用锐角三角函数概念解题的常见方法
1.锐角三角函数
(1)锐角三角函数的定义
我们规定:
sinA=a
c
,cosA=
b
c
,tanA=
a
b
,cotA=
b
a
.
锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角
函数.
(2)用计算器由已知角求三角函数值或由已知三
角函数值求角度
对于特殊角的三角函数值我们很容易计算,甚至可
以背诵下来,但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢?用计算器可以帮我们解决大问题.
①已知角求三角函数值;
②已知三角函数值求锐角.
2
直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
3.锐角三角函数的性质
(1)0 (2)tan α·cot α=1或tan α=1 cot α ; (3)tan α= sin cos αα,cot α=cos sin α α . (4)sin α=cos (90°-α),tan α=cot (90°-α). 有关锐角三角函数的问题,常用下面几种方法: 一、设参数 例1. 在ABC ?中,?=∠90C ,如果125 tan = A ,那么sin B 的值等于( ) 5 12.12 5. 13 12. 13 5. D C B A 解析:如图1,要求sinB 的值,就是求 AB AC 的值,而已知的12 5 tan =A ,也就是12 5 =AC BC 可设k AC k BC 125==, 则k k k AB 13)12()5(22=+= 13 12 1312sin == ∴k k B ,选B 二、巧代换 例2. 已知3tan =α,求 α αα αcos sin 5cos 2sin +-的值。 解析:已知是正切值,而所求的是有关正弦、余弦的值,我们可以利用关系式 3cos sin tan == α α α,作代换ααcos 3sin =,代入即可达到约分的目的,也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。 图1 图2 1cos sin 52 cos sin cos sin 5cos 2sin +-=+-α α α ααα α 再把 3cos sin =αα代入,得:原式16 1 = 三、妙估计 例 3. 若太阳光与地面成?37角,一棵树的影长为10m ,则树高h 的范围是(取 7.13=) A. 53≤ B. 105< C. 1510< D. 15 解析:如图2,树高?=37tan 10h ,要确定h 的范围,可根据正切函数是增函数,估 计?45tan 37tan 30tan 即?45tan 1037tan 1030tan 10 103 3 10< ∴h 105<<∴h ,故选B 四、善转化 例4. 在ABC ?中, 103 1 tan 30==?=∠BC B A ,,求AB 的长。 解析:注意题中所说的ABC ?并不是直角三角形!如图3,ABC ?不是直角三角形, 为了利用3 1tan = B ,可以作AB CD ⊥于D ,这样B ∠就是一直角三角形中的一角,A ∠也 出现在另一个直角三角形中, 设x CD =,则x BD 3= 由222)10()3(=+x x ,得1=x 即CD =1,BD =3 再有330cot =??=CD AD 33+=∴AB 五、适时构造 例5. 不查表,不用计算器,求?75sin 的值。 解析:我们可以先画ABC Rt ?,使?=∠?=∠9030C A ,,如图4,延长CA 至D ,使AD =AB ,连结BD ,则?=∠=∠15DBA D ,?=∠∴75DBC 图4 设BC =1,则3232+===CD AC AB ,, 42 62 63 275sin 26)32(122+= ++=?∴+=++=∴BD 六、准确分类 例6. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ,现可直接测量到?=∠30A ,AC =40米,BC =25米,请你求出这块花圃的面积。 图5 图6 解析:ABC ?中,已知两边和其中一边的对角,这时特别注意ABC ?的形状不惟一!要分两种情况分别求出,如图5、图6,作AB CD ⊥,分出直角三角形后,可求得面积应为:22)1503200()1503200(米或米-+ 1.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,sinA= 2 ,则cosB 的值是( ) A . 12 B C .1 D 2.下列各式不成立的是( ) A .sin50° B .cos1° C .tan22° D .cos23°>sin23° 3.∠A 是锐角,tanA> 3 ,则∠A ( ) A .小于30° B .大于30° C .小于60° D .大于60° 4.下列各式正确的是( ) A .sin30°+sin30°=sin60° B .tan60°-tan30°=tan30° C .cos (60°-30°)=cos60°-cos30° D .3tg30°5.一个人从山下沿30°角的坡路向上攀登,如果在坡面上走了100米,?那么他上升的高度是( ) A .100米 B .50米 C . D .无法确定 6.在△ABC 中∠C 为直角,各边长均扩大2倍,则锐角A 的四个三角函数值( ) A .都扩大2倍 B .都缩小2倍 C .没有变化 D .有的扩大2倍,有的缩小2倍 7. cos 60tan 45cot 302cot 45?-? ?-? 的值等于( ) A . .-12 C D .8.用计算器求“已知cot α=1.515,求α”时,先计算( ) A . 1 cot α B .α C D . 9.在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=2,则cosA=______. 10.若sin (90°-α)= 2 ,则cos (90°-α)=______. 11.在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA= 3 8 ,b=6,则c=______. 12.2cos30°-3tan α=0,则锐角α是_____度. 13.用不等号连接右面的式子:cos40°_____cos20°,sin37°______sin42°. 14°-1 2 cos60°=_______,(sin30°+tan45°)·cos60°=_______. 15.