正方体截面的探究
教学设计
无为县襄安中学李向林背景介绍
为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1. 课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台。2. 课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所。3. 课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地。4. 课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场。
在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线” 这部分内容的教学时，为了提高学生学
习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“ 正方体的截
面” 这个内容。考虑到要通过会“求作平面与平面的交线” 从而学会“过已知点求作正方体
的截面” 对学生而言是有一定难度的。
因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲
望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。为了更好地突破以上难
点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线" 的探究性
学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能
的形状以及有否特殊的形状。
教材分析
《正方体截面的探究》是人民教育岀版社《普通高中课程标准实验教科书?数学?必修2》关于
正方体的“截面”问题的教学设计。本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之
间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安
排的一节以实验操作为主的探究课。新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平岀发，倡导体验、实践、参
与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。基于此，本节课设计如下：
教学目标
（一）知识与技能：
1. 了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题。
2. 经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验。
（二）过程与方法：在对实物模型“截”活动过程中，学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的
动
手操作、实验验证、合作交流与分析归纳能力及空间思维能力。
（三）情感、态度与价值观：通过学生亲身经历动手实践操作过程，鼓励学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，使学
生在合作学
习中体验到数学活动充满探索和创造，获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。
教学重点、难点：
重点：正方体截面的结构特点。难点：正方体截面结构的多重性。
教学用具：
大块橡皮泥、小刀、一张CT 片，透明正方体盒子（可用鱼缸）、水，正方体模型等。
教学方法：
1. 采取直观教具与多媒体相结合，通过师生互动进行教学。
2. 采取小组合作交流，动手操作实验的学习方法。教学过程：
活动一：情境导入，引发思考
师：（拿岀西瓜）大家都知道西瓜是我们常吃的一种水果，那么他像我们已经学过的那种几何体？（生：球体）师：按习惯我们是不吃西瓜皮，只吃西瓜瓤的。现在有一个外皮已经洗净的西瓜，设想一下，你一般是如何吃到里面的瓤呢？第一步怎么办？（生：用刀切）
师：那么刀经过的面是一个什么形状的图形？（生：圆）
师：（演示用刀切西瓜的过程）用刀切西瓜的过程就好像用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。（动画演示）
活动二：试验演示，截面探究
问题1:什么叫几何板的截面？
答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。
问题2 :截面的边是如何得到的？
答：截面的边是平面和几何体各面的交线。
问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体。那么会得到什么形状的截面图呢？
师：同学们手中都有橡皮泥及其小刀，以同桌为单位，先用橡皮泥捏一个正方体，小刀的刀面我们就可以将它当成截这个正方体的面，当我们用小刀截你手中的正方体时，便可得到一个截面?下面看我手中的这块正方体的橡皮泥，我用小刀去截这个正方体，截
面可能是什么形状呢？
探究1:截面多边形的边数最多有几条？
小结：因为正方体只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截得截面图最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。（学生上黑板用正方体玻璃模型演示）
探究2:截面图为三角形时，有几种情况？
1. 是否可以截岀等腰三角形？
2. 是否可以截岀等边三角形？
3. 是否可以截岀直角三角形？
小结：用一平面去截正方体能截岀的三角形：
（1）等腰三角形；（2）等边三角形；（3）锐角三角形；（为什么？）（4）不能截岀直角三角形。（为什么？）
首先，用一个平面截一个正方体，要得到三角形，必然是要和三个两两相邻的面相交
才可以（如图所示）。下面只要说明这个截面△PMN不是直角三角形或钝角三角形就可以
啦。
图中有三个直角三角形，△ BMN △ PMB和
△ PBNo如果MN是最长边，那么只需要说明PM?
+PN2和MN2不相等就可以了。
在Rt △ BMN中，根据勾股定理可得BM?
