第三讲整式及其运算
【基础演练】
1．(2013·宁波)下列计算正确的是() A．a2＋a2＝a4B．2a－a＝2
C．(ab)2＝a2b2 D．(a2)3＝a5
解析A．a2＋a2＝2a2，故本选项错误；
B．2a－a＝a，故本选项错误；
C．(ab)2＝a2b2，故本选项正确；
D．(a2)3＝a6，故本选项错误；
答案 C
2．(2013·绍兴)计算3a·2b的结果是( ) A．6ab B．6a C．6ab D．5ab
解析3a·2b＝6ab.
答案 C
3．(2013·湖州市)计算6x3·x2的结果是() A．6x B．6x5C．6x6D．6x9
解析6x3·x2＝6x5.
答案 B
4．(2012·湖州)计算2a－a，正确的结果是() A．－2a3B．1 C．2 D．a
解析2a－a＝a.
答案 D
5．(2012·宁波)下列计算正确的是() A．a6÷a2＝a3B．(a3)2＝a5
C.25＝±5
D.3
－8＝－2
解析A．a6÷a2＝a6－2＝a4≠a3，故本选项错误；B．(a3)2＝a3×2＝a6≠a5，故本选项错误；
C.25＝5，表示25的算术平方根是5，25≠±5，故本选项错误；
D.3
－8＝－2，故本选项正确．
答案 D
6．(2013·台州)计算：x5÷x3＝________.
解析x5÷x3＝x5－3＝x2.
答案x2
7．(2013·嘉兴)化简：a(b＋1)－ab－1.
解析原式＝ab＋a－ab－1＝a－1.
8．(2013·台州)化简：(x＋1)(x－1)－x2
解析原式＝x2－1－x2＝－1.
9．(2013·绍兴)(1)化简：(a－1)2＋2(a＋1)．
解析原式＝a2－2a＋1＋2a＋2＝a2＋3.
10．(2013·宁波)先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3.
解原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝5－4a.
当a＝－3时，原式＝5－4×(－3)＝5＋12＝17.
【能力提升】
11．(2013·聊城)把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16 cm，那么钢丝大约需要加长() A．102 cm B．104 cm
C．106 cm D．108 cm
解析设地球半径为：r cm，
则地球的周长为：2πr cm，
假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16 cm，
故此时钢丝围成的圆形的周长变为：2π(r＋16)cm，
∴钢丝大约需要加长：2π(r＋16)－2πr
≈100(cm)＝102(cm)．
答案 A
12．(2011·嘉兴)一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是()
A．2 010 B．2 011 C．2 012 D．2 013
解析由题意，可知中间截去的是5n＋3(n为正整数)，
由5n＋3＝2 013，解得n＝402，
其余选项求出的n不为正整数，则选项D正确．
答案 D
13．(2011·宁波)把四张形状大小完全相同的小长方
形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形
(长为m cm，宽为n cm)的盒子底部(如图②)，盒
子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②
中两块阴影部分的周长和是()
A．4m cm B．4n cm
C．2(m＋n)cm D．4(m－n)cm
解析设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L
上面的阴影
＝2(n－a＋m－a)，
L下面的阴影＝2(m－2b＋n－2b)，
∴L
总的阴影＝L
上面的阴影
＋L
下面的阴影
＝2(n－a＋m－a)＋2(m－2b＋n－2b)＝4m＋4n－
4(a＋2b)，
又∵a＋2b＝m，
∴4m＋4n－4(a＋2b)
＝4n.
答案 B
14．(2011·衢州)有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：
(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是______________．
(2)小明想用类似方法解释多项式乘法(a＋3b)·(2a＋b)＝2a2＋7ab＋3b2，那么需用2号卡
片______________张，3号卡片______________张．
解析(1)
或
a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)，
(2)1号正方形的面积为a2，2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为ab，所以需用2号卡片3张，3号卡片7张，
答案(1)a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)
(2)37
15．(2011·湖州)如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片________张才能用它们拼成一个新的正方形．
解析甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是4＋4＝8，大于8的完全平方数依次是9，16，25…，而丙的面积是2，因而不可能是9；
当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张．
因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．
答案 4
16．(2011·温州)汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程．某工程队承包了该项目，计划每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设滨海区要加固的海堤长为a 米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了________天(用含a的代数式表示)．
解析由已知得：
原计划用的天数为：a 60，
实际用的天数为：
a
60×1.5
＝
a
90，
则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用的天数为：a
60－
a
90＝
a
180.
