线性代数练习题——矩阵
一、 填空题
1、 设???
?????=1032A ，则1?A = 2、
设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3?=B ，则=?12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=?13A
4、 设?????????????
????=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ??????
????????=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。 6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。
7、 设矩阵????
??????=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。
二、 单项选择题
1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ）
（A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆
（C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆
2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ）
（A ）||||||||A B B A ?=?（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)(
3． 设矩阵????
??????+221211111λ的秩为2，则=λ（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
4． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵
（A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m ×
（D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵
（A ）1)(?AB （B ）11??B A （C ）AB （D ）B A ?
6． 初等矩阵（ ）
（A ）相乘仍为初等矩阵 （B ）都可逆 （C ）相加仍为初等矩阵 （D ）以上都不对
7． 已知???
??????=????????10113121A ，则=A （ ） （A ）?????????0113 （B ）?????????1301 （C ）?????????3110 （D ）???
??????1031 8． 设A ，B 为n 阶矩阵，且0=AB ，则必有（ ）
（A ）0=A 或0=B （B ）0=+B A
（C ）0=A 或0=B
（D ）A +0=B 9． 若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A ?=?+则必有（ ）
（A ）BA AB = （B ）E A = （C ）E B = （D ）A ,B 为对称矩阵
10． 已知B 为可逆阵，则11[()]
T B ??=（ ） （A ）B
（B ）T B （C ）1?B （D ）T
B )(1? 三、 计算题 1、????????????=520012121A ，?????????=413212B ，????
???????=401223C 求C AB T ?； 2、设????
????????=412711310A 求1?A ；
3、设????
???????=101020101A ，E 为三阶单位矩阵，满足B A E AB +=+2，求矩阵B ；
4、设???
?????=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵； 5、设A 为3阶方阵，31=
A ，求行列式1*)2(3??A A 的值，其中*A 为A 的伴随矩阵； 6、已知矩阵??????
???????
?=4553251101413223211a A 的秩是3，求a 的值。 四、 证明题 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程0332=??E A A ，证明A 可逆，并求1?A
线性代数练习题二（矩阵） 一、 填空题 1、设A 是m n ?阶矩阵，B 是s m ?阶矩阵，则T T A B 是 阶矩阵. 2、设A B ,均为m n ?阶矩阵，则AB BA =的充要条件是 . 3、设A B ,均为n 阶矩阵，则AB 不可逆的充要条件是 . 4、设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则由A B ≠≠0,0可推出 O A B O = ；O A B O -?? = ??? 1 . 5、 设A B C ,,均为n 阶方阵，且A AB C ≠=0,，则B = 6、 设A B ,为同阶方阵，则A B A AB B +-++=222()(2) 7、设A 为5阶方阵，且A =3，则A -=1 ；A =2 ； A *= . 8、设A 为3阶方阵，且A =1 2 ，则A A -*-=132 . 二、 选择题 1、设A B ,均为n 阶矩阵，且A AB +=0，则（ ）
A A B E B C A E B D A E B =+==+==+=000000 或和2、设矩阵A B A O A ?? = ??? 12，其中A A 12,都是方阵，若A 可逆，则下列结论成立的是（ ） A A A B A A C A A D A A 12211212,,可逆不可逆可逆不可逆与可逆性不定与均可逆 3、若A B C ,,均为同阶方阵，且A 可逆，则下列结论成立的是（ ） A A B A C B C B AB CB A C C AB O B O D BC O B O ========若则若则若则若则 4、若A 是（ ）矩阵，则A 必是方阵 A B C n D 对称矩阵可逆矩阵 阶矩阵的转置矩阵 线性方程组的系数矩阵 5、设A 是非奇异对称矩阵，则（ ）仍是对称矩阵 T T A A B A C A D AA -1 3 6、若A 为n 阶方阵，且A a =≠0，则A *=（ ） n n A a B a C a D a --1 1 三、 计算题 1、设A ?? ?-- ?= ?-- ?--?? 1111111111111111，求n A .
