A.
达标测试答案：
1.A
2.B
3.若①②，则④
4.
已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A与∠B互余．
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)，又∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°.
∴∠A与∠B互余．
5.证明：∵OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，∴∠EOB＝1
2
∠AOB，∠BOF＝
1
2
∠BOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，∴∠EOB＋∠BOF＝1
2
(∠AOB＋∠BOC)＝
1
2
×180°＝90
°，即∠EOF＝90°，∴OE⊥OF.
第七章 平行线的证明 一、思维导图 ???????????? ??????????????????????????????????????的内角。于任何一个和它不相邻：三角形的一个外角大推论角的和。于和它不相邻的两个内：三角形的一个外角等推论。等于定理：三角形的内角和三角形内角和定理条直线平行。平行于同一条直线的两互补。两直线平行，同旁内角等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同位角相平行线的性质平行。同旁内角互补，两直线行。内错角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平平行线的判定的例子。，而不具有命题的结论反例：具备命题的条件分类：真命题、假命题部分组成。结构：由条件和结论两句子。定义：判断一件事情的命题平行线的证明21180二、考点聚焦 考点1 定义与命题 例1 下列四个命题中，真命题有 （ ） ①任意三角形的内角和为180°。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c 不相交。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式1-1：对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例
是（） A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β>∠α B.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α C.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β<∠α D.两个角互为邻补角。 考点2 平行线的性质和判定 例2 如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°， ∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由。 变式2-1：如图，直线 l∥2l，∠A=125°，∠B=85°， 1 则∠1+∠2= （） A.30° B.35° C.36° D.40° 变式2-2：如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数。
2 定义与命题 满招损，谦受益。《尚书》 原创不容易，【关注】，不迷路！ 第1课时定义与命题 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式． 2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例． 【过程与方法】 通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法． 【情感态度与价值观】 使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性． 二、重难点目标 【教学重点】 定义、命题的概念． 【教学难点】 真假命题的判断． 环节1 自学提纲，生成问题 【5min阅读】 阅读教材P165～P166的内容，完成下面练习． 【3min反馈】 1．对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
2．判断一件事情的句子，叫做命题. 3．一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成：“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的是条件；“那么”引出的是结论. 4．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例． 5．下列语句中，属于定义的是( D ) A．两点确定一条直线 B．平行线的同位角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生对学) 【例1】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)对顶角相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线平行； (3)同角或等角的余角相等． 【互动探索】(引发学生思考)如何区分命题的条件和结论？如何改写一个命题？ 【解答】(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． (2)如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行． (3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等． 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)命题改写的原则：不改变命题的原意，为改写后的语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减词语或调换词序；(2)命题改写的方法：先搞清命题的题设(已知事项)部分和结论部分，再将其改写为“如果……那么……”的形式：“如果”后面跟的是已知事项，“那么”后面跟的是由已知事项推出的事项(即结论)． 活动2 巩固练习(学生独学)
2 定义与命题 教学目标 【知识与技能】 1. 理解公理和定理的概念; 2. 会在简单情况下判断一个命题的真假,会区分定理、公理和命题. 【过程与方法】通过对真假命题的判断,培养学生树立科学严谨的学习方法. 【情感、态度与价值观】使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣,调动学生探索发现问题的积极性. 教学重难点 【重点】公理、定理的概念. 【难点】正确认识公理、定理、命题(真命题)之间的区别. 教学过程 一、复习旧知 1. 判断下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题? (1) 同一平面中的两条直线不是平行就是相交.( ) (2) 画一个长方形和正方形. ( ) (3) 直角小于钝角.( ) (4) 4 是偶数吗?( ) 一般地,对某一事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题. 命题由可看作由题设(或 条件)和结论两部分组成. 2. 思考下列命题的条件是什么?结论是什么? (1) 如果地面是潮湿的,那么下雨了. (2) 同位角相等,两条直线平行. (3) 三角形两边之和大于第三边. 在上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么? 3. 什么叫做真命题,什么叫做假命题? 正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题. 二、探究新知 1. 新课引入. 师:通过刚刚的复习,我们回顾了真命题与假命题的概念,也知道要判断一个命题是假命 题,只需要举出一个反例即可;但要判断一个命题是真命题,该怎么办呢? 能用以前学习的观察、实验、验证特例的方法吗?这我们在以前的学习过程中已经探讨 过,这种方法不可靠.那么,是否可以根据已经知道的真命题证实呢?试想一下,这样的真命题 又该如何证实它是正确的呢?
