正方体的截面问题研
究
研究性学习报告
——正方体的截面形状
【课题】正方体的截面形状
【作者】刘可歆岳新茹
【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。
【研究过程】
探究1：当截面为三角形
根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:
====
由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
====》正三棱锥探究2：当截面是四边形
1.正方形：
因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：
====》》》
由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》
由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：
因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
3.平行四边形：
当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》
由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4．菱形：
如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：
5．梯形：
如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：
==》》》
探究3：当截面是五边形
6.五边形：
如图所示，可以截得五边形截面：
=》
研究性学习报告 ————正方体的截面问题 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段： 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
关于正方体截面形状探究 引题： 问题1：什么叫几何体的截面？ 答：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体表面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？截面图形最多有几条边？ 答：因为正方体有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1. 是否可以截出等腰三角形： E A A 1 解析: 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF 显然，只要BE=BF 就有GE=GF, ⊿GEF 就是等腰三角形 所以，截到等腰三角形的情况存在。 2.是否可以截出等边三角形: 解析
E A A 1 一正方体被一平面截后得到三角形GEF ， 只要BE=BF=BG 就有GE=EF=GF 所以，截到等边三角形的情况存在。 3.是否可以截出直角三角形： A A 1 解析：若一正方体被一平面截后∠GEF 是直角， 那么：GE ⊥EF 又因为GB ⊥EF 所以EF ⊥面GBE 所以EF 与FB 重合 即E 点与B 点重合 不合实际 所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。 结论1：用平面去截正方体能截到三边形： （1）等腰三角形，(2)等边三角形，(3)普通三角形； (不能截得直角三角形) 探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形： 分析：过一正方体的一棱有无数个矩形，只要长宽不等，就是长方形。所以，存在这一情况。
正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
立体几何中的截面问题剖析 用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况. 以正方体为例：平面截正方体的截面图形 三角形： 四边形 五边形 六边形 类型一：与截面有关的求值问题 1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A ．35 B ．35 C ．92 D ．98 2、 体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ） A. 2717 B ．2117 C ．1517 D ．1317
正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为2,点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点,若过点,,A E F 作一截面,则截面的周长为（ ） A ．425133+ B ．225133 + C ．2513+ D ．13252 + 反馈练习： 1、在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是正方形C C BB 11的中心，M 为11D C 的中点，过M A 1的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111D C B A ABCD -所得的截面面积为（ ） A ．23 B ．26 C ．225 D ．3 2、如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ） A ．S 为定值,l 不为定值 B ．S 不为定值,l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值 类型二：与截面有关的最值问题 1、已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．433 B ．332 C ．423 D ．2 3
正方体的截面问题研 究
研究性学习报告 ————正方体的截面问题 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段： 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：
研究性学习报告 ————正方体的截面问题课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示 来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段：根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的 平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形
====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下 ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
如下图所示，当 A,B 为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异 时，所得截面可能是梯形： 3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面： 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： ==》得 ==》》
正方体截面问题 课题:正方体截面问题 班级:高二(2)班 小组:数学兴趣小组 指导老师:王长喜 组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长:张皓楠 课题目的:探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方 法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 大题小做: :什么叫几何板的截面, 问题1 答:一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部)，叫做几何体的截面。问题2:截面的边是如何得到的, 答:截面的边是平面和几何体各面的交线。问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢,截面图最多有几条边, 答:因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1:截面图为三角形时，有几种情况, 1.是否可以截出等腰三角形: (1)解析:
A’ a C c B bA 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于三角形Aca就可以截到。 所以，截到等腰三角形的情况存在。 (2)做法: 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 (3)证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用， Ab等于Ac， 所以三角形全等于三角形。所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: (1)解析 A’ a C c bBA 一正方体被一平面截后得到三角形abc，若三角形abc是等边三角形，