线性代数矩阵相关练 习题
向量组的线性相关性----习题课 如何正确理解线性相关（无关）的定义 判断下列命题是否正确。如果对，加以证明；如果错，举出反例。 (1)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. 解：错。原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ 取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则原式成立, 而m a a ,,1 ；m b b ,,1 均线性无关。 (2)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则其中每个向量都是其余向量的线性组合。 解 错。 反例1：设)0,,0,0,1(11 ==e a ，032====m a a a 满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a 线性表示. 反例2：)0,0,1(1=a ，)0,0,12-= （a ，)1,0,0(3=a (3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量，那么该向量组线性相关。 解：不一定。因为任何一个向量组都有一个性质： 系数全为0的线性组合一定是零向量。 若还有系数不全为零的线性组合也是零向量，则线性相关； 否则线性无关。 (4)若a 能表示为m m a a a λλ++= 11 则向量组a a a m ,,,1 线性相关. 解：正确。 (7) 若有一组不全为0的数m λλλ,,,21 使 0αλαλm m 11≠++ 成立,则m a a ,,1 线性无关. 解：错。任何一组数满足上式才行。 (6) 若021====m λλλ 时，有 0αλαλm m 11=++ 成立,则m a a ,,1 线性无关. 解：错。将“若…… ”改为“只有……”，结论才正确。 反例：)0,0,1(1=a ，)0,1,02（=a ，)0,1,1(3=a ，线性相关；
线性代数练习题——矩阵 一、 填空题 1、 设??? ?????=1032A ，则1?A = 2、 设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3?=B ，则=?12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=?13A 4、 设????????????? ????=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ?????? ????????=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。 6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。 7、 设矩阵???? ??????=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。 二、 单项选择题 1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ） （A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆 （C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆 2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ） （A ）||||||||A B B A ?=?（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)( 3． 设矩阵???? ??????+221211111λ的秩为2，则=λ（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵 （A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m × （D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵 （A ）1)(?AB （B ）11??B A （C ）AB （D ）B A ?
第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
第二章 一、选择题 1、计算13230102-???? +? ??? ???? 的值为(C) A 、-5 B 、6 C 、3003?????? D 、2902-?? ???? 2、设,A B 都就是n 阶可逆矩阵,且AB BA =,则下列结论中不正确的就是(D) A. 11AB B A --= B 、 11A B BA --= C 、 1111A B B A ----= D 、11B A A B --= 3、初等矩阵(A) A. 都就是可逆阵 B 、所对应的行列式值等于1 C 、 相乘仍就是初等阵 D 、相加仍就是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵,满足0AB =,若()2r A n =-,则(C) A. ()2r B = B 、()2r B < C 、 ()2r B ≤ D 、()1r B ≥ 二、判断题 1、若,,A B C 都就是n 阶矩阵,则()k k k k ABC A B C =、 (×) 2、若,A B 就是n 阶反对称方阵,则kA 与A B +仍就是反对称方阵、(√) 3、矩阵324113A ??=? ???与矩阵2213B ?? =?? ?? 可进行乘法运算、 (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ,则A B =、 (×) 三、填空题 1、已知[]456A =,123B ?? ??=?????? ,求AB 得_________ 。 2、已知1 2n a a A a ???? ??= ? ???? ? O (0,1,2,,i a i n ≠=K ),则1A -= (32) 12 11 1n a a a ????????????????????? ? O 12n +
习题2 2-1．设T )6,3,1(=α，T )5,1,2(=β，T )3,3,4(-=γ，求： （1）732αβγ--； （2）23αβγ-+． 解 （1）7327(1,3,6)3(2,1,5)2(4,3,3)(7,24,21)T T T T αβγ--=---=-. （2）232(1,3,6)3(2,1,5)(4,3,3)(0,0,0)T T T T αβγ-+=-+-=. 2-2．设(1,1,1,1)T α=--，(1,2,2,1)T β=, （1）将βα,化为单位向量； （2）向量βα,是否正交. 解 （1） T )1,1,1,1(211 --= αα ,T )1,2,2,1(10 11=ββ. （2）由于(,)0αβ=,所以向量βα,正交. 2-3．计算： （1）? ?? ? ??-???? ??390201062317423； （2）???? ? ??-----+????? ??10101211153212121132. 解 （1）247610200213132093303?????? -= ? ? ??????? . （2）311111173221252106341231013411---?????? ? ? ?+--=-- ? ? ? ? ? ?--?????? .
