第二章矩阵
一、知识点复习
1、矩阵的定义
由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如
2 -1 0 1 1
1 1 1 0 2
2 5 4 -2 9
3 3 3 -1 8 是一个45矩阵.
一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。
两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。
2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。
n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.
对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).
数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.
上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.
下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.
对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.
反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。
（1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2
A=1
阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:
①如果它有零行，则都出现在下面。
②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严
格单调递增。
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类
计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。
请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零
行数和台角位置是确定的。
3、矩阵的线形运算
（1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n
矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减).
（2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵,
记作c A,运算法则为A的每个元素乘c.
这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:
①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).
③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.
⑤ c A=0 c=0 或A=0.
4、矩阵乘法的定义和性质
（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB.
AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量
和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
即：n m n s s m C B A ???=
矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:
① 矩阵乘法有条件. ② 矩阵乘法无交换律. 即AB ≠BA ③ 矩阵乘法无消去律：即一般地由AB =0推不出A =0或B =0. 由AB =AC 和A
0推不出B =C .(无左消去律)由BA =CA 和A
0推不出B =C . (无
右消去律)请注意不要犯一种常见的错误
:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.
矩阵乘法适合以下法则:
① 加乘分配律 A (B +C )= AB +AC , (A +B )C =AC +BC .
② 数乘性质 (c A )B =c(AB ). ③ 结合律 (AB )C = A (BC )
（2）n 阶矩阵的方幂和多项式
任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质: |AB |=|A ||B |.
如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.
方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k
即k 个A 的连乘积.规定A 0
=E
. 显然A
的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:
① A k A h = A
k+h
.② (A k )h = A kh
.
但是一般地(AB )k
和A k B k
不一定相等! n 阶矩阵的多项式：
设f(x)=a m x m
+a m-1x m-1
+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定 f(A )=a m A m
+a m-1A
m-1
+…+ a 1A
+a 0E .
称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .
乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是互相可交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:
(A B )2=A 22AB +B 2; A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).
二项展开式成立: B A
C B A -
=∑=+1
)(等等.
前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.
(3)乘积矩阵的列向量组和行向量组
设A 是m n 矩阵B 是n s 矩阵，A 的列向量组为
1
,
2
,…,
n
，B 的列向量
组为
1
,
2
,…,
s
，AB 的列向量组为
1
,
2
,…,
s
，则根据矩阵乘法的定义
容易看出(也是分块法则的特殊情形):
① AB 的每个列向量为:
i
=A
i
,i=1,2,…,s.即
A (
1
,
2
,…,
s
)= (A
1
,A 2
,…,A
s
).
② =(b 1,b 2,…,b n )T
,则A = b 11+b 2
2
+…+b n n
.应用这两个性质可以得到:
如果i =(b 1i ,b 2i ,…,b ni )T
,则
i =A I =b 1i 1+b 2i 2+…+b ni n .
即:乘积矩阵AB 的第i 个列向量i
是A 的列向量组1
,
2
,…,
n
的线性组
合，组合系数就是B 的第i 个列向量
i
的各分量。
类似地, 乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合，组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量。
以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.
利用以上规律容易得到下面几个简单推论: ① 用对角矩阵
从左侧乘一个矩阵,相当于用
的对角线上的各元素依次乘
此矩阵的各行向量， 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。
?????
???????=???????????????????????
?=Λ?4433221143212
1
a a a a A m n
m m λλλλααααλλλO
[][]
4433221
12
143
21
a a a a
a a a a A m m λλλλλλλ=????
?
??????
?=ΛO
② 数量矩阵kE 乘一个矩阵相当于用k 乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。
③ 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。 ④ 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂。
5、矩阵的行列式
A 为n 阶方阵，由A 的元素所构成的行列式称为A 的行列式，表示为|A |。
若A 的行列式|A|≠0，称A 为非奇异方阵，|A|=0，称A 为奇异方阵
|AB|=|A||B| |cA|=C n
|A|.
6、矩阵的转置
把一个m n 的矩阵A 行和列互换，得到的n m 的矩阵称为A 的转置，记作A T(或A )。有以下规律：
①(A T )T = A. ②(A+B)T =A T +B T . ③(cA)T =cA T . ④(AB)T =B T A T . ⑤|A T |=|A| 7、矩阵的等价
定义：两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.
矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.
命题：两个m*n 矩阵A 与 B 等价的充要条件是存在m 阶满秩矩阵P
及n 阶满秩矩阵Q ，使得A=PBQ 8、矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)
(1) 矩阵方程
矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程: (I) AX =B . (II) XA =B .
