整体思想在初中数学中的应用
刘美全
【摘要】整体思想是初中数学中的一种重要思想。本文从五个方面对整体思想在初中数学解题过程中的常见应用举例分析，使学生进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，提高解题能力.
【期刊名称】考试周刊
【年(卷),期】2013(000)022
【总页数】2
【关键词】整体思想初中数学应用
整体思想是初中数学中的一种重要思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种重要策略.
所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种常见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.
一、整体思想在求代数式的值中的应用
例1：已知a2-a-1=0，求a3+2a2+2012的值.
分析：此题若先从已知条件a2-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a2-a-1=0转化为a2-a=1，再把a2-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、容易.
第二讲：整体思想在初中数学中的应用 【写在前面】 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 【例题精讲】 一．数与式中的整体思想 例1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.27- 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b -的形式，再整体代入求解． 解：112242b 6112272(4)7 2()7a ab b a a b ab b a ------===-+?-+-+ 说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解． 例2．已知代数式25342 ()2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为 解：因为当1x =时，值为3，所以 231a b c d +++=+，即11a b c d ++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d -++=+=-+=+ 例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2 a b b c c a ??=-+-+-??，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得
初中数学思想之整体思想 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?，那么关于x ， y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 三．函数与图象中的整体思想 【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式 四．几何与图形中的整体思想
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中学数学中常见的数学思想有哪些？ 答题内容： 1、化归的思想方法： 所谓化归思想方法又叫转换思想方法、也叫转换思想方法、也叫转化思想方法，是一种把未解决的问题或特解决的问题，通过某种方式的转化，归化到一类已经能解决或比较容易解决的问题，最终得原问题的解答的思想方法.化归思想方法的三要素：化归谁（化归对象）、化归到哪（化归目标）、怎样化归（化归方法）.常见的化归方式有：已知与未知的化归、特殊与一般的化归、动与静的化归、抽象与具体的化归等. 化归思想方法的特点：是实际问题的规范化、简单化、熟悉化、模式化、直观化、正难侧反思化、以便应用已知的理论、方法和技巧到解决问题的目的.其形式如图所示： 例如方程问题转化为不等式问题：已知关于，的方程组，的解满足 ,求的取值范围. 解析：先解关于，的方程组，再把用表示的，的代数式代入不等式组中，解关于的不等式组. 2、数形结合的思想方法 所谓数形结合的思想方法是指把数学问题用数量关系与图形结合起来解答数学问题. 数形结合的思想方法的特点：数→形→问题的解答；形→数→问题的解答；数形，问题的解答. 例如：如图所示、在数轴上的位置，请化简 + 的结果是: 3、分类讨论的思想方法 所谓分类讨论的思想方法是指根据所研究的问题的某种相同性和差异性将它们分类来进行研究的思想方法. 分类讨论的思想方法的特点：分类不能重复也不能遗漏；同一次分类时，标准须相同；分类须有一定的范围，不能超范围. 例如：三角形按边分类方法：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形又可分为等边三角形、底边和腰不相等的等腰三
整体思想在初中数学中的应用 整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略. 所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力. 一、整体思想在求代数式的值中的应用 例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值. 分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易. 解：∵a-a-1=0 ∴a-a=1 ∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012 =a（a+a）+（a+a）-a+2012 =（a+a）（a+1）-a+2012 =1×（a+1）-a+2012 =2013 例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值. 分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.
解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8. 将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26. 二、整体思想在因式分解中的应用 例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1. 分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2） （a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2） （a+2a+4）+1 =[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1 =（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1 =（a+2a）+6（a+2a）+9 =（a+2a+3） 三、整体思想在解方程或方程组中的应用 例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0. 分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易. 解：设x-1=y，则原方程可化为 y-5y+4=0 解得y=1，y=4.
