正方体截面问题题型汇总
开高 张文伟2019.11.28
答案：B
分析：12题除了直观解题法之外，还有另一种解法:（1）正方体的十二条棱长度相等，与平面的夹角相等，必有在平面上投影的长度相等。（2）一个封闭的平面图形中有十二条相等的线段，必然想到正六边形的顶点与其中心的连线。（3）所以说，投影是一个正六边形。
分析：面D1B1C与各个棱所处角相等，面A1DB与各个棱所处角相等，所以两个
面与已知的平面α平行。根据正方体的特性，体对角线AC1与两个面垂直，交点1 / 7
研究性学习报告 ————正方体的截面问题 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段： 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
正方体展开图相关题型 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第一帖 丰富多彩的图形世界----正方体展开图相关题型 常考题型1---正方体的展开图 分类型记忆： 1-4-1型共有6种；2-3-1型共有3种，3-3型共有1种，2-2-2型共有1种； 同学们除了展开图形的形状外还需记忆： 图中相同颜色部分表示相对的面（前面-后面、左面-右面、上面-下面） 关于哪个面与哪个面相对，我们一定要记牢了，因为在考察正方体的展开图的时候会经常考到。 如果实在记不得哪个面与哪个面相对，我们可以采用标六面的方法： ① 先找小正方形比较密集部位的中心位置处的小正方形将其标记为下面， ②在此基础上，将展开图形还原成立体图形并将上、前、后、左、右给标到其他的小正方形上. 如此，我们就能轻而易举的知道相对的两个面是哪两个面。如下图所示 将正方体按照标六面的方法正确标出六个面之后，下面的解题过程对我们来说就是小菜一碟了。 同学们可以试着用这个方法去做一下下面这写题 一、选择题 1 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、下列哪个正方体的展开图不可能如图所示图形（ ） A. B. C. D. 3、下列选项中是如图所示正方体的展开图的是（ ） A. B. C. D. 1 2 5 4 3 6
4、一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“★”所 在面的对 面所标的字是（） A. 实 B. 验 C. 欢 D. 迎 5、将左边的正方体展开能得到的图形是（） 6、如图是一个正方体的展开图，和C面的对面是______面． 7、如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值 是 . 8、如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的 是 . 9、如图是一个正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，A点与点重合. 10、如图是一个正方体的侧面展开图，如果将它折叠成一个正方体后相对 的面上的数相等，则图中x的值为 . 11、如图是一个正方体纸盒的展开图，要使得它折成正 方体后， 相对面上的两个数都互为相反数，则A ， B . 12、当下面这个图案被折起来组成一个正方体，数字_______会在 与数字2所在的平面相对的平面上 13、已知一不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字，如图是我 们能看到的三种情况，那么1和5的对面数字分别是____和_____。 14、正方体是由六个平面图形围成的立体图形，设想沿着正方体的一些棱将它剪开，就可 以把正方体剪成一个平面图形，但同一个正方体，按不同的方式展开所得的平面展开图是不一样的，下面的图形是由6个大小一样的正方形，拼接而成的，请问这些图形中哪些可以折成正方体并分别写出它们所属的类型。（8分）
正方体的表面展开图 新课程标准指出：“在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉。”正方体的表面展开图，是考查学生对平面图形与空间几何体的相互转换的探索能力，能考查学生的空间想像能力，为高中学习立体几何打下良好的基础，因此，这方面的试题成为中考的命题热点。 一、正方体表面展开图的三种情况 1、正方体展开后有四个面在同一层 正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的两侧，利用排列组合知识可得如下六种情况： 2、正方体展开后有三个面在同一层 有三个面在同一层，剩下的三个面分别在两侧，有如下三种情形： 3、二面三行，象楼梯；三面二行，两台阶 二、有关正方体表面展开图的中考题 例1、（04长沙）如图是一个正方体纸盒的展开图，在 其中的四个正方形内标有数字1、2、3和－3，要在其余正 方形内分别填上－1、－2，使得按虚线折成正方体后，相对 面上的两数互为相反数，则A处应填＿＿＿＿＿ 分析：这是图⑤模型，把中间的四个正方形围起来做“前 后左右”四个面，则“1和B”是“上面和下面”，显然，“2” 与“A”是相对面，所以A处应填－2。 例2、（04山西临汾市）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）