这里假定A 是行列式不为0的n 阶矩阵，在此条件下，这两个方程的解都是存在并且唯一的(否则解的情况比较复杂.)。
当B 只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解. 如果B 有s 列,设 B =(1
,
2
,…,
s
),则 X 也应该有s 列,记X =(X 1,X 2,…,X s ),
则有AX i =
i
,i=1,2,…,s,这是s 个线性方程组，由克莱姆法则,它们都有唯一解，
从而AX =B 有唯一解。这些方程组系数矩阵都是A ，可同时求解，即得
(I)的解法：将A 和B 并列作矩阵(A |B )，对它作初等行变换，使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X (A |B )(E |X )。
(II)的解法：对两边转置化为(I)的形式:A T X T
=B T
，再用解(I)的方法求出X T
，转置得X .
：(A T
|B T
)(E |X T
)
矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。
(2) 可逆矩阵的定义与意义
定义：设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB =E ， BA =E ，则称A 为可逆矩阵，此时B 是唯一的，称为A 的逆矩阵，通常记作A -1
。
如果A 可逆，则A 在乘法中有消去律：
AB=0B=0；AB=AC B=C.(左消去律)；
BA=0B=0；BA=CA B=C. (右消去律)
如果A可逆，则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边)：
AB=C B=A-1C，BA=C B=CA-1
由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：
(I) AX=B的解X=A-1B (II) XA=B的解X= BA-1.
这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).
(3) 矩阵可逆性的判别与性质
定理 n阶矩阵A 可逆|A |0.
证明充分性：对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A |0. (并且|A-1|=|A|-1.)
必要性：因为|A |0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.
推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E BA=E.
于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.
可逆矩阵有以下性质:如果A可逆,则
① A-1也可逆,并且(A-1)-1=A. ②A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.
③当c0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.
④对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)
⑤ 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)
⑥初等矩阵都是可逆矩阵,并且
E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).
(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵
①计算逆矩阵的初等变换法
当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换或列变换求A-1:初等行变换：[]1
|
|-
→A
E
E
A
初等列变换：?
?
?
??
?
→
??
?
??
?
-1
A
E
E
A
这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.
②伴随矩阵
若A是n阶矩阵，记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩阵
A11 A21… A n1
A*= A12 A22… A n2 =(A ij)T.
K K K K
A1n A2n… A mn
请注意，规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆，但是在A可逆时,A*和A-1有密切关系。
基本公式: ①AA*=A*A=|A|E. ②A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.
因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.
和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵
a b * d -b
c d = -c a ,
因此当ad-bc 0时, 1
1a b d b c d c a ad bc --????
=????--??
?? 二 例题
一、填空题 1．设
1
,
2
,
3
, , 均为4维向量, A = [
1
,
2
,
3
, ], B = [
1
,
2
,
3
, ], 且|A | = 2, |B | = 3, 则|A －3B | = ______.
解：βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-?-
=αααα321
(8?-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα
2． 设[]1
2n A a a a =L
，则T
AA = ，T
A A = ．
解：T
AA =[]222212121,n
n n a a a a a a a a a +++=????????????ΛM Λ
T
AA =[]??????
?
???????=?
?????
??????221222
2
112
1212
121,n n n
n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Λ
ΛO ΛΛΛ
ΛΛM 3．若对任意n ×1矩阵X , 均有AX = 0, 则A = ______.
解：假设[]m A ααΛ
1
=,
i
是A 的列向量。对于j = 1, 2, …, m ,
[]T
j X 010ΛΛ=，第j 个元素不为0，所以[]m ααΛ
1[]0010==j T
αΛΛ
(j = 1, 2, …, m ).，A = 0。
4．设n 维向量)2
1,0,,0,21
(Λ=α, 矩阵ααT E A -=, ααT
E B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =
解：(
)(
)
E a a a a a a E a a E a a E AB T
T T T
T
=?-+=+-=22 5．设矩阵1
2,23,3211-+-=?
?
??
??-=B E A A B A 则= ______. 解：=2A ????
??-3211??????-3211=??
?
???--7841 E A A B 232+-==??????--7841－??
????-9633 + ??????2002=??
?
???--0212 21||*1
==-B B B
????
??--2210=???
?
?
???--11210 或者：???
???---→??????---→??????--1110100211011012100102
12M M M M M M 6．设n 阶矩阵A 满足1
2
,032-=++A E A A 则= ______.
解：由,0322
=++E A A 得E E A A 3)2(-=+. 所以0|3||2|||≠-=+E E A A ,
于是A 可逆. 由,0322
=++E A A 得)2(3
1
,0321
1E A A A E A +-
==++-- 7．设)9()3(,10002010121E A E A A -+??????????=-则=______.答案：??
??
?