答案
a 180
第一章数与式 第二课时 整式及其运算 塔城市第四中学 付玉芝 复习目标： 1.了解代数式和整式的有关概念 2.掌握整式的相关运算法则，并正确进行计算. 复习重点：整式的相关运算法则 复习难点：运算法则进行正确计算. 复习过程： （一）考点知识精讲： 考点一：代数式和整式的有关概念 1．单项式：由数或字母的______组成的代数式叫做单项式．单项式中的_____________叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的________，叫做这个单项式的次数．如：-7xy 2 的系数是____，次数是____． 2．多项式：几个单项式的_____叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的_____，其中次数最高的项的_______叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做_________．如：多项式 3x2-2x+5 有____项，它们分别是______________，其中____是常数项，这个多项式是_____次_____项 3．整式：________与________统称整式．
4．同类项：在一个多项式中，所含______相同，并且相同字母的______也分别相同的项叫做同类项． 6．幂的运算性质 有理数的乘方：a·a·a·…·a=_____． （1）性质：正数的任何次幂都是______；负数的偶次幂是______，奇次幂是______；0的任何次幂(0次幂除外) 都是____；任何数的偶次幂为_________. (2) a m a n =_______ (m，n为整数，a≠0). (3) (a m ) n =_______ (m，n为整数，a≠0). (4) (ab)n =_______ (n为整数，ab≠0). (5) a m ÷a n =______ (m，n为整数，a≠0). 7．整式的乘(除)： (1) 单项式相乘(除)，把它们的_______、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式) 里含有的字母，则连同它的_______作为积(商) 的一个因式． 如：2x2y3·3xyz=_________．8x2y3÷2xy=_______． (2) 多项式乘(除) 单项式：(a+b)m=_________， (am+bm)÷m=_______． (3) 多项式乘多项式：(a+b)(m+n)=________________． 8．乘法公式 （1）平方差公式：(a+b)(a-b)=_________. （2）完全平方公式：(a±b)2=____________.
第三讲 整式的乘除 概念总汇 1、同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则，其推到过程是特殊到一般的过程，即由103· 102 ，33· 3 2 到a 3 · a 2到a m · a n ，把幂的底数与指数分两步进行概括抽象，要注意推出这一法则每一步的依据 （2）同底数幂的乘法法则是： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 a m · a n = a n m +（字母m ，n 表示正整数） 当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这样的性质，即： a m · a n · a p = a p n m ++（字母m ，n ，p 表示正整数） 说明： （1）同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项。两者不能混淆。 （2）、—a 2的底数a ，不是—a 。计算—a 2·a 2的结果是—（a 2·a 2）=—a 4 ，而不是（—a 2+ 2 ） =a 4 。 （3）、若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算 2、幂的乘方 （1）、幂的乘方的性质推导 当乘方的运算中底数变成幂时，这种运算就变成一种新的运算：即幂的乘方，其运算法则可由乘方运算的定义和同底数幂的乘法法则推导出来。 （2）、幂的乘方法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示就是（a m ）n =a mn （m 、n 都是正整数）。如（103 ）2 =106 说明： （1）、幂的乘方是单项式乘除运算的基础，应学会运用乘方的定义及同底数幂乘法推导其运算法则，同时注意与同底数幂乘法法则的区别，应用时不能混淆。
（2）、不管是同底数幂的乘法运算，还是幂的乘方运算，要学会正确识别幂的“底”是什么？幂的指数是什么？乘方的“指数”是什么？若在底数中有负号，则要根据指数的奇偶性决定正负号，即乘方的指数为奇数，负号保留，乘方的指数为偶数，负号去掉。 3、积的乘方 （1）积的乘方 当幂的底数有两个或两个以上数或字母相乘时，就是积的乘方。如（2×3）2 ，（abc）3 等等。 （2）积的乘方法则 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用字母表示就是（ab）n =a n b n （n为正整数）。三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质。如（abc）n=a n b n c n。说明： （1）用积的乘方的法则进行计算时，我们要认清“因式有几个？分别是什么？”特别是系数和负号这样的特殊因式不能搞错。 （2）在同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的混合运算中，要学会灵活正确的分析算式的每一部分和每一种运算，然后采取合理简捷的方法进行运算。 4、整式的乘法 （1）整式的乘法有3种：单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘。其中单项式与单项式的乘法是整式的乘法的基础，其他两种乘法都可以转化为这种运算，所以我们要熟练、牢固地掌握单项式乘以单项式的运算法则。 （2）单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余的字母连同它的指数不变，也作为积的因式 （3）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，用字母表示为 b·（p+q）=bp+bq或（p+q）·b=bp+bq （4）多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为 （a+m）（b+n）=ab+an+bm+mn 说明：
第一章：整式的运算 单项式 整 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是0。 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。 10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项，就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。 7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。 整 式 的 运 算