分析：这是图③模型，在右图中，把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面，有“空心圆”的正方形做“上面”，显然是正方体C 的展形图，故选（C ）。 例3、（04山东维坊市）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “ 你”、 “前”分别表示正方体的______________________. 分析：这个展开图是图⑦的情形，题目给出“程”做底面，“似”做前面，显然，“祝”是后面，“前”和“你”是往右边翻折的，所以“前”是左面，“你”是上面。 因此，依次填：“后面”、“上面”、“左面”。 例4、（2003海南）如图是一个正方体包装盒的表面积展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A 、B 、C 内的三个数依次为（ ） （A ）0，－2,1 （B ）0,1，2 （C ）1,0，－2 （D ）－2,0，1 分析：这个展开图是图⑩模型，将“0”作为底面，可得， A 是上面， B 与“2”是相对面， C 与“－1”是相对面，所以，A 为“0”，B 为“－2”，C 为“1”，所以选“A ”。 三、巩固练习 1、（2003天津）在下列图形中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是（ ） 2、（2004浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ） 参考答案：1、C ；2、C 参考文献：《走出空间，走向成功》 中学生数学 2004、4 张芹、陈航 程 前 你 祝 似 锦
长方体和正方体典型习题 棱长和问题： 1.一个长方体长是10分米，宽是8分米，高是6分米，这个长方体的棱长总和是多少分米？ 2.用一根长80分米的铁丝焊接成一个长10分米，宽6分米的长方体框架，高是多少分米？ 3. 是15厘米、11厘米、4厘米，如右图那样捆扎一道并留下18厘米长为手提环， 这样一共需要多少厘米长的塑料带？ 4.一个长方体的长宽高分别是5厘米，4厘米，3厘米，一个正方体的棱长总和与这个长方体的棱长总和相等，这个正方体的棱长是多少厘米？ 5.一个长方体中相交于一个顶点的三条棱的长度和是15分米，这个长方体的棱长总和是多少分米？ 6.用一根长60厘米的铁丝围成一个长8CM，宽5CM的长方体框架，这个长方体框架的高是多少厘米？ 7.把一根长84米的铁丝围成一个正方体框架，棱长是多少分米？ 8.一个长方体相交于同一顶点的三条棱长度分别是10厘米，5分米，6厘米，这个长方体的棱长总和是多少分米？ 9.有一个长方体木块正好可以切成两个完全相同的正方体方块，已知长方体木块的棱长总和是80厘米，求切成的每个正方体木块的棱长总和。 表面积问题： 1.一个长方体的无盖铁皮水桶，长和宽都是3分米，深5分米。做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米铁皮？ 2.一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？ 3.有一块正方形铁皮，从四个顶点分别剪下一个边长5厘米的正方形后，所剩部分正好焊接 成一个无盖的正方体铁皮盒。原来正方形铁皮的面积是多少平方厘米？ 4.一个长方体的棱长和是72厘米，它的长是9厘米，宽6厘米，它的表面积是多少平方厘米？
正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
关于正方体截面形状探究 引题： 问题1：什么叫几何体的截面？ 答：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体表面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？截面图形最多有几条边？ 答：因为正方体有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1. 是否可以截出等腰三角形： E A A 1 解析: 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF 显然，只要BE=BF 就有GE=GF, ⊿GEF 就是等腰三角形 所以，截到等腰三角形的情况存在。 2.是否可以截出等边三角形: 解析
E A A 1 一正方体被一平面截后得到三角形GEF ， 只要BE=BF=BG 就有GE=EF=GF 所以，截到等边三角形的情况存在。 3.是否可以截出直角三角形： A A 1 解析：若一正方体被一平面截后∠GEF 是直角， 那么：GE ⊥EF 又因为GB ⊥EF 所以EF ⊥面GBE 所以EF 与FB 重合 即E 点与B 点重合 不合实际 所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。 结论1：用平面去截正方体能截到三边形： （1）等腰三角形，(2)等边三角形，(3)普通三角形； (不能截得直角三角形) 探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形： 分析：过一正方体的一棱有无数个矩形，只要长宽不等，就是长方形。所以，存在这一情况。
