[决胜高考数学母题](第008号)
复数模的运算与几何意义
复数与坐标平面內的点具有一一对应关系,由此可定义复数的模:若复数z=a+bi,则z 的模|z|=22b a +,复数的模具有优美的运算性质和直观的几何意义.
[母题结构]:(Ⅰ)(模的运算):|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|z|2=|z 2|,|21z z |=|
|||21z z . (Ⅱ)(几何意义):复数的两层几何意义:复数z=a+bi ←→Z(a,b)←→OZ =(a,b).
(Ⅲ)(模的意义)①|z-z o |⇔z 对应的点Z 与z o 对应的点Z o 的距离;②|z-z 1|=|z-z 2|⇔复数z 对应的点Z 在线段Z 1Z 2的垂直平分线上,其中Z 1、Z 2分别是复数z 1、z 2的对应点;③|z-z 0|=R ⇔复数z 对应的点Z 在以点Z 0为圆心,半径为R 的圆上,其中Z 0是复数z 0的对应点;④|z-z 1|+|z-z 2|=|z 1-z 2|⇔复数z 对应的点P 在线段Z 1Z 2上,其中Z 1、Z 2分别是复数z 1、z 2的对应点.
[母题解析]:略.
1.模的运算
子题类型Ⅰ:(2010年课标卷高考试题)已知复数z=2)31(3i i
-+,则|z|=( ) (A)41 (B)2
1 (C)1 (D)
2 [解析]:由z=2)31(3i i
-+⇒|z|=2|31||
3|i i -+=222=2
1.故选(B). [点评]:利用复数模的运算性质求复数的模,无需把所给复数化成a+bi 的形式,可直接求解,减少计算量,是解决该类高考试题的最佳途径.
[同类试题]:
1.(2013年课标Ⅱ卷高考试题)|i
+12|=( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1
2.(2013年山东高考试题)复数z=i
i 2)2(-(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B)41 (C)5 (D)5 2.几何意义
子题类型Ⅱ:(2003年上海春招试题)复数z=i
i m 212+-(m ∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
[解析]:由z=i i m 212+-=51(m-2i)(1-2i)=51(m-4)-52(m+1)i;如果在第一象限,则⎩⎨⎧<+>-0
104m m ,而该不等式组无解.故选(A). [点评]:复数的几何意义:复数z=a+bi ←→点Z(a,b);本题把复数的几何意义与解不等式进行有机结合,不仅体现了知识的交汇,而且呈现了逆向思维.
[同类试题]:
3.(2007年复旦大学保送生考试试题)复数z=i
i a 212+-(a ∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
4.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3.模的意义
子题类型Ⅲ:(2002年北京高考试题)己知z 1,z 2∈C,且|z 1|=1,若z 1+z 2=2i,则|z 1-z 2|的最大值是( )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
[解析]:令z 1、z 2对应的点分别为P 、Q,A(0,2),由|z 1|=1⇒点P 在圆x 2+y 2=1上;又由z 1+z 2=2i ⇒点Q 满足:OP +OQ =OA ,
且|z 1-z 2|=|PQ|=|OP -OQ |=|2OP -(OP +OQ )|=|2OP -OA |≤2|OP |+|OA |=4,当且仅当z 1=-i,z 2=3i 时,等号成立.故选(C).
[点评]:复数的几何意义有两个层次:复数z=a+bi ←→点Z(a,b)←→向量OZ =(a,b);复数模的意义:|z-z o |⇔z 对应的点Z 与z o 对应的点Z o 的距离;由此作图,根据几何直观是解决模的最值问题的最佳选择.
[同类试题]:
5.(1990年广东高考试题)如果z 1,z 2是复数,且|z 1|=3,|z 2|=4,|z 1-z 2|=5,那么|z 1+z 2|的值是 .
6.(2003年安徽春招试题)若复数z 满足|z-1|=|z-2|=|z-i|,则z= .
4.子题系列:
7.(2013年广东高考试题)若i(x+yi)=3+4i,x,y ∈R,则复数x+yi 的模是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
8.(2010年江苏高考试题)设复数z 满足z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 .