课题：定义与命题 ●教学目标： 知识与技能目标： 1．让学生了解定义的含义并了解给一些名称下定义的常用方法； 2．让学生了解命题的含义． 过程与方法目标： 1．让学生经历术语定义产生的过程，在通过类比、完成填空的过程中培养自学的能力； 2．让学生经历“命题”这个名词的定义产生过程，进一步了解命题的含义. 情感态度与价值观目标： 1．通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系. ●重点： 1．了解命题的含义，能够区分“命题”与“正确的命题（真命题）”； 2．理解命题的结构，把命题改写成“如果……，那么……”的形式. 难点： 命题的概念的理解. ●教学流程： 一、情境引入 创设“一对父子的谈话”场景让学生发现有关的数学问题. 在老师的描述中抢答出这是什么数学名词。 师总结：可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行. 设计说明：用这种形式引入，让学生及早融入课堂，积极思考，也作为本节课的一个贯穿的背景。更重要的是，希望学生初步明白下定义的重要性. 二、自主探究 探究1： 证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义. 解：设赤道的周长为x m，则铁丝与赤道的间隙为： 如：1、“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义. 大家还能举出一些例子吗？
2、“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“”的定义; 解：两点之间的距离 3、“无限不循环小数称为无理数”是“”的定义; 解：无理数 4、“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形”是“”的定义; 解：多边形 5、“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”是“”的定义; 解：等腰三角形 目的： 鼓励学生自己动脑思考并与小组的其他同学相互讨论，对学生的答案进行肯定，激发他们学习数学的兴趣.为了真正做到有效的合作学习，让学生在进行讨论之前先进行独立思考，有了自己的想法，然后再与别人交换意见，产生思维的碰撞，以真正达到讨论的目的. 考考你 请说出下列名词的定义： （1）有理数（2）直角三角形（3）一次函数（4）一元二次方程（5）压强 探究2： 你认为线段a与线段b哪个比较长？ 线段a比线段b长. 线段b比线段a长. 线段a与线段b一样长. 判断一件事情的句子，叫做命题. 下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流. （1）任何一个三角形一定有一个角是直角； （2）对顶角相等； （3）无论n为怎样的自然数，式子n2－n+11的值都是质数；
7.1 为什么要证明 【学习目标】 1．初步体会观察、猜测得到的结论不一定正确． 2．通过探索，初步了解数字中推理的重要性． 3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理． 【学习重点】 判断一个结论正确与否需要进行推理． 【学习难点】 理解数学推理的重要性． 学习行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点． 学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．情景导入生成问题在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界．在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论．那这样得到的结论都是正确的吗？如果是正确的，那么用什么方法说明它的正确性呢？ 解：不一定都是正确的，如果正确，需要用推理证明的方法来说明它的正确性．自学互研生 成能力 知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗 先阅读教材第162页“做一做”之前的内容，然后完成书中设置的两个问题，最后与同伴进行交流．
【说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论不一定正确． 知识模块二启发学生有理有据地推理 师生合作共同完成教材第162页“做一做”的学习与探究． 【说明】(1)中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；(2)中利用先猜想再验证的方法，培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题的能力． 【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明． 交流展示生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗 知识模块二启发学生有理有据地推理 检测反馈达成目标 【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书． 课后反思查漏补缺 1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________
命题、证明及平行线的判定定理 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点进阶： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点进阶： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点进阶：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点进阶： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点进阶： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理
第七章平行线的证明 7.2 定义与命题（一） 总体说明 在了解推理的重要性以后，从本节课开始的连续两节课将向学生简单介绍定义、命题、真命题、假命题、公理、定理等一些术语和名词，为后面的学习打好基础，作好铺垫． 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在以前的学习中接触了不少的几何知识，对很多名词、概念有了很深刻的认识，本节课将对学生传授定义与命题的基本含义，学生对此已经有比较多的经验和基础． 活动经验基础：在前面的学习中，学生对本节课将要采取的讨论、举例说明等学习方式有了比较深刻的认识，为今天的学习作了必要的铺垫． 二、教学任务分析 在几何中，有许许多多的定义、定理、公理等概念，还有一些真真假假的命题需要学生去辨别、去认识，本节课安排《定义与证明》旨在让学生对定义、定理、公理等概念有一个清楚的认识和了解，为此，本节课的教学目标是： 1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题． 2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征． 3.通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯． 三、教学过程分析 本节课的设计思路为：情景引入——命题含义（情景引入）——课堂练习——课堂小结——课后练习 第一环节：情景引入（由学生表演） 活动内容： 小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》. 小亮说：…… 小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……” 小亮说：“……”
小刚说：“……” 小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”…… 坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着： 一人说：“这黑客是个小偷吧？” 另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”…… 一人说：“那因特网肯定是一张很大的网.” 另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网.”……（表演结束） 教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？ （人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.） ①关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行； ②对定义含义的解释； ③举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举例又多又好）； 第二环节：命题含义（情景引入） 活动内容： ①师：如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染; 如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染； 如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染； 学生自编自练：如果____处水流受到污染，那么____处水流便受到污染． （［生甲］如果B处工厂排放污水，那么A、B、C、D处便会受到污染. ［生乙］如果B处工厂排放污水，那么E、F、G处也会受到污染的. ［生丙］如果C处受到污染，那么A、B、C处便受到污染. ［生丁］如果C处受到污染，那么D处也会受到污染的.