研究性学习报告 ——正方体的截面形状 【课题】正方体的截面形状 【作者】刘可歆岳新茹 【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。 【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。 【研究过程】 探究1：当截面为三角形 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==== 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
》 ====正三棱锥：当截面是四边形探究2 正方形：1. 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： 》》》 ==== 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 》 ====》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形：因为正
方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。． 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： 》 == 所得截面可能为平行四当截面不与正方体的各面平行时，由上图所示可知，边形。．菱形：4 A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：如下图所示，当
5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： 》》》 == 3：当截面是五边形探究 6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面： 》= ：当截面是六边形探究3 六边形：7. 如图所示，可以截得六边形截面： 》=
正方体的截面问题 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰
和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
=》 通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。 （4）六边形： 如图所示，可以截得六边形截面： =》 特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示： 拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质 1. 正方体最大面积的截面三角形：
结论如下：1、可能出现的： 锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形 2、不可能出现： 钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形
正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面： =》 通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。 （4）六边形： 如图所示，可以截得六边形截面：
正方体截面的探究 教学设计 无为县襄安中学李向林背景介绍 为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台。2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所。3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地。4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场。 在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“正方体的截面”这个内容。考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言是有一定难度的。 因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线"的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及有否特殊的形状。 教材分析 《正方体截面的探究》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2》关于正方体的“截面”问题的教学设计。本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安排的一节以实验操作为主的探究课。新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。基于此，本节课设计如下： 教学目标 (一)知识与技能： 1.了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题。 2. 经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验。 (二)过程与方法： 在对实物模型“截”活动过程中，学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、实验验证、合作交流与分析归纳能力及空间思维能力。 (三)情感、态度与价值观： 通过学生亲身经历动手实践操作过程，鼓励学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，使学生在合作学习中体验到数学活动充满探索和创造，获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。 教学重点、难点： 重点：正方体截面的结构特点。 难点：正方体截面结构的多重性。 教学用具： 大块橡皮泥、小刀、一张CT片，透明正方体盒子(可用鱼缸)、水，正方体模型等。 教学方法： 1.采取直观教具与多媒体相结合，通过师生互动进行教学。 2.采取小组合作交流，动手操作实验的学习方法。 教学过程： 活动一：情境导入，引发思考 师：（拿出西瓜）大家都知道西瓜是我们常吃的一种水果，那么他像我们已经学过的那种几何体？（生：球体） 师：按习惯我们是不吃西瓜皮，只吃西瓜瓤的。现在有一个外皮已经洗净的西瓜，设想一下，你一般是如何吃到里面的瓤呢？第一步怎么办？（生：用刀切） 师：那么刀经过的面是一个什么形状的图形？（生：圆）
课题：正方体截面问题 班级：高二（2）班 小组：数学兴趣小组 指导老师：王长喜 组员：崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长：张皓楠 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 大题小做： 问题1：什么叫几何板的截面？ 答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 （包含它的内部），叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体各面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型， 它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一 个平面去截一个正方体那么会得到什么形状 的截面图呢？截面图最多有几条边？ 答：因为正方形只有六个面，所以它与平面 最多有六条交线，即所截到得截面图最都有 六条边。所以截图可能是三角形，四边形， 五边形，六边形。 探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1.是否可以截出等腰三角形： （1）解析:
如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于 三角形Aca就可以截到。 所以，截到等腰三角形的情况存在。 （2）做法： 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 （3）证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用， Ab等于Ac， 所以三角形全等于三角形。 所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: （1）解析
