不定积分解题中的若干技巧
何志卿 （井冈山大学 数学系 江西 吉安 343009）
指导老师 王丹华
【摘 要】：给出了不定积分的三种常用求解方法，结合实例，讨论了这三种求解方法在求解不定积分时的若干技巧，对掌握求解不定积分的方法有一定的借鉴意义。
【关键词】：不定积分；求解；技巧
1 问题的提出
数学分析是数学系大学生必修的基础理论课，其任务是使学生掌握逻辑思维方法和提高学生使用数学手段分析解决问题的能力，为后续的专业课提供数学工具和解决问题的手段。不定积分是积分学的基础，更关键的是，对不定积分理解的深浅、掌握的好坏，不仅直接关系到数学分析课程本身，而且还会影响相关课程的学习和掌握，对学习定积分、线积分、面积分、重积分和有限元等知识都有重要意义。
我们知道，在求一些函数的导数时，无论给定函数的表达式有多么复杂，我们总可以按照求导法则，按部就班地求出其导数。也许正是因为求导过程比较简捷明了，从而决定了它的逆过程即求不定积分的过程似乎变得复杂而烦琐，没有一个统一的法则可以遵循。但恰恰由于这种复杂性，也预示着不定积分解题中的技巧是灵活多变的，技巧性也是较强的[1]。对不定积分求解方法进行归类处理，不仅使求解不定积分的方法条理清楚，而且有助于提高对不定积分概念的理解，激发学习兴趣，对学好微积分具有一定的参考价值。为此，本文正是对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳探讨。
2 不定积分求解的归类处理
解不定积分的常规方法有三种，即直接积分法（凑微分法）、换元法（第一、第二换元法）和分部积分法。这三种方法规定了不定积分方法的大方向，是进行不定积分运算的总原则。不定积分解题的灵活性和技巧性较强，积分方法种类繁多，但各种方法都是在这三种常规方法的基础之上进行改进和拓展而得。因此，熟练掌握常规的三种方法是求解不定积分的基础。三种方法的详细介绍及其论证可以参考文献]32[-，下文笔者仅对解不定积分的三种常规方法在具体运用中的若干技巧进行探讨。
2.1 不定积分的直接积分法
直接积分法通常也可以称之为凑微分法。直接积分法是建立在不定积分基本积分公式和不定积分线性运算法则（∑??∑===n i i i n i i i dx x x f k f k 11))(()(）之上的，求解不定积
分的一般思路是：先将被积函数转化为若干简单函数的和，然后应用不定积分的线性运算法则和不定积分基本积分公式来求解，这样做就是为了把复杂的不定积分化为简单的不定积分，把未知的不定积分化为已知的不定积分。
例题 1 求下列不定积分：
)1( ?
dx x
x x 22sin cos 2cos ； )2(?+-+-+dx x x x x )1111(. 解 分析：对于例题1中的)2)(1(，只要对要求的不定积分进行变形，直到可以简单地利用基本积分公式。
???-=-=dx x x dx x x x x dx x
x x )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos )1(22222222 .tan cot sec csc 22c x x xdx xdx +--=-=?? ??--+-+=+-+-+dx x
x x x dx x x x x )1)1(1)1(()1111()2(22
22 ??+=-=--++=.arcsin 2121)1()1(22c x dx x
dx x x x 从上面两道例题看，用直接积分法求解不定积分，除了必须牢记基本积分公式，还要熟练掌握中学数学中的一些常用公式。在实际解题中要注意灵活运用基本积分公式，充分运用化归的思想方法。
2.2 不定积分的换元积分法
换元积分法分为第一换元积分法、第二换元积分法，第一换元积分法和第二换元积分法在数学形式上互成逆反，在实际使用时则以新得的积分比原来的积分更易“积分”作为选择方式的原则。
例题 2 求不定积分：?+dx x 100)1(.