9.(2013年辽宁高考试题)复数z=1
1-i 的模为( ) (A)21 (B)2
2 (C)2 (D)2 10.(2013年课标Ⅱ卷高考试题)|
i +12|=( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1
11.(2013年山东高考试题)复数z=i
i 2)2(-(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B)41 (C)5 (D)5
12.(2013年重庆高考试题)已知复数z=i
i 215+(i 为虚数单位),则|z|= . 13.(2017年江苏高考试题)已知z=(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是 .
14.(2017年高考全国Ⅲ理科试题)设复数z 满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) (A)21 (B)2
2 (C)2 (D)2 15.(2017年山东高考试题)已知a ∈R,i 是虚数单位.若z=a+3i,z z =4,则a=( )
(A)1或-1 (B)7或-7 (C)-3 (D)3
16.(2017年高考全国Ⅲ文科试题)在复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
17.(2011年山东高考试题)复数z=i
i +-22(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
18.(2005年辽宁高考试题)复数z=i
i ++-11-1在复平面内,z 所对应的点在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
19.(2005年浙江高考试题)在复平面内,复数i
i +1+(1+3i)2对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
20.(2004年北京春招试题)当3
2 21.(2017年北京高考试题)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,1) (B)(-∞,-1) (C)(1,+∞) (D)(-1,+∞) 22.(2008年江西高考试题)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 23.(2003年北京高考试题)若z ∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 24.(2004年北京高考试题)满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( ) (A)一条直线 (B)两条直线 (C)圆 (D)椭圆 25.(1994年全国高考试题)如果复数z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( ) (A)1 (B)2 (C)2 (D)5 26.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为M,m,则m M = . 27.(1989年广东高考试题)满足条件|z|=1及|z+ 21|=|z-23|的复数z 的集合是 . 5.子题详解: 1.解:|i +12|=|1|2i +=2 2=2.故选(C). 2.解:|z|=| i i 2)2(-|=|||2|2i i -=5.故选(C). 3.解:z=i i a 212+-=51(a-4)-5 2(a+1)i.故选(A). 4.解:由A+B>900⇒cosB-sinA<0,sinB-cosA>0.故选(B). 5.解:在复平面内,令z 1,z 2对应的点分别为A,B,则|OA|=3,|OB|=4,|AB|=5⇒△OAB 是直角三角形⇒|z 1+z 2|=|AB|=5. 6.解:在复平面内,令点A(1,0),B(2,0),C(0,1),由|z-1|=|z-2|知,复数z 对应的点P 在线段AB 的垂直平分线x=23上,又由|z-1|=|z-i|知,复数z 对应的点P 在线段AC 的垂直平分线y=x ⇒y=x= 23⇒P(23,23)⇒z=23+2 3i. 7.解:由i(x+yi)=3+4i ⇒|i||x+yi|=|3+4i|⇒|x+yi|=5.故选(D). 8.解:由z(2-3i)=6+4i ⇒|z|=2. 9.解:|z|=|11-i |=|1|1-i =22.故选(B). 10.解:|i +12|=|1|2i +=2 2=2.故选(C). 11.解:|z|=| i i 2)2(-|=|||2|2i i -=5.故选(C). 12.解:|z|=|i i 215+|=5. 13.解:由z=(1+i)(1+2i)⇒|z|=|1+i||1+2i|=2⋅5=10. 14.解:由(1+i)z=2i ⇒|1+i||z|=|2i|⇒|z|=2.故选(C). 15.解:由z z =4⇒|z|=2⇒a=1或-1.故选(A). 16.解:由z=i(-2+i)=-1-2i.故选(C). 17.解:由z= i i +-22=51(3-4i).故选(D). 18.解:由z=i i ++-11-1=i-1.故选(B). 19.解:由i i +1+(1+3i)2=2 )341(3i ++-.故选(B). 20.解:由3m-2>0,m-1<0.故选(D). 21.解:由(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i 在第二象限⇒a<-1.故选(B). 22.解:由sin2>0,cos2<0.故选(D). 23.解:在复平面内,令z,-2+2i,2+2i 对应的点分别为P,A,B,则|PA|=|z+2-2i|=1,|z-2-2i|=|PB|≥|AB|-1=3.故选(B). 24.解:令z 1=i 则z 1对应的点Z 1(0,1),设z 对应的点为P,则|z-i|=|3+4i|⇔|PZ 1|=5⇔点P 的轨迹是圆.故选(C). 25.解:在复平面上,设A(0,-1),B(0,1),M(-1,-1),P:z,则|AB|=2,由|z+i|+|z-i|=2⇒点P 在线段AB 上⇒|x+i+1|=|PM|≥|AM|=1.