《长方体和正方体的表面积》教学案例 杨晨伟 一、教学内容： 长方体和正方体是学生十分熟悉的立体图形，在生活中经常要求解它们的表面积，例如:计算做一个长方体形状的鱼缸需要多少材料。虽然学生已经学会了如何计算长方体的表面积，但是由于学生缺少生活实践经验，导致计算出来的结果不符合实际要求:多加了一个上面的面积。一个看似很简单的问题，学生似懂非懂:鱼缸的外形是什么样的？长方体吗?计算所需材料的面积是否就是计算这个长方体的表面积？鱼缸没有哪一个面，所以实际上是计算哪几个面的总面积？如何计算这些面的面积？《长方体和正方体表面积》，在教学中根据学生的实际情况、教材内容和教育资源引导学生对于以上几个问题进行探索、发现，在认识矛盾冲突是如何产生的以及如何解决问题的驱使下开展探究活动，让学生去解决鱼缸制作的问题来开展教学。当学生经历了探索发现的过程，就学会了如何用所学的知识运用到生活中去实践，并且培养了学生分析问题、解决问题以及表述能力。同时学生在学习中体会到了探究、发现问题和灵活地解决实际问题的乐趣，充分体现了学生在教学中的主体学习的地位。 二、教学目标:
1.使学生理解和掌握正方体的表面积的计算方法，能够正确计算正方体的表面积。 2.使学生能够根据实际情况计算长方体和正方体里几个面的总面积，进一步培养学生的探索意识和空间观念，提高解决简单实际问题的能力。 三、教学活动过程: 一、引导学生学习正方体表面积的计算方法 1.回忆 上节课我们学习了长方体表面积的概念以及如何计算长方体的表面积，那么谁来说一说什么叫做表面积以及如何计算长方体的表面积？ （拿起一个正方体的模型，手摸着面）提问:正方体的面有什么特点？正方体的表面积是指什么？正方体里每个面的面积怎样算？所以可以怎样计算正方体的表面积？ 3.归纳引入新课: 正方体的6个相同的正方形面的总面积就是正方体的表面积。正方体的表面积怎样求呢？这就是这节课的主要内容（板书课题） 4.教学例2
正方体表面展开图的专题讲解 题型一：判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图 正方体表面展开图具体说可有以下4类11种图形，如作旋转或翻折后，方向会不同，但相对位置不变，这些不重复计算． 1．“一·四·一”型，中间4个连一排，两边各一随便放，共有6种。 2．“二·三·一”型，二三相连错一个，三一相连随便放，共3种。 3．“二·二·二”型，阶梯错开放，共1种。 4．“三·三”型，共1种。 题型二：找正方体相邻或相对的面。 1．从展开图找： （1）相邻的面：①在展开图中有公共边或公共顶点．如 ；? ②在正方形长链中相隔两个正方形．如 中A 与D 。 （2）相对的面：①在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如 中，A 与C ，B 与D ； ②和中间一行（或列）?均相连的两正方形亦相对。 分析：下列正方体表面展开图的相对面。 想一想 下面图1中（1）—（6）是否为正方体的展开图，如果是正方体的展开图，请把 3 、-1 、4 、-2 、7、-5这六个数字分别填入以下正方体的展开图的小正方形格内，使折叠成正方体后，正方体相对面的数字之和都等于2． 图1 （1） （2） （3）
例1、右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面。 例2、在A 、B 、C 内分别填上适当的数．使得它们折成正方体后，对面上的数互为倒数，则填入正方形A 、B 、C ?的三数依次是： （A ） 12，13，1 （B ）13，12，1 （C ）1，12，13 （D ）12，1，13 例3、在A 、B 、C 内分别填上适当的数，使它们折成正方体后，对面上的数互为相反数。 例4、找出折成正方体后相对的面。 2．从立体图找： 例5、正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？ 例6、由下图找出三组相对的面。 3、由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图 例7、如下图，正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（ ） 例8、下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，?则其中一个正方体各面图案与其他的不完全一样，它是（ ）
第一帖丰富多彩的图形世界----正方体展开图相关题型 常考题型1---正方体的展开图 分类型记忆： 1-4-1型共有6种；2-3-1型共有3种，3-3型共有1种，2-2-2型共有1种； 同学们除了展开图形的形状外还需记忆： 图中相同颜色部分表示相对的面（前面-后面、左面-右面、上面-下面） 关于哪个面与哪个面相对，我们一定要记牢了，因为在考察正方体的展开图的时候会经常考到。 如果实在记不得哪个面与哪个面相对，我们可以采用标六面的方
法： ① 先找小正方形比较密集部位的中心位置处的小正方形将其标记为下面， ②在此基础上，将展开图形还原成立体图形并将上、前、后、左、右给标到其他的小正方形上. 如此，我们就能轻而易举的知道相对的两个面是哪两个面。如下图所示 左前上 右 后 下 将正方体按照标六面的方法正确标出六个面之后，下面的解题过 程对我们来说就是小菜一碟了。 同学们可以试着用这个方法去做一下下面这写题 一、选择题 1、右图中是正方体的展开图的有（ ）个 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、下列哪个正方体的展开图不可能如图所示图形（ ） A. B. C. D.