+BN F=M N；
同样，BM f+BP^Mh、Bh f +BP2=NP2。也就是，PM>BM
PN>BN。
因此，PM +PN2>M N。由余弦定理可得，△
PMN是锐角三角形。
同样，也可以说明P M+M N">PN2
探究3:如果截面为四边形，那么可以截岀哪几类呢
1. 是否可以截岀长方形？
2. 是否可以截岀正方形？
3. 是否可以截岀梯形？
小结：用一平面去截正方体能截岀的四边形：
（1）长方形；（2）正方形；（3）平行四边形；（4）菱形;
（5）梯形；（6）等腰与不等腰梯形探究4:截面可能是正多边形吗？可能有几种？
小结：截面是正多边形有可能。可能有正三角形，正方形和正六边形。不可能是正五边形。（为什么？）探究5:如果截面是三角形，其面积最大是多少四边形呢？
探究6:正方体中能用几个平面截岀正四面体、正八面体吗？
小结：
以正方体的面对角线为棱长的三棱锥即为正四面体，以正方体的六个面的中心的连线即为正八面体。最后，几何画板演示正方体的截面图。
活动三：合作交流，巩固提高
例1、如图1-1所示，已知正方体A1B1C1D1 —ABCD, E、F、H分别是A1B1、B1C1、AD的中点,
过三点E、F、H作截面.
策略：本题的关键是作岀截面所在的平面与正方体的各面相交时的交线，因为E、F两点在截面内，也在平面A1C1内，所以EF是截
面与平面A1C1的交线?若将EF延长，它与棱A1D1和C1D1的延长线相
交，其交点得到的新点之一与H点又具有上述性质，这样下去，就
能作出截面.
解答：连接 EF ，并且延长，与 A i D i 、D 1C 1的延长线交于 N 、R 两点，连接 NH 并延长分别交 AA 和D i D 的延长线于 S 、T ,连接 TR 分别交CD 、CC 于 M 、G,顺次连接点 E 、F 、G 、M H 、S 、 E ,则六边形 EFGMHS 就是所画截面?图 1-1 练习1 ?如图，E 、F 分别为正方体的面 ADDA i 、面BCCB i 的中心，则四边形 BFD i E 在该正 方体的面上的射影可能是 __________________ ? 解析： 在面 ABCD 与 面 A 1 B i C i D ， 在
面ABB A i 与面DCCD 的 射影都
是②，四边形
BFD i E 在面ADDA i 与面
BCCB i 的射影是③. 答案：②③ 例2、（ 2008年福建高 四边形 考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 解析：此题用一般解法，需要作岀棱锥的高，然后再设岀球心，利用直角三角形计算球的 半径.而作为填空题， 想到长方体的一个角， 则 AC=BC=CD 9 .（如图i ） 我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联 马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图 3，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是 图i
年全国卷）一个四面体的所有棱长都为 ） 4 BFD 图 i-i i , 例 3 、（ 2003 球的表面积为（ A. 3 B. 解析：一般解法，需设岀球心，作岀高线，构造直角三角形 J2 ；四个顶点在同一球面上，则此 6 ，再计算球的半径 于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再 满足条件，即
由此可求得正方体的棱长为 * ------- : .A.（女口 练习2.（2010福建卷理6）如图，若 是长方体ABCD AB 1C i D i 被平面. ' .............. ：的点，F 为线段BE
寻找棱长相等的四面体，如图 AB=AD=AE=BD= 接球的直径也为 C. .在此，由 2，四面体 A BDE =DE BE ，
...........................