故选(A). 26.解:在复平面上,设A(-1,-1),B(1,1),C(0,-1),则|AB|=22⇒|z+1+i|+|z-1-i|=22点P 在线段AB 上⇒M=|BC|= 5,m=2 2. 27.解:在复平面内,令点A(- 21,0),B(23,0),由|z+21|=|z-23|⇒复数z 对应的点P 在线段AB 的垂直平分线x=21上;又由|z|=1⇒点P 在圆x 2+y 2=1上⇒y=± 23⇒z=21±23i ⇒复数z 的集合是{21±23i}. 复数的基本概念和几何意义 复数是数学中的一个重要概念，它包含实数和虚数部分，可以用 a+bi的形式表示，其中a是实数部分，bi是虚数部分，i是虚数单位， 它满足i^2 = - 复数的几何意义可以通过复平面来理解。复平面是一个二维平面，横 轴表示实数轴，纵轴表示虚数轴。复数可以在复平面上表示为一个点。实 数部分决定了复数的横坐标，虚数部分决定了复数的纵坐标。复数的模长 表示复数到原点的距离，即复数的绝对值，用，z，表示。 复数的几何意义可以表现在以下几个方面： 1.向量：复数可以看作是向量，实部表示向量在横轴上的投影，虚部 表示向量在纵轴上的投影。复数的加减法对应了向量的加减法，复数的乘 法对应了向量的缩放和旋转。 2. 极坐标：复数可以用极坐标表示，在复平面上，复数z可以表示 为z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示与正实数轴的夹角。复数的极坐标形式可以简化复数的运算。 3.旋转：复数的乘法可以表示复平面中的旋转。如果复数z1表示一 个向量，复数z2代表一个旋转角度，那么z1×z2的结果就表示了z1绕 原点旋转z2对应的角度后的位置。 4.平移：将一个向量加上一个复数的结果就是将这个向量沿着复平面 的一些方向平移。平移是复数的加法对应的几何意义。 5. 共轭复数：共轭复数是将复数的虚数部分取负得到的，即z的共轭复数为z* = a - bi。在复平面中，共轭复数对应于复数关于实数轴的对称点。 复数的几何意义在多个学科中都得到了广泛的应用。在工程和物理学中，复数用于描述交流电路的电压和电流，光学中的波长和波矢也可以用复数表示。在信号处理和通信领域，复数被用于分析和处理信号的频谱特性。在数学中，复数进一步推广了实数域，使得更多的方程和函数都能够得到解析解。而在几何学中，复数以及复数的扩展形式，如四元数和八元数等，被用于描述高维空间中的旋转和变换。 总之，复数不仅是数学中的重要概念，也具有丰富的几何意义。它不仅可以用于解决实数域无法处理的问题，还能够用于表示各种向量、旋转和变换等几何概念。复数在现代数学和科学中的广泛应用，使得它成为了一种不可或缺的工具。 复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数 的开方运算（教师版）（正式版） 【课前预习】 一、知识梳理 1.复数的模的几何意义：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z +=，它的几何意义是点),(b a Z 到原点)0,0(O 的距离。 2.复数减法的模的几何意义：12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的向量分别是12,OZ OZ ，122112||||||z z Z Z Z Z -== ，所以复数12,z z 在复平面上两点间的距离就是：12||z z - 3.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠，12,z z 在复平面上所应的点分别是12,Z Z (1)线段21Z Z 的垂直平分线方程：||||21z z z z -=-； (2)以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：r z z =-||1； (3)以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程：a z z z z 2||||21=-+-，其中a z z 2||021<-<； (4)以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程：a z z z z 2||||||21=---，其中a z z 2||21>-。 4.一元二次方程2 0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠ (1)0?>? 方程有两个不相等的实数根1,2x =(2) 0?=?方程有两个不相等的实数根1,22b x a -=; (3) 0? 复数及其几何意义 核心知识点一：数系的扩充及复数的引入 1. 数系的扩充 自然数 2. 复数的概念： （1）定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ） 的数叫做复数， 其中 i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。 （2）表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式。 3. 复数的分类： 复数(,)a bi a R b R +∈∈中，当0b =，就是实数；0b ≠，叫做虚数；当0,0a b =≠时，叫 做纯虚数。 4. 复数集： （1）定义：全体复数所构成的集合叫做复数集。 （2）表示：通常用大写字母C 表示。 （3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： 5. 复数相等的充要条件： 复数相等：如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等。 核心知识点二：复数的几何意义 1. 复平面 思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ 提示：不正确。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数。 2. 复数的几何意义 3. 复数的模 （1）定义：向量OZ 的模叫做复数z ＝a ＋bi 的模。 （2）记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|且|z |＝22b a +。 例题1 已知复数z ＝1 6 72 -+-a a a ＋（a 2－5a －6）i （a ∈R ），试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。 [决胜高考数学母题](第008号) 复数模的运算与几何意义 复数与坐标平面內的点具有一一对应关系,由此可定义复数的模:若复数z=a+bi,则z 的模|z|=22b a +,复数的模具有优美的运算性质和直观的几何意义. [母题结构]:(Ⅰ)(模的运算):|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|z|2=|z 2|,|21z z |=| |||21z z . (Ⅱ)(几何意义):复数的两层几何意义:复数z=a+bi ←→Z(a,b)←→OZ =(a,b). (Ⅲ)(模的意义)①|z-z o |⇔z 对应的点Z 与z o 对应的点Z o 的距离;②|z-z 1|=|z-z 2|⇔复数z 对应的点Z 在线段Z 1Z 2的垂直平分线上,其中Z 1、Z 2分别是复数z 1、z 2的对应点;③|z-z 0|=R ⇔复数z 对应的点Z 在以点Z 0为圆心,半径为R 的圆上,其中Z 0是复数z 0的对应点;④|z-z 1|+|z-z 2|=|z 1-z 2|⇔复数z 对应的点P 在线段Z 1Z 2上,其中Z 1、Z 2分别是复数z 1、z 2的对应点. [母题解析]:略. 1.模的运算 子题类型Ⅰ:(2010年课标卷高考试题)已知复数z=2)31(3i i -+,则|z|=( ) (A)41 (B)2 1 (C)1 (D) 2 [解析]:由z=2)31(3i i -+⇒|z|=2|31|| 3|i i -+=222=2 1.故选(B). [点评]:利用复数模的运算性质求复数的模,无需把所给复数化成a+bi 的形式,可直接求解,减少计算量,是解决该类高考试题的最佳途径. [同类试题]: 1.(2013年课标Ⅱ卷高考试题)|i +12|=( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1 2.(2013年山东高考试题)复数z=i i 2)2(-(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B)41 (C)5 (D)5 2.几何意义 子题类型Ⅱ:(2003年上海春招试题)复数z=i i m 212+-(m ∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 [解析]:由z=i i m 212+-=51(m-2i)(1-2i)=51(m-4)-52(m+1)i;如果在第一象限,则⎩⎨⎧<+>-0 104m m ,而该不等式组无解.故选(A). [点评]:复数的几何意义:复数z=a+bi ←→点Z(a,b);本题把复数的几何意义与解不等式进行有机结合,不仅体现了知识的交汇,而且呈现了逆向思维. [同类试题]: 3.(2007年复旦大学保送生考试试题)复数z=i i a 212+-(a ∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) 课题：复数的几何意义 编制人：於珍红 主审人：潘丹 一、 新课引入 问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？ 问题2：试说明理由． 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 二、 概念构建 已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． 问题3：在复平面内作出复数z 所对应的点Z . 问题4：向量OZ u u u r 和点Z 有何关系？ 问题5：复数z ＝a ＋b i 与OZ u u u r 有何关系？ 1．复数与点，向量间的对应关系 2．复数的模 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ u u u r ，则OZ u u u r 的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记 作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 如图1OZ u u u r 、2OZ u u u u r 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应． 问题6：试写出1OZ u u u r 、2OZ u u u u r 及1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 、1OZ u u u r －2OZ u u u u r 的坐标． 问题7：向量1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 及1OZ u u u r －2OZ u u u u r 所对应的复数分别是什么？ 3．复数加法的几何意义 设向量1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ u u u r 和2 OZ u u u u r 不共线．如图，以1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ 所表示的向量OZ u u u r OZ u u u r 就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量． 4．复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算，设1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ u u u r ， 2OZ u u u u r 不共线，如图． 