正方体截面的形状 一、课题设计意图： 1. 按课标要求，在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展要有一个渐近的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识的过程，所以在本模块设计该课题，是为了今后做更为完整的数学探究、数学建模活动所做的准备。 2．“正方体截面的形状”,是北师大版新教材配合立体几何学习而设定的一个”课题学习”的内容.它以立体几何的核心模型之一----正方体为载体, 通过试验、探究，寻求截面的可能的形状。它通过“问题串”的形式，推进学生的思考和试验。对实验中每一个结果，让学生自己确认其过程，又是一个理性思考、用心求证的过程。这些环节可以帮助学生理解、应用本章所学知识，体验分类讨论、合情推理、大胆猜想、小心求证等数学思想方法。同时做这个课题所采用的探究方法---结合实际问题设计实验、动手操作、合作交流、合作探究、撰写实验报告等，都是重要的学习和研究的方式，可以帮助学生积累数学研究的经验。加上“*”的问题给优秀学生留出了创新的空间。 3. 本课题涉及内容：点、线、面的位置关系及直观图画法。涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理。通过正方体不同截面的生成和变化，可以认识空间图形及其关系，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力和几何直观的洞察力。做课题的过程是对立体几何知识的一次综合应用的过程。 4．该课题学习很好地体现了立体几何初步一章的基本要求，有助于认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力。 5．在章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个学、用知识解决问题的舞台，能增强学生的应用意识和问题意识，加深对所学知识的理解。另一方面，课题学习的形式有助于发展学生自主学习、合作学习的能力，改进学习方式，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜想和理性推力的关系，积累数学研究的经验，鼓励学生发挥自己的想像力和创造力。 二、课题设计方案： 【教学目标】 1、知识与技能目标：经历切截正方体的活动过程，探索发现正方体的截面形状，体会几何体在切截过程中面与体的变化。 2、过程与方法目标：通过对几何的切截活动，经历、观察、操作、想像、交流等过程，发展学生的空间观念，积累数学活动经验。 3、情感与态度目标：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作，与人交流的良好品质，激发学生对知识需求的欲望和探索创新的精神，培养用数学的意识，激发学生对数学的热爱。 【教学重点】探索截面形状的过程 【教学难点】 从切截活动中发现对同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与如何截。
《正方体截面的形状》教学设计 一、教学目标 1)知识与技能： A用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助学生更好地认识几何体。 B探索正方体可能的截面形状，通过实践证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 2)过程与方法： A首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。 B学生截萝卜块以培养学生探索问题的能力，知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。 3)情感态度与价值观： A激发学生主动参与活动的热情，培养人人参与学习和自觉把数学知识应用实际生活的意识。 B培养学生学生探索创新能力。 二、学生分析 根据学生情况将学生分为ABC三大组，A组为待优生，A组分为第一组和第二组，B组为临界生，B组分为第三组和第四组，C组为优等生，记为第五组和第六组。 根据学生的不同学情，安排不同难度的问题。 三、教学内容分析 本节内容位于《必修2》P51页第一章立体几何初步的课题学习，属于探究性课题。本节课以正方体的截面图为核心，让学生借助萝卜块进行实际操作和
探索学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结并在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立性和发散性，使学生真正成为学习的主体。 重点：正方体的截面图的作法 难点：正方体的截面图形的交点的作法 四、教法：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的 意义建构。 五、教学过程 提问复习： 【教师提问】什么叫几何体的截面？ 【学生回答】一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。 【教师提问】截面的边是如何得到的？ 【学生回答】截面的边是平面和几何体各面的交线。 揭示课题： 【教师提问】正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢？截面图最多有几条边？ 【学生回答】【七嘴八舌】三角形，四边形，五边形，六边形，七边行。 导入新课：
专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】 技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；
技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等； 技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．． 是（ ） 分析 考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。 例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： ① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行； ④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________ 分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A C B D
长方体正方体单元练习题（应用题） 1. 一个长方体的长是10厘米，宽是8 厘米，高是2 厘米，这个长方体的棱长之和是多少厘米？表面积是多少？体积是多少？ 2 . —根长96厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的棱长是多少厘米？表面积？体积？ 4、用一根铁丝刚好焊成一个棱长8 厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10 厘米、宽7 厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？ 6. 一个长4 分米、宽3 分米、高2 分米的长方体，它占地面积最大是多少平方分米？最小是多少？表面积是多少平方米？ 7. 用72分米长的铁丝做一个正方体的框架，然后在外面贴上一层纸，至少需要多少平方分米的纸？ 8、一个长17厘米，高20 厘米，宽15 厘米的长方体饼干盒，如果在它的侧面贴上一圈商标纸，这张商标纸至少需要多少平方厘米？ 9. 一个长方体通风管，长4 米，宽和高都是20厘米（横截面是边长 20 厘米的正方形）。做100 根这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？ 10、要做一种管口是正方形，周长40 厘米的通气管子10 根，管子长 2米，至少需要铁皮多少平方米？ 11.一个无盖的铁桶，底面是周长16 分米的正方形，高是5 分米，做 20 个这样的铁桶至少需铁皮多少平方分米？ 12、一个长方体游泳池，长20 米，宽15米，深2米，现要将它的每个面先抹上水泥，再贴上边长4 分米瓷砖，需要这样的瓷砖多少块？ 13. 一种长方体铁皮烟囱，底面是边长3 分米的正方形，高4 米，制这样一节烟囱至少要用铁皮多少平方米？
14、一个正方体木块，若把它切成3 个完全相等的长方体后，表面积增加了80 平方厘米，这个正方本木块原来的表面积是多少平方厘米？ 15、三个同样大的正方体拼成一个长方体后，表面积减少 144 平了 方厘米，这个长方体的表面积是多少？ 16、一间长5.2 米, 宽3 米, 高2.6 米的房间。它的四面墙的下部刷了 1.1米高的浅绿色油漆（开门处1n2不刷）,如果1n2浅绿色油漆造价10 元, 一共要用多少钱? 17、一个长方体的宽和高相等，都是8 分米，如果将长去掉2 分米，这个长方体就变成了正方体。这个长方体的表面积是多少平方分米？ 18、一个长方体玻璃容器，底面积是250 平方厘米，高12 厘米，里面盛有6 厘米的水，现将一块石头放入水中，水面上升了4 厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 19、把一根长3 米的长方体木料据成3 段后，表面积增加18 平方分米，这根木料原来的体积是多少立方米？ 20、一根长1.8 米，横截面是边长5 厘米的正方形的长方体铜条，铜条如果每立方分米重8.9 千克，这根铜条共重多少千克？ 21、长方体，如果长减少3 厘米，就是一个正方体，这个正方体的表 面积是96 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 22、一个长方体容器，底面长60 厘米，宽38 厘米，里面沉入一个长方体钢块，当钢块取出时，容器中的水面下降5 厘米，如果长方体钢块的底面积是570 平方厘米，钢块高多少厘米？23、把一块棱长1.2 米的正方体钢坯锻成横截面面积是0.04 平方米的长方体钢材，锻成的钢材有多长？ 24、一个长方体油箱，底面是一个正方形，边长是6 分米，里面已盛油144 升，已知里面油的深度是油箱深度的一半，这个油箱深多少分米？