3、下列选项中是如图所示正方体的展开图的是（） A. B. C. D. 4、一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“★”所在面的对 面所标的字是（） A. 实 B. 验 C. 欢 D. 迎 5、将左边的正方体展开能得到的图形是（） 6、如图是一个正方体的展开图，和C面的对面是______面． A D B E F C 7、如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的 数字之和的最小值 是 .
立体几何中的截面问题剖析 用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况. 以正方体为例：平面截正方体的截面图形 三角形： 四边形 五边形 六边形 类型一：与截面有关的求值问题 1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A ．35 B ．35 C ．92 D ．98 2、 体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ） A. 2717 B ．2117 C ．1517 D ．1317
正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为2,点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点,若过点,,A E F 作一截面,则截面的周长为（ ） A ．425133+ B ．225133 + C ．2513+ D ．13252 + 反馈练习： 1、在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是正方形C C BB 11的中心，M 为11D C 的中点，过M A 1的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111D C B A ABCD -所得的截面面积为（ ） A ．23 B ．26 C ．225 D ．3 2、如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ） A ．S 为定值,l 不为定值 B ．S 不为定值,l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值 类型二：与截面有关的最值问题 1、已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．433 B ．332 C ．423 D ．2 3
正方体的截面问题研 究
研究性学习报告 ————正方体的截面问题 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段： 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：
《正方体表面展开图》教学设计 一、教学内容： 本节是初中数学人教版的第四章《图形的认识初步》中的《立体图形与平面图形》中的第三节内容。 二、教学目标： （一）知识与技能目标： 1、了解正方体的平面展开图，会识别正方体的11种平面展开图 2、能运用正方体展开图的规律解决实际问题. （二）过程与方法目标： 1、通过观察和动手操作，体验图形的变化过程，探索正方体的展开图； 2、培养学生合作能力、交流能力，积累数学活动的经验。 （三）情感态度与价值观目标： 1、通过合作活动，树立学生与他人合作劳动的观念，获得集体合作成果的愉悦情感； 2、让学生在实验活动中体验探索、交流、成功与提升的喜悦，激发学生对数学学习的兴趣； 三、教学重点与难点： （１）教学重点：正方体平面展开图的规律及应用 （２）教学难点：发现、归纳正方体平面展开图的规律四、教学准备：
１、课前每人准备一个或多个正方体以备课堂之中用来剪开，探究。 ２、课前准备小剪刀、透明胶、磁吸。 ３、教师准备立体图形模型、多媒体课件。 五、教学过程设计： 本次教学活动采用小组探究式、合作式的学习方式，学生通过观察和自己动手操作等活动，体会自主探究的学习乐趣，从中获得成功的体验，达到本课的教学目标。整个教学过程发挥教师的指导、帮助的作用，适当予以点拨。 1、创设情景，引入课题： 问题一： 一面长方形墙壁，壁虎在下方，蚊子在上方，饥饿的壁虎想尽快的吃掉上方的蚊子，该走哪条路最近呢？ 问题二： 有一天壁虎在正方体的下方A处,发现上方C处有一只蚊子，饥饿的它要想尽快吃到蚊子，沿着正方体的表面，应该走哪条路最近呢？ （设计意图：从实际问题出发，问题一以动画形式吸引学生并为问题二做铺垫，问题二让学生感受到学习本节课的必要性从而引出课题。） 2、自主探索，总结规律： （1）请同学们将准备好的正方体沿某些棱剪开展成一个平面图形。你们能得到怎样的平面图形？( 教师从旁点拨，要指出展开图必须是一个完整的图形。) 经过操作、讨论后，请小组代表上来，把成果在黑板上
巧记口诀确定正方体表面展开图 6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考： 正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。 十四条边布周围，十一类图记分明： 四方成线两相卫，六种图形巧组合； 跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。 对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。 现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图： 一、四方成线两相卫，六种图形巧组合 （1）（2）（3）（4） （5）（6） ，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。 （1）（2）（3）（4） 以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。 三、两两错开一阶梯 这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。 四、对面相隔不相连 这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。