教师:陈晓静学生:胡钰婧年级日期: 星期:时段:
因为x 2－x －1＝0，所以x 2＝x +1， 所以－x 3+2x +2008＝－x 2x +2x +2008 ＝－x (x +1)+2x +2008 ＝－x 2－x +2x +2008 ＝－x 2+x +2008 ＝－(x 2－x －1)+2007 ＝2007. 练习：1.当x=1时，34ax bx ++的值为0，求当x= －1 时，34ax bx ++的值． 2.(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元． 例6、(08烟台)已知()()213x x x y ---=-，求222x xy y -+的值（提示：已知存在 () 2 222x y x xy y +=++恒成立） 课内练习与训练 一、填空题 1、已知代数式6432+-x x 的值为9，则63 4 2+- x x 的值为 2、若923=-b a ，则代数式24 3 21+-a b 的值是 3、当3=x 时，代数式73++bx ax 的值为5，则当3-=x 时，代数式73++bx ax 的值为 4、如图，在高2米，底为3米的楼梯表面铺地毯， 则地毯长度至少需 米。 5、若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需11元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需 元。 6、已知代数式 2) (2 4352++++dx x cx bx ax x ，当1=x 时，值为3，则当1-=x 时，代数式的值为
本次课后作业 学生对于本次课的评价： ○特别满意○满意○一般○差 学生签字： 教师评定： 1、学生上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化 2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化 教师签字： 校区主任签字： 龙文教育教务处
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。 ------------引自百度百科 一、整体设元 例1： ） （原式） （，即两式相减得： ） （那么 ） （解：设 的值。 求解41-231-21-2S -2.222...22221,2...22212...22212019201920192019201832201832201832=∴==+++++=+++++=+++++S S S S 这是一道等比数列求和的题，虽然是高中知识，但是初中，甚至很多小学生都碰到过这样的题目。我们来做一个详细讲解： （1）常见的整体设元法 （2）把（1）式左右两边同时乘以2，对比一下两个式子，（1）式除了第一项、 （2）式除了最后一项，其余的部分是完全一样的 （3）两式相减，就把所有相同的部分减掉了 （4）得出结果 这道题运用了两次整体思想，第一次是整体设元，第二次是整体相减。 例2： 就有了两个方向： 我们利用整体设元法时它拆开重组， 为了配合乘法分配律把两次，两次，出现四次，仔细观察发现，断重复出现， 它的特点是里面的数不见到的一类题，这是小学和初中都经常3 12114131213121)3 121()4131211()413121()31211(++++++?+++-++?++
41 ) .()b ()1(b 1,4 13121,3121a )1(=-=--+=+-+=?+-?+=++=+=a b ab a a b b ab a ab a b a b ）（原式设拆第一个括号 4 1)(4 14 141)41()41()4 1()41(a ,3 12131211)2(=-=--+=+-+=?+-+?=+=++=b a b ab a ab b ab a ab b a b b a 原式，设拆第二个括号 二、整体处理 例3： 甲乙两人从相距5千米的两地同时出发,相向而行,甲的速度为6千米/小时,乙的速度为4千米/小时,一只小狗与甲同时出发向乙奔去,遇到乙后又立即调头向甲跑去,遇到甲后又立即向乙跑去....直到甲乙二人相遇为止,若小狗的速度是13千米/小时,在这一奔跑过程中,小狗的总行程是多少千米? 这是一道经典的奥数题，如果按照常规思路，要么分段计算小狗的路程，要么分段计算小狗的时间，似乎都没办法进行画图分析，但如果我们能把小狗的整个运动过程看作一个整体，思路一下子就出来了。 小狗和甲乙一起出发一起停止，所以小狗的运动时间就是甲乙两人的运动时间，这个很容易求出来，题目又告诉了我们小狗的速度，所以， （1）求甲乙两人的运动时间： 相遇时间=路程÷速度和 =5÷（6+4） =5÷10 =0.5（h ） （2）求小狗的路程
“整体思想”在整式运算中的运用 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考： 例1、已知2083-= x a ，1883-=x b ，1683-=x c ， 求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值 解析：本题若将a 、b 、c 的值直接代入计算，则复杂繁琐，显然不可取，考虑到： bc ac ab c b a ---++222=])()()[(2 1222a c c b b a -+-+-，而由题设可以求得a c c b b a ---,,的值，整体代入，则化繁为简，迅速可解 由2083-=x a ，1883-=x b ，168 3-=x c ，可得4,2,2=--=--=-a c c b b a 从而bc ac ab c b a ---++222=])()()[(21 2 22a c c b b a -+-+- =12242 1]4)2()2[(21 222=?=+-+- 例2、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值 解析：由题设条件求出y x ,的值，再分别代入待求式计算， 有一定困难，可考虑将待求式)1)(1(2 2++y x 变形，用y x +和xy 来表示，然后再整体代入求值 )1)(1(22++y x =12)()(1222222+-++=+++xy y x xy y x y x 把4=+y x ，1=xy ，整体代入得到：161124122=+?-+ 即)1)(1(2 2++y x =16