?????---=-2000101023E A 8．若A 2-2A+E=0，则（A-2E ）-1
=
解：()()()
A E A E E A A E E A A E A A -=-?=--?-=-?-=--1
2
2222
二、单项选择题
1．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有
A 当()0≠=a a A 时，a
B = B 当()0≠=a a A 时，a B -=
C 当0≠A 时，0=B
D 当0=A 时，0=B
解：ΛΛ2121Q BQ p p A =
2.下列命题正确的是( )，并说明理由.
A 若A 是n 阶方阵且A≠O，则A 可逆
B 若A ，B 都是n 阶可逆方阵，则A+B 可逆
C 若AB=O ，且A≠O，则必有B=O
D 设A 是n 阶方阵，则A 可逆A T
必可逆. 3. 设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是
A 若A 、
B 均可逆, 则A + B 可逆. B 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆.
C 若A + B 可逆, 则A －B 可逆.
D 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆. 解：若A 、B 均可逆, 则111
)
(---=A B AB
4.
则在,,B C D 中与A 等价的矩阵为 ， 5. 下述命题正确的是( )
A 若A 与
B 等价，则A=B. B 若方阵A 与方阵B 等价，则A B =.
C 若A 与可逆矩阵B 等价，则A 也是可逆矩阵.
D 若A ，B ，C ，D 均为n 阶方阵，若A 与B 等价，C 与D 等价，则A+C 与B+D 等价. 6. 设A 、B 为同阶可逆矩阵, 则
A A
B = BA B 存在可逆矩阵P , 使B AP P =-1
C 存在可逆矩阵C , 使B AC C T
= D 存在可逆矩阵P 和Q , 使B PAQ = 解：因为A 可逆, 存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,.
因为B 可逆, 存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.
所以 A A AQ P = B B BQ P . 于是B Q AQ P P B A A B =--1
1 令 A B P P P 1
-=, 1
-=B A Q Q Q . (D)是答案.
7．已知 ??????????--300042021与?????
?
?
???62852321a 等价，则a =
1 D
2 D
3 B
4 C
5 C
6 D
7 a=4
8．以下命题是正确的是( )，且说明理由： (1) 对任何矩阵A ，均有T T AA A A =.
解：只有当A 是方阵时，T A A =
(2) A ，B, C ，D 均为n(n>1)阶方阵，若A B M C
D ??=???
?
，则M A D B C =-.
解：分块矩阵不满足这样的公式。
(3) A ，B ，C ，D 均为n 阶方阵，若A B M C D ??=????
, 则T
A C M
B D ??=????
.
解：??????=T T
T T
T D B
C A M ， （4）题答案：()B A O
B A O n 2
1-= (4) A ，B 为n(n>1)阶方阵则O A A B B O ??
=-?
???
. (5) A ，B 为可逆矩阵，则AXB C =有惟一解1
1
X A CB --=.
(6) 1112
22n n n
n n ?????????????L L M M M L
等价于 1000
000
00n n
???
???
???????L L
M M M L
三、计算题
1. 设?
????
????
?-=243121013A , ??
??
?
?????--=14
3
522011B . 求: i. AB －BA ii. A 2－B 2 iii. B T A T
??????????----1618931717641 ????
??????-----1326391515649
??????????--221153151765 2. k 取什么值时, ????
?
?????-=11100001k A 可逆, 并求其逆。
解：0111000
01||≠=-=k k A ，????
?
?????-=-111010001
1k
k
A 3. 解下列矩阵方程：
解：?
?
????--→??????-----→????
??---32111001641120016453
2021)1(M M M M M M ????
?
?????=222122)2(X ??????=04111)3(X 4. 已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα，其中T
)2,2,1(1=α，
T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，试求矩阵A .
解：()()3213213322113,2,,,3,
2,
a a a a a a A a Aa a Aa a Aa =?===
???????
?????????----=????????????
????---??????????---=23
23
2
3235
032037929
19
2
91929
2
929291
622342641A 5. 计算下列矩阵的值
（1） n
??????--2312 ?
?
?
???--=??????--??????=??????--??????--23122312100123122312 （2）设????
?
?????=λλλ100100A , 求A n
解：使用数学归纳法
??????????=????????????????????=22
2
2210
200
1
00100
1001
00
λλ
λλλλλ
λλλ
λ
A =????
?
?
?????????????
?=λλ
λλλ
λλ
λ1
00100
210
200
2223A ?????????
?+32
3
23
3)21(0
300
λλλλλλ 假设 k A =????
???
???-++---k k k k k k k k k λλλλλλ1
21)11(000
Λ 则1+k A =???
????
??
?-++---k
k k k
k k k k k λλλλλλ1
21)11(000
Λ??????