解 分析：对于例题2，理论上可以用直接积分法来求解，但其计算过程显然是非常繁琐的。这里采用换元积分法，计算过程就变得相对简单得多。 因为x
x 21)1(='+,所以令x u +=1得 ??'++=+dx x x x dx x )1()1(2)1(100100
?++-+=)1()1](1)1[(2100x d x x
?-=du u u 100)1(2
c u u +-=)101
11021(2101102 c x x ++-+=101102)1(101
2)1(511 另外，要记住在结果中把原变量换回去。
例题 3 求不定积分：?+dx x
x 211 解 分析：对于例题3，若采用第二换元积分法，新得出的积分
?++-=c t t tdt cot csc ln csc ，比原来的积分显然更易“积出”，而若采用第一换元积分法则过程相对复杂。
令x
x t tdt dx t x 2
2
1csc ,sec ,tan +===， ???=+tdt t t dx x x 22sec sec tan 111 ?++-==c t t tdt cot csc ln csc c x
x +++=211ln . 解题时应该选择更适合、更简单、更明确的方法，不要拘泥于某种方法。
2.3 不定积分的分部积分法
分部积分法适用的情形是被积函数是两类完全不同类型函数的乘积。在以往的学习中，笔者总结出了两种类型的分部积分法：“降幂”分部积分法和“升幂”分部积分法。解不定积分时，通常以新得的积分比原来的积分更易“积分”作为选择方式的原则。
1.3.2“降幂”分部积分法
一般地，对于形如??bxdx x P n sin )(、??bxdx x P n cos )(、??dx e x P ax n )(的不定积分（其中)(x P n 是一个关于x 的n 次多项式），作如下处理：“令)()(x P x u n =，再把被积函数中出现的指数函数、三角函数选为分部积分公式中的)(x v '，进行分部积分，这样就能使多项式因式的次数逐渐降低。”这里不妨称之为“降幂”分部积分法。
例题 4 求下列不定积分：
)1(?-xdx x 3cos )12(； )2(?-dx e x x 2.
解 )1(令x v x u 3cos ,12='-= ??-=-)3sin 3
1()12(3cos )12(x d x xdx x c x x x xdx x x ++-=--=?3cos 9
23sin )12(313sin 323sin )12(31. )2(???----+-=-=dx xe e x e d x dx e x x x x x 2)(222
c e x x dx e xe e x x x x x +++-=+-=----?)22(2222.
2.3.2“升幂”分部积分法
一般地，对于形如??xdx x P n arcsin )(、??xdx x P n arccos )(、??dx x x P m n )(ln )(、??dx x x P m n )(arctan )(的不定积分（其中)(x P n 是一个关于x 的n 次多项式，m 为正整数），作如下处理：“令)()(x P x v n ='，)(x u 为被积函数中的另一超越函数因子，进行分部积分，这样做后，在新的积分dx x v x u )()(?'?中，)(x v 升幂为1+n 次的多项式，)(x u '就变为无理根式或有理分式。”这里不妨称之为“升幂”分部积分法。
例题 5 求下列不定积分：
)1(?-xdx x ln )12(; )2(?xdx x arcsin 2
解 )1(???---=-=-dx x
x x x x x x x xd xdx x 1)(ln )()(ln ln )12(222 c x x x x x ++--=222
1ln )( )2(???--==dx x x x x x xd xdx x 2
3
332131arcsin 3)3(arcsin arcsin c x x x x x +-+-+=32223)1(9
213arcsin 3 3 结 论
由于积分的灵活性，求解不定积分切不可拘泥于某种解题方法，在任何时候积分的三个基本方法都是适用的，特别是直接积分法提供了简捷明快的直观方法，譬如：对于?--dx x
x x x cos sin sin cos 就需要直接积分而不能再用换元法或分步积分法（否则会变得更困难），而例题2中采用换元积分法就使计算过程变得相对简单。有时候一道题目可以采用这三种方法中的多种方法求解，有时候一道题目要同时运用多种方法求解。譬如：
例题 6 求不定积分：?+dx e
x 11. 解 方法1 )1(111111x x x x x x e d e
dx dx e e e dx e ++-=+-+=+???? c e x x ++-=)1ln(.
方法1中采用了直接积分法.
方法2 ???+-=+=+dx e e
e dx e e e dx e x x x x x x x )111()1(11 ??++-=)1(111x x x x e d e
de e c e e x x ++-=)1ln(ln
c e x x ++-=)1ln(.