一、用字母表示数的思想，这是基本的数学思想之一 在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。例如： 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b） (2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b 二、数形结合的思想 “数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。实中数学教材中下列内容体现了这种思想。 1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。 3、函数式与图像之间的关系。 4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。 5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。 6、“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。 三、转化思想
在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想： 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。 2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。 3、“圆”这一章中，证明圆周角定理进所做的分析：证明弦切角定理的思路：求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的。 4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。 四、分类思想 集合的分类，有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。 五、特殊与一般化思想 1．“圆”这一章中，证明圆周角定理和弦切角定理时用的是特殊到一般的方法，而相交弦定理及其推论则是一般到特殊的思想运用。 2.“整式乘除”这一章，首先人数和的运算特例中，抽象概括出幂的一般运算性质。乘法公式的推导则是采用一般到特殊的推导过程。 六、类比思想 1．不等式的性质，一元一次不等式的解法等内容时多采取与等式的性质，
整体思想在初一数学中的应用 解决数学问题时，人们常习惯于把它分解成若干个较简单的问题，然后各个击破，有时研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大考察问题的视觉，将所有需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，顺利而又简捷地解决问题，这种从整体观点出发研究数学问题的数学思想称为整体思想。它是一种重要的数学观念，也是数学解题中一种常见的思维方法，尤其在各种数学竞赛中表现得较为突出，有些数学问题，若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则轻而易举。 引例：计算： 111111111111111123 201623420172320172342016????????++++++++-++++++++ ??? ???????????L L L L ＝___________________. 一、整体思想在代数式求值中的应用 1.当x ＝－6时，代数式531ax bx cx ++-的值为5，则当x ＝6时，这个代数式的值为_________. 2.已知：241x x -=，则（1）23122x x --＝_________；（2）32532018______x x x -++=. 3.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 同时满足： 1,2,3,4,6,9bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，求a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 的值.
二、整体思想在方程（组）中的应用 1.二元一次方程组264316 x y x y +=??+=?的解是________________. 2.已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元. 3.解方程：226201620172018x x x -+++= 三、整体思想在几何图形中的应用 1.如图是一个3×3的正方形网格，则 ∠1＋∠2＋……＋∠9＝___________.
初中数学常用思想方法专题讲解 引入语 数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识和技能的灵魂.正确运用数学思想方法是在中考数学中取得好成绩的关键. 解中考题时常用的数学思想方法有：整体思想、分类讨论思想、方程思想、转化的思想、数形结合思想、归纳与猜想的思想等. 中考解读 数学思想是解决数学问题的灵魂，它在学习和运用数学知识的过程中起着关键性的指导作用.数学思想方法是中考考查的重点内容之一，还因为它是解决数学问题的根本策略，也是学生数学素养的重要组成部分.数学思想总是在解决问题的过程中体现出来，在中考中不会出现单纯的数学思想题目，这就增加了数学思想的掌握和训练的难度，但它也是有规律的，只要勤于思考和总结，经过适当的训练，相信你一定能够掌握初中数学常用的思想方法.回顾近年全国各地的中考题，不难发现数学思想方法的考查频率越来越高，涉及的知识点也越来越多.预计2009年中考，对数学思想方法的考查可能呈现以下趋势：需要利用数学思想求解的题目稳中有增，涉及的知识点更加分散.其中，函数与方程思想的考查，很可能集中体现在应用题中；数形结合思想的考查以选择和填空为主；分类讨论思想的考查主要在求解函数、不等式、空间与图形、概率等问题中出现；……，总之，数学思想的掌握和训练应引起同学们的重视. 复习策略 由于数学思想总是渗透在问题中，所以复习中要抓关键类型，突出重点知识和方法，比如方程思想与函数思想的联合复习等；要注意挖掘课本例、习题的潜在功能，以题思法，推敲其中的思想方法，多角度多侧面探讨条件的加强与弱化、结论的开放与变换、蕴含的思想方法、及与其他试题的联系和区别等，提高复习的效率. 题型归类 一、整体的思想 整体思想是将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向与策略.运用整体思想解题，往往能为许多中考题找到简便的解法. 例1 （苏州市）若220x x --= ） A B C D 分析：已知条件是一个一元二次方程，通过求出方程的解再代入计算，当然可以得到结果，但是显然很繁.注意到，条件可以转化为22x x -=，而且要求值的代数式中的未知部分都是2x x -，所以可以整体代入. 解：由条件得：22x x -= 2 213.故应选A. 评注：从结构上对题目的条件和问题进行全面、深刻的分析和改造是应用整体思想的基础和关键.