则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ u u u r －2OZ u u u u r (等于21Z Z u u u u r )对应，这就是复数减法的几何意义． 5．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离． 三、 例题选讲 例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？ (1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？ 解：因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上． (1)当实数x 满足? ???? x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限． (2)当实数x 满足????? x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0， 即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限． (3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上． 例2 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32 i. (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小； (2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形． 解：(1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， 复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。 多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论： 1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a (a,b ∈R) (a+bi)(a-bi)=a 2+b 2 (a+bi)2=a 2-b 2+2abi (a,b ∈R) (a-bi)2=a 2-b 2-2abi (a,b ∈R)等 2.i 4k =1,i 4k+1=i,i 4k+2=-1,i 4k+3=-i (b ∈N) 3. Z+Z =2ReZ Z-Z =2(ImZ)i(其中ReZ,ImZ 分别表示复数Z 的实部和虚部) 4.Z ·Z =｜Z ｜2=｜Z ｜2 5.设w=-21+23i 则w 3=1,1+w+w 2=0,w =w 2=w 1 6.2121Z Z Z Z ±=± 2121Z Z Z Z ?=? 2 121Z Z )Z Z ( = (Z 2≠0) 7.｜Z 1·Z 2｜=｜Z 1｜·｜Z 2｜ ｜21 Z Z ｜=21Z Z (Z 2≠0) 8.Z=Z ?Z ∈R 9.Z=-Z ?Z=ki(k ∈R) Z =Z 10.［r 1(cos θ1+isin θ1)］［r 2(cos θ2+isin θ2)］…［r k (cos θk +isin θk )］ =r 1r 2r 3…r k ［cos(θ1+θ2+θ3+…+θk )+isin(θ1+θ2+θ3+… +θk )］ 其中r 1r 2r 3…r k ≥0 (θ1、θ2、θ3…θk εR) 复数的几何意义 加法的几何意义：设1OZ ，2OZ 各与复数Z 1，Z 2对 应 ，以1OZ ， 2OZ 为边的平行四边形的对角线 OZ 就与Z 1+Z 2对应。 减法的几何意义：设1OZ ，2OZ 各与复数Z 1，Z 2对应，则图中向量21Z Z 所对应的复数就是Z 2-Z 1。 ｜Z 1-Z 2｜的几何意义是分别与Z 1，Z 2对应的两点间的距离。 乘法的几何意义： 设表示复数r(cos θ+isin θ)(r ＞0)，把绕A 点按逆时针 复数知识点小结 1、复数的概念 复数 (,)z a bi a b R =+∈Re Im a z b z ⎧⎨ ⎩——实部————虚部——，其中2 1i =-，i 叫做虚数单位. 2、复数的分类 (0) (,)(0) (0b z a bi a b R b a =⎧=+∈⎨≠=⎩实数复数虚数特别地，时为纯虚数) 3、两个复数相等 定义：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+. 只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小. 4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。复平面中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。 5、复数的向量表示 OZ Z 向量复平面上点复数↔↔+=),(b a bi a z 6、复数的模 复数模（绝对值）的定义，几何意义： 复数z=a+bi （a,b ∈R ）所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。 |z|=|a+bi|=022≥+b a . [说明 ] ||||z z a ==为实数时，，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。当且仅当a=b=0时，|z|=0 7、复数的四则运算性质：R d c b a ∈,,, 1）、加法：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++ 2）、减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+ 3）、乘法：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++ 复数模几何意义的应用 教学目标： 1、 会求复数的模，并知道Z 和21Z Z -的几何意义。 2、 使学生初步掌握一些简单的复数方程所表示的轨迹。 