4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。 2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤： （1）代数式化简。 （2）代入计算 （3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。 五、同底数幂的乘法 1、n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，n 为指数，a n 的结果 叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m ﹒a n =a m+n 。 4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。 5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a m ）n 表示n 个a m 相乘。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。 3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab ）n =a n b n 。 3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab ）n 。 八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点： （1）法则中的底数不变，只对指数做运算。 （2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。 （3）对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。 2、不同点： （1）同底数幂相乘是指数相加。 （2）幂的乘方是指数相乘。 （3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。 九、同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。 2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）。 十、零指数幂 1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。 十一、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即： 1(0)p p a a a -=≠ 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
课时3．整式及其运算 【课前热身】 1. 3 1- x 2 y 的系数是 ，次数是 . 2.（08遵义）计算：2 (2)a a -÷= ． 3.（08双柏）下列计算准确的是（ ） A ．5510x x x += B ．55 10· x x x = C ．55 10 ()x x = D ．20210x x x ÷= 4. (08湖州)计算23 ()x x -所得的结果是（ ） A ．5 x B ．5 x - C ．6 x D ．6 x - 5. a ，b 两数的平方和用代数式表示为（ ） A.2 2 a b + B.2 ()a b + C.2a b + D.2 a b + 6．某工厂一月份产值为a 万元，二月份比一月份增长5％，则二月份产值为（ ） A.)1(+a ·5％万元 B. 5％a 万元 C.(1+5％) a 万元 D.(1+5％)2 a 【考点链接】 1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 连接而成的式子叫做代数式. 2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所 得的 叫做代数式的值. 3. 整式 （1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数. (2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 . (3) 整式： 与 统称整式. 4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫 做同类项. 合并同类项的法则是 ___. 5. 幂的运算性质： a m ·a n = ； (a m )n = ； a m ÷a n ＝_____； (ab)n = . 6. 乘法公式： (1) =++))((d c b a ； （2）（a ＋b ）(a －b)＝ ； (3) (a ＋b)2 ＝ ；(4)(a －b)2 ＝ . 7. 整式的除法 ⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式； 对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． ⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把 所得的商 ．
第2讲整式的运算与因式分解 一、选择题 1.(2017济宁)单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,则m+n的值是( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:根据“含有相同字母,相同字母的指数相同的单项式是同类项”,因为单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,所以m=2,n=3,则m+n=5. 故选D. 2.(2017泸州)下列各式计算正确的是( B ) (A)2x·3x=6x (B)3x-2x=x (C)(2x)2=4x (D)6x÷2x=3x 解析:2x·3x=6x2,故A错误;3x-2x=x,故B正确;(2x)2=4x2,故C错误;6x÷2x=3,故D错误.故选B. 3.(2017宁夏)如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的矩形,根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( D ) (A)(a-b)2=a2-2ab+b2 (B)a(a-b)=a2-ab
(C)(a-b)2=a2-b2 (D)a2-b2=(a+b)(a-b) 解析:用两种不同的方式表示阴影部分的面积,从左图看,是边长为a 的大正方形减去边长为b的小正方形,阴影面积是a2-b2;从右图看,是一个长为(a+b),宽为(a-b)的长方形,面积是(a+b)(a-b),所以a2-b2= (a+b)(a-b).故选D. 二、填空题 4.(2017青海)若单项式2x2y m与-x n y4可以合并成一项,则n m= 16 . 解析:由题意知2x2y m与-x n y4是同类项, ∴m=4,n=2,则n m=24=16. 5.(2017安顺)若代数式x2+kx+25是一个完全平方式,则k= ±10 . 解析:∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式, ∴k=±10. 6.(2017南通)已知x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则x=-m时,该多项式的值为 3 . 解析:当x=m时,m2+2m+n2=-1, 则(m+1)2+n2=0, ∴m+1=0,n=0.∴m=-1,n=0. 则x=-m=-(-1)=1时,