方法2中综合采用了直接积分法和换元积分法，这里换元的过程：“
??+=++x x x x de e e d e 11)1(11”是一种非常实用的换元技巧.
方法3 c e de e dx e e dx e x x x x x x ++-=+-=+=+-----???)1ln(1
1111. 方法3中采用了分部积分法.
不管采用何种方法，运用何种解题技巧，都是希望能更简单、更准确地求出所要求的不定积分，笔者在此所探讨的技巧，就是要充分体现化繁为简、化未知为已知的化归思想方法]4[。熟练掌握这三种积分方法，带着化繁为简的数学思想灵活地运用，还能衍生出各类积分方法。
参 考 文 献：
[1] 孙立卓,孙辉.谈不定积分运算中的一些灵活性[J].高等数学研究,2002,(5):4.
[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992,187176P P -.
[3] 吉米多维奇.数学分析习题集题解[Z].济南:山东大学出版社,1999, 156145P P -.
[4] 化归思想方法在求不定积分中的运用[J].《枣庄师范专科学校学报》1996年03期
Indefinite integral problem-solving skills in a number of
HeZhiqing
(Jinggangshan University, Department of Mathematics, Jiangxi, Ji'an 343009) Instructor WangDanhua
Abstract: Gives the indefinite integral to solve the three commonly used methods, with examples, discuss the solution of these three time in the indefinite integral to solve a number of skills, master the methods of solving the indefinite integral of some significance.
Key words: indefinite integral;solution; skills
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不定积分解题中的若干技巧-何志卿[1]
不定积分解题中的若干技巧 何志卿 （井冈山大学数学系江西吉安 343009） 指导老师王丹华 【摘要】：给出了不定积分的三种常用求解方法，结合实例，讨论了这三种求解方法在求解不定积分时的若干技巧，对掌握求解不定积分的方法有一定的借鉴意义。 【关键词】：不定积分；求解；技巧 1 问题的提出 数学分析是数学系大学生必修的基础理论课，其任务是使学生掌握逻辑思维方法和提高学生使用数学手段分析解决问题的能力，为后续的专业课提供数学工具和解决问题的手段。不定积分是积分学的基础，更关键的是，对不定积分理解的深浅、掌握的好坏，不仅直接关系到数学分析课程本身，而且还会影响相关课程的学习和掌握，对学习定积分、线积分、面积分、重积分和有限元等知识都有重要意义。 我们知道，在求一些函数的导数时，无论给定函数的表达式有多么复杂，我们总可以按照求导法则，按部就班地求出其导数。也许正是因为求导过程比较简捷明了，从而决定了它的逆过程即求不定积分的过程似乎变得复杂而烦琐，没有一个统一的法则可以遵循。但恰恰由于这种复杂性，也预示着不定积分解题中的技巧是灵活多变的，技巧性也是较强的?Skip Record If...?。对不定积分求解方法进行归类处理，不仅使求解不定积分的方法条理清楚，而且有助于提高对不定积分概念的理解，激发学习兴趣，对学好微积分具有一定的参考价值。为此，本文正是对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳探讨。 2 不定积分求解的归类处理 解不定积分的常规方法有三种，即直接积分法（凑微分法）、换元法（第一、第二换元法）和分部积分法。这三种方法规定了不定积分方法的大方向，是进行不定积分运算的总原则。不定积分解题的灵活性和技巧性较强，积分方法种类繁多，但各种方法都是在这三种常规方法的基础之上进行改进和拓展而得。因此，熟练掌握常规的三种方法是求解不定积分的基础。三种方法的详细介绍及其论证可以参考
不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。 一?不定积分的概念与性质 定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有F'(x)=f(x)dx则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数 F (x),使得F (x) =f(x) (x I) 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝U (1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； (2)f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2 设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数 F (x) +C称 为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分 变量，C称为积分常数。 性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x) g(x)]dx= f(x)dx g(x)dx. 性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，贝U kf(x)dx=k f(x)dx. 二.换元积分法的定理 如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ (x)] ( (x).做变量代换u= (x),并注意到’(x) dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有 g(x)dx= f[ (x)] ( (x)dx= f(u)du. 如果f(u)du 可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。
不定积分解题方法及技巧总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：
题目：不定积分的若干计算方法 学生：学号： 学院：数学与计算科科学学院 专业：数学与应用数学 入学时间： 2009 年 09 月 指导教师：职称： 完成日期： 2013 年 4 月 15
诚信承诺 我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《不定积分的若干计算方法》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。 承诺人（签名）： 2013 年 4 月 15 日