3、 能利用复数模的几何意义，解决简单复数模求范围的问题。 4、 在利用复数模的几何意义解题过程中，学会把问题进行转化， 并同时渗透数形结合的数学思想方法。 教学重点：简单复数模的几何意义的应用 教学难点：复数方程所表示的几何意义。 教学过程： 一、 复习提问： 1、 已知Z =a+bi,（R b a ∈.），（1）求Z 的值。（2）Z 的几何 意义？ 2、 已知1Z =a+bi,2Z =c+di （a,b,c,d ∈R)，求（1）21Z Z -的 值。（2）21Z Z -的几何意义？ 二、 新课学习 例：（一）求满足下列条件的复数Z 对应的点的轨迹。 1、Z =1 答：复数z 对应的点Z 轨迹以原点O 为圆心，以1为半径的圆 周。 2、i Z Z 432+-=- 答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（2，0），（3，-4）为端点的 中垂线。 3、122<--i Z 答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（2，2）为圆心，1为半径的 圆面（不包括边界）。 4、422=-++Z Z 答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（2，0），（-2，0）为端点的 线段的中点。 5、622=-++Z Z 答：复数z 对应的点Z 轨迹是以（-2，0），（2，0）为焦点， 长轴长为6的椭圆。 6、122=--+Z Z 答：复数z 对应的点Z 轨迹以（-2。0），（2，0）焦点，实轴 长1的双曲线的右支。 归纳： 1、圆的复数方程：)0(||0>=-r r Z Z 2、椭圆的复数方程：a Z Z Z Z 221=-+-（a>0） (1)若a Z Z 2||21>-，轨迹不存在。 (2)若a Z Z 2||21=-，轨迹表示线段。 (3)若a Z Z 2||21<-，轨迹表示椭圆。 3、双曲线的复数方程：)0(221>±=---a a Z Z Z Z (1)若a Z Z 2||21>-,轨迹表示双曲线。 (2)若a Z Z 2||21=-，轨迹表示两条射线。 复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中 a 是实部， b 是虚部，i 是虚数单位。 一、复数的四则运算 1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。 例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i 2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。 例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i 3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。 例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i 4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。 例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41 二、复数在平面几何中的意义 在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。 1. 复数的模： 复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。 例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 5 2. 复数的辐角： 复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量 的角度。 例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/4 3. 欧拉公式： 欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。 该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。 4. 复数的乘法及除法的几何意义： 复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。 复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何 变换。 综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使 用公式进行计算。 在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角 表示角度。 欧拉公式将指数函数与三角函数联系起来，为复数运算提供了便利。 复数的乘法与除法在复平面上实现了平移、旋转和伸缩的几何变换。 复数运算的几何意义 复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部。实部表示在 实数轴上的位置，而虚部表示在虚数轴上的位置。复数可以用来描述平面 上的点，其中实部表示点在x轴上的位置，虚部表示点在y轴上的位置。 1.平移：当我们将一个复数加上另一个复数时，实际上进行了平移操作。将一个复数加到另一个复数上，相当于将前者的位置平移至后者的位置。例如，将复数1+2i加到复数3+4i上，就相当于将1+2i的点平移到 3+4i的点上。 2. 旋转：复数的乘法运算可以用来实现平面上的旋转。当我们将一 个复数乘以另一个复数时，实际上进行了旋转操作。乘法的模长表示了放 大或缩小的比例，乘法的幅角表示了旋转的角度。例如，将复数1+2i乘 以复数cos(θ)+sin(θ)i，相当于将1+2i的点绕原点旋转θ的角度。 3.缩放：复数的乘法运算还可以用来实现平面上的缩放。当我们将一 个复数乘以实数k时，实际上进行了缩放操作。乘法的实部和虚部同乘以k，相当于将复数所表示的点的位置沿实数轴和虚数轴同时拉伸或压缩。 