第一章 整式测试题 一、精心选一选(每小题3分，共21分) 1.多项式892334+-+xy y x xy 的次数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.下列计算正确的是 ( ) A. 8 4 2 1262x x x =? B. ()() m m m y y y =÷34 C. ()222 y x y x +=+ D. 3422=-a a 3.计算()()b a b a +-+的结果是 ( ) A. 2 2 a b - B. 2 2 b a - C. 2 2 2b ab a +-- D. 2 2 2b ab a ++- 4. 1532 +-a a 与4322 ---a a 的和为 ( ) A.3252 --a a B. 382 --a a C. 532 ---a a D. 582 +-a a 5.下列结果正确的是 ( ) A. 9 1312 -=?? ? ??- B. 0590=? C. ()17530 =-. D. 8123-=- 6. 若() 682 b a b a n m =，那么n m 22-的值是 ( ) A. 10 B. 52 C. 20 D. 32 7.要使式子22259y x +成为一个完全平方式，则需加上 ( ) A. xy 15 B. xy 15± C. xy 30 D. xy 30± 二、耐心填一填（第1~4题每空1分，第5、6题每空2分，共28分） 1.在代数式23xy ， m ，362 +-a a ， 12 ，22 514xy yz x - ， ab 32中，单项式有 个，多项式有 个。 2.单项式z y x 425-的系数是 ，次数是 。 3.多项式5 1 34 + -ab ab 有 项，它们分别是 。 4. ⑴ =?52 x x 。 ⑵ ()=4 3 y 。 ⑶ () =3 22b a 。 ⑷ ( ) =-4 2 5y x 。 ⑸ =÷3 9 a a 。 ⑹=??-02 45 10 。
第二章 代数式 课时3．整式及其运算 【课前热身】 1. 3 1- x 2 y 的系数是_________，次数是_________. 2.计算：2 (2)a a -÷=_________． 3.下列计算正确的是( ) A ．5510x x x += B ．5510·x x x = C ．55 10 ()x x = D ．20210x x x ÷= 4.计算2 3 ()x x -所得的结果是( ) A ．5x B ．5x - C ．6x D ．6x - 5. a ，b 两数的平方和用代数式表示为( ) A.22a b + B.2 ()a b + C.2a b + D.2a b + 6．某工厂一月份产值为a 万元，二月份比一月份增长5％，则二月份产值为( ) A.)1(+a ·5％万元 B.5％a 万元 C.(1+5％)a 万元 D.(1+5％)2a 【知识整理】 1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把______________________连接而成的式子叫做代数式. 单独一个数或一个字母也是代数式. 2. 整式 (1)单项式：由数与字母的_______组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）. 单项式中的________________叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母因数的 _________叫做这个单项式的次数. (2)多项式：几个单项式的________叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的_______,其中次数最高的项的_______叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做__________. (3)整式：____________与____________统称整式. 3. 同类项：在一个多项式中，所含_________相同并且相同字母的_________也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是______________________________________________. 4. 幂的运算性质: a m ·a n =_______； (a m )n =_______； a m ÷a n =_______； (ab )n =_______. 5. 乘法公式： (1) (a +b )(c +d )= ____________________； （2）(a +b )(a -b )= _____________________； (3) (a +b )2=_____________________； (4) (a -b )2=_____________________. 6. 整式的除法 ⑴ 单项式除以单项式的法则：把___________、___________________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． ⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以______________，再把所得的商_________．
2019-2020年中考数学总复习第2讲整式及其运算 一、选择题(每小题6分，共18分) 1．(2014·舟山)下列运算正确的是( B) A．2a2＋a＝3a3B．(－a)2÷a＝a C．(－a)3·a2＝－a6D．(2a2)3＝6a6 2．(2012·安徽)为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( A) A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2 解析：四个等腰直角三角形拼在一起成为边长为a的正方形，加上中间一块正方形，所以阴影部分面积为2a2 3．(2014·毕节)若－2a m b4与5a n＋2b2m＋n可以合并成一项，则m n的值是( D) A．2 B．0 C．－1 D．1 二、填空题(每小题6分，共30分) 4．(2014·连云港)计算(2x＋1)(x－3)2． 5．(2014·凉山)已知x1＝3＋2，x212＋x22＝__10__． 6．(2012·长沙)若实数a，b满足|3a－a b的值为__1__． 7．(2012·黔东南州)二次三项式x2－kx＋9是一个完全平方式，则k的值是__±6__．解析：∵x2－kx＋9＝x2－kx＋32，∴－kx＝±2×x×3，解得k＝±6 8．(2014·扬州)设a1，a2，…，a2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a1＋a2＋…＋a2014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2014＋1)2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数__165__． 三、解答题(共52分) 9．(10分)计算： (1)(2012·乐山)3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)； 原式＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2 (2)(2014·无锡)(x＋1)(x－1)－(x－2)2. 原式＝x2－1－x2＋4x－4＝4x－5 10．(12分)先化简，再求值： (1)(2012·泉州)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)，其中x＝－2； 原式＝x2＋6x＋9＋4－x2＝6x＋13，当x＝－2时，原式＝6×(－2)＋13＝1 (2)(2014·衡阳)(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b2，其中a＝1，b＝－2.
