求不定积分的若干方法

目录

中文摘要 (3)

Abstract (4)

1 引言 (6)

2 直接积分法 (6)

2.1原函数和不定积分的定义 (6)

2.2直接积分法的运用方法 (6)

3 换元积分法 (7)

3.1 第一换元积分法 (7)

3.1.1 第一换元积分法的定义与分析 (7)

3.1.2 第一换元积分法的运用 (7)

3.2 第二换元积分法 (10)

3.2.1 第二换元积分法的定义和分析 (10)

3.2.2 第二换元积分法的运用 (10)

3.3 换元积分法中值得注意的问题 (12)

4 分部积分法 (13)

4.1分部积分法的定义和分析 (13)

4.2分部积分法的几种题型和分部积分法中u和dv的选择 (14)

5 有理函数的不定积分 (15)

5.1 有理函数的不定积分的定义和分析 (15)

5.2 待定系数法在不定积分中的运用 (16)

6 小结 (17)

参考文献 (20)

1 引言

数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。

2 直接积分法

2.1 原函数和不定积分的定义

(1) 原函数定义:设函数f 与F 在区间I 上都有意义，若F ′(x)=f(x)，x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。例如：f(x)是R 上的一个原函数，其中f ′(x)是f(x)的导函数，那么f(x)即为f ′(x)的原函数。

注意：初等函数都是连续函数，所以均有原函数。

(2) 不定积分定义： 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作()()f x d x ?，其中?为积分号，f(x)是被积函数，x 为积分变量。即

()()f x d x ?=F(x)+C.若F 是f 的一个原函数，

则称y=f(x)的图像为f 的一条积分曲线。即f 的不定积分为沿y 轴任意平移的曲线族。

2.2 直接积分法的运用方法

直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。该方法是求不定积分的基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。

(1) 利用二项式定理将二项式变为多项式，从而变为多个单项式求积分；

例1：322

345(2)(8126)x x dx x x x x dx -=-+-??

34568613356x x x x c =-+-+ (2) 利用代数公式或三角公式将积商形式的被积函数化为代数和的形式，并使每一项都符合积分公式；

例2： 12525823333333(1)363(2)258x dx x x x dx x x x c x

-+=++=+++?? (3) 对分式函数还可以根据分母的情况，将分子拆项或拼凑，化为几个分式的代数和后再约分，使其符合积分公式；

例3： 222222221(1)11(1)

(1)1x x dx dx dx dx x x x x x x +-==-+++????

1arctgx c x

=--+ (4) 对于含有绝对值的积分问题，要求先处理绝对值再积分。

由此可得，直接积分法使熟练掌握基本公式的基础。但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对于比较复杂的积分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式求解积分。

3 换元积分法

所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分()f x dx ?有困难时， ()(t=(x),t x )x t φθφθθ=≠存在反函数且（）及（）都是连续可微函数，′(t)c ，把原来的积分转化为对新变量t 的积分。那么，不定积分的换元法有（其逆运算）导数的换元法（即复合函数的求导方法）而来，它是通过改变积分变量的方式来实现不定积分问题的转化。不定积分的换元法按照换元前后新旧积分变量的关系可分为：第一类换元积分法和第二类换元积分法。

3.1 第一换元积分法

3.1.1 第一换元积分法的定义与分析

第一类换元积分法，其新的积分变量为原积分变量的函数，即新的微分元为原积分变量函数的微分。该方法的基本思路是把所求的被积函数通过适当的变量代换后，化成积分公式中的某一被积形式，然后代入积分公式求出结果，所以，也称为“凑微分法”。

简单的说：第一类换元积分法的基本步骤如下：

[()]()[()][()]f x x dx f x d x φφφφ???→??凑微分′ ()f u du φ??????→?换元（令u=(x)） ()F u c ???