2-4．计算下列乘积： （1）????? ??????? ??--127075321134. 解 43173512328570149?????? ??? ?--=- ??? ? ??? ???????. （2）???? ? ??--????? ??101112111321212113. 解 31111162121221161 1123101814--?????? ??? ? -= ??? ? ??? ?-?????? . （3）11112 12 2122 212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ???? ?? ? ??? ??? ?? ?????. 解 11112 12 2122 212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ???? ?? ? ??? ??? ??? ??????? 111112112212222212 n n m m m m m mn d a d a d a d a d a d a d a d a d a ?? ? ? = ? ? ???. （4）1112112122 22 12 00000 n n m m mn n a a a d a a a d a a a d ???? ?? ? ??? ??? ?? ????? .
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
《线性代数》同步练习题 第5次 矩阵的初等变换与线性方程组（一） 专业： 教学班： 学号： 姓名 ： 1．用行初等变换把下列矩阵化成行阶梯矩阵和行简化阶梯形矩阵： 1134 333541223203 3421A --?? ?-- ?= ? -- ? ---?? 1102300122~0000000000--?? ?- ? ? ? ?? 2. 用初等行变换求矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式： ?????? ? ? ?---=1003011603024 22012 11A R(A)=3 11210030 1~0004000 000-?? ? ? ? - ? ?? 01113010 030 A A -=-≠的最高阶非零子式
3.求矩阵223110121A ?? ?=- ? ?-??的逆矩阵。 1 143153164A --?? ?=- ? ?--?? 4、已知方阵101221112A ?? ? =- ? ??? ，求1-A 。 1512311412A ---?? ?=-- ? ?-?? 223100(A,E)110010121001?? ?=- ? ?-?? 100143010153001164-?? ?→- ? ?--??101100(A,E)221010112001?? ?=- ? ???100512~010*********--?? ?-- ? ?-??
《线性代数》同步练习题 第6次 矩阵的初等变换与线性方程组（二） 专业： 教学班： 学号： 姓名 ： 1. 解矩阵方程,B AX =其中,011210101????? ??--=A 。??? ? ? ??----=212041132B 法一： 110302 121X -?? ?= ? ?--?? 法二： 12113332 123331113 33A -?? ? ? ?=- ? ? ?- ??? 1 110302 121X A B --?? ?== ? ?--?? 2．解矩阵方程：? ?? ? ??-=???? ??-???? ??-101311022141X 101231(A,B)012140110212--?? ?= ? ?----??100 1100103 020011 2 1-?? ?→ ? ?--? ? ,A B 矩阵可逆 11 X A CB --∴=12103133211011 16 62???? -??????=??????-?????????????? 11104X ?? ?∴= ???