研究性学习报告 ——体的截面形状 【课题】体的截面形状 【作者】可歆岳新茹 【摘要】探究体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。 【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。 【研究过程】 探究1：当截面为三角形 根据一定角度过体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==== 由上图可知，体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
====》正三棱锥探究2：当截面是四边形 1.形： 因为该立体几何图形是体，所以用从任意位置与该体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取体，得到的截面为形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取体，得到的截面为形。
2.矩形： 因为形也属于矩形，所以对形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4．菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：
5．梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 探究3：当截面是五边形 6.五边形： 如图所示，可以截得五边形截面： =》
《几何体的截面形状》研究性学习活动 教学设计 一、课题研究的背景 按《课标》要求，在高中阶段至少要有一次小组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合作学习的过程，所以在本模块设计该课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。 二、课题研究的目的和意义 帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；通过课题研究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力。 三、课题研究的目标 体会转化、降维、类比等数学思想，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，提高交流表达能力，提高独立、合作小组探究学习获取知识的能力，培养学生把握空间图形的能力，学会欣赏空间图形所反映的数学美。 1、知识与能力：通过用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，掌握空间图形与截面的关系，发展学生的空间观念，发展几何直觉。使学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。 2、过程与方法及解决的问题：采用多种途径查阅资料（图书馆查阅、网页查阅、调查访问教师、专家、学者等）；能对各种资源
进行整合、筛选、整理、分析；经历发现问题、分析问题、解决问题的研究过程，初步学会探究学习的方法；经过小组合作学习，能写出调查报告。 丰富对空间图形的认识和感受，发展空间观念和形象思维，通过总结，归纳，获得经验。 3、情感态度与价值观：通过以教师为主导，引导学生观察发现、大胆猜想、动手操作、自主探究、合作交流，使学生在合作学习中体验到：数学活动充满着探索和创造。通过小组的合作，加强自己与同学之间的人际关系，了解团队的力量。使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。同时培养学生积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识，激发学生对空间与图形学习的好奇心。 四、重点与难点 重点：引导学生经历用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，体会截面和几何体的关系，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流。 难点：1. 从切截活动中发现规律，并能用自己的语言合理清晰地来表达出自己的思维过程。 2. 能应用规律来解决问题，从理论上理解截出五边形、六边形的可能性，以及七边形的不可能性。 五、学生起点分析 所有高中学生在新世纪版北师大教材《数学》七年级上册第一章已经学习了《截一个几何体》知识，它是初中新课程改革中的新增内容，学生已经简单经历了切截几何体的实际操作活动，发展了学生的空间观念，激发了学生学习兴趣。学生已经具备了基本的观察、操作、推理、交流的能力。也就是说学生在研究性学习前，已经掌握了长方体，正方体，圆柱体，圆锥体和球体等常见的几何体的特点，理解了各种生活中所熟悉的几何体的表面组成；掌握了点，线，面，体四者之间的动态与静态的关系，再加之学生好奇心强，喜欢探索、解剖身边的事物，对出现在自己周围的物品进行实际的动手切截，热情势必较高，再配合创设一系列合理的问题情景，组织学生进行一些生动有趣的数学活动，本节课会极大地调动学生参与的积极性。
正方体截面的探究 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
正方体截面的探究 教学设计 无为县襄安中学李向林背景介绍 为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现 代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而 是师生之间交流、互动的舞台。2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引 导学生发展的场所。3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的 基地。4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分 展现的竞技场。 在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时， 为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“正方体的截面”这个内容。考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言是有一定难度的。 因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟 到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线"的探究性学习方式，逐步培 养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及有否特殊的形状。 教材分析 《正方体截面的探究》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2》关于正方体的“截面”问题的教学设计。本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安排的一节以实验操作为主的探究课。新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。基于此，本节课设计如下：教学目标 (一)知识与技能： 1.了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题。 2. 经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验。 (二)过程与方法： 在对实物模型“截”活动过程中，学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、实验验证、合作交流与分析归纳能力及空间思维能力。 (三)情感、态度与价值观： 通过学生亲身经历动手实践操作过程，鼓励学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，使学生在合作学习中体验到数学活动充满探索和创造，获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。 教学重点、难点： 重点：正方体截面的结构特点。 难点：正方体截面结构的多重性。 教学用具： 大块橡皮泥、小刀、一张CT片，透明正方体盒子(可用鱼缸)、水，正方体模型等。 教学方法： 1.采取直观教具与多媒体相结合，通过师生互动进行教学。 2.采取小组合作交流，动手操作实验的学习方法。