→+积分

[()]F x c φ???→+回代[1] 那么，该积分的关键是：将被积表达式凑成两部分，一部分是复合函数，其中外函数是基本积分公式中的某一被积形式，另一部分是内函数的微分。其根本就是通过拼凑使原本不能利用公式求的积分变成可应用公式求，使用此方法时，要熟练运用，除了要牢固掌握微积分的基本公式以外，还要了解一些常用微分公式。

3.1.2 第一换元积分法的运用

首先，介绍一下基本的一些常微分公式，这些公式对于求解积分中运用换元积分法的题目有重要作用。

(1) 直接“凑”即将被积函数中的某个函数直接与dx 凑成微分形式；

例4：求?dx xe x 2

2.

分析：其中2x 与e 2x 凑成微分形式。

解：?dx xe x 22=()?22

x d e x 令u=x 2 则()?22

x d e x =?du e u =e u +C 将u=x 2回带，则e u =e 2x ,所以?dx xe x 22= e 2x +C

(2) 分部“凑”即被积函数形式较为复杂，直接观察不易凑成微分形式，可先将部分因子化简后，分部来“凑”；

例5：求211ln (1)1x dx x x

++-?. 解：由于[ln (1+x)]′=

11x +, [ln (1-x)]′=-11x - 2111111ln ()ln 112111x x dx dx x x x x x

++=+--+--?? 211ln [ln(1)ln(1)]2111111ln ln (ln )21141x d x x x x x x d c x x x +=

+---+++==+---?? (此类属于多次凑微分，我们习惯以x 的运算模式，现在变成不常见的积分变量，具有一定的迷惑性，要多加小心。)

(3) 变形后“凑”即有些积分通过恰当的变形（加、减、乘、除某些因子）后，可以使用凑微分法。

例6：求不定积分21

dx

x x -?[2].

解：利用211()d dx x x =-.将原被积函数进行恒等变形，即： 2221

1111x x x x =

--,就有2221

11dx dx x x x x =--??c x

+-=1arcsin 注意：凑微分的过程中要小心系数的调整。

这其中在于把被积表达式f(x)dx 凑成g(φ(x))φ′(x)dx 的形式，以便选取变换u=φ(x)化为易于积分()g u du ?，最终引入将新变量（u ）还原为起始变量（x ）。

例7：求dx x

?-3321. 分析：dx x

?-3321=)32()32(3131x d x ----，其中外函数是幂函数. 解：令u=2-3x ，

dx x ?-3321=?--du

u 3131

=c u +-322

1 =c x +--32

)32(21 技巧：形如sin sin mx nxdx ?、sin cos mx nxdx ?（m ≠n ）可用积化和差公式将其变形为dx x n m x n m ])cos()[cos(21+--?、dx x n m x n m ])sin()[sin(2

1-++?. 例8：求?xdx x x 3cos 2cos 4sin . 解：x x x x x x 3cos )2sin 6(sin 2

13cos 2cos 4sin += =x x x x 3cos 2sin 3cos 6sin 2

1+ =x x x x sin 4

15sin 413sin 419sin 41-++ ??-++=

dx x x x x xdx x x )sin 3sin 5sin 9(sin 413cos 2cos 4sin =c x x x x ++---cos 4

13cos 1215cos 2019cos 361 第一类换元积分法是积分中的基本方法，用处很广，其中最关键的一步是凑微分，即把被积函数中的一部分送到微分号里面，凑成基本公式的形式。拼凑时，不但要熟悉基本的微分公式，还要经过一些恒等变换，才能真正运用凑微分法的内涵。

3.2 第二换元积分法

3.2.1 第二换元积分法的定义和分析

第二类换元积分法，其原积分变量为新的积分变量的函数。

一般地，如果在积分()f x dx ?中，令()x t φ=,且()x t φ=可导，φ′(t)≠0,

则有()[()]()f x dx f t t dt φφ=??′，若该式右端易求出原函数F(t)，则得第二类换元

积分法：()[()]f x dx F x c φ=+?′

。 简单的说，第二类换元积分法的基本步骤：

(())()[()]()x t f x dx f t t dt φφφ=?????→??换元令′ ()F t c ???→+积分

11[()]F x c φφ--????

?→+回代t=(x)

3.2.2 第二换元积分法的运用 一般地，被积函数中含有根式，采用第二换元积分法，目的是去掉根号。

(1) 简单根式代换：()f x ax bdx +?，令t b ax =+。

例9：求

321x dx x +?.