向量组的线性相关性----习题课 如何正确理解线性相关（无关）的定义 判断下列命题是否正确。如果对，加以证明；如果错，举出反例。 (1)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. 解：错。原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ 取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则原式成立, 而m a a ,,1 ；m b b ,,1 均线性无关。 (2)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则其中每个向量都是其余向量的线性组合。 解 错。 反例1：设)0,,0,0,1(11 ==e a ，032====m a a a 满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a 线性表示. 反例2：)0,0,1(1=a ，)0,0,12-=（a ，)1,0,0(3=a (3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量，那么该向量组线性相关。 解：不一定。因为任何一个向量组都有一个性质： 系数全为0的线性组合一定是零向量。 若还有系数不全为零的线性组合也是零向量，则线性相关； 否则线性无关。 (4)若a 能表示为m m a a a λλ++= 11 则向量组a a a m ,,,1 线性相关. 解：正确。 (7) 若有一组不全为0的数m λλλ,,,21 使 0αλαλm m 11≠++ 成立,则m a a ,,1 线性无关. 解：错。任何一组数满足上式才行。 (6) 若021====m λλλ 时，有 0αλαλm m 11=++ 成立,则m a a ,,1 线性无关. 解：错。将“若…… ”改为“只有……”，结论才正确。 反例：)0,0,1(1=a ，)0,1,02（=a ，)0,1,1(3=a ，线性相关； )0,0,1(b 1=，)0,1,0b 2（=，)1,0,0(b 3=，线性无关。
向量组的线性相关性----习题课 如何正确理解线性相关(无关)的定义 判断下列命题就是否正确。如果对,加以证明;如果错,举出反例。 (1)若有不全为0的数m λλλ,,,21Λ使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ 成立,则m a a ,,1Λ线性相关, m b b ,,1Λ亦线性相关、 解:错。原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλΛ 取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111Λ 其中m e e ,,1Λ为单位向量,则原式成立, 而m a a ,,1Λ;m b b ,,1Λ均线性无关。 (2)若向量组m a a a ,,,21Λ就是线性相关的,则其中每个向量都就是其余向量的线性组合。 解 错。 反例1:设)0,,0,0,1(11Λ==e a ,032====m a a a Λ 满足m a a a ,,,21Λ线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a Λ线性表示、 反例2:)0,0,1(1=a ,)0,0,12-= （a ,)1,0,0(3=a (3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量,那么该向量组线性相关。 解:不一定。因为任何一个向量组都有一个性质: 系数全为0的线性组合一定就是零向量。 若还有系数不全为零的线性组合也就是零向量,则线性相关; 否则线性无关。 (4)若a 能表示为m m a a a λλ++=Λ11 则向量组a a a m ,,,1Λ线性相关、 解:正确。 (7) 若有一组不全为0的数m λλλ,,,21Λ 使 0αλαλm m 11≠++Λ成立,则m a a ,,1Λ线性无关、 解:错。任何一组数满足上式才行。 (6) 若021====m λλλΛ时,有 0αλαλm m 11=++Λ成立,则m a a ,,1Λ线性无关、 解:错。将“若…… ”改为“只有……”,结论才正确。 反例:)0,0,1(1=a ,)0,1,02（=a ,)0,1,1(3=a ,线性相关; )0,0,1(b 1=,)0,1,0b 2（=,)1,0,0(b 3=,线性无关。 (5)若向量b 不能由向量组m a a ,,1Λ线性表出, 则向量组b,m a a ,,1Λ线性无关。 解:不一定。 反例1:)0,0,0(1=a ,)1,1,12（=a ,)0,0,1(b =,线性相关; 反例2:)0,1,0(1=a ,)1,1,12（= a ,)0,0,1( b =,线性无关。 正确命题为:如果m a a ,,1Λ线性无关, 且向量b 不能由向量组m a a ,,1Λ线性表出, 则向量组b,m a a ,,1Λ线性无关。
线性代数练习题（矩阵）A 一、填空题 1、1330,,2112A B AB BA ???? ==-= ? ?-???? 2、()312321?? ? = ? ? ?? 3、431712325701???? ???-= ??? ??????? 4、13121400121134131402?? ? -?? ?= ? ?--?? ?-?? 5、2546,1321X X -???? == ? ????? 6、已知2 21()53,33f x x x A -??=-+= ?-?? ，则()f A = 二、选择题 1、2 1234-?? = ??? （ ） 1451010039161510A B C D --???? ? ????? 2、000000n a b c ?? ? = ? ???（ ） 000000()0000 000000 n n n n a A B abc C D b c ?? ?? ? ? ? ? ? ???? ?