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,若sinA=3 5 ,则cosB=_______. 16.若tan α·tan35°=1,则锐角α的度数等于________. 17.△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知b=3,?求∠A 的四个三角函数. 18. 正方形ABCD 中的正三角形ABP ,?已知正方形的边长为1,?试计算tan?∠PAD . 19.一个等腰三角形的两边是10、12,这个三角形顶角的正弦、余弦、正切、余切. 20.如图是一块三角形形状的草坪ABC,经测量: ∠B=30°,∠A=45°,BC=25m,请你求出这块花圃的面积.(结果用根号表示) 21.△ABC中,││+(sinB-1 2 )2=0,求∠C. 答案: 1.D [点拨 ]sinA= 2,所以∠A=45°,所以cos∠ A= 2 . 2.B [点拨]余弦函数值随角度的增大而减小,所以cos1° 3.B [点拨]因为 tanA> 3 ,所以tan>tan30°.? 又因为正切值随着角度的增大而减小,所以∠A>30°.4.D 5.B [点拨]他上升的高度为100×sin30°=50. 6.C 7.D [点拨] cos60tan45 cot302cot45 ?-? ?-? 1 1 - 2 . 8.A 9 点拨]此题有多种方法,这里例举一种: , cosA= 4 AC AB = = 2 . 10.1 2 [点拨]因为sin(90-α) = 2 ,所以90°-α=60°, 所以cos(90°-α)=cos60°=1 2 . 11 [点拨]tanA= 3 8 = 6 a ,a= 9 4 , . 12.30° [点拨]因为2cos30°-3tanα=0,所以tanα = 3 ,α=30°. 13.<,< [点拨]正弦值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小. 14.3 4 , 3 4 [点拨 °- 1 2 cos60° 2 - 1 2 × 1 2 = 3 4 ; (sin30°+tan45°)·cos60°=(1 2 +1)× 1 2 = 3 4 . 15.3 5 [点拨]因为∠A=90°-∠B,所以sinA= 3 5 =sin(90°-∠B)=cosB. 16.55° [点拨]因为tan35°·cot35°=1,tanα·tan35°=1,所以tanα=cot35°,α=55°. 17.解:根据勾股定理得: 所以 sinA= 4 a c == cosA= 14 b c ==; tanA= a b =, . 18.解:过点P作PE⊥AD,交BC于点F(如图所示). 显然EF=1,BF=CF=1 2 ,AD=ED= 1 2 . 在直角三角形BFP中,PF=sin60°× BP= 2× 1= 2 . pE=EF-PF=1- 2 = 2 2 . 在△AEP中,∠AEP=90°,所以tan∠ PAD= 2 2 PE AE = 19.解:如图所示:AB=AC=10,BC=12,作AD⊥BC于点D,作CE⊥AB于点E. ∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=6. 在直角三角形ABD 中,. 又∵S △ABC = 12AB ·CE=1 2 BC ·AD ,所以10×CE=12×8,CE=9.6. 在直角三角形ACE 中,. 所以sin ∠BAC= 9.610CE AC ==0.96,cos ∠BAC= 2.8 10AE AC ==0.28, tan ∠BAC=9.6242.87CE AE ==,cot ∠BAC=7 24 . 20.解:如图,过B 作BD ⊥AC 于点D . 在直角三角形BCD 中,∠B=30°,∠BDC=90° sinB= CD BC ,即CD=BC ×sinB=25×sin30°=12.5(米) BD=BC ×cosB=25× 2=2 (米) 在直角三角形ACD 中,∠A=45° 所以AD=CD=12.5(米) 所以三角形地ABC 的面积是12AB ·CD=12252=(平方米) 答:略. 21.解:∵││≥0,(sinB-12)2≥0且│+(sinB-12)2=0 ∴│cosA- 2 │=0,(sinB-12)2=0 所以cosA- 2=0,sinB-12=0,即cosA=2 ,sinB=12, 因此∠A=45°,∠B=30° 所以∠C=180°-45°-30°=105°. 锐角三角函数单元测试题 1、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA= 4 3,BC=8,则AC 等于( ) A .6 B .323 C .10 D .12 2、已知∠A 是锐角,且sinA= 3 2 ,那么∠A 等于( ) A .30°B .45° C .60° D .75° 4、化简2)130(tan - =( )。A 、3 31- B 、13- C 、133 - D 、13- 5、在Rt △ABC 中,∠C =900 ,∠A 、∠B 的对边是a 、b ,且满足02 2=--b ab a ,则tanA 等于( ) A 、1 B 、 251+ C 、251- D 、2 5 1± 6、如图1所示,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,若BD :AD=1:4,则tan ∠BCD 的值是( )A .1 4 B . 13 C .1 2 D .2 (1) (2) (3) 7、如图2所示,已知⊙O 的半径为5cm ,弦AB 的长为8cm ,P?是AB?延长线上一点,?BP=2cm ,则tan ∠OPA 等于( ) A . 32 B .23 C .2 D .1 2 8、如图3,起重机的机身高AB 为20m ,吊杆AC 的长为36m ,?吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°,则这台起重机工作时吊杆端点C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是( ) A .(30+20)m 和36tan30°m B .(36sin30°+20)m 和36cos30°m C .36sin80°m 和36cos30°m D .