不定积分的若干计算方法 摘要：不定积分的计算问题是微积分学中的一项重要内容，其计算方法多种多样且技巧性较强。本文对不定积分的计算方法进行了分类和总结，其中主要包含两部分，一部分是常规方法如直接法、凑分法、分部积分法等，这些方法在不定积分的计算中使用的频率较高且较为简单。另一部分是特殊方法，包括倒代换、有理分式法、互余法等，这些方法通常在计算中运用起来较为灵活多变。 关键词：不定积分；凑微分；分部积分；倒代换;换元 Several Calculation Methods Of Indefinite Integral Abstract:Indefinite integral calculation problem is an important content of infinitesimal calculus, and the calculation method of indefinite integral and variety and strong skill. In this paper, many indefinite integral calculation method has carried on the induction, through examples summarizes some commonly used methods, including direct send, and gather together, change element method, etc. In this paper, some special technical problems at the same time also to do some special instructions, sums up some special methods, including the generation of renewal, mutually complementary method of recursive method, etc. Key words:Indefinite integral; Gather together differential; Division of integral; Substitution; 目录
郑州大学毕业论文 题目：不定积分的常用求法 指导老师：任国彪职称：讲师 学生姓名：王嘉朋学号：20082100428 专业：数学与应用数学（金融数学方向） 院系：数学系 完成时间：2012年5月25日 2012年5月25日
摘要 微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。 关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。 Abstract: Calculus is short for differential calculus and integral calculus and its foundation is one of the most important events in math history. Relevant knowledge in indefinite integral is very significant in calculus learning. Grasping solutions to indefinite integral is the premise of leaning calculus well. Besides, there is correlation between solutions to indefinite integral and definite integral. Indefinite integral can be applied in obtaining area and mass. However，calculating indefinite integral is one of the most hardest parts in math analysis. A variety of methods can be used in seeking indefinite integral. This paper introduced the origin of calculus, founding and developing history. Besides, through some examples based on understanding of indefinite integral，this paper also summarized solutions to indefinite integral. Keywords: calculus; differential calculus; integral calculus; solutions
定积分的四种求法 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求2 30x dx ?的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n ． （2）近似代替：△3 2()i i i S f x x n ξ??=?=? ??? （3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===???????≈?=? ? ? ???????∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞????????+++?? ? ? ????????? ?? ＝4 43332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+? ? ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4． ∴2 30x dx ?=4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法 例2 求定积分2 21(21)x x dx ++?的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．
解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23x x x ++． 所以.2 2 1(21)x x dx ++?＝3221()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ?????＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原 函数． 三、几何意义法 例3 求定积分1 1dx -?的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯 形的 面积，只要作出图形就可求出． 解：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、 二象限的上半圆的面积． 因为2S π= 半圆，又在x 轴上方． 所以1 1)d x -?＝2 π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx π π-?；⑵22sin 1 x x dx x ππ-+?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解． 解：由被积函数tan x 及22sin 1 x x x +是奇函 数，所以在对称区间的积分值均为零．
不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一． 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二． 第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分 公式即可解决。 （3）当0
常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.