五、识图巧排“7”、“凹”、“田” （1） （2） （3） 这里介绍的是一种排除法。如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。 如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。 如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。 现举例说明： 例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ） 解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。A 、D 都有“凹”形结构，B 有“田”形结构，故应选C 例2．（2004扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子 (注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示.) 解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。图中具备了三二相连的结构，故本题有四种答案，即小方块的位置有图中 之一。 试一试： 1．（2004浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ） 2．（2004镇江）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ）
研究性学习报告 ————正方体的截面问题课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示 来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段：根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的 平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形
====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下 ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
如下图所示，当 A,B 为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异 时，所得截面可能是梯形： 3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面： 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： ==》得 ==》》
长方体与正方体必须掌握的几种题型 一、高的变化引起表面积的变化。 1、一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方 体的体积是多少立方厘米？ 2、一个长方体，如果高减少2厘米就成了正方体，而且表面积要减少56平方厘米，原来这个长方 体的体积是多少立方厘米？ 3、一个长方体，如果长减少2厘米就成了一个正方体，而且表面积要减少56平方厘米。原来这个 长方体的体积是多少立方厘米？ 4、一个长方体，长a分米，宽b分米，高h分米，如果高减少3分米，这个长方体表面积比原来减 少（）平方分米？体积比原来减少（）立方分米？ 二、段的变化 1、一个长方体长2米，截面是边长3厘米的正方形，将这个长方体木料锯成五段后，表面积一共增 加了多少平方厘米？ 2、将一个长3米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.36平方分米，这根木料的体积 是多少立方分米？ 三、切 1、一个正方体的表面积是48平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多 少？
2、一个正方体的表面积是96平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的体积是多少 立方厘米？ 3、一个正方体的体积是125立方厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 四、拼。（拼表面积发生变化，体积不变） 1、用8个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最多是多少平方厘米？ 最少是多少平方厘米？ 2、用12个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，一共有多少种拼法，每种拼法拼成的长方体 的表面分别是多少？ 3、用四个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是多少？ 五、切 1、将一个长8厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少平方厘 米？最少增加多少平方厘米？ 2、将三个长8厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最多减少多少平方厘 米？最少减少多少平方厘米？ 六、扩大和增加倍数。 1、一个正方体棱长扩大2倍，表面积扩大（）倍，体积扩大（）倍，表面积增加（）倍，体 积增加（）倍。
