周期信号的傅里叶级数分解
一、周期矩形波的原理
设有周期信号()f t ，它的周期是T ，角频率02T π
ω=，它可以分解为 0001
()(cos sin )2n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑ 式中：
202
2()T
T a f t dt T -=? 202
2()cos T
T n a f t n tdt T ω-=? 1,2,...n = 202
2()sin T
T n b f t n tdt T ω-=? 1,2,...n = 傅里叶系数n F
2
n n n a ib F -=
二、周期矩形波的三角级数分解
三、周期矩形波的仿真程序及仿真图形
四、仿真图形的分析及结论
五、周期三角波的仿真程序与仿真图形
乐山师范学院学生实验报告 实验课程名称： matlab 与信号系统实验 实验日期：2014年 月 日 姓名 学号 同组人 班级 系（院） 专业 级 班 指导老师 一、实验项目名称 连续时间信号傅里叶变换及调制定理 二、实验目的 1．学会用MA TLAB 求符号运算法的傅立叶正反变换； 2. 理解调制对信号频谱的影响 三、实验主要仪器设备仪器、器材、软件等 PC 机与matlab 软件 四、实验原理 见指导书 五、实验内容、步骤 1.求信号)()(t e t f t ε-=的频谱函数，并分别作出原函数与频谱函数的波形。 2.求信号2 )1(2)(ωω ωj j F += 的原函数，并分别作出原函数与频谱函数的波形。 3.设信号)100sin()(t t f π=，载波)(t y 为频率为400Hz 的余弦信号。试用MATLAB 实现调幅信号)(t y ，并观察)(t y 的频谱和)(t f 的频谱，以及两者在频域上的关系。 4.设),10cos( )()(),1()1()(1t t f t f t u t u t f π=--+=，试用MATLAB 画出)(),(1t f t f 的时域波形及其频谱，并观察傅里叶变换的频移特性。 六、实验记录（数据、现象、报表、软件、图象等） 1、 syms t w; f=exp(-1*t).*heaviside(t); y=fourier(f);
y=simplify(y); subplot(121); ezplot(f,[-3,3]); subplot(122); ezplot(w,y,[-2,2]); -2 02 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9t exp(-t) heaviside(t) -2 -1 01 2 -3-2 -101 2 34 x y x = w, y = 1/(1+i w) 2、 syms t w ; ft=ifourier((2*w/(1+i*w)^2),t); y=ifourier(ft); y=simplify(y); subplot(121); ezplot(real(ft)); subplot(122); ezplot(imag(ft)); -5 05 -1 -0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 t i exp(-t) heaviside(t) (t-1)-i conj(exp(-t) heaviside(t) (t-1))0 2 4 6 -0.6 -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3 t -1/2 i (2 i exp(-t) heaviside(t) (t-1)+2 i conj(exp(-t) heaviside(t) (t-1)))
2 奇偶信号的FS: (i) 偶信号的FS: 2 a n f (t)cosn T] T 1 Fn 弘 1tdt ； bn 2 T1 f (t)sin n 1tdt c n d n a n (ii ) jbn an 2 2 偶的周期信号的 奇信号的FS: F n ( Fn 实, 偶对称)；n FS 系数只有直流项和余弦项。 2 T f(t)sinn 1tdt ； 5 dn T| 11 1 Fn F n jbn ( Fn 纯虚，奇对称)； a a n 0 ； b n b n 2jFn 第二章连续时间傅里叶变换 1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS (1) 狄义赫利条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝 为T i ,角频率为 ,2 f ,—。 Ti (3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 ⑷三角形式的FS: (i) 展开式：f(t) a 0 (ancon it bn sin n ,t) n 1 (ii) 系数计算公式： (a) 直流分量： ao f (t)dt T 1 T 1 (b) n 次谐波余弦分量： a n - f (t) cosn 1tdt, n N T1 T 1 2 (c) n 次谐波的正弦分量： bn — f (t)sinn 1tdt, n N T1 T 1 (iii) 系数an 和bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频； nf1为信号的n 次谐波。 (V) 合并同频率的正余弦项得： n 和n 分别对应合并后 门次谐波的余弦项和正弦项的初相位。 (vi) 傅里叶系数之间的关系： (5)复指数形式的FS: (i) 展开式：f (t) Fne jn 1t n (ii) 系数计算：Fn 丄 f(t)e jn 1t dt, n Z T] T 1 (iii) 系数之间的关系： (iv) Fn 关于 n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。 (v) 正负n (n 非零)处的Fn 的幅度和等于Cn 或dn 的幅度。 对可积 丁 f(t)dt 。 (2)傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集可以是三角函数集 {1,cosn *,sinn 1t ：n N}或复指数函数集 {e jn 术:n Z},函数周期
周期信号的傅里叶级数展开： 1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w T π=， 所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞ ==++∑ 其中：202 1()T T a f t dt T -=? 2122()cos T T n a f t nw tdt T -=? 212 2()sin T T n b f t nw tdt T -=? 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式： 011 ()cos()n n n f t c c nw t ?∞ ==++∑ 其中：00c a = n c = n n n b tg a φ=- （3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱 2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1 jnw t e 1()jnw t n n f t F e ∞ =-∞ = ∑ 其中122 1()T jnw t T n F f t e dt T --=?