解：令21x t +=，则21x t =-得21tdt

dx t =- 32222(1)111

x t t dx tdt x t t --=+-?? 231(1)3t dt t t c =-=-+?=2321(1)13

x x c +-++ 若被积函数中含有多个x 的n （n 为整数）次方根，这多个x 的n 次方根次数的最小公倍数是m ，则令m x t =，那么1,m m x t dx mt dt -==。[3]

(2) 三角代换即当被积函数中出现根式22x a +、22x a -、22a x -（a>0）时，可以令x 为其一三角函数，从而使根式有理化。

①

22(,)f x x a dx +?，令x=t a tan (22t ππ-<<) ②

22(,)f x x a dx -?，令x=t a sec (022t t πππ≤<<≤或者) ③ 22(,)f x a x dx -?，令x=t a sin (22t ππ-

≤≤) 例10：求2

21x dx x +?

. 解：令x=dx t a ,tan =2sec tdt 221x dx x +?=22tan ·sec sec t tdt t ?=2tan sec t tdt ?

22322tan (sec )

(sec 1)(sec )

1sec sec 3

1(2)13

td t t d t t t c x x c ==-=-+=-++?? 通过上述代换将被积函数变为有理分式函数或三角函数：a 、当被积函数中含有22a x -，22x a ±等因子时，使用三角代换去掉根号；b 、形如R （x sin 、x cos ）类型的积分，介绍一种新的方法——利用万能公式换元求积分。 万能公式为：令t x =2tan ，则212sin t t x +=，2

211cos t t x +-=，212tan t t x -=， 这一类的万能公式在运用上很广泛。

例11：求?+dx x

x sin )cos 2(1.

解：令t x =2tan ，则212sin t t x +=，2211cos t t x +-= ?+dx x

x sin )cos 2(1=?+?+-+dt t t t t t 2

2212)112(2 =?++dt t t t )

3(122=?++dt t t t 232131 =c t t +++)3ln(3

1||ln 312 =c x x +++)2tan 3ln(31|2tan |ln 312 万能换元的方法虽然普遍，但计算量往往比较大，有时可以根据被积函数的特点，做一些变形后进行积分。变形的基本思路是：(1) 尽量使分母简单，为此或分子分母乘以某个因子，把分母化为x m sin （或x m cos ）得单项式，或将分母整个看成一项。(2)尽量使R （x sin 、x cos ）得幂降低，为此通常利用倍角公式或者积化和差公式以达目的。

(3) 倒代换即被积函数的分母中含有根号时，有时会用到倒代换，形式为

2222222111,,dx dx dx x a x x x a x x a ±--???的不定积分。

当分母中未知量次数较高时，通过变化转换为分子的未知量次数，就会有意想不到的结果，即令t

x 1=。 3.3 换元积分法中值得注意的问题

但是，再换元积分法中值得注意的一个问题：[4]

从原函数的定义即存在定理知，在北极函数的连续区间的原函数是一个连续函数，不应是分段连续函数，在碰见这一类的问题时，应该对该问题进行分段处理。对此，我们解题要加倍小心。 如：求2411

x dx x ++?，给出一种解法： 解：2411x dx x ++? =24(1x x +?·221)x dx x

+ 222211()1()211arctan 22x d x x x

x c x

-=-+-=+? 在其中，被积函数的定义域是（,-∞+∞），二 上述两种情况是在假定x 0≠的情况下计算出来的，因此，所得结果只能在(,0)(0,)-∞?+∞内成立，如果把所

求的结果当作在（,-∞+∞）内的一个原函数，那么它在x=0处就间断，因而就是一个分段连续函数，故结果不能认为正确。

为使上述被积函数在（,-∞+∞）中的原函数是连续的，我们必须考路原函数在x=0点的连续性. 由于212x arctg x

-在x=0处的左极限等于2π-，有极限为2π。 因此，F(x)=｛ 2211, x>02222 0 , x=011, x<02222

x arctg x x arctg x ππ-+-- ，

在（,-∞+∞）内由定义且连续，此外，当x 0≠时，可以直接求导得到f （x ）。

利用换元积分法解题明白，但是不能解决所有的题型，下面引入求积分的新方法——分部积分法。

4 分部积分法

4.1分部积分法的定义和分析

直接积分法是求积分的基本方法，换元积分法是求积分的重要方法，若这两种方法均不能得出结果，就要用到下面的积分方法。分部积分法是化简被积函数为可积形式的重要而有效的方法，可看成微分学中两个函数乘积运算的逆运算。