????λλλ100100
???
?
?
?????=010101001A =????
???
??
?+++++-++111
1)1()1(0)1(00
k k
k k k k k k k λλλλ
λλΛ 所以：n A =???????
?
?
?-++---n n n n n n
n n n λλλλλλ1
21)11(000Λ=?????
???????----n n n n n n
n n n n λλλλλλ1
2
1
2
)1(000
6. 设矩阵A （1） 证明: n 3时, E A A A n n
-+=-2
2
(E 为三阶单位矩阵) （2） 求A 100
.
解：因为??
??
?
?????=1000110012A ??????????=0111020013A
+
????
?
?????=-+010*******E A A -????
?
?????101011001??????????100010001?????
?
?
???=0111020013A =
所以 E A A A -+=-22
33
，假设 E A A A k k -+=-22
则 =-+=-+A A A A
k k 311
A E A A A k --++-21=E A A k -+-+22
1）（ 所以 E A A A n n
-+=-2
2
ii. =-+=E A A A
298100
E A E A A 4950222296-==-+Λ
-
????
?
?????=50050050500050??????????490004900049?????
?
?
???=10500150001
7. 当????
?
?
????
?
?
-
=212
32321A 时, A 6 = E . 求A 11. 解：因为 11
12
11
6
--===EA A A A E A ，
1212
3232
1
||=-
=A , 所以 ==-||*
1A A A ????????????-212
3
232
1
?????
?
??????-=212
3
232
111A 8. 已知A 、B 为3阶矩阵，且满足E B B A 421
-=-，其中E 是3阶单位矩阵 （1）证明：矩阵A-2E 可逆。 （2）若
??
??
?
?????-=200021021B ，求矩阵A 解：()()E E A B E A A AB B A AB B AA 8242
42421
=---?-=?-=- ()()()1
482842--=-?=--E B E A E E B E A
，
9. 设A ，P 均为3阶矩阵，T
P 为P 的转置矩阵，且????
?
?????=200010001AP P T ，若
()()为则AQ Q ,,,,,,T 3221321a a a a Q a a a P +==
解：
此例说明结论:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…,n的线性组合，组合系数就是B的第i个列向量i的各分量。
类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数就是A的第i个行向量的各分量。
四、关于矩阵的初等变化和初等矩阵知识点
矩阵有以下三种初等行变换：
①交换任意两行的位置。
②用一个非0的常数乘某一行的各元素。
③把某一行的倍数加到另一行上。
类似地, 矩阵还有三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换。
对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换，所得到的矩阵称为初等矩阵。
有三类初等矩阵：
E(i,j)：交换E 的i,j两行(或列)所得到的矩阵。
E(i(c))：用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵，也就是把E的对角线上的第i个元素改为c。
E(i,j(c))(i j)：把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c。
初等矩阵都是可逆矩阵,并且
E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).
命题：对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.
1. 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
=
23
33
22
32
21
31
13
12
11
23
22
21
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
B,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
1
1
1
1
P,
设有P2P1A = B, 则P2 =
解：P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P2 =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-1
1
1
1
。
2.设A是3阶方阵，将
A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为
B
A=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
C
B=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
，.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
A
A =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解：()1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
-
-
-
-
-
-
-=
=
=
?
=A
p
p
A
p
p
A
p
p
B
p
Ap
B
()1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
-
-
-
-
-
-
-=
=
=
?
=A
p
p
A
p
p
A
p
p
B
p
Ap
B
4.若可逆矩阵A作下列变化，则1
A-相应地有怎样的变化?
(1) A 中i 行与j 行互换；(2) A 中i 行乘上非零数k ； (3) i ＜j 时， A 中第j 行乘上数k 加到第i 行．
解：（1）()()()
()()j i E A j i E A A j i E B A j i E B ,,,,11
11
1
-----===?=
1
-A 的i 列与j 列互换。
（2）()()()()[]???
?
????? ??==?=----k i E A k i E A B A k i E B 111
11
1-A 的i 列乘以
k
1
（3）()()()()[]
()()k j i E A k j i E A
B
A k j i E
B -==?=----,,,1
1
1
1
1-A 的i 列乘以k -加到第j 列上。
5. 已知3阶矩阵A 可逆，将A 的第2列与第3列交换得到B ，再把B 的第1列-2
倍加到第3列得C ，则满足PA -1=C -1
的矩阵P 为。
解：()3,2AE B =，()()()()()()[]1
1
123,13,223,13,2----=?-=A E E C E AE C
()()()[]()()()3,223,123,13,21
1
1
1
1
E E A A E E A C P PA C
?=-==?=-----
()()()()()??
??
?