V3，所以此球的表面积便可求得，故选
1 图 EF \
，体对角线为 2） GH 截去几 上异于 B C 何体EFGHBQ i 后得到的几何体，其中E 为线段A B i 上异于 的点，且EH II AD ，则下列结论中不正确的是（D
A. EH II FG ;
B.四边形EFGH 是矩形；
C. 是棱柱；
D. 是棱台
解析：因为 EH II AD i ，A D i II B C ，所以 EH 以EH //平面BCB C ，又EH EH || FG ，故EH || FG // B i C i ，所以选项A C 正确；因为AD 」平面ABBA ，EH
）
. II BG ，又 EH 平面EFGH ，平面EFGH Q 平面 平面BCBG ，所 BCBC =FG ，所以 J3，从而外 II A D i ，所以EH 丄平面ABBA ，又EF 平面ABBA ，故EH 丄EF ，所以选项B 也正确，故选D. 练习3.（20 1 0北京卷理8）
如图，正方体ABCD AB C D 的棱长为2,动点E 、F 在棱AB 上，动点P , Q 分 别在棱 AD CD 上,若 EF=1, AE =x , DQ=y DP=z
（ x, y, z 大于零），则四面体 PEFQ 的体积（D ）. A.与x,y,z 都有关 B.与x 有关，与y,z 无关 C.与y 有关，与x,z 无关 D.与z 有关，与x,y 无关 解析：这道题目延续了北京高考今年8, 14, 20的风格，即在变化中寻找不变，从图 1 中可以分析岀， EFQ 的面积永远不变，为面ABGD 面积的-，而当P 点变化时，
4 它到面A B i CD 的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化
练习4.（2003年江苏高考题）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 ( ).
3 3 3 3
A. B.- C .O _
D.— 3 4 6 2
解析：由题意易知，此八面体为正八面体，将正方体按图2的方式，切割成8个相同的小正方体，则八面体也
被分割为8个相同的四面体，考察四面体与小正方体体积的关系，即为图3中四面体G BCD与正方体
1 1
ABCD ABiGD的关系。：V Q BCD -V A BCD“CQ，???八面体的体积为正方体体积的丄，故选C.
6 6
活动四：课堂小结，主动反思
师：同学们，通过本课的学习，你们有什么收获？
（学生自主完成，教师评价）活动五：回味无穷，深化拓展
CT是一种医学影像诊断技术，它就是类似于今天所要学习的“截一个几何体”的方法，
只不过这里的“截”并不是真正的截，这里的“几何体”是病人某个患病器官，“刀”是射
线，它的原理是用射线透射人体，然后用检测器测定透射后的放射量，通过计算机进行处理，重建人体断层图象并作岀诊断，这是数学的“图象重建原理”在医学上的成功应用. CT的发
明具有划时代的意义，获得了诺贝尔奖.
我们在座的每位同学，我相信经过勤奋、刻苦的努力，也会成为未来的诺贝尔奖获得者，
为中华民族增光教学反思：根据新的《数学课程标准》，设置数学课程的基本目的，不再只是让学生获得必要的数学
知识、技能，它还包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面的发展。关于正方体切截载体的选择，我想到了“以水代刀”，意在以正方体的截面问题为切入口，诱导学生数学源
于生活、寓于生活、用于生活。用水面形状来代替切口形状即是将生活题材数学化的一个前所未有的创新。我的创新过程将启迪学生思维、解决问题的方式、方法，并增加学生学习数学的勇气，增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发学生潜在的创造力，逐步形成创新意识。当代伟大的数学家M ?阿蒂亚先生指岀：几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维
占主导地位……，几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养，有人说，几何作为一种直观、形象的数学模型，它在发展学生创新精神方面的价
值，却是独特的、难以替代的。
“从现实情境岀发，通过一个充满探索、思考和合作的过程，学习数学，获取知识，收获的将是自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识……实践能力等这些远比升学重要的公民素质。”探究一个正方体的切口形状作为教学内容是一个源于教材的很有意义的课程资源，以水代刀，将水面形状代替切口形状作为教学媒体也是廉价的推广可行的课程资源。
“用教材”（几何体的“展” “叠” “截” “切”是高考数学重点考查内容，课本也有许多，如P10B，P28A3 P58练习2，P59例3，P63B4基于此设计了本节课）而不是“教教材”，教材是我国学校教育的主要课程资源，但不是唯一的课程资源。教师应根据自身实际，创造性地使用教材。
创新所带给人的精神愉悦是任何物质享受和感官享乐所无法比拟的，那是灿烂的生命之花
最深沉、最辉煌、最恣意的绽放，从某种意义上说，创新是自我实现的最高表现形式，教育作为人道主义的事业，理所当然应该关注个人生命质量的提升。
在课堂教学中，教师应该与学生建立一种新型的民主平等的师生关系，从独奏者的角色过
渡到伴奏者的角色，从此不再主要是传授知识，而是帮助学生去发现、组织和管理知识，引导他们而非塑造他们。
在整个课堂教学过程中，较好的实现了学生主体地位。当学生面对问题“用一个平面去截
一个正方体，所得到的截面可能是什么形状？”时，悬念顿生，激发起浓厚的求知欲，使他
们在探索中主动合作，在归纳规律时积极发言。通过设置“实物切截”和“电脑切截”两个
探究环节，使教学过程一环扣一环，容易吸引学生的注意力，使他们更灵活地掌握新知识；同时也消除了以往学生在学习中所体现的紧张、枯燥、厌烦、苦恼等情绪，而且还觉得学习
“易”、“趣”、“活”，真正感受到学习数学的乐趣。
美国着名的教育心理学家布鲁纳说过：“追求优异的成绩……不但同我们教什么有关系，而
且同我们怎样引起学生的兴趣有关系。“这节课我把“用刀切西瓜“作为引例，激发学生参与学
习的兴趣，使学生全身投入到数学中去。
研究性学习报告 ————正方体的截面问题 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段： 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
关于正方体截面形状探究 引题： 问题1：什么叫几何体的截面？ 答：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体表面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？截面图形最多有几条边？ 答：因为正方体有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1. 是否可以截出等腰三角形： E A A 1 解析: 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF 显然，只要BE=BF 就有GE=GF, ⊿GEF 就是等腰三角形 所以，截到等腰三角形的情况存在。 2.是否可以截出等边三角形: 解析