3、矩阵1132-?? ??? 的标准型是（ ） 1110011101A B C D ???? ? ????? 4、矩阵023*********-?? ? - ? ?--?? 的最简型矩阵是（ ） 01050 10000130 0130000000110001 1000 0100 00000000000A B C D ???? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ????? 5、矩阵1234124511012?? ? - ? ???的秩是（ ） 1243A B C D 6、,A B 均为n 阶方阵，且2 2 ()()A B A B A B +-=-，则必有（ ） A A B B A E C AB BA D B E ==== 7、设,A B 均为n 阶方阵，且AB O =，则必有（ ） 000 A A B B A B O C A O B O D A B ==+===+=或或8、,A B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充要条件是（ ） 0A A B B C AB D AB BA ≠=可逆可逆
线性代数习题 说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||：. ||表示向量:.的长度，:.T表示向量：.的转置, 单位矩阵，A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 a11a12 a133耳13a123a13 1.设行列式 a21a22 a23=2,则_a31_a32_a33=( ) a31932a33a21 — a31a22 — a32323 —a33 A . -6 B. -3 C. 3 D. 6 2 .设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A (X七)=E,则矩阵X=( ) ■1 A. E +A 1 B. E-A ■1 C. E+A D. E-A 1 3?设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是( ) A 1A可逆，且其逆为"< A； B 1A不可逆 I B丿丿I B丿 r B、% )A-1 C.. 可逆，且其逆为 D .. 可逆，且其逆为 I B丿 线性代数矩阵练习题参考答案 12,1《线性代数》第二章练习题参考答案 AAEO，,,4A满足，则 8、设矩阵()AE,,(2)AE，2 102,,一、填空题 ,,r(A),2r(AB),9、设A是矩阵且，，则 2 4，3B,020,, ,,,103123,2927032,,,,,,,,,,,,TB,1、设，，则 3A+2B =; AB =; ,,,,A,B,,,,,,,,,,,21,1335111,21,,,,,,,,,,100100,,,,,,11,,,,110、设，则 A,220(A),A,220,,193,,,,,,A10,,,,,,,,1531614,,,,,,34534588,1,,,,2、设矩阵。 ABABAB,,,,,，，则， 3,,,,,,,,13205911,,,,,,,,,,,100,,88,,300,,,,,,11,1,,,011、设，则 (用分块矩阵求逆矩阵) A,140(2)AE,,27,,*,12A,A,AA,23、设为三阶矩阵，且， 则 ,,22,,2003,,,,001,, …………………………………………………… ……………………………………………………4、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__25____， |2A|=____40_ 1200,,, ,,班级: 姓名:学号:5200,,,2500装订线 ________________________________________ 密封 线,,120,,86,,,,,,210023,1,,,,,,,1,,12TA,12、设，则 A,ABA,3403、设，,,，则= B,181000,,,, ,,,,,,001,2,24033,,,,,,,,,,,121310,,,,,,001111,,,,…………………………………………………………00,,,33,,111,,,,r(A),24、设，且，则4 A,225t,,,132A13、已知为四阶方阵，且，则 A,,,11t281,, 向量与矩阵习题 2-1．设T )6,3,1(=α,T )5,1,2(=β，T )3,3,4(-=γ，求: （1)732αβγ--； （2）23αβγ-+． 解（1） 7327(1,3,6)3(2,1,5)2(4,3,3)(7,24,21)T T T T αβγ--=---=-。 解（2） 232(1,3,6)3(2,1,5)(4,3,3)(0,0,0)T T T T αβγ-+=-+-=. 2—2．设(1,1,1,1)T α=--，(1,2,2,1)T β=, （1）将βα,化为单位向量； （2）向量βα,是否正交。 解（1) T )1,1,1,1(211 --= αα ，T )1,2,2,1(10 1 1=ββ。 解(2） 由于(,)0αβ=，所以向量βα,正交. 2—3．计算： （1）? ?? ? ??-???? ??390201062317423； （2）???? ? ??-----+????? ??10101211153212121132。 解（1) 247610200213132093303?????? -= ? ? ??????? 。 解（2) 311111173221252106341231013411---?????? ? ? ? +--=-- ? ? ? ? ? ?--?????? 。 2—4．计算下列乘积： （1） 解 43173512328570149?????? ??? ?--=- ??? ? ??? ??????? 。 (2） 解 311111621212211611123101814--?????? ??? ? -= ??? ? ??? ?-?????? . （3）11112 12 2122 212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ???? ?? ? ??? ??? ?? ?????. 