求锐角三角函数值的几种常用方法
锐角三角函数是初中数学的重要内容,也是中考的热点之一.求锐角的三角函数值方法较多,下面举例介绍求锐角三角函数值的几种常用方法,供参考.
一、定义法
当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值.例1 如图1,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sin A的值是( )
(A)
5
13
(B)
12
13
(C)
5
12
(D)
13
5
分析题目中已知乞A的对边BC和斜边AB的长,可直接运用锐角三角函数的定义求解.
解∵在△ABC中,
∠C=90°,AB=13,BC=5,
∴sin A
5
13
BC
AB
=故选A
二、参数法
锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题.
例2 在△ABC中,∠C=90°,如果tan A=
5
12
,那么sin B的值是.
分析由已知条件∠A的正切,可知直角三角形中两边的比值,据此可用参数法将第三边表示出来,进而求出sin B的值.
解如图2 ∵tan A=
5
12 BC
AC
=,
∴设BC=5k,AC=12k(k>O).由勾股定理,得AB=13k,
∴
1212 sin
1313
AC k
B
AB k
===
三、等角代换法
当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等
角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等”来解决.
例3 如图3,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是AB边上的中线,BC=5,CD=4,则cos∠ACD的值为.
分析由已知条件,不难知道∠ACD与∠A相等,所以欲求cos∠ACD,只要求cos A 即可.
解在Rt△ABC中,
∵CD是AB边上的中线,
∴CD=AD=BD,
∴∠ACD=∠A.
又∵CD=4,∴AB=2 CD=8,
由勾股定理,得
2239
AC AB BC
=-=.
∴cos A=
39
8 AC
AB
=
∴cos∠ACD=cos A=39 8
四、构造法
直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件,故当题目中已知条件并非直角三角形时,需通过添加辅助线构造直角三角形,然后求解.
例4 在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sinB的值是( )
(A)57
14
(B)
3
5
(C)
21
7
(D)
21
14
分析由于∠B不在直角三角形中,因此需添加辅助线构造直角三角形,从而求解.解如图4,过点C作C D⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠BAC=120°,
∴∠DA C=180°一∠BAC
=180°一120°=60°.
在Rt△ABC中,∵A C=2,∠DAC=60°,
∴CD=AC·sin∠DAC=
3
23
=,
∴AD=1.
又∵AB=4 ∴BD=AB+AD=5,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
2232527 BC CD BD
=+=+=
∴
321 sin
14
27
CD
B
BC
===
故选D.
用锐角三角函数概念解题的常见方法 1.锐角三角函数 (1)锐角三角函数的定义 我们规定: sinA=a c ,cosA= b c ,tanA= a b ,cotA= b a . 锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角 函数. (2)用计算器由已知角求三角函数值或由已知三 角函数值求角度 对于特殊角的三角函数值我们很容易计算,甚至可 以背诵下来,但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢?用计算器可以帮我们解决大问题. ①已知角求三角函数值; ②已知三角函数值求锐角. 2 直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半. 3.锐角三角函数的性质 (1)0 (2)tan α·cot α=1或tan α=1 cot α ; (3)tan α= sin cos αα,cot α=cos sin α α . (4)sin α=cos (90°-α),tan α=cot (90°-α). 有关锐角三角函数的问题,常用下面几种方法: 一、设参数 例1. 在ABC ?中,?=∠90C ,如果125 tan = A ,那么sin B 的值等于( ) 5 12.12 5. 13 12. 13 5. D C B A 解析:如图1,要求sinB 的值,就是求 AB AC 的值,而已知的12 5 tan =A ,也就是12 5 =AC BC 可设k AC k BC 125==, 则k k k AB 13)12()5(22=+= 13 12 1312sin == ∴k k B ,选B 二、巧代换 例2. 已知3tan =α,求 α αα αcos sin 5cos 2sin +-的值。 解析:已知是正切值,而所求的是有关正弦、余弦的值,我们可以利用关系式 3cos sin tan == α α α,作代换ααcos 3sin =,代入即可达到约分的目的,也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。 图1 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB , 锐角三角函数 单元测试 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分) 1. 60cos 的值等于( ) A . 2 1 B .22 C . 2 3 D .1 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90?,AB=4,AC=1,则tanA 的值是( ) A .154 B .1 4 C .15 D .4 3.已知α为锐角,且2 3 )10sin(= ?-α,则α等于( ) A.?50 B.?60 C.?70 D.?80 4.已知直角三角形ABC 中,斜边AB 的长为m ,40B ∠=,则直角边BC 的长是( ) A .sin 40m B .cos 40m C .tan 40m D . tan 40 m 5.在Rt ABC △中,90C ∠=,5BC =,15AC =,则A ∠=( ) A .90 B .60 C .45 D .30 6.如图,小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A 处)位于她家北偏东60度500m 处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是( ) A .250m. B . 250.3 m. C .500.33 m. D .3250 m. 7.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC △如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan CBE ∠的值是( ) A . 24 7 B . 73 C . 724 D . 13 8.因为1 s i n 302= ,1sin 2102 =-,所以s i n 210s i n (18030)s i n =+=-; 因为2s i n 452 = ,2sin 2252=-,所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-,由此猜想,推理知:一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-,由此可知:sin 240= ( ) 6 8 C E A B D (第7题) 第6题 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60° 在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再 锐角三角函数单元测试题 1、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA= 4 3,BC=8,则AC 等于( ) A .6 B .323 C .10 D .12 2、已知∠A 是锐角,且sinA= 3 2 ,那么∠A 等于( ) A .30°B .45° C .60° D .75° 4、化简2)130(tan - =( )。A 、3 31- B 、13- C 、133 - D 、13- 5、在Rt △ABC 中,∠C =900 ,∠A 、∠B 的对边是a 、b ,且满足02 2=--b ab a ,则tanA 等于( ) A 、1 B 、 251+ C 、251- D 、2 5 1± 6、如图1所示,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,若BD :AD=1:4,则tan ∠BCD 的值是( )A .1 4 B . 