第一章《整式的运算》水平测试 一、选一选，看完四个选项后地做决定呀！ 1．下列计算中错误的是（ ） Ａ．()()21323x x x x -+=-- Ｂ．()()2236312x x x +-=- Ｃ．()()2223326136x y x y x xy y --=-+ Ｄ．()()555525x y xy x y +-=-+- 2．如果()()223x x x px q -+=++，则p q ，的值是（ ） Ａ．5p =，6q = Ｂ．1p =，6q =- Ｃ．1p =，6q = Ｄ．5p =，6q =- 3．要使式子222516x y +成为一个完全平方公式，则应加上（ ） Ａ．10xy Ｂ．20xy Ｃ．20xy - Ｄ．40xy ± 4．若()()2222x y x y P x y Q +=-+=+-，则P Q ，的分别为（ ） Ａ．2P xy =，2Q xy =- Ｂ．2P xy =，2Q xy = Ｃ．2P xy =-，2Q xy =- Ｄ．2P xy =-，2Q xy = 5．计算() 6262a a ÷-的结果（ ） Ａ．33a - Ｂ．43a - Ｃ．332a - Ｄ．432 a - 6．已知5a b -=，3ab =，则()()11a b +-的值为（ ） Ａ．1- Ｂ．1 Ｃ．3- Ｄ．3 7．如图1，沿着正方形的对称轴对折，重合的两个小正方形的整式的乘积可得一上新整式，则这样的整式共有（ ） Ａ．2个 Ｂ．4个 Ｃ．6个 Ｄ．8个 8．若要想得到()2 a b -，则223a ab b ++应加上（ ） Ａ．ab - Ｂ．3ab - Ｃ．5ab - Ｄ．7ab - 9．4223231122x y z x yz x yz ????-+ ÷- ? ?????的计算结果为（ ） Ａ．8xy z + Ｂ．8xyz z -- Ｃ．2xyz z - Ｄ．228xy z 10．若a 的值使得()()25231x x a x x ++=++-成立，则a 的值为（ ） Ａ．5 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．2
一、 知识点详解 整式的有关概念 1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个 数或一个字母也是代数式。 2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 23 13-。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 多项式 1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式 中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式 的次数。 ①单项式和多项式统称整式。 ②用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 ③注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 ①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 ②括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数
1 整式及其运算 知识点1.整式的运算： 例1.计算： （1） )3 1 23()31(22122y x y x x +-+--； （2）()() 222223254bc a b a c b a ab -÷-?+； （3）()()y x a y x a +--+22. 知识点2.因式分解： 例2.把下列多项式因式分解： （1）2 2 3 2xy y x x +-；（2）()()m n n n m n m 2243 2-+-. 知识点3.化简，求值： 例3.先化简，再求值：()()()2 2 32a b a b a b a -+-++，其中62== b a ，. 知识点4.探索规律： 例4.观察下列各算式，并寻找规律： ()25111100225152++??==；()25122100625252++??==； ()251331001225352++??==；()251441002025452++??==；… （1）找出规律，并按规律在横线上填空： _____________________________5625752==；_____________________________7225852==； （2）用含字母的等式表示上述规律：__________________________________________；（3）利用上述规律，计算2 995的值. 知识点5.乘法公式的相关背景： 例5.图1是一个长为m 2、宽为n 2的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形. （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（用含m ，n 的代数式表示）；（2）根据（1）中结论，请写出下列三个代数式()2 n m +，()2 n m -，m n 之间的等量关系；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若 78==+ab b a ，，求b a -和22b a +的值. 基础训练： 1.用代数式表示“比2 m 的2倍大1”的那个数是（ ） ()12.2+m A 12.2+m B ()212.+m C ()2 12.