注意：（1）幅度谱和相位谱n j n n F F e φ= ：偶谱和奇谱 与三角形式间的关系 （2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞ ==+∑ 0n b = 或011 ()cos()n n n f t c c nw t ?∞ ==++∑，00c a = ||n n c a = 0, 0,0n n n a a ?π>?=? ??=??
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。 怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统（齐次性，叠加定理） 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。 第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。 傅里叶变换：非周期函数 正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
连续时间周期信号傅里叶级数：?= T dt t x T a )(1 ??--= = T t T jk T t jk k dt e t x T dt e t x T a π ω2)(1 )(1 离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑= - =-= = N n n N jk N n n jkw k e n x N e n x N a /21 1 0π 连续时间非周期信号的傅里叶变换：()? ∞∞ --=dt e t x jw X jwt )( 连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ? ∞ ∞ -=π 21 )( 连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞ -∞ =??? ? ? ? -=k k k w a jw X T 22)(πδπ 连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ? ∞ ∞ --=0221 )( πδπ 离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞ -∞ =-= n n j e n x e X ωω j ][)( 离散时间非周期信号傅里叶反变换：? = π 2d e )(e π 21][ωωωn j j X n x 离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞ -∞ =-= k k k a X )(π2)e (0 j ωωδω 离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωω ωδωd e n n j ?--=π 20 πl)2(π2π 21][x 拉普拉斯变换：()dt e t s X st -∞ ∞ -? =)(x 拉普拉斯反变换：()()s j 21 t x j j d e s X st ?∞ +∞ -= σσ π Z 变换：∑∞ -∞ =-=n n z n x X ][)z ( Z 反变换： ??-== z z z X r z X n x n n d )(πj 21d )e ()(π21][1j π2ωω
《信号、系统与信号处理实验I》 实验报告 实验名称：周期信号的傅里叶级数 姓名：韩文草 学号：15081614 专业：通信工程 实验时间：2016.11.7 杭州电子科技大学 通信工程学院
一、实验目的 二、实验内容
三、实验过程及实验结果 1.1 t = 0:0.02:2*pi; %0-2π时间间隔为0.01 y = zeros(10, max(size(t))); %10*629（t的长度）的矩阵 x = zeros(10, max(size(t))); for k = 1:2:9 %奇次谐波1,3,5,7,9 x1 = 3*sin(k * t)/k; %各次谐波正弦分量 x(k,:) = x(k,:) + x1; %x第k（1,3,5,7,9）行存放k次谐波的629个值y((k+1)/2,:) = x(k,:); %矩阵非零行向量移至1-5行 subplot(7,1,(k+1) /2); plot(t,x(k,:)); end subplot(2,1,1); plot(t, y(1:5,:)); %绘制y矩阵中1-5行随时间波形 grid; halft = ceil(length(t)/2); %行向量长度减半（由对称前后段一致）subplot(2,1,2); %绘制三维图形：矩阵y中全部行向量的一半 mesh(t(1:halft), [1:10], y(:,1:halft));
1.2 t = -4.5 : 0.001 : 5.5; t1 = -4.499 : 0.001 : 5.5; x = [ones(1,1000) , zeros(1,1000)]; x = [x , x , x , x , x]; subplot(1 , 2 , 1); plot(t1 , x , 'b','linewidth', 1.5); axis([-4.5 , 5.5 , -0.5 , 1.5]); N = 10; c0 = 0.5; f1 = c0 * ones(1 , length(t)) for n = 1:N f1 = f1 + cos(pi * n * t)*sinc(n/2); end subplot(1,2,2); plot(t , f1 , 'r' , 'linewidth', 1.5); axis([-4.5, 5.5, -0.5, 1.5]);