分部积分法定义：设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数，则

udv uv vdu =-??，那么，该积分法使用的范围是两种不同类型函数乘积形式的不定积分。[5]其主要用于解决被积函数是两种初等函数的乘积或单一个函数（对数函数。反三角函数，初等函数）的不定积分。

利用此公式求积分的基本步骤是：

()()udv f x uv f x dx uv dx =?????→???→???分解′凑微分′

()uv vdu uv vu dx uv F x c ?????→-???→-?????→-+??分布积分公式求微分基本积分公式

′

分部积分法的基本思想是化繁为简，当左边的不定积分udv ?不易求解，而右边的不定积分易求解时，则可通过该公式使不定积分udv ?得以解决。该积分法的关键是选择哪个因子当作u ，哪个当作v ，选择不当不仅不会使积分由复杂到简单，反而更复杂。

那么，通过以上讨论，被积函数应该在什么情况下运用分部积分法呢？

4.2 分部积分法的几种题型和分部积分法中u 和dv 的选择

一般被积函数属于下列类型之一时通常使用分部积分法：

① 被积函数是两个不同类型函数的乘积；

② 被积函数含有对数函数；

③ 被积函数含有三角函数。

由以上条件可有三种题型及解法：

(1) 形如x ,sin ,cos n k x n n e dx x kxdx x kxdx ???依次按排列的顺序分别变换成

111(),(cos ),(sin ).n k x n n x d e x d kx x d kx k k

k -???. 例12：求积分sin x xdx ?.

分析：是两个不同函数的乘积，所以可用分部积分法。

解：sin x xdx ?=(cos )xd x -?

(cos )(cos )cos sin x x x dx x x x c =---=-++? (2) 形如ln ,arctan ,arcsin n n n x xdx x xdx x xdx ???依次按

排列的顺序分别变换成 111111ln (),arctan (),arcsin ().111

n n n xd x xd x xd x n n n ++++++???[6] 例13：求积分ln x xdx ?.

解：ln x xdx ?=222111ln ()ln (ln )222x x x x x d x =-?? 22222111ln 2211ln 22

11ln 24

x x x dx x

x x xdx x x x c =-=--=--+?? 合适的运用分部积分法来计算上述题型,就必须对其中的u 与dv 进行正确的选择。如果被积函数是由“反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数”（后面简称“反，对，幂，指，三”）中的任意两个函数的乘积时，按此顺序，谁在前面，谁就做u ，其余的与dx 一起做dv 。

例14：求积分2x ln x dx ?.

分析：不定积分中的被积函数为幂函数与对数函数的乘积，有口决“反，对，幂，指，三”知，将x ln 作为u ，余下2x dx 作为dv 。 解：设u=dv x ,ln =2x dx ,有du=3

1,3x dx v x = 2x ln x dx ?=33ln ln 33

x x x d x -? 32331ln 33ln 39

x x x dx x x x c =-=-+?

小结：要快速的掌握分部积分法，首先必须了解该积分方法的思想——比较难求的积分udv ?来计算；其次，应该掌握对u 与dv 的选择。在积分学中，分部积分法中有几种简便方法：

(1) 当一个积分的被积函数是“反，对，幂，指，三”中的任意两类函数的乘积时，按此顺序；谁排在前，u 就选谁，可以正确快速地利用分部积分法求出积分；

(2) 当被积形式为(),()sin ,()cos kx n n n P x e dx P x kxdx P x kxdx ???可用斜式相乘法求积分。[8]

5 有理函数的不定积分及待定系数法

5.1 有理函数的不定积分的定义和分析

有理函数的不定积分不仅是微分学中的一个重要内容，也是不定积分学习中的一个重点和难点。有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下

形式的函数：R(x)=()()

m n P x Q x . 其中有理函数可以分解为多项式（即有理整式）与真分式之和，多项式易于求积分，而真分式可以化为部分分式的和求积分。在将真分式分解成部分分式的和时，对于简单的问题，可以用观察法进行拆分；复杂的则要另寻他法。

那么，有理函数的积分形如

?dx x R )(的积分，其中11011011(),()m m n n m m m n n n P x a x a x a x a Q x b x b x b x b ----=+++=+++；

m 和n 均为非负整数；0101,,,,m n a a a b b b 及都是实数，且000,0a b ≠≠.