0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10< 求不定积分的方法及技巧小汇总~ 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种： acht x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 不定积分解题技巧探讨 数学与计算机科学学院 数学与应用数学（s ） 2011031103 作者：方守强 指导 老师：邓勇平 【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。 【关键词】 不定积分；难度；典型；技巧 引言 《数学分析》是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。 一:不定积分的概念与性质 定义1 如果F （x ）是区间I 上的可导函数，并且对任意的x ∈I ，有)()(x f x F ='dx 则称F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数。 定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I 上连续，那么f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在可导函数F （x ），使得)()(x f x F ='（x ∈I ）。 定理2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，则 （1） F （x ）+C 也是f(x)在区间I 上的原函数，其中C 是任意函数； （2） f(x)在I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F （x ）+C 称为f(x)在区间I 上的不定积分，记为 ()?dx x f ,即()()?+=C x F dx x f 。其中记号? 称为积 分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。 性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则 ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 性质2 设函数f(x)存在原函数，k 为非零常熟，则()()? ? =dx x f k dx x kf 。 附：常用积分公式 ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法: 樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分 分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__ -辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮? p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx 一．直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二．第一类换元法 1.当遇到形如 ? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()() 21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2 的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成 () () ?--2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可 解决。 （3）当0 三．分部积分法 口诀：反对幂指三，谁后谁先微。意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。 分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。 四．有理函数的积分 1.形如 () k a -x 1 的有理函数，它所对应的部分分式是 ()()() k k 221a -x A a -x A a -x A +??++ 2.形如 () k q px ++2 x 1 的有理函数，它所对应的的部分分式是 ( )( ) () k 2 k k 2 22 2211x x x q px C x B q px C x B q px C x B ++++ ??+++++ +++ 3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）： 部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。当部分分式分母次数为1时（指的是x 的次数，并非整体次数），拆开时，分子所设x 的次数相应减一。 例如：当部分分式分母x 次数为1时，分子所设应为A ；当部分分式分母x 次数为2时，分子所设应为Ax+B 。 上述三种方法解题时可用待定系数法或者特殊值法确定各未知量。 3.不能拆的时候，可采用凑微分的方法，将分子凑出分母的微分，再拆开求解。（这样的题用到arctan 和ln 很多）。 4．类似 二次多项式 常数 形式，分母配方，使用arctan 。 5.带根号的，想办法无理化有理，要么三角代换，要么根号整体分式代换。 6.对于分母是多项式平方的有理分式，依然要配方，再凑微分。然后一步三角换元，所得各个三角量利用三角形，找出表达式。 目录 中文摘要 (3) Abstract (4) 1 引言 (6) 2 直接积分法 (6) 2.1原函数和不定积分的定义 (6) 2.2直接积分法的运用方法 (6) 3 换元积分法 (7) 3.1 第一换元积分法 (7) 3.1.1 第一换元积分法的定义与分析 (7) 3.1.2 第一换元积分法的运用 (7) 3.2 第二换元积分法 (10) 3.2.1 第二换元积分法的定义和分析 (10) 3.2.2 第二换元积分法的运用 (10) 3.3 换元积分法中值得注意的问题 (12) 4 分部积分法 (13) 4.1分部积分法的定义和分析 (13) 4.2分部积分法的几种题型和分部积分法中u和dv的选择 (14) 5 有理函数的不定积分 (15) 5.1 有理函数的不定积分的定义和分析 (15) 5.2 待定系数法在不定积分中的运用 (16) 6 小结 (17) 参考文献 (20) 1 引言 数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。 2 直接积分法 2.1 原函数和不定积分的定义 (1) 原函数定义:设函数f 与F 在区间I 上都有意义，若F ′(x)=f(x)，x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。例如：f(x)是R 上的一个原函数，其中f ′(x)是f(x)的导函数，那么f(x)即为f ′(x)的原函数。 注意：初等函数都是连续函数，所以均有原函数。 (2) 不定积分定义： 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作()()f x d x ?，其中?为积分号，f(x)是被积函数，x 为积分变量。即 ()()f x d x ?=F(x)+C.若F 是f 的一个原函数， 则称y=f(x)的图像为f 的一条积分曲线。即f 的不定积分为沿y 轴任意平移的曲线族。 