连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系 对于连续限带（B ）的时间信号x (t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率f s =1/T s = 2B'>2B ），其样点为x n =x (nT s )。可以由样点序列进行内插来恢复原始信号x (t)： ()()()sin 2')s n x t x nT c B t n = -∑ (1) 证明： 抽样采用理想冲击脉冲串：()()s T s t t nT δδ= -∑ ()()()s s T x t x t t δ= ()()s s n x nT t nT δ= -∑ (2) 其中2B'=1/T s 。由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号x s (t)的傅里叶变换为： 1()()s k s s k X f X f f T T δ?? =* - ??? ∑ (3) 其中*表示连续的卷积运算。于是得到 ()1s k s s k X f X f T T ??= - ?? ?∑ s k s k f X f T ?? =- ?? ?∑ (4) 即理想抽样信号在频域是原信号x (t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周 期为1/T s 。其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（《信号与系统》）/樊昌信先生（《通信原理》）/周炯盘先生（《通信原理》）。本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽样定理不再赘述。 在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B 。理想低通滤波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=( )2' f B ∏，它对应的时域单位冲激响应函数
傅里叶变换的基本性质（一） 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。 解因 由式(3-55)得 二、对称性 若则 证明因为 有 将上式中变量换为x，积分结果不变，即
再将t用代之，上述关系依然成立，即 最后再将x用t代替，则得 所以 证毕 若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56) 成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如： 例3-7若信号的傅里叶变换为 试求。 解将中的换成t，并考虑为的实函数，有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为
根据对称性 故 再将中的换成t，则得 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 若 则 证明因a＞0，由
令，则，代入前式，可得 函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例3-8已知,求频谱函数。 解前面已讨论了的频谱函数，且 根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数 两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
计算机与信息工程学院实验报告 一、 实验目的 1、 分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成。 2、 观察矩形脉冲信号通过多个数字滤波器后，分解出各谐波分量的情况。 3、 掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法。 4、 观察矩形脉冲信号分解出的各谐波分量可以通过叠加合成出原矩形脉 冲信号。 专业：通信工程 2013— 2014学年第二学期 年级/班级：2012级通信工程
实验仪器或设备 一台装有MATLAB勺计算机一台 三、设计原理 1.信号的时间特性与频率特性 信号可以表示为随时间变化的物理量，比如电压u(t )和电流i (t )等, 其特性主要表现为随时间的变化，波形幅值的大小、持续时间的长短、变化速率的快慢、波动的速度及重复周期的大小等变化，信号的这些特性称为时间特性。 信号还可以分解为一个直流分量和许多不同频率的正弦分量之和。主要表现在各频率正弦分量所占比重的大小不同；主要频率分量所占的频率范围也不同，信号的这些特性称为信号的频率特性。无论是信号的时间特性还是频率特性都包含了信号的全部信息量。2?信号的频谱 信号的时间特性和频率特性是对信号的两种不同的描述方式。根据傅里叶级数原理，任意一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱 (Dirichlet) 条件，就可以将其展幵成三角形式或指数形式的傅里叶级数。例如，对于一个周期为T的时域周期信号f(t)，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间(t1,t1+T )内表示为
3?信号的时间特性与频率特性关系 信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图 4-1来形象地表示。其中图4-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维坐标系统中的图形；图4-1(b)是信号在幅度--时间坐标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。图4-1(c)是信号在 幅度--频率坐标系统中的图形即振幅频谱图。反映各分量相位的频谱称为
例9.1 试将图9.3中所示的非正弦周期信号（称为方波信号）展成傅里叶级数。 解 根据图上所示信号的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。依照上述定理，此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，因此只需按公式 ()2 04cos T km A f t k tdt T ω= ? 计算A km 。 对图上的波形图可以写出 ()04 42 T A t f t T T A t ?
故有 4044444sin 2sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T ωω?? = -- ??? ?? 参照积分公式 211 sin sin cos x axdx ax x ax a a = -? 可算出 22 22 81,5,9,83,7,11km A k k B A k k ππ?=??=? ?-=? ? 于是所欲求的傅里叶级数 ()2222 8111 sin sin 3sin 5sin 7357 A f t t t t t ωωωωπ?? = -+-+ ??? 。 例9.3 已知一如图9.5所示的信号波形，试求其傅里叶级数。 图9.5 例9.3用图 解 此信号对原点对称，是奇函数，且又是半波横轴对称，所以其傅里叶级数仅是正弦奇次谐波分量组成。由于 ()022 T A t f t T A t T ?