+m D 2.若正方形的周长是a ，则这个正方形的面积为（ ） 2 .a A 2 16.a B 16 .2 a C a D . 3.下列计算中，正确的是（ ） 222.x x x A =+ ()2263.x x B = ()42.22-=-x x C 23.x x x D =÷ 4.下列各代数式中，是六次式的是( ) 3 2 .y x A 6 2.xy B 3 .32c ab C ()6 .mn D 5.下列去括号中，正确的是 ( ) .A ()b a b a --=--22 ()b a b a B +-=--22. ()b a b a C 222.--=-- ()b a b a D 222.+-=-- 6.下列运算中，正确的是（ ） xy y x A 532.=+ y x xy y x B 22254.-=- 632623.--=?x x x C ()3224224.x xy y x D -=-÷ 7.若2232 =-y y ，则=--1462 y y （ ）
一、知识点概念应用 1、单项式和多项式统称为整式。 （1）单项式有三种：①单独的字母②单独的数字③数字与字母乘积的一般形式。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。注：多项式的特殊形式：2 b a +等。 （3）一个多项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。如123 12 -+y y x 是3次3项式。 2、同底数的幂相乘 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 数学符号表示：n m n m a a a +=? (m,n 都是正整数）拓展运用n m n m a a a ?=+。 练习：23454()()()()5()m n m n m n m n m n +?---+--++ 3 232x x +=已知，求的值。 3、幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 数学符号表示：mn n m a a =)( (m,n 都是正整数）拓展应用m n n m mn a a a )()(== 练习: 18927813,m m m ??=已知求m 的值。 321 23,24,2 m n m n ++==已知求的值。 4、积的乘方 法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。） 符号表示：n n n b a ab =)((n 是正整数) 拓展运用n n n ab b a )(= 练习: 5、同底数的幂相除 法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。 数学符号表示：n m n m a a -÷(a 不为0，m,n 都为正整数，且m 大于n)。拓展应用n m n m a a a ÷=- 特别地： 02-44 m m n -3 2332324)()4, )2()3,)21 ()2,)2)(1b a xy b a xyz --
“不含括号的三步混合运算”教学设计 一、教材分析 本课是国家课程标准苏教版小学《数学》四年级上册第七单元“混合运算”第70～72页的教学内容。它是在学生学习了两步计算的混合运算及三位数乘两位数的基础上教学的，是本套教材安排的整数混合运算的最后一个学习单元。 二、教学目标 1、让学生能联系生活实际问题中的数量关系，理解和掌握不含括号的三步混合运算的运算顺序，能正确地进行计算。 2、让学生在按顺序进行计算以及运用学过的计算解决实际问题的过程中，进一步增强规则意识，感受数学的应用价值，并培养严谨、认真的学习习惯，提高解决简单实际问题的能力。 三、教学重、难点 1、掌握含有乘法和加、减法混合运算的顺序，并进行正确的计算。 2、运用所学知识解决实际问题。 四、教学准备：多媒体课件 五、教学过程 （一）复习导入 师：今天，我们一起来学习……,首先，我们复习学过的两步计算混合运算。 1、口算 2、师：同学们，我们已经熟练掌握了两步混合运算的计算方法，请看大屏幕： （1）80÷10 = 8（2）5×4 = 20 8 + 12 = 2027–20 = 7
师：上面每组有联系的两道算式能合并成一道综合算式吗？请大家在练习纸上写一写，然后同桌互相说一说每道综合算式的运算顺序。 课件出示上题答案：（1）80÷10 + 12（2）27–5×4 师：我们来看，第一组，可以合并为……，第二组可以合并为……，同学们都写对了吗？那这两道算式分别应该先算什么，再算什么呢。（电脑出示下划线）你们看，算式中的划线部分要先算，像这样的算式要先算乘或除法，后算加或减法（电脑揭示板书：1 先算乘、除法，后算加、减法）。 （二）探究新知 1、课件出示主题图（图略）。 师：下棋是同学们喜爱的一项活动。为了丰富大家的课余生活，我们学校的张老师准备组织一个“棋乐无穷”社团，“棋乐无穷”社团一共有5个小组，张老师正在文体商店为大家购买中国象棋和围棋。请仔细观察，从这幅图中我们可以知道哪些信息？要解决什么问题？根据这些信息，你能解决最后的问题吗？ 2、小组合作学习。 出示练习纸，小组合作解决问题，完成练习纸。 3、小组汇报、交流 4、师：这是一道三步混合运算式题。也是我们今天要学习的新内容（出示课题：三步混合运算）。 5、师：像这样的三步混合运算应该怎样算呢？同学们能根据我们以前的学习经验自己算一算吗？请大家在自备本上先试一试，再和同桌互相说一说你是怎样算的。 6、小结算法 师：同学们的算法一样吗？其实，这两种方法都是正确的，那请你比比看，哪一种计算过程更简便？简便在哪里呢？