E A A 1 一正方体被一平面截后得到三角形GEF ， 只要BE=BF=BG 就有GE=EF=GF 所以，截到等边三角形的情况存在。 3.是否可以截出直角三角形： A A 1 解析：若一正方体被一平面截后∠GEF 是直角， 那么：GE ⊥EF 又因为GB ⊥EF 所以EF ⊥面GBE 所以EF 与FB 重合 即E 点与B 点重合 不合实际 所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。 结论1：用平面去截正方体能截到三边形： （1）等腰三角形，(2)等边三角形，(3)普通三角形； (不能截得直角三角形) 探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形： 分析：过一正方体的一棱有无数个矩形，只要长宽不等，就是长方形。所以，存在这一情况。
正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
正方体的截面问题研 究
研究性学习报告 ————正方体的截面问题 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段： 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：
研究性学习报告 ————正方体的截面问题课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示 来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段：根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的 平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形
====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下 ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
如下图所示，当 A,B 为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异 时，所得截面可能是梯形： 3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面： 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： ==》得 ==》》
正方体截面问题 课题:正方体截面问题 班级:高二(2)班 小组:数学兴趣小组 指导老师:王长喜 组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长:张皓楠 课题目的:探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方 法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 大题小做: :什么叫几何板的截面, 问题1 答:一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部)，叫做几何体的截面。问题2:截面的边是如何得到的, 答:截面的边是平面和几何体各面的交线。问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢,截面图最多有几条边, 答:因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1:截面图为三角形时，有几种情况, 1.是否可以截出等腰三角形: (1)解析:
A’ a C c B bA 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于三角形Aca就可以截到。 所以，截到等腰三角形的情况存在。 (2)做法: 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 (3)证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用， Ab等于Ac， 所以三角形全等于三角形。所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: (1)解析 A’ a C c bBA 一正方体被一平面截后得到三角形abc，若三角形abc是等边三角形，
研究性学习报告 ——正方体的截面形状 【课题】正方体的截面形状 【作者】刘可歆岳新茹 【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。 【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。 【研究过程】 探究1：当截面为三角形 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==== 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
》 ====正三棱锥：当截面是四边形探究2 正方形：1. 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： 》》》 ==== 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 》 ====》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形：因为正
方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。． 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： 》 == 所得截面可能为平行四当截面不与正方体的各面平行时，由上图所示可知，边形。．菱形：4 A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：如下图所示，当
5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： 》》》 == 3：当截面是五边形探究 6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面： 》= ：当截面是六边形探究3 六边形：7. 如图所示，可以截得六边形截面： 》=
正方体的截面问题 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰
和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
=》 通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。 （4）六边形： 如图所示，可以截得六边形截面： =》 特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示： 拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质 1. 正方体最大面积的截面三角形：