周期方形信号的傅里叶级数展开 提出问题： 用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。 设周期为1的方波信号由以下函数给出 ?? ???<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。 利用Matlab 软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。 问题背景： 在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。 知识基础： 周期函数的傅里叶级数展开，Matlab 软件 实验过程： 对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件，则可展为傅里叶级数 经过傅里叶变换得到： ?????????--- +- =∑∑∑∞∞∞111)) 1(2sin(21)2sin(2 1))1(2sin(2 1)(x k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab 软件，编写程序如下： clear;clc;x=linspace(-1,2,3000); y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2); y1=0; 01()(cos sin ).2n n n a f t a nt b nt ∞==++∑1()cos n a f t ntdt πππ -=?1()sin n b f t ntdt πππ-=? 0,1,2n =L 1,2,3n =L
for k=1:10; y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x<0); end y1=1/2-y1; y2=0; for k=1:50; y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x>=0 & x<1); end y2=1/2-y2;y3=0; for k=1:100; y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x>=1&x<=2); end y3=1/2-y3;plot(x,y1)hold on plot(x,y2) plot(x,y3)plot(x,y,'r') axis equal 此图当x 属于(-1,0)时，傅里叶级数取了前10项 此图当x 属于(0,1)时，傅里叶级数取了前50项 此图当x 属于(1,2)时，傅里叶级数取了前100项 红线代表实际函数，蓝线代表傅里叶级数展开函数 拓展练习： 1. 可将周期2π扩展为任意周期T ,则此时方波信号的角频率2/T ωπ=，当方波信号 ()f t 满足Dirichlet 条件时，则可展为傅里叶级数： 01()(cos sin ).2n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑ 0 02()d T a f t t T =?
傅里叶变换 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复 杂列? 傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先 由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂: 以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自，维基百科) 连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数 形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。连续傅里 叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为: 即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里
叶变换对(transform pair)。除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对: 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次，其中 a 不一定要为整数; 而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。 当f(t)为偶函数(或奇函数)时，其正弦(或余弦)分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform)或正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是，当f(t)为纯实函数时，F(?ω) = F*(ω)成立. 傅 里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积 分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的:
（时间管理）第二章连续时间傅里叶变换
第二章连续时间傅里叶变换 1周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS (1)狄义赫利条件：于同壹个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的 数目有限；信号绝对可积。 (2)傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集能够是三角函数集或复指数函数集，函数周期为T1，角频率为。 (3)任何满足狄义赫利条件周期函数均可展成傅里叶级数。 (4)三角形式的FS： (i)展开式： (ii)系数计算公式： (a)直流分量： (b)n次谐波余弦分量： (c)n次谐波的正弦分量： (iii)系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv)称为信号的基波、基频；为信号的n次谐波。 (v)合且同频率的正余弦项得： 和分别对应合且后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。 (vi)傅里叶系数之间的关系： (5)复指数形式的FS： (i)展开式： (ii)系数计算： (iii)系数之间的关系： (iv)关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。 (v)正负n(n非零)处的的幅度和等于或的幅度。 (6)奇偶信号的FS： (i)偶信号的FS： ；； (实，偶对称)；； (ii)偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。 (iii)奇信号的FS： ；；； (纯虚，奇对称)；；
(iv)奇的周期信号的FS系数只有正弦项。 (7)周期信号的傅里叶频谱： (i)称为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。 (ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。 (iii)称为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。 (iv)周期信号的FS频谱仅于壹些离散点角频率(或频率)上有值。 (v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为。 (vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位 (vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。 (viii)称为单边谱，表示了信号于谐波处的实际分量大小。 (ix)称为双边谱，其负频率项于实际中是不存于的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。 (8)周期矩形脉冲序列的FS谱的特点： (i)谱线包络线为Sa函数； (ii)谱线包络线过零点：(其中为谱线间隔)： ，或， 即当时，。 (iii)于频域，能量集中于第壹个过零点之内。 (iv)带宽或只和矩形脉冲的脉宽有关，而和脉高和周期均无关。(定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽) (9)周期信号的功率： (10)帕斯瓦尔方程： 2非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT) (1)信号f(t)的傅里叶变换： 是信号的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。 (2)频谱密度函数的逆傅里叶变换为： (3)称为FT的变换核函数，为IFT的变换核函数。 (4)FT和IFT具有唯壹性。如果俩个函数的FT或IFT相等，则这俩个函数必 然相等。
