行列式的概念
一、选择题
1. 下列选项中错误的是( ) (A)
b
a d c d
c b a -
= ; (B)
a
c
b d d
c b a =
;
(C)
d
c b a d
c
d b c a =
++33; (D)
d
c b a d
c b a -----
=.
答案:D
2.行列式n D 不为零,利用行列式的性质对n D 进行变换后,行列式的值( ).
(A)保持不变; (B)可以变成任何值; (C)保持不为零; (D)保持相同的正负号. 答案:C
二、填空题
1.
a
b b a log 1
1
log = .
解析:
0111log log log 1
1log =-=-=a
b a
b
b a b
a . 2.
6
cos
3sin
6sin
3
cos
π
π
ππ
= . 解析:
02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6
cos 3
sin
6sin
3
cos
==-=πππππππ
π
π
3.函数x x x
x
x f 1213
1
2)(-=中,3x 的系数为 ; x
x x
x x x g 2
1
1
12)(---=中,3x 的系数为 . 答案:-2;-2.
阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案:1.
5. 三阶行列式11342
3
2
1-中第2行第1列元素的代数余子式
等于 . 答案:5.
6.若
02
1
8
2=x
,则x = . 答案:2. 7.在
n
阶行列式ij
a D =中,当i ),,2,1,(0n j i a ij L ==,则D = . 答案:nn a a a Λ2211. 8.设a ,b 为实数,则当a = ,b = 时, 01 0100=---a b b a . 解析:0)()1 (1 010022=+-=--=---b a a b b a a b b a 故0,0==b a . 三、解答题 1.用行列式的定义计算. (1) 1 100001001011 010; 解:原式=1 000101 01)1(1010000011) 1(1412 1++-?+-? 11 0010 100-=- - = (2) 000000h g f e d c b a . 原式=0 000 0g f e d b h f e d c a - =0 0000 g f bd h f d f e c a +??? ? ? ?- =bdfg adfh - 2. 设行列式λλλ 01010101-=D , 3 512321 132=D ,若21D D =,求λ的值. 解:由对角线法则,得()()0,1122 1=-+=D D λλ 若21D D =,则()()0112 =-+λλ 于是1-=λ或1. 四、证明题 1.(略) 行列式的性质 一、选择题 1.设行列式x x x D 01 010 1 1-=, 1 133512 322=D ,若21D D =, 则x 的取值为 ( ). (A)2,-1; (B)1,-1; (C)0,2; (D)0,1. 答案:B 2.若333 32 31 232221 13 1211 ==a a a a a a a a a D , 则33 32 3331 23222321 13 121311 1525252a a a a a a a a a a a a D +++==( ). (A)30; (B) -30; (C)6; (D)-6. 答案:C 二、填空题 1.若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8,x ,19,则x = . 解析:1820190,4x x ?-+?==. 2. 2016 201420182016 = . 解析: 42 0222016 20142 22016 201420182016== = . 3.行列式c b d c a b c b a D =,则312111A A A ++= . 解析:312111A A A ++0111==c b c a c b . 4.行列式x x x x x D 3121 3 2 31232 154-= 的展开式中,4 x 的系数 为 ;3 x 的系数为 . 解析:x x x x x x x x x x D 3121 3 1 23232153121 3 2 31232 154-- =-= x x x x 312 1 312512585 103215--- = 含4 x ,3 x 的项仅有主对角线上元素之积项,故4 x ,3 x 的 系数分别为15,-3. 三、解答题 1.计算下列行列式 . (1) 3 214214314324 321; 解:各行加到第一行,得 原式= 321421431432111110 3 2142143143210 101010= =1604 004 001210111110 1 230121 12 10111110 =---=------. (2)4 4 4 4 33332222 5432154321543215432111111; 解:原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288. (3) 4936251636 25169 25 169 416 941; 原式= 022 22222297531694113 1197119 7 5975316941== . (4) 000000 x y y x y x x y ; 原式=x y x y x x x y y y x y 000 00 00 0-- =2 22 2 2 )(y x x y y x x x y y x y --=-. (5)xy z zx y yz x 11 1; 原式=) (0 )(0 1 x z y x z x y z x y yz x ------ =))()((11) )((x z z y y x y z x z x y ---=---. (6)2 00 01200000 0130012000101--; 原式=3 1012 010140 1 312010142 000130120010 12 ---=--=-- =203 1124 =---. (7) 4 32 1111 1 11111 1 111111x x x x ++++; 解:原式= 4 321111 1 0010011x x x x x x x ---+ = 4 3211141 312110 0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++ + = 3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++. 2.设4 32 2 321143113 151-= D ,计算44434241A A A A +++的值. 其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式. 