正方体截面问题 课题:正方体截面问题 班级:高二(2)班 小组:数学兴趣小组 指导老师:王长喜 组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长:张皓楠 课题目的:探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方 法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 大题小做: :什么叫几何板的截面, 问题1 答:一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部)，叫做几何体的截面。问题2:截面的边是如何得到的, 答:截面的边是平面和几何体各面的交线。问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢,截面图最多有几条边, 答:因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1:截面图为三角形时，有几种情况, 1.是否可以截出等腰三角形: (1)解析:
A’ a C c B bA 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于三角形Aca就可以截到。 所以，截到等腰三角形的情况存在。 (2)做法: 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 (3)证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用， Ab等于Ac， 所以三角形全等于三角形。所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: (1)解析 A’ a C c bBA 一正方体被一平面截后得到三角形abc，若三角形abc是等边三角形，
第一帖丰富多彩的图形世界----正方体展开图相关题型常考题型1---正方体的展开图 分类型记忆： 1-4-1型共有6种；2-3-1型共有3种，3-3型共有1种，2-2-2型共有1种； 同学们除了展开图形的形状外还需记忆： 图中相同颜色部分表示相对的面（前面-后面、左面-右面、上面-下面） 关于哪个面与哪个面相对，我们一定要记牢了，因为在考察正方体的展开图的时候会经常考到。 如果实在记不得哪个面与哪个面相对，我们可以采用标六面的方法： ①先找小正方形比较密集部位的中心位置处的小正方形将其标记为下面， ②在此基础上，将展开图形还原成立体图形并将上、前、后、左、右给标到其他的小正方形上. 如此，我们就能轻而易举的知道相对的两个面是哪两个面。如下图所示 将正方体按照标六面的方法正确标出六个面之后，下面的解题过程对我们来说就是小菜一碟了。 同学们可以试着用这个方法去做一下下面这写题 一、选择题 1、右图中是正方体的展开图的有（）个 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、下列哪个正方体的展开图不可能如图所示图形（） A. B. C. D. 3、下列选项中是如图所示正方体的展开图的是（） A. B. C. D. 4、一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“★”所在面的对 面所标的字是（） A. 实 B. 验 C. 欢 D. 迎
5、将左边的正方体展开能得到的图形是（） 6、如图是一个正方体的展开图，和C面的对面是______面． 7、如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值 是 . 8、如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是 . 9、如图是一个正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，A点与点重合. 10、如图是一个正方体的侧面展开图，如果将它折叠成一个正方体后相对 的面上的数相等，则图中x的值为 . 11、如图是一个正方体纸盒的展开图，要使得它折成正方体后， 相对面上的两个数都互为相反数，则A ，B . 12、当下面这个图案被折起来组成一个正方体，数字_______会在 与数字2所在的平面相对的平面上 13、已知一不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字， 如图是我们能看到的三种情况，那么1和5的对面数字分别是____和_____。 14、正方体是由六个平面图形围成的立体图形，设想沿着正方体的一些棱将它剪开，就可 以把正方体剪成一个平面图形，但同一个正方体，按不同的方式展开所得的平面展开图是不一样的，下面的图形是由6个大小一样的正方形，拼接而成的，请问这些图形中哪些可以折成正方体并分别写出它们所属的类型。（8分）
《长方体和正方体的认识》教学案例分析 [设计思路］ 长方体和正方体是最基本的立体图形，它是在学生初步识别长方体、正方体，掌握长方形、正方形特征的基础上展开教学的,为学生今后进一步学习长方体和正方体的表面积、体积,以用其他立体图形作准备,使学生由认识二维空间发展到认识三维空间是学生发展空间观念的一次飞跃。本课的教学目标是： 1、在自主探究中掌握长方体、正方体的特征，认识它们的联系。 2、通过开放型的问题励学生解决问题策略的多样化，发展学生的空间观念和思维能力。 3、在观察、操作、讨论、交流的小组式学习过程中激发学生的学习兴趣,培养合作意识和主动探求知识的能力。 本课教学设想如下: 1、探索新型情感性课堂教学。 本课教学中尊重每一个学生，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法,用不同的知识和方法解决问题。 ２、让学生参与探究过程,在“做数学”中体验数学。 要给足学生思维的空间和时间,让他们在尝试中发现,讨论中明理,合作中成功,质疑中发展。让学生体验知识的形成与发展。如：探究长方体特征中，组织学生开展形式多样的学习活动。让学生在活动