第三章傅立叶变换 第一题选择题 1．连续周期信号f (t )的频谱F(w)的特点是 D 。 A 周期连续频谱 B 周期离散频谱 C 非周期连续频谱 D 非周期离散频谱 2．满足抽样定理条件下，抽样信号f s (t)的频谱)(ωj F s 的特点是 （1） （1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱； （3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。 3．信号的频谱是周期的连续谱，则该信号在时域中为 D 。 A 连续的周期信号 B 离散的周期信号 C 连续的非周期信号 D 离散的非周期信号 4．信号的频谱是周期的离散谱，则原时间信号为 （2） 。 （1）连续的周期信号 （2）离散的周期信号 （3）连续的非周期信号 （4）离散的非周期信号 5．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为（ 1 ） （1）2Δω （2）ω?2 1 （3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2） 6．若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f （ 4 ） （1）ωω41)(21j e j F - （2）ωω41)2 (21j e j F -- （3）ωωj e j F --)(1 （4）ωω21)2 (21j e j F -- 7．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为（ 1 ） （1）π100 （2）π 200 （3）100π （4）200 π 8．某周期奇函数，其傅立叶级数中 B 。 A 不含正弦分量 B 不含余弦分量 C 仅有奇次谐波分量 D 仅有偶次谐波分量 9．某周期偶谐函数，其傅立叶级数中 C 。 A 无正弦分量 B 无余弦分量 C 无奇次谐波分量 D 无偶次谐波分量 10．某周期奇谐函数，其傅立叶级数中 C 。 A 无正弦分量 B 无余弦分量 C 仅有基波和奇次谐波分量 D 仅有基波和偶次谐波分量 11．某周期偶函数f(t)，其傅立叶级数中 A 。
第二章 连续时间傅里叶变换 1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS (1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞
连续时间傅里叶变换内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
第二章 连续时间傅里叶变换 1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS (1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值 的数目有限；信号绝对可积∞
周期信号的傅里叶变换 周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。 复指数信号的傅里叶变换 对于复指数信号 t j e t f 0)(ω±= ∞<<∞-t 因为 )(21ωπδ? 由频移性 ?? ? ??+?-?-)(21)(210000ωωπδωωπδωωt j t j e e (3-76)
复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0随时间旋转，经傅里叶变换 后，其频谱为集中于0ω，强度为π2的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中 的频率转移。 二、余弦、正弦信号的傅里叶变换 对于余弦信号 2cos )(0001t j t j e e t t f ωωω-+= = ∞<<∞-t 其频谱函数 [])(2)(22 1 )(001 ωωπδωωπδω++-=j F [] )()(00ωωδωωδπ++-= (3-77) 对于正弦信号 j e e t t f t j t j 2sin )(0002ωωω--= = ∞<<∞-t 有
[])(2)(221 )(002ωωπδωωπδω+--= j j F [] )()(00ωωδωωδπ--+=j (3-78) 它们的波形及其频谱如图3-25所示。 ω 00ω 图 3 - 25 三、单位冲激序列)(t T δ的傅里叶变换 若信号)(t f 为单位冲激序列，即 ∑∞ -∞ =-== =n T nT t t t f )()()(δδ (3-79) 则其傅里叶级数展开式为
4种傅里叶变换形式 离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要，而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用. 连续傅里叶变换FT 当x(t)为连续时间非周期信号，而且满足傅里叶变换条件，它的傅里叶变换为X(j ?).x(t)与X(j ?)之间变换关系为傅里叶变换对： ?∞ ∞-Ω= Ωdt e t x j X t j )()( ? ∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π 傅里叶变换的结果通常是复数形式，其模为幅度谱，其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续. 连续傅里叶变换级数FS 当~x 是周期为T 的连续时间周期信号，在满足傅里叶级数收敛条件下，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk 0Ω).其中，T π20 =Ω,单位为rad/s ，称作周期信号的基波角频率，同时也是离散谱线的间隔.)(~t x 与)(0Ωjk X 之间的变换关系为傅里叶级数变换对： dt e t x T jk X T T t jk ?-Ω-=Ω22 ~00)(1)( t jk k e jk X t x 0)(21)(0Ω∞ -∞ =∑Ω=π 时域波形周期重复，频域幅度谱为离散谱线，离散谱线频率间隔为模拟角频率0Ω=T π 2.幅度谱|)(0Ωjk X |表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号t jk e 0Ω组合而成，其基波角频率为0Ω，单位为rad/s. 离散时间傅里叶变换DTDT
当x(n)为离散时间非周期信号，且满足离散时间傅里叶变换条件，其离散时间傅里叶变换为)(ωj e X .x(n)与)(ωj e X 之间变换关系为离散时间傅里叶变换对: ∑∞ ∞--=n n j j e n x e X ωω)()( ωπωππωd e e X n x n j j ?-=)(21)( 时域波形以抽样间隔s T 为时间间隔离散化，而频域频谱图则是连续的，且以数字角频率2π为周期化. 离散傅里叶级数DFS 当~ x (n)为离散时间周期为N 的周期信号，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数系数为)(~k x .~x (n 与))(~k x 之间变换关系为离散傅里叶级数变换对： ∑-=-=102~~)()(N n nk N j e n x k X π -∞
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