初中数学常见的思想方法Prepared on 21 November 2021
初中数学常见的思想方法 特殊与一般的思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。常见情形为：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。 整体的思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。 分类讨论的数学思想：也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。分类讨论的原则是：（1）完全性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；（2）互斥性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原则，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合得出结论。常见的情形为：由字母系数引起的讨论；由绝对值引起的讨论；由点、线
初中数学中整体思想在代数中的应用 有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会． 一、 整体代换 整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。 例1：已知22007a d +=，22008b d +=，2 2009c d +=，且abc ＝24，求111a b c bc ca ab a b c ++---的值。 解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换： 由已知可得：1a b -=-，1b c -=-，2c a -=则 原式＝2221()a b c bc ac ab abc ++--= 2221[()()()]2a b b c c a abc =-+-+-11(114)488 =?++= 二、整体设元 整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。 例2：计算：1111111(1)()2320072342008 ---???-+++???+ 1111111(1)()2320082342007 ----???-+++???+ 解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设11112342007a +++???+=，则原式＝11(1)()(1)20082008 a a a a -+--- 221200820082008a a a a a a =+---++12008 = 三、整体变形
初中数学常见的思想方法 特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。常见情形为：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。 整体的数学思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。 分类讨论的数学思想：也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。分类讨论的原则是：（1）完全性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；（2）互斥性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原则，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合得出结论。常见的情形为：由字母系数引起的讨论；由绝对值引起的讨论；由点、线的运动变化引起的讨论；由图形引起的讨论；由边、点的不确定引起的讨论；存在特殊情形而引起的讨论；应用问题中的分类讨论等。
浅谈初中数学教材中的数学思想方法 池州十一中学王岩 摘要：掌握数学思想方法是提高学生数学素质的必要条件，初中数学教材中处处渗透着数学思想方法。本文就几种重要的数学思想方法——数形结合、化归、分类、整体、类比、特殊与一般及其在教材中的体现做些简单的介绍。 关键词：初中数学、数学思想方法 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，它是数学学习的精髓。初中数学教材涉及的数学思想很多，这里就几种主要的数学思想及其在教材中的体现作一小结。 一、数形结合的思想 数形结合思想是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。通常认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的。 初中数学教材中下列内容体现了这种思想：数轴上的点与实数的一一对应的关系；平面上的点与有序实数对的一一对应的关系；函数式与图象之间的关系；线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形；解直角三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题；“圆”这一章中，圆的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的；统计中的绘制统计图表，用这些图表来反映数据的分布情况、发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。这是数形结合思想在实际中的直接应用。 二、化归思想 在整个初中数学中，化归思想一直贯穿其中。所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过该问题的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，称之为化归法。但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。从而求得新问题的解决。它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想：分式方程的求解是把分式方程转化为前面学过的一元一次方程或一元二次方程求解，体现了化归思想；解直角三角形，把非直角三形问题化为直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题；“圆”这一章中，证明圆周角定理所进行的分析，求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的；把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决等等。 三、分类思想 为了解决数量关系复杂，甚至盘根错节的数学问题，人们需要根据数学对象的本质属性，