探究中，感知长方体；在学生互相补充，互相启发中建立长方体的清晰的表象。 ３、巧设开放性活动，发展学生思维能力。 本课教学中注意活动的开放性。巧妙的商讨开放性、探究性问题，促使学生参与研究、解决问题的活动。如:你如何验证相对面大小相等、相对棱长短一致;拆装长方体、正方体,你有几种方法?在这一系列开放活动中，每位学生都得到了发展。 4、合理利用多媒体辅助教学手,优化教学效果。 本课根据教材和学生的认识特点,利用多媒体辅助手优化教学。如:验证长方体相对的面完全相同，以及相对的棱完全相同的过程。化枯燥为生动，化抽象为具体,在图文声并、静和动结合的情境中,激发了学习兴趣，突破教学难点。 [教学过程］ 一、创设情境激发兴趣 第一环节,课始课件演示:长方形、正方形、三角形……组成的数学王国城堡图。然后教师请学生找出我们学过的图形长方形、正方形。 第二环节，教师通过观察数学城堡主人——机器人的组成，找出长方体和正方体,同时，让学生把自己带来的物体进行分类。教师利用电脑抽象出长方体和正方体，引导学生初步比较长方体、正方体与长方形、正方形的异同。顺势提示课题。 ［在新课导入时，通过课件活泼的画面,美妙的音乐，激发学习
1.计算下面图形的表面积 8cm 5dm 8cm 8cm 12dm 2dm 棱长总和为60分米 二.选择。 1.是一个长方体，它的下底面的面积是（）。 A 12㎝2 B 20㎝2 C 15㎝2 D 94㎝2 2.是一个长方体纸盒的展开图，它的表面积是（） （单位：分米） A. 200平方分米 B. 520平方分米 C .700平方分米 D. 1400平方分米 3.如果一个正方体，把它的棱长都缩小4倍，它的表面积将缩小（）倍。 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4.如果把一个棱长是10厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和比原来的正方体表面积（）。 A.增加了 B.减少了 C.没有变化 三．解决问题 类型一：基础完整图形解答 1.一个面的面积是36平方米的正方体，它所有的棱长的和是多少厘米？
2.用72分米长的铁丝做一个正方体的框架，然后在外面贴上一层纸，至少需要多少平方分米的纸？ 3、楼房外壁用于流水的水管是长方体。如果每节长15分米，横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米。做一节水管，至少要用铁皮多少平方分米。 类型二：长方体和正方体的转换 1、一个面的面积是36平方米的正方体，它所有的棱长的和是多少厘米？ 2、用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？ 3.把一个正方体切成两个完全一样的长方体，表面积增加了20平方厘米。这个正方体的表面积是多少平方厘米？ 4、把一个长方体的宽增加2厘米，就变成一个棱长为10厘米的正方体，原来长方体的体积是多少立方厘米？
长、正方体的切拼教学案例研究 教学内容： 小学数学北师大版五年级下册长、正方体表面积和体积的拓展学习。 教材分析： 本课教学是教材五年级下册第二单元长、正方体的表面积计算和第四单长、正方体的体积计算学习之后的自编补充内容。纵观整个教材的编排，在五年级下册六单元中《包装的学问》一课涉及到研究长方体拼接过程中表面积变化的情况外，再无安排对长、正方体切割的专门研究内容的出现。我认为有必要让学生对长、正方体的切割过程中引起表面积变化情况进行研究，并且把对长、正方体的切和拼整合一起对比研究。既可以进一步加强学生对长、正方体表面积、体积的理解又能在切拼的过程中更好地发展学生的空间观念，还能潜移默化地对学生渗透数学问题的研究方法。是学生在学习“空间与图形”这部分内容很好的契合点。因此编排了本课教学内容。 学情分析： 长方体和正方体是学生十分熟悉的立体图形，在生活中经常要求解它们的表面积和体积，本课学习是建立在学生已学习了长、正方体表面积和体积的基础上，会正确计算长、正方体的表面积或某个面的面积。借助学生对长、正方体表面积和体积已有的学习经验，帮助研究切拼长、正方体的过程中表面积和体积变化的情况。虽然学生已经学会了如何计算长方体的表面积和体积，但是由于学生缺少生活实践经验，空间思维能力薄弱，导致解决较复杂的问题时往往计算出来的结果不符合实际要求。《长、正方体的切拼》，在教学中根据学生的实际情况、教材内容和教育资源引导学生对于以上几个问题进行探索、发现，在认识矛盾冲突是如何产生的以及如何解决问题的驱使下开展探究活动，让学生去探索切拼的不同情况来开展教学。当学生经历了探索发现的过程，就学会了如何用所学的知识运用到生活中去实践，并且培养了学生分析问题、解决问题以及表述能力。同时学生在学习中体会到了探究、发现问题和灵活地解决实际问题的乐趣，充分体现了学生在教学中的主体学习的地位。 教学目标： 1、利用长方体、正方体表面积和体积等有关知识，探索对长方体或正方体 的切拼后的表面积和体积与原图形表面积和体积的关系。 2、通过亲自实践、观察比较、体验策略的多样性，发展学生的空间立体观 念。 3、通过让学生经历研究和解决问题的过程，渗透透过现象看本质，具体问 题具体分析等辩证唯物主义的思想。 教学重点： 利用长方体、正方体表面积和体积等有关知识，探索对长方体或正方体的切拼后图形表面积和体积之和与原图形表面积的关系。