例如，将复数1+2i乘以2，相当于将1+2i的点沿两个轴分别拉伸2倍。 4.对称：复数的共轭可以实现在平面上进行对称操作。一个复数的共 轭是将实部保持不变，虚部取相反数的操作。当我们将一个复数取共轭时，实际上进行了平面上的对称操作。例如，将复数1+2i取共轭，相当于将 1+2i的点关于实数轴进行对称。 综上所述，复数运算的几何意义主要体现在平移、旋转、缩放和对称 等操作上。复数的加法和减法可以实现平移操作，乘法可以实现旋转和缩 放操作，而复数的共轭可以实现对称操作。通过这些操作，我们可以用复 《7.1.2 复数的几何意义》 一、学习目标 1. 能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系； 2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义． 二、知识思维导图 三、导学指导与检测 导学导学检测及课堂展示 阅读教材完成以下内容知识点一复平面 建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面． x轴叫轴，y轴叫做轴，虚轴上的点(0,0)不对应虚数． 思考有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句 话对吗？ 知识点二复数的几何意义 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点 2.复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量 知识点三复数的模 1.定义：向量OZ → 的模叫做复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋b i的模记为 3.公式：|z|＝|a＋b i|＝ . 4．(1)复数的模一定是正数吗？ (2)若复数z满足|z|＝1，那么在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？ 知识点四共轭复数 1.定义：当两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫 2.表示：z的共轭复数用z表示，即若z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝ 3．互为共轭复数的两个复数的特点：实部，虚部，模． 1．在复平面内，若OZ →＝(0，－5)，则OZ → 对应的复数为( ) A ．0 B ．－5 C ．－5i D ．5 2．已知复数z ＝6－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内z 的共轭复数z 所对应的点为( ) A ．(6，－2) B ．(6,2) C ．(－2,6) D ．(2,6) 3． (多选)已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值可以为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ， 那么向量BA →对应的复数是( ) A.－5＋5i B.5－5i C.5＋5i D.－5－5i 5．已知复数z 满足z ＋|z|＝2＋8i ，求复数z. 6.已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32 i. （1）求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小． (2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z|≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ Mathematica复数的模 介绍 在数学领域中，复数是由实部和虚部构成的数字，通常以a+bi的形式表示，其中 a是实部，b是虚部，而i是虚数单位。复数的模是复数的长度或大小，表示复数 与原点的距离。 在Mathematica中，我们可以使用内置函数来计算复数的模，进行实际计算和分析。本文将介绍Mathematica中计算复数模的方法以及应用。 具体计算方法 在Mathematica中，我们可以使用内置函数Abs来计算复数的模。Abs[z]将返回复 数z的模。例如，对于复数z=2+3i，我们可以使用以下代码计算其模： z = 2 + 3 I; Abs[z] 输出为： Sqrt[13] 复数的模运算 复数的模满足一些基本的数学运算规则。下面是一些常见的复数模运算： 复数相加的模 当我们计算两个复数相加时，可以使用以下公式来计算结果的模： z1 = 2 + 3 I; z2 = 4 + 5 I; Abs[z1 + z2] 输出为： Sqrt[8^2 + (3 + 5)^2] 复数相减的模 相似地，两个复数相减的模可以使用以下公式计算： z1 = 2 + 3 I; z2 = 4 + 5 I; Abs[z1 - z2] 输出为： Sqrt[(-2)^2 + (3 - 5)^2] 复数的乘积模 当我们计算两个复数的乘积时，可以使用以下公式计算结果的模： z1 = 2 + 3 I; z2 = 4 + 5 I; Abs[z1 * z2] 输出为： Sqrt[(2*4 - 3*5)^2 + (2*5 + 3*4)^2] 复数的商模 同样，两个复数的商的模可以使用以下公式计算： z1 = 2 + 3 I; z2 = 4 + 5 I; Abs[z1 / z2] 输出为： Abs[z1] / Abs[z2] 应用举例 复数的模可用于解决各种数学问题，例如解析几何、电路分析和信号处理等。以下是几个实际应用的示例： 复数几何意义及运算 一、知识梳理 1.复数的有关概念 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ →. 3.复数的运算 设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：z1 z2＝ a＋b i c＋d i＝ （a＋b i）（c－d i） （c＋d i）（c－d i） ＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2 (c ＋d i ≠0). 