(36sin80°+20)m 和36cos30°m 9、王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向 走200m 到C 地,此时王英同学离A 地 ( ) A 350m B 100 m C 150m D 3100m 一、 填空题 1、在△ABC 中,若│sinA-1│+(3 -cosB )=0,则∠C=_______ 锐角三角函数 1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 2.如图1,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M ,且PM :OM=3:4,则cos α的值等于( ) A .34 B .43 C .45 D .35 图1 图2 图3 图4 图5 3.在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=23 ,则tanB 等于( ) A .35 B C .25 D 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则sinA=______,cosA=______,?tanA=_______. 6.如图2,在△ABC 中,∠C=90°,BC :AC=1:2,则sinA=_______,cosA=______,tanB=______. 7.如图3,在Rt △ABC 中,∠C=90°,b=20,,则∠B 的度数为_______. 8.如图4,在△CDE 中,∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D 的三个三角函数值. 9.已知:α是锐角,tan α=724 ,则sin α=_____,cos α=_______. 10.在Rt △ABC 中,两边的长分别为3和4,求最小角的正弦值为 10.如图5,角α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,?另一边经过点P (2,,求角α的三个三角函数值. 12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC 于D ,∠CBD=α,AB=3,?BC=4,?求sin α,cos α, tan α的值. 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB , 用锐角三角函数概念解题的常见方法 1.锐角三角函数 (1)锐角三角函数的定义 我们规定: sinA=a c ,cosA= b c ,tanA= a b ,cotA= b a . 锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角 函数. (2)用计算器由已知角求三角函数值或由已知三 角函数值求角度 对于特殊角的三角函数值我们很容易计算,甚至可 以背诵下来,但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢?用计算器可以帮我们解决大问题. ①已知角求三角函数值; ②已知三角函数值求锐角. 2 直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半. 3.锐角三角函数的性质 (1)0 (2)tan α·cot α=1或tan α=1 cot α ; (3)tan α= sin cos αα,cot α=cos sin α α . (4)sin α=cos (90°-α),tan α=cot (90°-α). 有关锐角三角函数的问题,常用下面几种方法: 一、设参数 例1. 在ABC ?中,?=∠90C ,如果125 tan = A ,那么sin B 的值等于( ) 5 12.12 5. 13 12. 13 5. D C B A 解析:如图1,要求sinB 的值,就是求 AB AC 的值,而已知的12 5 tan =A ,也就是12 5 =AC BC 可设k AC k BC 125==, 则k k k AB 13)12()5(22=+= 13 12 1312sin == ∴k k B ,选B 二、巧代换 例2. 已知3tan =α,求 α αα αcos sin 5cos 2sin +-的值。 解析:已知是正切值,而所求的是有关正弦、余弦的值,我们可以利用关系式 3cos sin tan == α α α,作代换ααcos 3sin =,代入即可达到约分的目的,也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。 图1 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60° 在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3 第四章《锐角三角函数》单元测试题 一.选择题(共10小题) 1.利用计算器求sin30°时,依次按键,则计算器上显示的结果是 () A.0.5 B.0.707 C.0.866 D.1 2.Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于() A.B.C.D. 3.已知sinα?cosα=,45°<α<90°,则cosα﹣sinα=() A.B.﹣C.D.± 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为() A.B.C.D. 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB等于() A.B.C.D. 6.△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是() A.bcosB=c B.csinA=a C.atanA=b D. 7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,下列等式中不一定成立的是() A.b=atanB B.a=ccosB C.D.a=bcosA 8.如果∠A为锐角,且sinA=0.6,那么() A.0°<A≤30°B.30°<A<45°C.45°<A<60°D.60°<A≤90° 9.若锐角α满足cosα<且tanα<,则α的范围是() A.30°<α<45°B.45°<α<60°C.60°<α<90°D.30°<α<60° 10.下面四个数中,最大的是( ) A . B .sin88° C .tan46° D . 二.填空题(共8小题) 11.用“>”或“<”号填空: 0. 12.已知∠A 为锐角,且,那么∠A 的范围是 . 13.