第二章 代数式 课时3．整式及其运算 【课前热身】 1. 3 1-x 2y 的系数是 ，次数是 . 2.计算：2(2)a a -÷= ． 3.下列计算正确的是（ ） A ．5510x x x += B ．5510·x x x = C ．5510()x x = D ．20210x x x ÷= 4.计算23()x x -所得的结果是（ ） A ．5x B ．5x - C ．6x D ．6x - 5. a ，b 两数的平方和用代数式表示为（ ） A.22a b + B.2()a b + C.2a b + D.2a b + 6．某工厂一月份产值为a 万元，二月份比一月份增长5％，则二月份产值为（ ） A.)1(+a ·5％万元 B. 5％a 万元 C.(1+5％) a 万元 D.(1+5％)2a 【：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或 . 按照代数式里的运算关系， . （单独一个数 单项式中的 叫做这个单项式的系数； . .在多项式中，每个单项式叫 其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.： 与 统称整式. 4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别 相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 ___. 5. 幂的运算性质: a m ·a n = ； (a m )n = ； a m ÷a n ＝_____； (ab)n = . 6. 乘法公式： (1) =++))((d c b a ； （2）（a ＋b ）(a －b) ＝ ； (3) (a ＋b)2＝ ；(4)(a －b)2＝ .
7. 整式的除法 ⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作 为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． ⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除 以 ，再把所得的商 ． 【典例精析】 例1若0a >且2x a =，3y a =，则x y a -的值为（ ） 例2 例3 先化简，再求值： (1) x (x ＋2)－(x ＋1)(x －1)，其中x ＝－2 1； (2) 22(3)(2)(2)2x x x x +++--，其中13 x =-． 【中考演练】 1. 计算(-3a 3)2÷a 2的结果是( ) A. -9a 4 B. 6a 4 C. 9a 2 D. 9a 4 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A.633· x x x = B.422523x x x =+ C.532)(x x = D ．222()x y x y +=+
第2讲 代数式及整式的运算 一、考点知识梳理 【考点1 代数式定义及列代数式】 1.代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式． 2．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值． 【考点2 幂的运算】 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． a m ?a n ＝a m +n （m ，n 是正整数） 2.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （a m ）n ＝a mn （m ，n 是正整数） 3.积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab ）n ＝a n b n （n 是正整数） 4.同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． a m ÷a n ＝a m ﹣ n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ） 【考点3 合并同类项】 所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项. 把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【考点4 整式的乘法】 单项式乘以多项式m(a ＋b)＝am ＋bm 多项式乘以多项式(a ＋b)(m ＋n)＝am ＋an ＋bm ＋bn 二、考点分析 【考点1 代数式定义及列代数式】 【解题技巧】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式； (2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义； (3)注意书写规则：a×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1 a ；数字通常写在字母前面，如a×3通常写作3a ；