初中数学运算之美 ——整体思想的运用 周鹏 一、教学目标： 1. 让学生理解并掌握数与式及几何运算中的整体思想的运用； 2. 通过引导学生挖掘问题的整体化特征，来构建学生的整体意识； 3. 引导学生从整体上去认识问题、思考问题，培养学生思维的灵活性和敏捷性； 4. 让学生感受数学化繁为简，变难为易的运算之美。 二．知识点分析： 数学整体思想，在初中的学习阶段，主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等。在数与式、方程与不等式、函数与图像、几何与图形等方面。整体思想都有很好的运用。此类问题更具创意、更具新颖性，在培养学生思维能力及创新意识方面有很好的作用。同时，整体思想的运用，常能把繁杂问题通过转化变为简单问题，能让学生在转化过程中体会数学的繁变简、难变易的运算之美。对激发学生的数学学习热情有很大的助力。 三．教法分析： 注重引导学生从整体上分析问题的结构，从整体的角度进行思考，以此培养学生从整体考虑问题的习惯。并通过示例及练习，进一步巩固学生的全局整体观。除此之外，在引导学习过程中，让学生感受到繁变简、难变易的数学运算之美。 四．学法分析： 在解决此类问题时，学会暂时不注重于对问题的某些元素的分析，暂时的忽视或模糊问题的某些细节，而是重视元素之间的联系。从问题的整体结构上去考虑问题的已知及结论之间的相互关系。从整体上把握解决问题的方向，并作出决策。 五．重难点分析： 重点：整体思想在解决问题中的运用； 难点：对问题整体化特征的挖掘。 六．教学设计： （一）新课导入：
提出问题：试计算： ??? ??+???++??? ??+???+++-??? ??+???+++??? ??+???++20071413121200814131211200714131211200814 13121 问：能否采用常规去括号的计算方式来计算？ 思考：如何才能使得计算简便？ （二）典例探究： 例1：已知代数式132+-x x 的值为4，则代数式1622--x x 的值为_________ （分析：引导学生观察已知代数式和所求结论中的“不变”量与“变”量。找到整体“x x 32-”，由已知得到x x 32-=3，将此作为整体代入代数式1622--x x ，得到值为5.） 例2：解方程：x x x x 32543222+=-+ （分析：引导学生观察方程中的整体化特征，找到方程左右两边均有x x 322+，为简 化计算，可设此整体为y ，则变原方程为：y y 54= -,。通过整体代换的方式将方程化繁为简） 例3：回到新课引入例题。 （三）过关练习： 1.若,923=-b a 则代数式 24321+-a b 的值为_________; 2.当x=3时，代数式73++bx ax 的值为5，则当x=-3时，代数式73++bx ax 的值_____; 3.如图，试计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的值。
讲座—《初中数学单元整体教学的思考》 （永定二中赖庆萍） 一、目前教学存在的弊端 我们在教学过程中常常碰到这样的情形，有些教学内容学生还来得及消化吸收，进一步深化认识时就中断了，而后续内容被编排到了下一个年级的教材中，造成知识系统性不强，不便于形成完整的知识体系。按教材顺序“一课一学”，常常在学到某一内容时，总要将以前的相关内容重新学习一遍，零散而缺乏系统的知识，使学生往往只能靠机械记忆、机械套用，缺乏联系的知识学习“束缚”了学生的思维；庞杂的教材“捆住”了老师的手脚；应试的顾虑“羁绊”了学生数学素养的全面提升…这些无法破解的难题“囚禁”了师生的创造力。二、“单元整体教学”应运而生 德州跃华学校进行的“国家课程校本开发”在新课程改革中做了非常好的典范。在2009年9月，德州跃华学校初中部在校长姜风平的带领下随着高效课堂改革的步步深入和完善，高效课堂下的“单元整体教学”应运而生。德州跃华学校的“单元整体教学”与普通课程整合的最大不同在于单元整体教学时一种课程思维下的整合。 三、“单元整体教学”的简介 （一）、单元整体简而言之就是将学科内在联系进行整合，将知识学习与能力培养进行整合，将学习过程与学生发展终极目标进行整合。将课程目标分解到年级，到学期，到单元，依据目标重构“单元”。单元内以规律、方法、学科思想为主线，构建完整的“知识结构体系”。 （二）、单元整体课程关注的核心问题 ①数学和数学教育 一方面，数学是研究数量关系和空间形式的科学；另一方面，从整个教学来看，它是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。 数学教育能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生得创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。 ②数学素养 1）有问题意识，并能解决问题；