当m

5.2 待定系数法在不定积分中的运用 那么，有理真分式()()

m n P x Q x 的积分该如何求解呢？[9] (1) 第一步：对分母Q （x ）在实数解内作标准分解：

1

1

22111()()()()()s t u u s t t Q x x a x a x p x q x p x q λλ=--++++，在多项式Q （x ）

中 0,1,(1,2,,;1,2,,)i j b u i s j t λ===均为自然数，而且i λ的前s 项的和与j u 的

前t 项的和的二倍相加等于m ；j=1，2，

，t. 第二步：根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()k x a -的因式，它所对应的部分分式是 122;()()k k

A A A x a x a x a +++--- 对每个形如2()k x px q ++的因式，它所对应的部分分式是

11222222()()

k k k B x C B x C B x C x px q x px q x px q ++++++++++++. 把所有部分分式加起来，使之等于R （x ）。

第三步：确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，而其分子亦应与原分子P(x)恒等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程即为要确定的系数。

(2) 对于有理真分式，可以看成以下几种情况：

①当分母Q(x)含有单因式x-a 时，分解式中应有一项A x a

-，A 为待定系数； ②当分母Q(x)含有重因式()n x a -时，部分分式中相应有n 个项，分母按()n x a -的次数依次降低为一次，分子为待定系数；

③当分母Q(x)中含有质因式2x px q ++时，部分分式中相应的有一项2Ax B x px q +++. 例15：求积分43223518356

x x x x dx x x --+--+?. 解：该被积函数为假分式，利用多项式除法，得

43223518356

x x

x x dx x x --+--+?=223(21)56x x x dx dx x x ++++-+?? 然后再把上面真分式化成部分分式之和，利用待定系数法，令

23356(2)(3)23

x x A B x x x x x x ++==+-+---- 去分母，得（x+3）=A(x-3)+B(x-2) 得A=-5、B=6.

故

43223518356x x x x dx x x --+--+?=256(21)23x x dx dx dx x x -+-++--???

32125ln |2|6ln |3|3

x x x x c =+---+-+ 用待定系数法将其复杂的有理函数变为有理真分式的代数和，然

后用前面的方法逐项积分。该方法的基本步骤：

① 先考察被积有理函数是真分式，还是假分式。如果是假分式，在通过带余

除法化为多项式和真分式之和；如果是真分式，则进行第（2）步;

② 在实数范围内把分母多项式分解成若干个一次因式和二次因式之积; ③ 设定真分式函数分解成若干部分分式之和的形式;

④ 利用待定系数法等方法求出各部分分式的分子所有系数；

⑤ 对多项式（如果有理函数是假分式）和各部分分式分别进行积分并求和。

6 小结

为使复杂的函数积分，变得简单易学，根据直接积分法，换元积分法，分部 积分法，等的特点.使()f x dx ?逐步向基本公式接近。

以下是总结的一些技巧：

1 补项法即将被积函数f(x)的某部分“加一项，减一项“后，使不定积分 接近积分基本公式，求出结果；

例16[10]：求?+2)

1(x e dx . 解：?+2)1(x e dx =?+-+dx e e e x x x 2)1()1(=??+-+2)

1(1x x x e dx e e dx =c e

e e e d e dx e x x x x x x ++++=++-+??---11)1ln()1()1(12 2 乘除法即将被积函数f(x)“同乘同除”某式子，经过适当的运算求结果；

例17：求?+dx x x )

1(13. 解：?+dx x x )1(1

3=?+)()

1(1333x d x x =?+-)()111(31333x d x x =c x x c x x ++-=++-|1|ln 3

1||ln |]1|ln ||[ln 31333 3 拆项法即根据被积函数f(x)的特点，用观察法将被积函数有效地拆成n 项，再逐步求积分；

例18：求?+-+-dx x x x x )

1)(1(22222. 解：?+-+-dx x x x x )1)(1(22222 dx x x x x x )

1)(1(112222+-+++-= ?+-++-=dx x x x x )

1)(1()1()1(222 =?