结论如下：1、可能出现的： 锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形 2、不可能出现： 钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形
正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面： =》 通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。 （4）六边形： 如图所示，可以截得六边形截面：
正方体截面的探究 教学设计 无为县襄安中学李向林背景介绍 为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台。2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所。3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地。4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场。 在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“正方体的截面”这个内容。考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言是有一定难度的。 因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线"的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及有否特殊的形状。 教材分析 《正方体截面的探究》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2》关于正方体的“截面”问题的教学设计。本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安排的一节以实验操作为主的探究课。新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。基于此，本节课设计如下： 教学目标 (一)知识与技能： 1.了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题。 2. 经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验。 (二)过程与方法： 在对实物模型“截”活动过程中，学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、实验验证、合作交流与分析归纳能力及空间思维能力。 (三)情感、态度与价值观： 通过学生亲身经历动手实践操作过程，鼓励学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，使学生在合作学习中体验到数学活动充满探索和创造，获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。 教学重点、难点： 重点：正方体截面的结构特点。 难点：正方体截面结构的多重性。 教学用具： 大块橡皮泥、小刀、一张CT片，透明正方体盒子(可用鱼缸)、水，正方体模型等。 教学方法： 1.采取直观教具与多媒体相结合，通过师生互动进行教学。 2.采取小组合作交流，动手操作实验的学习方法。 教学过程： 活动一：情境导入，引发思考 师：（拿出西瓜）大家都知道西瓜是我们常吃的一种水果，那么他像我们已经学过的那种几何体？（生：球体） 师：按习惯我们是不吃西瓜皮，只吃西瓜瓤的。现在有一个外皮已经洗净的西瓜，设想一下，你一般是如何吃到里面的瓤呢？第一步怎么办？（生：用刀切） 师：那么刀经过的面是一个什么形状的图形？（生：圆）
课题：正方体截面问题 班级：高二（2）班 小组：数学兴趣小组 指导老师：王长喜 组员：崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长：张皓楠 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 大题小做： 问题1：什么叫几何板的截面？ 答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 （包含它的内部），叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体各面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型， 它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一 个平面去截一个正方体那么会得到什么形状 的截面图呢？截面图最多有几条边？ 答：因为正方形只有六个面，所以它与平面 最多有六条交线，即所截到得截面图最都有 六条边。所以截图可能是三角形，四边形， 五边形，六边形。 探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1.是否可以截出等腰三角形： （1）解析:
如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于 三角形Aca就可以截到。 所以，截到等腰三角形的情况存在。 （2）做法： 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 （3）证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用， Ab等于Ac， 所以三角形全等于三角形。 所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: （1）解析
《正方体截面的形状》教学设计 一、教学目标 1)知识与技能： A用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助学生更好地认识几何体。 B探索正方体可能的截面形状，通过实践证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 2)过程与方法： A首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。 B学生截萝卜块以培养学生探索问题的能力，知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。 3)情感态度与价值观： A激发学生主动参与活动的热情，培养人人参与学习和自觉把数学知识应用实际生活的意识。 B培养学生学生探索创新能力。 二、学生分析 根据学生情况将学生分为ABC三大组，A组为待优生，A组分为第一组和第二组，B组为临界生，B组分为第三组和第四组，C组为优等生，记为第五组和第六组。 根据学生的不同学情，安排不同难度的问题。 三、教学内容分析 本节内容位于《必修2》P51页第一章立体几何初步的课题学习，属于探究性课题。本节课以正方体的截面图为核心，让学生借助萝卜块进行实际操作和