解 11112 12 2122 212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ???? ?? ? ??? ??? ??? ??????? 111112112212222212 n n m m m m m mn d a d a d a d a d a d a d a d a d a ?? ? ? = ? ? ???. （4)111211212222 120 00000n n m m mn n a a a d a a a d a a a d ???? ?? ? ??? ??? ?? ?????。 解 1112112122 22 12 000000 n n m m mn n a a a d a a a d a a a d ???? ?? ? ??? ??? ??? ??????? 线性代数练习题二（矩阵） 1 一、 填空题 2 1、设A 是m n ?阶矩阵，B 是s m ?阶矩阵，则T T A B 是 阶 3 矩阵. 4 2、设A B ,均为m n ?阶矩阵，则AB BA =的充要条件 5 是 . 6 3、设A B ,均为n 阶矩阵，则AB 不可逆的充要条件 7 是 . 8 4、设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则由A B ≠≠0,0可推出 9 O A B O = ；O A B O -?? = ??? 1 . 10 5、 设A B C ,,均为n 阶方阵，且A AB C ≠=0,，则B = 11 6、 设A B ,为同阶方阵，则A B A AB B +-++=222()(2) 12 7、设A 为5阶方阵，且A =3，则A -=1 ；A =2 ；A *= . 13 8、设A 为3阶方阵，且A = 1 2 ，则A A -*-=132 . 14 二、 选择题 15 1、设A B ,均为n 阶矩阵，且A AB +=0，则（ ） 16 A A B E B C A E B D A E B =+==+==+=000000 或和17 2、设矩阵A B A O A ?? = ??? 1 2，其中A A 12,都是方阵，若A 可逆，则下18 列结论成立的是（ ） 19 A A A B A A C A A D A A 12211212,,可逆不可逆可逆不可逆与可逆性不定与均可逆 20 3、若A B C ,,均为同阶方阵，且A 可逆，则下列结论成立的是 21 （ ） 22 A A B A C B C B AB CB A C C AB O B O D BC O B O ========若则若则若则若则 23 4、若A 是（ ）矩阵，则A 必是方阵 24 A B C n D 对称矩阵可逆矩阵 阶矩阵的转置矩阵 线性方程组的系数矩阵 25 5、设A 是非奇异对称矩阵，则（ ）仍是对称矩阵 26 T T A A B A C A D AA -1 3 27 第四章 二 次 型 练习4、1 1、写出下列二次型的矩阵 （1）),,(321x x x f =32312 221242x x x x x x -+-； （2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。 解：（1）因为 ),,(321x x x f =),,(321x x x ????? ??---01211020 2??? ?? ??321x x x , 所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：??? ? ? ??---01211020 2。 （2）因为 ),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ?? ? ?? ?? ??010********* 1110 ?????? ? ??4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：?? ?? ? ? ? ? ?010********* 1110。 2、写出下列对称矩阵所对应的二次型： （1）??? ??? ?? ?? --- - 22 2 12021 212 11； （2）?????????? ? ??---1212102102112121 12101210。 解：（1）设T 321),,(x x x X =，则 ),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ?????? ? ? ??--- - 22 2 12021 212 11????? ??321x x x =3231212 32142x x x x x x x x -+-+。 （2）设T 4321),,,(x x x x X =，则 ),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ????????? ? ? ? ? ---121210 210211************??????? ??4321x x x x =43423231212 4222x x x x x x x x x x x x +++-++-。 练习4、2 1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。 （1）),,(321x x x f =32212 221442x x x x x x --+； （2）),,(321x x x f =322122x x x x -； （3）),,(321x x x f =32212 322214432x x x x x x x --++。 解：（1）二次型),,(321x x x f 的矩阵 A =??? ? ? ??----02021 2022。 A 的特征方程为 )det(A E -λ= λ λλ202120 22 --=)45)(2(2+-+λλλ=0， 由此得到A 的特征值21-=λ，12=λ，43=λ。 对于21-=λ，求其线性方程组0)2(=--X A E ，可解得基础解系为 行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2. 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i线性代数矩阵练习题参考答案
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