定义与命题（2） 教学目标 1.真命题的正明. 2.能够分清命题的题设和结论.会把命题改写成“如果……，那么……”的形式；能判断命题的真假. 3.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体. 教学重难点 真假命题的判断 教学过程 要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了，那一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想： 如何证实一个命题是真命题呢？ ［生甲］用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法. ［生乙］这些方法往往并不可靠. ［生丙］能不能根据已经知道的真命题证实呢？ ［生丁］那已经知道的真命题又是如何证实的？ ［生戊］哦……那可怎么办呢？ ……
［师］其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实. 演绎推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面. ［生］老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实. ［师］对，我们这套教材有如下命题作为公理： 两点确定一条直线. 两点之间线段最短. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 同位角相等，两直线平行. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 三边分别相等的两个三角形全等.
第七章平行线的证明 2．定义与命题（第2课时） 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学习本节之前，学生已经对命题的含义有所了解，并且已经学习过一些公理和定理，为公理化思想的培养作好了充分准备．活动经验基础：有了上一节的活动基础，学生对本节课主要采取学生分组交流、讨论、举例说明的学习方式有比较好的活动经验． 二、教学任务分析 在上一节课的学习中，学生对命题的概念有了清楚的认识，但学生对于命题的构造，什么是真命题，什么是假命题还不甚了解，本节课旨在让学生对真假命题有一个清楚的认识，从而进一步了解定理、公理的概念，为此，本节课的教学目标是： 1.了解命题中的真命题、假命题、定理的含义； 2.解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。 3.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理． 4.培养学生的语言表达能力。 三、教学过程分析 本节课的设计分为五个环节：回顾引入——探索命题的结构——思考探讨——读一读——课堂反思与小结．
第一环节：回顾引入 活动内容： ①什么叫做定义？举例说明．②什么叫命题？举例说明． 活动目的：回顾上节知识，为本节课的展开打好基础． 教学效果： 学生举手发言，提问个别学生． 第二环节：探索命题的结构 活动内容： ①探讨命题的结构特征 观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？ （1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等． （2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．（3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形． （4）如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形． （5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形．②总结命题的结构特征 （1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式． （2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论． （3）一般地命题都可以写成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论．
7.2 定义与命题 第2课时定理与证明 1.学习目标 （1）了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论 （2）掌握真、假命题及反例的概念，并能判断命题的真假。 （3）了解本教材所采用的公理 2.重难点 重点：找出命题的条件和结论 难点：用“如果……那么……”表示命题 一、自学过程 温故知新 叫定义。 叫命题。 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同结构特征？与同伴交流。 1．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。 2．如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。 3．如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。 4．如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形。 5．如果一个四边形的两条对角线相互垂直，那么这个四边形是菱形。 自主学习 (1)预习课本168---170页内容 (2)_____________ 称为公理。 ______________称为定理。 ______________称为证明 小组合作学习 下列说法中不正确的是（） A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B.命题是判断一件事情的句子 C.公理的正确与否必须用推理的方法来证实 D.要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可 教师精讲 1、公理、定理及证明 公理：公认的真命题称为公理，它不需要证明。 定理：经过证明的真命题称为定理。 证明：演绎推理的过程称为证明。 2、本书中我们已经认识的8条公理如下： ①两点确定一条直线。 ②两点之间线段最短。