??-++-+dx x dx x dx x x 1111122 =c x x x +-+-+|1|ln arctan )1ln(21

2

4 三角法指被积函数f(x)为三角函数，通过对三角函数有效的恒等变换， 然后使用一定的积分法，求出不定积分；

例19：求?dx x

x 3cos sin 1. 解：?dx x x 3cos sin 1?+=dx x

x x x 322cos sin cos sin

=dx x x dx x

x ??+cos sin 1cos sin 3 =??++dx x x x x x

x d cos sin cos sin cos )(cos 223 =c x x x

++-|cos sin |ln cos 212 5 换元法即对积分变量进行有效的置换，然后利用适当的积分方法求出结 果；

6 微分法即被积函数f(x)中的某一部分的导数恰好是另一部分的倍数，用 “凑微分法”特别有效，这后两种技巧在文中有详细的讲解和举例。

根据不同题型的特点采取上述不同的方法，经过适当的变形后才能应用上 述方法。因此，不定积分的计算方法灵活性很强，必须熟练掌握这些方法，才能 运用自如。

最新不定积分解题中的若干技巧-何志卿[1]

不定积分解题中的若干技巧-何志卿[1]

不定积分解题中的若干技巧 何志卿 （井冈山大学数学系江西吉安 343009） 指导老师王丹华 【摘要】：给出了不定积分的三种常用求解方法，结合实例，讨论了这三种求解方法在求解不定积分时的若干技巧，对掌握求解不定积分的方法有一定的借鉴意义。 【关键词】：不定积分；求解；技巧 1 问题的提出 数学分析是数学系大学生必修的基础理论课，其任务是使学生掌握逻辑思维方法和提高学生使用数学手段分析解决问题的能力，为后续的专业课提供数学工具和解决问题的手段。不定积分是积分学的基础，更关键的是，对不定积分理解的深浅、掌握的好坏，不仅直接关系到数学分析课程本身，而且还会影响相关课程的学习和掌握，对学习定积分、线积分、面积分、重积分和有限元等知识都有重要意义。 我们知道，在求一些函数的导数时，无论给定函数的表达式有多么复杂，我们总可以按照求导法则，按部就班地求出其导数。也许正是因为求导过程比较简捷明了，从而决定了它的逆过程即求不定积分的过程似乎变得复杂而烦琐，没有一个统一的法则可以遵循。但恰恰由于这种复杂性，也预示着不定积分解题中的技巧是灵活多变的，技巧性也是较强的?Skip Record If...?。对不定积分求解方法进行归类处理，不仅使求解不定积分的方法条理清楚，而且有助于提高对不定积分概念的理解，激发学习兴趣，对学好微积分具有一定的参考价值。为此，本文正是对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳探讨。 2 不定积分求解的归类处理 解不定积分的常规方法有三种，即直接积分法（凑微分法）、换元法（第一、第二换元法）和分部积分法。这三种方法规定了不定积分方法的大方向，是进行不定积分运算的总原则。不定积分解题的灵活性和技巧性较强，积分方法种类繁多，但各种方法都是在这三种常规方法的基础之上进行改进和拓展而得。因此，熟练掌握常规的三种方法是求解不定积分的基础。三种方法的详细介绍及其论证可以参考

不定积分求解方法及技巧小汇总

不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。 一?不定积分的概念与性质 定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有F'(x)=f(x)dx则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数 F (x),使得F (x) =f(x) (x I) 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝U (1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； (2)f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2 设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数 F (x) +C称 为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分 变量，C称为积分常数。 性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x) g(x)]dx= f(x)dx g(x)dx. 性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，贝U kf(x)dx=k f(x)dx. 二.换元积分法的定理 如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ (x)] ( (x).做变量代换u= (x),并注意到’(x) dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有 g(x)dx= f[ (x)] ( (x)dx= f(u)du. 如果f(u)du 可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