数学思想方法一 整体思想 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 例1.已知 114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C. 125 D.2 7 - 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11 a b -的形式，再整体代入求解． 解：112 242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a ------===-+?-+-+ 说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解． 例2．已知代数式25342 () 2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为 解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b c d ++=+，从而，当1x =-时，原式() 21211a b c d -++= +=-+=+ 例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式 222a b c ab bc ac ++---的值． 分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到
龙文教育学科导学案 教师:陈晓静 学生:胡钰婧 年级—日期: _____________ 星期:— 时段: __________ 有的代数式求值往往不直接给出字母的取值，而是通过告诉一个代数式的值，且已知代数 式中的字母又无法具体求出来，这时，我们应想到采用整体思想解决问题，用整体思想求 值时，关键是如何确定整体。下面举例说明如何用整体思想求代数式的值。 一、 直接代入 例 1、如果 a b 5，那么(a+b ) 2— 4 (a+b )= . 解析：本题是直接代入求值的一个基本题型，a 、b 的值虽然都不知道，但我们发现已知式 与要求式之间都有(a b )，只要把式中的a b 的值代入到要求的式子中， (a+b ) 2 — 4 (a+b ) =52 — 4X5=5。 练习：1.当代数式a+b 的值为3时，代数式2a+2b+1的值是 ____________ 2. __________________________________ 已知 3x=a, 3y=b, 那么 3x+y= 二、 转化已知式后再代入 例 2、已知 a 2 — a — 4=0，求 a 2— 2(a 2— a+3)— - (a 2— a — 4) — a 的值. 2 解析:仔细观察已知式所求式，它们当中都含有 a 2— a ,可以将a 2 — a- 4=0转化为a 2 — a=4, 再把 a 2— a 的值直接代入所求式即可。 a 2— 2(a 2 — a+3)— 1 (a 2— a — 4) — a 即可得出结果5. 文中解析可根据学生 情况进行删减，不要 盲目保留
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=a 2— a — 2(a 2— a+3)— 1 (a 2 — a — 4) 2 =(a 2— a)— 2(a 2— a)— 6— 1 (a 2 — a)+2 2 =—3 (a 2— a) — 4. 2 所以当 a 2 — a=4 时，原式=—->4 — 4= — 10. 2 三、转化所求式后再代入 例 3、若 x 2 3x 6，贝U 6x 2x 2 _____________ . 解析：这两个乍看起来好象没有什么关系的式子，其实却存在着非常紧密的内在联系，所 求式是已知式的相反数的2倍.我们可作简单的变形：由x 2 3x 6，可得3x x 2 6，两 边再乘以2，即得6x 2x 2 —12. 例 4、2x 2 3x 7 的值为 8，则 4x 2 6x 9 . 解析：将要求式进行转化， 凑”出与已知式相同的式子再代入求值，即由 4x 2 6x 9得 2 2(x 3x 7) 23 2X8— 23= — 7。 得 4x 2 6x 2，于是 4x 2 6x 9 习题练习: 2.已知a 2 2a 3 0，求代数式3a 2 6a 1的值. 四、同时转化所求式和已知式，寻找共同式子 例5、已知x 2 — x —1 = 0，试求代数式一x 3+2x+2008的值. 解析：考虑待求式有3次方，而已知则可变形为/ = x+1，这样由乘法的分配律可将x 3写成 本题也可将已知式进行转化, 由2x 2 3x 7的值为8,得2x 2 3x 1,两边再乘以2, 1.已知 x 2 x y ，则方程 x 2 x x 2 C. 2 y 2y 1 0 B . y 2 2 y 2y 1 D. 2 y 2y (江苏2009中考数学试题) x 2y 1 3.若 3a 2 a 2
龙文教育学科导学案 教师:陈晓静学生:胡钰婧年级日期: 星期:时段:
x 2x ＝x (x +1)＝x 2+x ，这样就可以将3次降为2降，再进一步变形即可求解. 因为x 2－x －1＝0，所以x 2＝x +1， 所以－x 3+2x +2008＝－x 2x +2x +2008 ＝－x (x +1)+2x +2008 ＝－x 2－x +2x +2008 ＝－x 2+x +2008 ＝－(x 2－x －1)+2007 ＝2007. 练习：1.当x=1时，34ax bx ++的值为0，求当x= －1 时，34ax bx ++的值． 2.(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元． 例6、(08烟台)已知()()213x x x y ---=-，求222x xy y -+的值（提示：已知存在 () 2 222x y x xy y +=++恒成立） 课内练习与训练 一、填空题 1、已知代数式6432+-x x 的值为9，则63 4 2+- x x 的值为 2、若923=-b a ，则代数式24 3 21+-a b 的值是 3、当3=x 时，代数式73++bx ax 的值为5，则当3-=x 时，代数式73++bx ax 的值为 4、如图，在高2米，底为3米的楼梯表面铺地毯， 则地毯长度至少需 米。 5、若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需11元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需 元。 6、已知代数式2) (2 4352++++dx x cx bx ax x ，当1=x 时，值为3，则当1-=x 时，代数式的值为