?????=???????????=010*******,223,110001020123,1E E E 6.设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵为B ， （1）证明B 可逆，（2）求AB
-1
解：()A B A j i E B =?=,，所以B 可逆。 ()()()()j i E A j i E A A j i E B
,,,11
11
1
-----===，()j i E AB ,1=-
五、关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：
若
1
2
s A A A A ??
?
?= ?
???O
，则：
111
12
1s A A A A ----?? ?
?= ? ? ???O
①
12s
A A A A =L ；
②、1
11A O A O O B O
B ---??
??
=
? ?????
；（主对角分块） ③、1
11O A O B B O A O ---??
??= ? ?
????
；（副对角分块） ④、1
1111A C A A CB O B O
B -----??
-??=
? ?????
；（拉普拉斯） ⑤、1
111
1A O A O C B B CA
B -----??
??
= ? ?-????
；（拉普拉斯） ⑥ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则
(1)mn A A A A B
B
B
B
A
A B B οο
οοο
*
=
=
=*
*=-
⑦ 若A , B 都是n 阶方阵, ||E AB B
E
E A -=
1. 求下列矩阵的逆矩阵
i. ?
??????
?????--311
15221001
10012 ii. ?????
?????-1000cos sin 0sin cos αααa iii. ??????
??????0001
001001001000 iv. ?
?
?
??
????
?
??-1100
2100
00
12
00
25
i.解：根据分块矩阵：?????
?-=?
??
???-----11
111
0B CA B A B C O A ，???
??
?
???
???------21117533019
002100
11
i 根据分块矩阵??
?
???-=??????--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1
????
??????-=
-10
0cos sin 0sin cos 1ααααA iii.??????=?
?????-01
1001101
，????????????=-0001
0010
01001000
1
A iv. ??????
????????---=-3131003231000052002
11A 2. 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则??
?
?
??--1002B A T
等于 解： 1
21||||)2(002---=??
??
??-B A B A n T
。 3.设A 为n 阶可逆矩阵，计算：
（1）[]n E A A 1
- （2）1-??
????A E A n （3）[][]n T
n E A E A
（4） [][]
T
n n E A E A （5） []n n E A E A ??
?
???-1
解：（1）[][][]
1-111
E A ,---==A E A A E A A
n
n n ，，
（2）??
?
???=??????=??????----1111A E A E AA A E A n n n （3）[]
[][]???
???=??????=n T T n n T n T
n E A
A A A E A E A E A E A ,,
（4）[][]
[]n T n T n T
n n E AA E A E A E A E A +=??
?
???=,,
（5）[]??
?
?
??=??????=??????----n n
n n n E A A E E A A A A E A E A 1111. 4. 设A 为n 阶非奇异矩阵，a 为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵
??
????-=A A
a E
P T *
0，??
?
???=b a a A Q T (1) 计算并化简PQ 。 解：()??
?
?
??+-=??????
+-+-=-*b A A E
A
b A A A E A E A PQ T T T
T αααααααα10
因为=+-=+-?=-*-?b A a A A a b A a A a A A A T T 11 （2）证明：矩阵Q 可逆的充要条件是b a A a T
≠-1
解：()
?≠?≠+-==-00)(1Q b a A a A A Q P PQ T b a A a T
≠-1
5. 设3
47534453542333322212223
212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f ，则方程f(x)=0有几个根。
()()156734121330012200123734
2
2133101221012
-=?
???????????--=-----=?????????
???----------=x x x x x x x x x x
x x x x x f 6. 设A 、B 为n 阶矩阵，*
*B A ,分别为A 、B 对应的伴随矩阵，分块矩阵?
?
????=B A C 00 则C 的伴随矩阵为：
解：因为B A C C C ==??
7. 设A 、B 均为2阶矩阵，*
*
B A ,分别为A 、B 对应的伴随矩阵，若3,2==B A
则分块矩阵??
?
?
??00
B
A 的伴随矩阵为 A ????
??*
*
0230A B B ??????**
0320A B C ??????**
0230B A D ??
????**
0320B A 解：利用E A AA =*
??
?
???=??????=??
????=???
???-----*
0000
00000011
1
11
A
A B B B A A B B A B A B A B A ??
?
???=??????=***
*032000A B A B B A 8.设,A B 均是n 阶矩阵，*
13,,1
()2
A A
A a
B b
C B O -??
?=== ? ???
，则_________.C = 解：直接利用上述公式简化行列式运算。
*
1*1
31
(1)()3.12()2
n n A
A C
B A B O
?--==-
而 1111()222
n B B b ---==，1
*
*
13333n n
n
n n A A A
a --===。
于是 22
2
*
1*
1
1111
31
(1)()312()
2
(1)23(1)6n n n n n n n n A
A C
B A B O
b a a b ------==-=-?=- 六、关于伴随矩阵的知识点
若A 是n 阶矩阵，记A ij 是|A |的(i,j)位元素的代数余子式，规定A 的伴随矩
阵
()T
ij A A =*，因此有AA *=A *A =|A |E .