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. ⑥两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． ⑦两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． ⑧三边对应相等的两个三角形全等． 此外，等式的有关性质和不等式的有关性质也作为公理。 3、从这些基本事实出发，我们可以证明下 面的定理： 定理：同角（或等角）的补角相等。 同角（或等角）的余角相等。 三角形的任意两边之和大于第三边。 4、已知，如图7-5，直线AB与直线CD交 于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角 求证：∠AOC=∠BOD 学生展示 1、“两条直线相交成直角，就叫做两直线相互垂直”这个句子是（） A.定义 B.命题 C.公理 D.定理 2、某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲 的道路改直，根据什么公理可以说明这样能缩短 路程（） A.直线公理：两点确定一条直线 B.线段最短的公理：两点之间的所有连线中，线段最短 C.平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平 行 D.直线公理和线段最短公理 随堂练习 请你完成定理“三角形任意两边之和大于第三边”的证明 归纳提升 1.公理、定理及证明 公理：公认的真命题称为公理，它不需要证明。 定理：经过证明的真命题称为定理。 证明：推理的过程称为证明。 2、本节知识概念图
第2课时定理与证明 基础题 知识点1 公理、定理 1．下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是（） A．公理和定理都是真命题 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 2．“内错角相等，两直线平行”是（） A．定义B．定理 C．公理D．需要判断的命题 3．在证明过程中可以作为推理根据的是（） A．命题、定义、公理B．定理、定义、公理 C．命题D．真命题 4．下列语句中，属于定理的是（） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 5．下列所学过的真命题中，不是公理的是（） A．对顶角相等 B．两个角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等 C．同位角相等，两直线平行 D．三边分别对应相等的两个三角形全等 6．某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（）A．直线的公理 B．直线的公理或线段最短公理 C．线段最短公理 D．平行公理 7．“两点之间线段最短”是________(填“定义”“公理”或“定理”)． 知识点2 证明 8．下面关于“证明”的说法正确的是（） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 9．如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（） A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2 C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90° D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b 10．下列说法不正确的是（） A．若∠1＝∠2，则∠1，∠2是对顶角 B．若∠1，∠2都是直角，则∠1＝∠2
2017秋八年级数学上册7.2 定义与命题第2课时定理与证明教案2 （新版）北师大版 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017秋八年级数学上册7.2 定义与命题第2课时定理与证明教案2 （新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017秋八年级数学上册7.2 定义与命题第2课时定理与证明教案2 （新版）北师大版的全部内容。
7。2 定义与命题 第2课时定理与证明 第一环节：回顾引入 活动内容: ①什么叫做定义?举例说明．②什么叫命题？举例说明． 活动目的：回顾上节知识，为本节课的展开打好基础． 教学效果： 学生举手发言，提问个别学生． 第二环节:探索命题的结构 活动内容： ①探讨命题的结构特征 观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？ （1)如果两个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形全等． （2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． （3)如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形． （4）如果一个四边的对角线相等,那么这个四边形是矩形． （5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形． ②总结命题的结构特征 （1）上述命题都是“如果……，那么……"的形式． （2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论． （3)一般地命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果"引出的部分是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论．
北师大版八年级上册数学第七章平行 线的证明含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（） A.30° B.40° C.50° D.60° 2、如图，点P是内一点，连结PB、PC，，， ，则等于（） A. B. C. D. 3、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB 于E，下述结论：(1)BD平分∠ABC；(2)AD=BD=BC；(3)△BDC的周长等于 AB+BC；(4)D是AC中点.其中正确的命题序号是（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4、△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
5、如图, AB=AC ，BD=BC,若∠A＝50°，则∠ABD＝度数是（） A.15° B.20° C.25° D.30° 6、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠CBA交AC于点E，过E作 ED⊥AB于D点，当∠A=_____时， ED恰为AB的中垂线. A.10° B.15° C.30° D.45° 7、如图五角星的五个角的和是（） A. B. C. D. 8、一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 9、如图：等于 A. B. C. D. 10、一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的内角和是 （）