13 C .1 2 D .2 (1) (2) (3) 7、如图2所示,已知⊙O 的半径为5cm ,弦AB 的长为8cm ,P?是AB?延长线上一点,?BP=2cm ,则tan ∠OPA 等于( ) A . 32 B .23 C .2 D .1 2 8、如图3,起重机的机身高AB 为20m ,吊杆AC 的长为36m ,?吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°,则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是( ) A .(30+20)m 和36tan30°m B .(36sin30°+20)m 和36cos30°m C .36sin80°m 和36cos30°m D .(36sin80°+20)m 和36cos30°m 9、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向 走200m 到C 地,此时王英同学离A 地 ( ) A 350m B 100 m C 150m D 3100m 一、 填空题 1、在△ABC 中,若│sinA-1│+(3 -cosB )=0,则∠C=_______ 求锐角三角函数值常用方法 求锐角三角函数值,是“锐角三角函数”一节中重要内容,也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下,供同学们在学习时参考. 一、直接用锐角三角函数的定义 例1 在△ABC 中,∠C = 900,AC =6,BC =8.则sinA = ( ). A 、 54 B 、5 3 C 、 43 D 、 3 4 分析 由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边,只要求出斜边AB 即可. 解:由勾股定理知,AB = 22BC AC + = 10, ∴sinA = 5 4 故选A. 二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A 为锐角,且sinA = 2 3 ,则cosA = ( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 分析 本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得. cosA = A 2sin 1- = 2)23( 1-= 2 1 故选D.(注:本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA = 3 2 , 则cotA = 析解:由tanA ×cotA = 1.得 cotA = 即cotA = 32 . 三、用等角来替换 例4如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina. 析解 :由题意可知,∠BCD = ∠A ,sin a =sinA = AB BC ,只要求出AB 即可.在Rt △ ABC 中,BC = 3,AC = 4,∴AB = 5. ∴sinA = 53 ∴sina = 5 3 四、构造直角三角形 例5 如图2,已知 △ABC 中,D 是AB 的中点,DC ⊥AC,且cotA = 2 3 ,求∠BCD 的四个三角函数值. 分析 为了求出∠BCD 的三角函数值,必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形,可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中,由cotA = 23,可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 2 3 a .在Rt △CDE 中,利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出. 解:过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点,∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中,由cotA = 23,可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 2 3a . 在Rt △CDE 中,由勾股定理CE = 22DE CD += 2 2)2 3( )2(a a += 2 5a , ∴sin ∠BCD = CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =5 4 如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( ) 人教版 九下数学《锐角三角函数》单元测试卷及答案【3】 一、填空题:(30分) 1、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =2,b =3,则cosA = ,sinB = ,tanB = 。 2、直角三角形ABC 的面积为24cm 2,直角边AB 为6cm ,∠A 是锐角,则sinA = 。 3、已知tan α= 12 5,α是锐角,则sin α= 。 4、cos 2(50°+α)+co s 2(40°-α)-tan(30°-α)tan(60°+α)= ; 5、如图1,机器人从A 点,沿着西南方向,行了个42单位,到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上,则原来A 的坐标为 .(结果保留根号). (1) (2) (3) 6、等腰三角形底边长10cm ,周长为36cm ,则一底角的正切值为 . 7、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米,则他离地面 米高。 8、如图2,在坡度为1:2 的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 9、在△ABC 中,∠ACB=90°,cosA=3 3,AB =8cm ,则△ABC 的面积为______ 。 10、如图3,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米,此时,梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面墙上N ,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米,梯子的倾斜角45°,则这间房子的宽AB 是 _米。 二、选择题:(30分) 11、sin 2θ+sin 2(90°-θ) (0°<θ<90°)等于( )A.0 B.1 C.2 D.2sin 2θ x O A y B 锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础,它应用广泛,解题技巧性强,下面归纳 出 锐角三角函数的常见题型,并结合例题介绍一些解题技巧。 、 化简或求值 例1 (1) 已知tan 2cot 1,且 是锐角,求乙tan 2 cot 2 2的值。 (2) 化简 a sin bcos ? acos bsin ?。 分析 (1)由已知可以求出tan 的值,化简?、tan 2 cot 2 2可用 1 tan cot ; (2)先把平方展开,再利用sin 2 cos 2 1化简 解(1)由tan 2cot 1得tan 2 2 tan ,解关于tan 的方程得 tan 2或 tan 1。又是锐角,二 tan 2。二、tan 2 cot 2 2 = 1 2 2 2,「 tan cot 2 = tan cot (2) a sin bcos ? acos bsin 2 -2 ? 2 2 cos b sin cos = a 、已知三角函数值,求角 求C 的度数。 分析 几个非负数的和为0,则这几个数均为0。由此可得cosA 和sin B 的 值,进而求出 代B 的值,然后就可求出 C 的值。 \ tan 2 2tan cot cot 2 = : (tan cot )2 tan cot 由tan 得cot a 2 sin 2 2ab sin cos b 2 cos 2 + a 2 cos 2 2ab cos sin b 2s in 2 2 2 a sin 2 b 2 tan 说明 在化简或求值问题中,经常用到 cot 1 等。 “ 1” 的代换, 即 sin 2 2 cos J 2 例2在厶ABC 中,若cosA — 2 .3 2 sin B 0 A, B 均为锐角,中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题及答案
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