若A 可逆：A *=|A |A -1，即A -1
=A */|A |
伴随矩阵的其它性质:
③如果A 可逆，则A *也可逆，并且(A *)-1= A /|A |=(A -1)* ④ (A T )*=(A *)T ()
()
T
T
A A 11
--= ⑤ (A k )*=(A *)k (A k )-1=(A -1)k
⑥ |A *|=|A |n-1 ⑦ (c A )*=c n-1A *
⑧ (AB )*=B *A * (AB)T =B T A T (AB )-1=B -1A -1 ⑨当n>2时,(A *)*=|A |n-2A ； n=2时,(A *)*=A . 证明以上性质：
（3）()
()
A
A
A
A A A A A
A A =
==?=----*
-?
1
1
1
1
1
()
()
A
A
A A A A A A =
=?=---*
--?1
1
11
1，所以()
()
*
--*=11
A A
（4）()
()
()
1
1
1
--*
-?
==?=T
T
T T
A A A A A A
A A
()()()
()
T
T
T
T
T
A A A A A A A A A A 1111---*
-?===?=
再证明：()
()
T
T A A 11
--=，()()
E A A A A T
T
T ==--1
1
，所以()
()
T
T
A A 11
--=
所以()()T
T A A **
=，同理还有()()*
*=k k
A A ，()()
1
1--=k k
A A
（5）()
()
()()()()k
k
k
k
k
k k A A A A A A A A
*---*
===11
1
（6）1
1
11---*-?===?=n n
A
A A A A A A A A
（7）()()
*-----*
-?====?=A C A A C C
A A C CA CA CA A A A n n n 11111
11
（8）()()
**---*
===A B A B B A AB AB AB 111
同类型公式：()T
T T
A B AB =，()
111
---=A B AB
（9）()
()
A A A
A A
A
A A
n n 2
1
1
---**
*
*=== 2. 设A 为n 阶可逆矩阵, 则(－A )*
等于
(A) －A *
(B) A *
(C) (－1)n A *
(D) (－1)
n －1A *
3. 设n 阶矩阵A 非奇异(n 2)，A *
是A 的伴随矩阵，则 (A) A A A n 1
*
*||)(-= (B) A A A n 1**||)(+= (C) A A A n 2
**|
|)(-= (D) A A A n 2**||)(+=
4.设A 是任一()3≥n n 阶方阵，?
A 是其伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则
()
=?
?kA
解：因为()
A A
A
n 2
-*
*=，()
()A A
k kA kA
kA n n n 2
122
)(---*
*
==
5.设A 、B 均为n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则1
2-?
B
A =
解：121
1
1
23122----???
?
??-===n n n n B
A
B
A 6. 设___])2___[()____(,3342122111*1*1=-==????
?
?????----=---A A A A 则
解：????
??????-----=-3722524931A ，|A| = 1，A A A A ==
-||)(1
* A *=|A |A -1
，11
3
1*4)
2(|
|)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A 4
)4(])2[(111*A A A =
=---- 7. 已知A 为3阶方阵，且A =3，求
（1）1-A （2）*A （3）A 2- （4）()1
3-A （5）
143
1-*
-A A （6）()
1
-*A
解：（1）3
11
1
=
=--A
A
（2）9321===-*
n A A （3）()24223
-=-=-A A （4）()81
1
3131341=
==
-A A （5）
9343
14311111-=-=-=-----*A A A A A A （6）()
3
1
A
A A A ==
-*
8. 设矩阵A 的伴随矩阵*10
0001
0010100308??
?
?= ?
?-??
A ，且ABA -1=BA -1+3E ，其中E 是4阶单位矩阵，求矩阵
B .
解：因为ABA -1=BA -1
+3E ?+=?+=?*
*
*
A A
B A AB A A B AB 33
A B A A B 3+=*，因为283
1
=?===-*A A A
A n
A B A A B 3+=*()()
1
266262-***-=?=-?+=?A E B E B A E E B A B
9.设矩阵????
?
?????=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA
+=**
2，
其中*
A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B
解：A A BA A ABA +=*
*
2，而3=A ，A B AB +=63，A B E A =-)63(，
363==-A B E A ，2763=-E A ，.9
1
=B
10. 设矩阵A 、B 满足E BA BA A 82-=*
，其中
??
??
?