探索学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结并在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立性和发散性，使学生真正成为学习的主体。 重点：正方体的截面图的作法 难点：正方体的截面图形的交点的作法 四、教法：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的 意义建构。 五、教学过程 提问复习： 【教师提问】什么叫几何体的截面？ 【学生回答】一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。 【教师提问】截面的边是如何得到的？ 【学生回答】截面的边是平面和几何体各面的交线。 揭示课题： 【教师提问】正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢？截面图最多有几条边？ 【学生回答】【七嘴八舌】三角形，四边形，五边形，六边形，七边行。 导入新课：
正方体截面的形状 一、课题设计意图： 1. 按课标要求，在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展要有一个渐近的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识的过程，所以在本模块设计该课题，是为了今后做更为完整的数学探究、数学建模活动所做的准备。 2．“正方体截面的形状”,是北师大版新教材配合立体几何学习而设定的一个”课题学习”的内容.它以立体几何的核心模型之一----正方体为载体, 通过试验、探究，寻求截面的可能的形状。它通过“问题串”的形式，推进学生的思考和试验。对实验中每一个结果，让学生自己确认其过程，又是一个理性思考、用心求证的过程。这些环节可以帮助学生理解、应用本章所学知识，体验分类讨论、合情推理、大胆猜想、小心求证等数学思想方法。同时做这个课题所采用的探究方法---结合实际问题设计实验、动手操作、合作交流、合作探究、撰写实验报告等，都是重要的学习和研究的方式，可以帮助学生积累数学研究的经验。加上“*”的问题给优秀学生留出了创新的空间。 3. 本课题涉及内容：点、线、面的位置关系及直观图画法。涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理。通过正方体不同截面的生成和变化，可以认识空间图形及其关系，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力和几何直观的洞察力。做课题的过程是对立体几何知识的一次综合应用的过程。 4．该课题学习很好地体现了立体几何初步一章的基本要求，有助于认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力。 5．在章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个学、用知识解决问题的舞台，能增强学生的应用意识和问题意识，加深对所学知识的理解。另一方面，课题学习的形式有助于发展学生自主学习、合作学习的能力，改进学习方式，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜想和理性推力的关系，积累数学研究的经验，鼓励学生发挥自己的想像力和创造力。 二、课题设计方案： 【教学目标】 1、知识与技能目标：经历切截正方体的活动过程，探索发现正方体的截面形状，体会几何体在切截过程中面与体的变化。 2、过程与方法目标：通过对几何的切截活动，经历、观察、操作、想像、交流等过程，发展学生的空间观念，积累数学活动经验。 3、情感与态度目标：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作，与人交流的良好品质，激发学生对知识需求的欲望和探索创新的精神，培养用数学的意识，激发学生对数学的热爱。 【教学重点】探索截面形状的过程 【教学难点】 从切截活动中发现对同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与如何截。
专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】 技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；
技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等； 技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．． 是（ ） 分析 考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。 例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： ① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行； ④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________ 分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A C B D
研究性学习报告 ——体的截面形状 【课题】体的截面形状 【作者】可歆岳新茹 【摘要】探究体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。 【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。 【研究过程】 探究1：当截面为三角形 根据一定角度过体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==== 由上图可知，体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
====》正三棱锥探究2：当截面是四边形 1.形： 因为该立体几何图形是体，所以用从任意位置与该体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取体，得到的截面为形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取体，得到的截面为形。
2.矩形： 因为形也属于矩形，所以对形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4．菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：
5．梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 探究3：当截面是五边形 6.五边形： 如图所示，可以截得五边形截面： =》