在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=,则tanA= . 14.如上图,∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则cos ∠AOB 的值 是 . 15.如图,当小杰沿坡度i=1:5的坡面由B 到A 行走了26米时,小杰实际上升高度 AC= 米.(可以用根号表示) 16.如图,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC ,E 为垂足,若cosB=,EC=2,P 是AB 边上的一个动点,则线段PE 的长度的最小值 是 . 17.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,已知BC=BD=15cm ,∠CBD=40°,则点B 到CD 的距离为 cm (参考数据 sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,结果精确到0.1cm ,可用科学计算器). 18.如图,为了测量楼的高度,自楼的顶部A 看地面上的一点B ,俯角 为30°,已知地面上的这点与楼的水平距离BC 为30m ,那么楼的高度AC 为 m (结果保留根号). 三.解答题(共8小题) 19.在△ABC 中,∠B 、∠C 均为锐角,其对边分别为b 、c , 求证:=. 第16题 第17题 如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( ) 新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案 一、选择题 1.如图,在Rt ABC V 中,90ACB ∠=?,3 tan 4 B =,CD 为AB 边上的中线,CE 平分ACB ∠,则 AE AD 的值( ) A . 35 B . 34 C . 45 D . 67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE :BE =AC :BC =3:4,进而求得AE = 3 7 AB ,再由点D 为AB 中点得AD = 12AB ,进而可求得AE AD 的值. 【详解】 解:∵CE 平分ACB ∠, ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等, 设点E 到ACB ∠的两边距离位h , 则S △ACE = 12AC·h ,S △BCE =12 BC·h , ∴S △ACE :S △BCE = 12AC·h :1 2 BC·h =AC :BC , 又∵S △ACE :S △BCE =AE :BE , ∴AE :BE =AC :BC , ∵在Rt ABC V 中,90ACB ∠=?,3tan 4 B =, ∴A C :BC =3:4, ∴AE :BE =3:4 ∴AE = 3 7 AB , ∵CD 为AB 边上的中线, ∴AD = 1 2 AB , ∴ 3 6 717 2 AB AE AD AB ==, 故选:D . 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用,通过面积比证得AE :BE =AC :BC 是解决本题的关键. 2.如图,某地修建高速公路,要从A 地向B 地修一条隧道(点A ,B 在同一水平面上).为了测量A ,B 两地之间的距离,一架直升飞机从A 地起飞,垂直上升1000米到达C 处,在C 处观察B 地的俯角为α,则AB 两地之间的距离约为( ) A .1000sin α米 B .1000tan α米 C . 1000 tan α 米 D . 1000 sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=1000米,根据tan AC AB α=,即可解决问题. 【详解】 解:在Rt ABC ?中,∵90CAB ∠=o ,B α∠=,1000AC =米, ∴tan AC AB α=, ∴1000 tan tan AC AB αα = =米. 故选:C . 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 3.如图,对折矩形纸片ABCD ,使AD 与BC 重合,得到折痕EF ,把纸片展平,再一次折叠纸片,使点A 落在EF 上的点A′处,并使折痕经过点B ,得到折痕BM ,若矩形纸片的宽AB=4,则折痕BM 的长为( ) 《锐角三角函数》A 姓名_____________ 1、在Rt △ABC 中,∠C =900,AB =13,BC =5,求A sin , A cos ,A tan , 2.在Rt △ABC 中,sin A =5 4 ,AB =10,则BC =______,cos B =_______. 3.在△ABC 中,∠C =90°,若cos A =2 1,则sin A =__________. 4. 已知在△ABC ,∠C =90°,且2BC =AC ,那么sin A =_______. 5、=???45cos 2 260sin 2 1 . 6、∠B 为锐角,且2cosB - 1=0,则∠B = . 7、等腰三角形中,腰长为5,底边长8,则底角的正切值是 . 8、如图,在距旗杆4米的A 处,用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为60,已知测角仪AB 的高为1.5米,则旗杆CE 的高等于 米. 三、选择题 9、在Rt △ABC 中,各边都扩大5倍,则角A 的三角函数值( ) A .不变 B .扩大5倍 C .缩小5倍 D .不能确定 10.在Rt △ABC 中,∠C = 90°,下列式子不一定成立的是( ) A .sinA = sin B B .cosA=sinB C .sinA=cosB D .∠A+∠B=90° 11. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,当已知∠A 和a 时,求c ,应选择的关系式是( ) A .c =sin a A B .c =cos a A C .c = a ·tanA D .c = tan a A 12、 45cos 45sin +的值等于( ) A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 D E 60锐角三角函数单元测试题
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