A. B. C. D. 11、△ABC中，AC=AB，BD为△ABC的高，如果∠ABD=25°，则∠C= （） A.65° B.52.5° C.50° D.57.5° 12、若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 13、若等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角可能为（） A.80° B.70° C.50°或80° D.50° 14、如图BD∥AC, , BE 平分∠ABD ,交AC于点E. 若∠A=30º,则∠1的度数为（） A.65° B.60° C.75° D.70° 15、如图，∠B=45°，∠D=64°，AC=BC，则∠E的度数是（） A.45° B.26° C.36° D.64° 二、填空题(共10题，共计30分)
第七章平行线的证明 2 定义与命题 第2课时 一、教学目标 1.了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题. 2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题. 3.初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实. 4.阅读有关《原本》和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值. 二、教学重难点 重点：了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理. 难点：体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等 四、教学过程设计
教师强调：公理=基本事实；公理不需要证明. 除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断. 演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理. 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 提问：定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系： 联系：这四者都是命题． 区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据； 只不过公理是最原始的依据，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据. 【做一做】 1.下列句子中，定理是( )，公理是( )，定义是( ) A.若a=b，b=c，则a=c B.对顶角相等 C.全等三角形的对应边相等，对应角相等 D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等答案：B，C，E；A；D. 2.下列说法错误的是( ) A.命题不一定是定理，定理一定是命题 B.定理不可能是假命题 C.真命题是定理
7.2.2定义与命题(教案） 教学目标 知识与技能：1.理解公理、证明、定理的概念. 2.掌握公理、证明、定理的联系与区别. 过程与方法：1.通过对公理的认识,明确证明需要公理和定理. 2.经历实际情境,初步体会公理化的思想和方法. 情感态度与价值观：1.通过从具体例子中提炼数学概念,培养学生思维的严密性和逻辑性. 2.结合实例让学生意识到证明的必要性,培养学生做到有理有据,有条理地表达自己的想法的良好意识,培养学生的语言表达能力. 教学重难点 【重点】理解公理、证明和定理的概念. 【难点】准确找出命题的条件和结论,公理与定理的区别,写出步步有理有据的证明过程. 教学准备 【教师准备】教材第168页情景图和第169页例题的投影图片. 【学生准备】复习命题等相关概念. 教学过程
一、导入新课 导入一:举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢? 要说明一个命题是正确的,无论验证多少个特例,也无法保证命题的正确性.如何验证命题的正确性,其实在数学发展史上,数学家们也遇到过类似的问题.今天我们就来共同学习. (板书课题) [处理方式]此处教师讲,学生听,在听故事的过程中抓住学生的质疑与好奇,引出新课内容,揭示课题. [设计意图]通过引人入胜的数学故事,方便与学生活动交流,拉近与学生之间的距离.同时结合故事内容调动学生学习的兴趣,激发学生学习的热情,吊足学生胃口,引入新课,揭示课题. 导入二:师:(出示投影)王老师、李老师、范老师三名教师分别来自我市的薛城、峄城、市中三个地方,在学校分别教语文、数学和英语,已知:(1)王老师不是薛城人,李老师不是峄城人;(2)薛城人不教英语,峄城人教语文;(3)李老师不教数学. 师:同学们,这三位老师分别是什么地方的教师?分别教什么课程?
第七章平行线的证明 1为什么要证明 1．使学生经历通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确的过程认识到证明的必要性． 2．理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例推理证明等，理解数学的严谨性． 3．发展学生的探索意识以及合作交流的习惯；关注现实，培养学生进行深入思考的能力和质疑精神． 重点 理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法． 难点 体会数学推理的重要性和必要性． 一、情境导入 师：在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？下面我们一起来学习第七章第一节的内容：为什么要证明． 二、探究新知 1．探究一：观察得到的结论正确吗？ 课件出示教材第162页“做一做”上面的题目． 学生凭着自己的观察和直观感觉说出想法后，组织学生动手量一量、算一算，验证结论是否正确． 然后引导学生回答下列问题． (1)由观察得到的结论正确吗？ (2)你还能举出日常生活中的例子吗？ 2．探究二：归纳得到的结论正确吗？ (1)听故事“公鸡归纳法”． 某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡，到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了． 师：第1天有米吃，第2天有米吃……第99天有米吃，一定能推出第100天有米吃吗？从这个故事中你明白了什么道理？同桌之间相互交流． (2)算一算验证“归纳法”． 课件出示教材第162页“做一做”第(1)题． 师：我们是不是可以由此得出结论：当n为任意自然数时，n2－n＋11的值一定是质数呢？ 让学生再多取几个数代入代数式中，验证结论是否正确． (不正确，比如当n＝11时，n2－n＋11＝121，结果是合数．) 思考：由归纳得到的结论一定正确吗？ (3)再次验证“归纳法”．