七大积分总结

七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二）

不定积分的若干计算方法

题目：不定积分的若干计算方法 学生：学号： 学院：数学与计算科科学学院 专业：数学与应用数学 入学时间： 2009 年 09 月 指导教师：职称： 完成日期： 2013 年 4 月 15

诚信承诺 我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《不定积分的若干计算方法》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。 承诺人（签名）： 2013 年 4 月 15 日

不定积分的若干计算方法 摘要：不定积分的计算问题是微积分学中的一项重要内容，其计算方法多种多样且技巧性较强。本文对不定积分的计算方法进行了分类和总结，其中主要包含两部分，一部分是常规方法如直接法、凑分法、分部积分法等，这些方法在不定积分的计算中使用的频率较高且较为简单。另一部分是特殊方法，包括倒代换、有理分式法、互余法等，这些方法通常在计算中运用起来较为灵活多变。 关键词：不定积分；凑微分；分部积分；倒代换;换元 Several Calculation Methods Of Indefinite Integral Abstract:Indefinite integral calculation problem is an important content of infinitesimal calculus, and the calculation method of indefinite integral and variety and strong skill. In this paper, many indefinite integral calculation method has carried on the induction, through examples summarizes some commonly used methods, including direct send, and gather together, change element method, etc. In this paper, some special technical problems at the same time also to do some special instructions, sums up some special methods, including the generation of renewal, mutually complementary method of recursive method, etc. Key words:Indefinite integral; Gather together differential; Division of integral; Substitution; 目录

不定积分的常用求法(定稿)[1]

郑州大学毕业论文 题目：不定积分的常用求法 指导老师：任国彪职称：讲师 学生姓名：王嘉朋学号：20082100428 专业：数学与应用数学（金融数学方向） 院系：数学系 完成时间：2012年5月25日 2012年5月25日

摘要 微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。 关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。 Abstract: Calculus is short for differential calculus and integral calculus and its foundation is one of the most important events in math history. Relevant knowledge in indefinite integral is very significant in calculus learning. Grasping solutions to indefinite integral is the premise of leaning calculus well. Besides, there is correlation between solutions to indefinite integral and definite integral. Indefinite integral can be applied in obtaining area and mass. However，calculating indefinite integral is one of the most hardest parts in math analysis. A variety of methods can be used in seeking indefinite integral. This paper introduced the origin of calculus, founding and developing history. Besides, through some examples based on understanding of indefinite integral，this paper also summarized solutions to indefinite integral. Keywords: calculus; differential calculus; integral calculus; solutions

定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L

求定积分的四种方法

定积分的四种求法 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1 用定义法求2 30x dx ?的值. 分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限． 解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n ． （2）近似代替：△3 2()i i i S f x x n ξ??=?=? ??? （3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===???????≈?=? ? ? ???????∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞????????+++?? ? ? ????????? ?? ＝4 43332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞??+++=?+? ? ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4． ∴2 30x dx ?=4．. 评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲． 二、微积分基本定理法 例2 求定积分2 21(21)x x dx ++?的值. 分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．

解：函数y ＝2 21x x ++的一个原函数是y ＝3 23x x x ++． 所以.2 2 1(21)x x dx ++?＝3221()|3x x x ++＝81421133????++-++ ? ?????＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原 函数． 三、几何意义法 例3 求定积分1 1dx -?的值. 分析：利用定积分的意义是指曲边梯 形的 面积，只要作出图形就可求出． 解：1 1dx -?表示圆x 2＋y 2＝1在第一、 二象限的上半圆的面积． 因为2S π= 半圆，又在x 轴上方． 所以1 1)d x -?＝2 π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法 例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx π π-?；⑵22sin 1 x x dx x ππ-+?． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解． 解：由被积函数tan x 及22sin 1 x x x +是奇函 数，所以在对称区间的积分值均为零．

定积分求面积

找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。 这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。 这个求和公式称为积分和。设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。 之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。