?????-=100020001A ，E 为单位矩阵， *A 为A 的伴随矩阵，则B=
解：A ABA BA AA 82-=?
，因为2-==?
A AA ，所以E A
B B 822-=-
()()
1
444-+=?=+?=+E A B E B E A B AB ??
??
?
?????-=242 11. 设矩阵????
?
?????---=111111111A ，矩阵X 满足X A X A 21+=-*，其中*
A 是A 的伴随矩
阵，求矩阵X 。
解：Ax E x A Ax AA x AA 221+=?+=-?，因为4=A
()()12424--=?=-A E x E x A E ，1
011
10
011
4
1=x
12.设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, *
*
,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则
A 交换*A 的第1列与第2列得*
B . B 交换*A 的第1行与第2行得*
B .
C 交换*
A 的第1列与第2列得*
B -. D 交换*
A 的第1行与第2行得*
B -. 解：B A E =12，12*1
1212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=?===-
13. 设矩阵()
3
3?=ij
a A ，满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，T A 为A 的转
置矩阵，若131211,,a a a 为3个相等的正数，则11a 为 33
1A 03
23==?=?=?=?=?或A A A A A A E A AA E A AA T T 七、关于矩阵的秩
(1) 定义：一个矩阵A 的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称此数为矩阵A
的秩，记作r(A )。 于是r(A )=0 A =0。
如果A 是m n 矩阵，则r(A )Min{m,n}。
当r(A )=m 时，称A 为行满秩的；当r(A )=n 时，称A 为列满秩的。
对于n 阶矩阵A ，则行满秩和列满秩是一样的，此时就称A 满秩。于是： 命题：任何满秩矩阵都可以用初等变换化为单位阵。 命题：任何满秩矩阵都可以表示成一组同阶初等矩阵的乘积。
因此n 阶矩阵A 满秩有以下性质： n 阶矩阵A 满秩r (A )=n |A |
A 可逆与单位矩阵等价。
矩阵的秩还可以用它的非0子式来看：
A 的r 阶子式:任取 A 的r 行和r 列，在它们的交叉位置上的元素所构成的行
列式，如果它的值不为0，就称为非0子式。
关于A 矩阵秩的描述：
①()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0。 ③()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0。 (2) 计算
命题 ① 初等变换保持矩阵的秩不变. ②阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个
数.
矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵，则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩。
(3) 在矩阵运算中，矩阵的秩有性质：
①0,()A r A ≠若则≥1 ②()()()T T r A r A r A A ==
③()0()00
r A k r kA k ≠?=?=? 若 若 ④()()
A r r A r
B B οο??=+????
⑤A 是m ?n 矩阵，B 是n ?s 矩阵，n B r A r -+)()(≤()r AB ≤{}min (),()r A r B
⑥()r A B ±≤()()r A r B + ⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ??=+若且则≤n ⑧若A 列满秩，则)()(B r AB r =，若B 行满秩，)()(A r AB r =
⑨若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑩ A 是n 阶矩阵， () () 1 ()10 () 1 n r A n r A r A n r A n *=??==-??<-?
若若若
证明：②()()()T T r A r A r A A == 解：设A 为n m ?矩阵，x 为n 维列向量。 若x 满足0=Ax ，则有()0=Ax A
T
，则()0=x A A T 。
若x 满足(
)0=x A A T
，则有()()()000=?=?=Ax Ax Ax x A A x
T
T
T
即0=Ax 和(
)
0=x A A T
同解，因此()()()T T r A r A r A A == 证明：⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B
解：设C AB =，即矩阵方程C Ax =有解B x =，则满足()()C A r A r ,= 又因为()()()()()A r AB r A r C A r C r ≤?=≤,
设C AB =，T
T T C A B =，()()()()B r C r B r C
r T
T
≤?≤
所以：()r AB ≤{}min (),()r A r B 证明：⑥()()()B r A r B A r +≤±
解：设A 、B 为n 阶矩阵，()()B A B B A M M
→+
因为()()()()()B r A r B A r B B A r B A r +≤=+≤+,, 证明：⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ??=+若且则≤n 解：设矩阵B 的列向量()s B B B Λ21,，则由分块矩阵的乘法可知，
()()()0000,0,,2121=?=?==AX AB AB AB AB B B B A j s s ΛΛΛ
B 的列向量是齐次方程组0=AX 的解，0=AX 所含解向量的个数为()A r n -，所以()()()()n A r B r A r n B r ≤+?-≤
证明：⑨,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则
解：因为Q P ,可逆，所以Q P ,是方阵，同理A 也是方阵。 设A Q P ,,都是n 阶方阵，()()n Q r p r ==
又因为(){}B A AB r ,m in ≤，()(){}A r AQ r PA r ≤= 利用性质：()()()AB r n B r A r ≤-+
所以：()()()()()A r PA r A r n A r P r ≤≤=-+ 所以()()A r PA r =，()(){}A r AQ r PA r ==
同理证明：⑧若A 列满秩，则)()(B r AB r =，若B 行满秩，)()(A r AB r =
证明：⑩A 是n 阶矩阵， ()
() 1 ()10 () 1 n r A n r A r A n r A n *=??==-??<-?