第一轮复习测试卷第二单元 整式及其运算 一、选择题(每小题4分，共40分) 1、下列两项中，属于同类项的是（ ） A.62与x 2 B ．4ab 与4abc C ．0.2x 2y 与0.2xy 2 D ．mn 与-mn 2、化简(-x)3(-x)2，结果正确的是（ ） A ．-x 6 B ．x 6 C ．-x 5 D ．x 5 3、下列运算正确的是( ) A ．2x ＋3y ＝5xy B ．4x 4y 2－5xy 2＝－x 2y C ．3x －2·2x 3＝6x － 6 D ．4x 4y 2÷(－2xy 2)＝－2x 3 4、某种商品进价为a 元/件，在销售旺季，商品售价较进价高30%；销售旺季过后，商品又以7折（即原售价的70%）的价格开展促销活动，这时一件该商品的售价为（ ） A. a 元 B.0.7 a 元 C.1.03 a 元 D.0.91a 元 5、下列运算正确的是（ ） A.(a+b)2=a 2+b 2 B.(a-b)2=a 2-b 2 C.(a+m)(b+n)=ab+mn D.(m+n)(-m+n)= -m 2+n 2 6、已知a-b=23-1，ab=3，则(a+1)(b-1)的值为（ ） A.-3 B.33 C.33-2 D.3-1 7、下列多项式能因式分解的是（ ） A.x 2-y B.x 2+1 C.x 2+xy+y 2 D.x 2-4x+4 8、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ） A (a+ab)(a －ab) B a (a 2－b 2) C a(a+b)(a －b) D a(a －b)2 9、一家商店以每包a 元的价格进了30包甲种单枞茶，又以每包b(b>a)元的价格买进60包乙种单枞茶。如果以每包 2 b a +元的价格卖出这两种茶叶，则卖完后，这家商店（ ） A 、赚了 B 、赔了 C 、不赔不赚 D 、不能确定赔或赚 10、观察下列数表： 1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 根据数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为（ ） A.2n-1 B.2n+1 C.n 2-1 D.n 2 二、填空题(每小题4分，共40分) 11、3 1 -x 2y 的系数是 3 1- ，次数是 . 12、已知x+y=1，那么 21x 2+xy+2 1 y 2的值为 . 13、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值为__________. 14、为鼓励节约用电,某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度,那么每度电价按a 元收费;如果超过100度,那么超过部分．．．． 每度电价按b 元收费.某户居民在一个月内用电160度,他这个月应缴纳电费是 元（用含a 、b 的代数式表示） 15、观察下列等式 9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 ………… 这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为 . 三、(每小题8分，共16分) 16、分解因式： (1) (x+y)(x 2+y 2)-2y 2(x+y) (2)(a 2+b 2)2-4a 2b 2 17、计算 (1)3x-(2y-x)+y (2)5a 2-[a 2+(5a 2-2a)-2(a 2-3a)] 四、(每小题9分，共18分) 18、化简：(32a 4b 7-91a 2b 6)÷(-3 1 ab 3)2 … 第一 列…第二列 …第四列 …第三列
简单的三步混合运算 教材分析： 教材选择了为班级购买保温桶和垃圾桶的问题，让学生运用前面所学的知识自主解决问题。在充分交流各自解决问题的思路、算法的基础上，通过蓝灵鼠的问题，鼓励学生试着写成一个算式。 在交流算式的过程中，重点指导如何将三个算式写成一个算式，明确运算顺序。最后，在“想一想”中放手让学生运用学过的知识自主解决问题。 素质教学目标： 知识教学点：在解决实际问题的过程中，经历自主尝试将分步计算改写成两级三步或带括号的两步混合运算的过程。 能力教学点：进一步掌握两级混合运算的计算顺序，并能正确进行计算。 德育教学点：在解决问题的过程中，感受数学计算与生活的密切联系，体验同一问题解决策略。 教学准备：情境图片、口算卡片、习题板、课件。 教学过程： 一、检复铺垫： 1.口算： 100－94 32＋28 58－34 60×6 4×6＋2×7 39÷3 24÷8 24×2 27÷3 100－40×2 2.将先算的部分画上横线，再计算： 30×5－100 79－40÷4 （12＋24）÷9 指名板演，集体订正。 二、出示情境问题： 1.师生谈话，引出问题： 通过以上的复习，老师发现同学们能比较熟练地进行“加减乘除”各类运算，掌握了这些计算的本领，我们才能自己试着解决生活中的数学问题，做生活的小主人。比如“购买日常用品”——学校计划给每个班配置一个保温桶和一个垃圾桶。每个保温桶65元，每个垃圾桶17元。6个班一共要用多少钱？（相机贴示图片与价钱） 2.学生尝试自主解决： 指名完整口述所给信息和问题； 鼓励学生独立探索解决。师巡视指导。 三、交流解题思路和方法： 1.学生交流不同的算法；教师相机板书。 65×6 ＝ 17×6 ＝ 65＋17＝ 390＋102＝ 82×6＝ 【为学生提供展示个性化解题思路的空间】 2.结合板书，鼓励学生将分步的几个算式改写成一个综合算式。 65×6＋17×6 （65＋17）×6 【如果学生直接列成了一个综合算式，教师及时予以表扬，但要追问其运算顺序与自己的解题思路是否一致。】 3.重点指导三步混合运算的计算顺序： 65×6 ＋ 17×6 （将先算的部分画上横线，帮助学生理清运算顺序） 4.“想一想”如果把问题改成“买6个保温桶比买6个垃圾桶多花多少钱？”该怎样计算？ 指名完整口述后，学生独立列式解答；