小结： 1.i 的乘方具有周期性 i n ＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ， i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3 (k ∈Z ). 2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z － ＝|z |2 ＝|z － |2. 3.两个注意点 (1)两个虚数不能比较大小； (2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1 解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0， a －1≠0，解得a ＝2，故选B. 答案 B 复数的几何意义 一、复数的几何意义 1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。 2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。 复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义 复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |= 22b a + 4、复数的加法与减法的几何意义 加法的几何意义 减法的几何意义 ) Z Z 2 Z 1 y z 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义 z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→ 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→ 逆时针旋转 θ2角模变为oz 1 → 的r 2倍所得向量便是 积z 1·z 2=z 的向量oz → 。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→ 顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz → 。 为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 '=÷= =-+-z z z z z r r i 12121 2 1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下： < 1 >θθ210>→ 时顺时针旋转角２oz 。 复数的模与共轭（教师版） 【知识梳理】 1.复数的模：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z += ，它的几何意义是点),(b a Z 到 原点)0,0(O 的距离。 2.复数模的运算性质： （１）- - ⋅==z z z z z 2 ||,||||； （２） （３）121212||||||||| |||z z z z z z -≤+≤+，121212||||||||||||z z z z z z -≤-≤+ ３．复数减法的模的几何意义：1,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的 向量分别是12,OZ OZ ，122112||||||z z Z Z Z Z -= =，所以复数 12,z z 在复平面上两点间的距离就是： 。 4.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠， （１）线段21Z Z 的垂直平分线方程：||||21z z z z -=-； （２）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：r z z =-||1； （３）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程：a z z z z 2||||21=-+-，其中a z z 2||021<-<； （４）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程：a z z z z 2||||||21=---，其中a z z 2||21>-。 ５．共轭复数的运算性质： ， ， ， 。 ６．复数模的最值的求法：（１）代数法；（２）数形结合法；（３）不等式法。 【基础练习】 1．计算： 2 2 (34)(31)i i i --=- (2222 (34)|||34|25(31)|13|10 i i i i i i ---⋅-==--+) 2．已知2 (34)z i =-，则||z = ． (2 2 |||(34)||34|25z i i =-=-=) 3．已知||1z =，||z i -的最大值为 ． (利用模的几何意义可得z i =-时||z i -最大，也可以使用不等式：||||||2z i z i -≤+=) 252 25*11121222||||||||; ;||||,|| n n z z z z z z z z n N z z ⋅=⋅==∈12||z z -1212z z z z ±=±1212z z z z ⋅=⋅1122 z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭* (),n n z z n N =∈复数的基本概念和几何意义
41.复数模的几何意义及实系数一元二次方程及复数的开方运算 【教师版】(正式版)
复数及其几何意义
5.复数模的运算与几何意义
复数的几何意义
复数运算的常用规律和几何意义
复数知识点总结
复数模的几何意义的应用
复数的基本运算及几何意义
复数运算的几何意义
复数的几何意义
mathematica复数的模
复数几何意义及运算知识点讲解+例题讲解(含解析)
复数的几何意义
复数与几何
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