2.2 直接积分法的运用方法 直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。该方法是求不定积分的基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。 (1) 利用二项式定理将二项式变为多项式，从而变为多个单项式求积分； 例1：3 22345(2)(8126)x x dx x x x x dx -=-+-?? 34568613356x x x x c =-+-+ (2) 利用代数公式或三角公式将积商形式的被积函数化为代数和的形式，并使每一项都符合积分公式； 例2： 12525823333333(1)363(2)258x dx x x x dx x x x c x -+=++=+++?? (3) 对分式函数还可以根据分母的情况，将分子拆项或拼凑，化为几个分式的代数和后再约分，使其符合积分公式； 例3： 222222221(1)11(1) (1)1x x dx dx dx dx x x x x x x +-==-+++???? 常用求导积分公式及不定积分基本方法 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '=二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+= + =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+? 6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 21d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种： （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， 4.分部积分法. 公式：??-=νμμννμd d 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成 不定积分解题中的若干技巧 何志卿 （井冈山大学 数学系 江西 吉安 343009） 指导老师 王丹华 【摘 要】：给出了不定积分的三种常用求解方法，结合实例，讨论了这三种求解方法在求解不定积分时的若干技巧，对掌握求解不定积分的方法有一定的借鉴意义。 【关键词】：不定积分；求解；技巧 1 问题的提出 数学分析是数学系大学生必修的基础理论课，其任务是使学生掌握逻辑思维方法和提高学生使用数学手段分析解决问题的能力，为后续的专业课提供数学工具和解决问题的手段。不定积分是积分学的基础，更关键的是，对不定积分理解的深浅、掌握的好坏，不仅直接关系到数学分析课程本身，而且还会影响相关课程的学习和掌握，对学习定积分、线积分、面积分、重积分和有限元等知识都有重要意义。 我们知道，在求一些函数的导数时，无论给定函数的表达式有多么复杂，我们总可以按照求导法则，按部就班地求出其导数。也许正是因为求导过程比较简捷明了，从而决定了它的逆过程即求不定积分的过程似乎变得复杂而烦琐，没有一个统一的法则可以遵循。但恰恰由于这种复杂性，也预示着不定积分解题中的技巧是灵活多变的，技巧性也是较强的[1]。对不定积分求解方法进行归类处理，不仅使求解不定积分的方法条理清楚，而且有助于提高对不定积分概念的理解，激发学习兴趣，对学好微积分具有一定的参考价值。为此，本文正是对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳探讨。 2 不定积分求解的归类处理 解不定积分的常规方法有三种，即直接积分法（凑微分法）、换元法（第一、第二换元法）和分部积分法。这三种方法规定了不定积分方法的大方向，是进行不定积分运算的总原则。不定积分解题的灵活性和技巧性较强，积分方法种类繁多，但各种方法都是在这三种常规方法的基础之上进行改进和拓展而得。因此，熟练掌握常规的三种方法是求解不定积分的基础。三种方法的详细介绍及其论证可以参考文献]32[-，下文笔者仅对解不定积分的三种常规方法在具体运用中的若干技巧进行探讨。 2.1 不定积分的直接积分法 直接积分法通常也可以称之为凑微分法。直接积分法是建立在不定积分基本积分公式和不定积分线性运算法则（∑??∑===n i i i n i i i dx x x f k f k 11))(()(）之上的，求解不定积 分的一般思路是：先将被积函数转化为若干简单函数的和，然后应用不定积分的线性运算法则和不定积分基本积分公式来求解，这样做就是为了把复杂的不定积分化为简单的不定积分，把未知的不定积分化为已知的不定积分。 例题 1 求下列不定积分： 合肥学院论文 求积分的若干方法 姓名：陈涛 学号：1506011005 学院：合肥学院 专业：机械设计制造及其自动化 老师：左功武 完成时间：2015年12月29日 求积分的几种常规方法 陈涛 摘要:数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求不定积分，才可以简捷，准确。 关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法 引言 数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则 和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。 1 积分的概念 设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。 记作∫f(x)dx。其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 1.1 不定积分 积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。 用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c 不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y=F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）= f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则，其中C为任意常数。 1.2 定积分 相对于不定积分，还有定积分。所谓定积分，其形式为∫[a:b]f(x)dx 。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 微积分的最初发展中,定积分即黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。而实变函数中,可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况,如勒贝格积分. 用公式表示是：∫[a,b]f(x)dx=lim(n->∞)∑(0-n)a+f(ti)*(b-a)/n 定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将[a，b]分成n等分：a=x0求不定积分的方法及技巧小汇总
不定积分解题技巧汇编
不定积分解题方法及技巧总结剖析
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
不定积分的解题方法与技巧
求不定积分的若干方法讲解
常用求导积分公式及不定积分基本方法
不定积分解题方法及技巧总结
不定积分解题中的若干技巧-何志卿
求积分的几种常规方法
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