若若若
解：若()()n A
r A A n A r =?≠?≠?=*
*
00
若()?=?-=01A n A r 至少存在一个n-1阶子式不为0，至少存在一个元素的n-1阶子式不为0，()1≥?*
A
r
()()()10≤?≤+?==?***A r n A r A r A A A ，所以()1=*A r
若()?=?-<01A n A r A 的所有n-1阶子式全为0，所以0=*
A
求解下列问题：
1. 已知A 是m ?n 矩阵，B 是n ?s 矩阵,)(B r =n ，AB=0，证明A=0. 解：因为()()n B r A r AB ≤+?=0，又因为(),n B r =所以()0≤A r ，
已知A 是m ?n 矩阵，所以()0≥A r ，所以()0=A r ，所以A=0
或者：因为?=0AB B 的列向量是0=Ax 的解，又因为(),n B r =
所以0=Ax 至少有n 个线性无关的解，至多有()A r n -个线性无关的解， 所以()()0≤?-≤A r A r n n ，()0≥A r ，所以()0=A r ，所以A=0 2.设A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，满足ＡＢ＝Ｉ，试证明Ａ的行向量组线性无关，Ｂ的列向量组线性无关。 证明：若m n >，则()()n m B r n m A r <≤<≤,
。
又因()()(){}B r A r n AB r ,m in ≤=，和假设矛盾，只能m n < 所以
()()n B r n A r ≤≤,，又因为()()()n AB r n B r A r =≤-+
()()?≤+n B r A r 2()()n B r n A r ==,
所以Ａ的行向量组线性无关，Ｂ的列向量组线性无关。
2. 设
227036000A -??
??=-??
????
, B 是秩为1的３×５矩阵，问矩阵()A E B -的秩为多少?
解：因为
??
??
?
?????---=-100620721E A ，()3=-E A r ，()1=B r
根据：()(){}A r AQ r PA r ==，所以矩阵()A E B -的秩为1.
3. 设A 为m ×n 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 矩阵A 的秩为r 1, 矩阵B = AC 的秩为
r, 则
(A) r > r 1 (B) r < r 1 (C) r = r 1 (D) r 与r 1的关系依C 而定
4. 设A 为５×３矩阵
(1) 秩(T AA )必 ．T
AA = ． (2) 齐次线性方程组(T
AA )X O =为( ).
(A) 无解； (B) 有惟一解；
(C) 有无穷多解； (D) 解不确定，可能有解，可能无解. 解：(
)
5
55
335???=T
T AA
A
A ，所以(
)0,
3==T
T
AA AA
r
5. 设A 是4?3矩阵。B 是3?4矩阵，则
（A ） ＡＢＸ＝０必有非０解 （Ｂ）ＡＢＸ＝０只有０解 （Ｃ） ＢＡＸ＝０必有非０解 （Ｄ）ＢＡＸ＝０只有０解 6. 设A 、B 都是n 阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A 和B 的秩
(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n , 一个等于n (D) 都等于n
解：若0,0.,)(1
===-B AB A n A r 得由存在则, 矛盾. 所以 n A r <)(.
同理n B r <)(. (B)是答案.
7.设矩阵n m A ?的秩为()n m A r <=，m E 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是： A A 的任意m 个列向量必线性无关 B A 的任意m 阶子式不等于零
C 若矩阵B 满足BA=0，则矩阵B=0 DA 通过初等行变化必可以化()0,m E 形式 8. 设A=????
?
?????-43025212a ，B 是3阶非0矩阵，且ＡＢ＝０，则ａ＝
解：0=Ax 有非零解，0=A ，5
4=
a 9.设三阶矩阵????
?
?????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有
A 02b a =+=或b a ，
B 02b a ≠+=或b a
C 02b a =+≠且b a
D 02b a ≠+≠且b a
解：由已知得：()2=A r ，()()b a b a b a b a A ==+?=-+=或02022
()1=?=A r b a
10.T
T
A ααββ=+，T
α为α的转置，T
β
为
β的转置
.（1）证()2r A ≤；
（2）若,αβ线性相关，则()2r A <.
八、综合性题
1.设A 是n 阶矩阵，满足E AA T
=（E 是n 阶单位矩阵，A T
是A 的转置矩阵，