根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法： 特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下： 1.当a=b时， 2.当a>b时， 3.在整数前可以提到常量。 4.代数和的积分等于积分的代数和。 5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。 6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。 7.积分中值定理：如果f(X)在[a，b]上连续，则在[a，b]中至少有一个点ε

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

求不定积分的方法及技巧小汇总

求不定积分的方法及技巧小汇总~ 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种： acht x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

不定积分解题方法及技巧总结

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a

利用定积分求曲线围成的面积

12.9 利用定积分求曲线围成的面积 武汉外国语学校 汪家硕 一．复习回顾： 1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。 2.牛顿—莱布尼茨公式 定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 二．曲线围成的面积 1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为： ()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-? ?? 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。 解：先求出P 点坐标。 解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=? ∴ P 点的坐标是(2,4)。 ?b a f (x )dx =?c a f (x )dx +?b c f (x )dx 。

所求的面积= 2 23 22 00 84 24 333 x x x dx x ?? -=-=-= ?? ?? ? 例1 例2．计算曲线 21 y x =+和2 4 y x =-，以及直线1 x=和1 x=-所围成的区域面积。 解：所求面积= 1 113 222 111 214 4(1)323 33 x x x dx x dx x --- ?? --+=-=-= ?? ?? ?? 例2 2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？ 考虑区间112233 [,],[,],[,],[,] a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为： 123 123 ()()()()()()()() c c c b a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+- ???? 例3：求 3 () f x x =和() g x x =所围成的封闭区域面积。 解：当()() f x g x =时图像的交点， 即 332 0(1)0 x x x x x x =?-=?-= 01 x ∴=± 或 例3

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

求不定积分的若干方法讲解

目录 中文摘要 (3) Abstract (4) 1 引言 (6) 2 直接积分法 (6) 2.1原函数和不定积分的定义 (6) 2.2直接积分法的运用方法 (6) 3 换元积分法 (7) 3.1 第一换元积分法 (7) 3.1.1 第一换元积分法的定义与分析 (7) 3.1.2 第一换元积分法的运用 (7) 3.2 第二换元积分法 (10) 3.2.1 第二换元积分法的定义和分析 (10) 3.2.2 第二换元积分法的运用 (10) 3.3 换元积分法中值得注意的问题 (12) 4 分部积分法 (13) 4.1分部积分法的定义和分析 (13) 4.2分部积分法的几种题型和分部积分法中u和dv的选择 (14) 5 有理函数的不定积分 (15) 5.1 有理函数的不定积分的定义和分析 (15) 5.2 待定系数法在不定积分中的运用 (16) 6 小结 (17) 参考文献 (20)

1 引言 数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。 2 直接积分法 2.1 原函数和不定积分的定义 (1) 原函数定义:设函数f 与F 在区间I 上都有意义，若F ′(x)=f(x)，x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。例如：f(x)是R 上的一个原函数，其中f ′(x)是f(x)的导函数，那么f(x)即为f ′(x)的原函数。 注意：初等函数都是连续函数，所以均有原函数。 (2) 不定积分定义： 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作()()f x d x ?，其中?为积分号，f(x)是被积函数，x 为积分变量。即 ()()f x d x ?=F(x)+C.若F 是f 的一个原函数， 则称y=f(x)的图像为f 的一条积分曲线。即f 的不定积分为沿y 轴任意平移的曲线族。 2.2 直接积分法的运用方法 直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。该方法是求不定积分的基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。 (1) 利用二项式定理将二项式变为多项式，从而变为多个单项式求积分； 例1：3 22345(2)(8126)x x dx x x x x dx -=-+-?? 34568613356x x x x c =-+-+ (2) 利用代数公式或三角公式将积商形式的被积函数化为代数和的形式，并使每一项都符合积分公式； 例2： 12525823333333(1)363(2)258x dx x x x dx x x x c x -+=++=+++?? (3) 对分式函数还可以根据分母的情况，将分子拆项或拼凑，化为几个分式的代数和后再约分，使其符合积分公式； 例3： 222222221(1)11(1) (1)1x x dx dx dx dx x x x x x x +-==-+++????