解:44434241A A A A +++61 11 1321143113 151=-= . 3. 已知1 142 1 1 3 110111253------= D ,求 41312111M M M M +++. 解:41312111M M M M +++ =41312111)1(1)1(1M M M M --?+--? = 1 1411 1 3 1 10111251-------=0. 4.计算下列n 阶行列式. (1) 2 111 21112Λ M M M ΛΛ ; 解:原式= 2111 21111Λ M M M ΛΛ +++n n n =2 111 21111)1(Λ M M M ΛΛ+n =11 00010111) 1(+=+n n Λ M M M ΛΛ . (2)x y y y y x y y y y x y y y y x Λ M M M M ΛΛΛ ; 解:原式=[]x y y y y x y y y y x y y n x Λ M M M M ΛΛΛ1111)1(-+ =[]y x y x y x y n x ----+Λ M M M M Λ Λ Λ0 00 0001111 )1( =[]1 ) ()1(---+n y x y n x . (3)),,2,1,0(0 1 001 11110 21 n i x x x x i n ΛΛ M M M M ΛΛ Λ=≠. 解:原式= n n i i x x x x Λ M M M M ΛΛΛ00 00000011101211 ∑ =- =)1 (121∑=-n i i n x x x x Λ. 四、证明题 1.设a ,b ,c 是互异的实数,证明01 11 3 3 3 =c b a c b a 的充分必要条件是a+b+c=0. 证明:3 33 3 3 3 3 3 001111 a c a b a a c a b a c b a c b a ----= = 3 33 3a c a b a c a b ---- =2 22 211) )((a ac c a ab b a c a b ++++-- =))()((2 2 ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0, 由于a ,b ,c 是互异的实数,故要上式成立,当且仅当a+b+c=0. 2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c d a a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++ 证明:左边43 32 21 02320 363a b c d r r a a b a b c r r a a b a b c r r a a b a b c -+++-+++-+++ 4332100 020 03a b c d r r a a b a b c a a b r r a a b -++++-+4 43 00020 00a b c d a a b a b c r r a a a b a +++-=+ =右边 克莱姆法则 一、选择题 1.方程组??? ??=++=++=++1 ,1,1321 321321x x x x x x x x x λλλ , 有唯一解,则( ). (A)1-≠λ且2-≠λ; (B) 1≠λ且2-≠λ; (C) 1≠λ且2≠λ; (D) 1-≠λ且2≠λ. 解析:由克莱姆法则,当0)1)(2(1111 1 12 ≠-+=λλλ λ λ ,即 1≠λ且2-≠λ,选B. 2.当≠a ( )时,方程组?? ? ??=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解. (A) -1 ;(B) 0 ;(C) -2 ;(D) 2. 解析:由克莱姆法则, 当0)2(21 20 121 001 21210≠-=--=-a a a a a a 即2≠a ,选D. 三、解答题 1.用克莱姆法则下列解方程组. (1)?? ? ??=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x 解: 031 12221 1 21 ≠=---=D , 由克莱姆法则知,此方程组有唯一解, 31 1 3 22 31 221=---=D , 61 3 223 11212=-=D ,93 323312213==D , 因此方程组的解为 11==D D x ,22==D D y ,33==D D z . (2)..2 3342,223,3232,124321432143214321???????=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x 解:043 3 4 212312132112 1≠=---= D 由克莱姆法则知,此方程组有唯一解, 833 4 21232213311211=---= D , 23 322122121 3211112-=---= D , 23 2421 2 31233211213=--= D ,22 3 4 222313 13211214=-=D . 因此方程组的解为 211== D D x ,2122-==D D x ,2133==D D x ,2 1 44==D D x . 2.判断线性方程组??? ??=-+=+-=-+0 285,042, 022321 321321x x x x x x x x x 是否有非零解 解:因为系数行列式2 85 122 42 12 8 5 421 122 ----=---=D =0305 00 960 4 2 122 18 960 42 1≠-=--=----, 所以,方程组只有零解. 3.已知齐次线性方程组??? ??=+-=++=-+0 2,0,0321 321321x x x x x kx x kx x 有非零解,求k 的值. 解:因为齐次线性方程组有非零解,所以该方程组的系数行列式 必为零,即 3 210110 1 11 1 211 112 k k k k k k --+--=-- =)21)(1()1(32 k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得,k =-1或k =4. 4.当μ取何值时,齐次线性方程组??? ??=--+-=-+-=-++0 )1(02)3(0)1(42321 321321x x x x x x x x x μμμ有非 零解 解:由齐次线性方程组有非零解的条件可知, 01 11 213 1 42=------μ μμ,解得3,2,0=μ. 第一章综合练习 一、判断题 1. n 阶行列式n D 中的n 最小为 2.( ╳ ) 2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数,则D 必为整数.( √ ) 3. 413223144433221144 41 3332232214110 000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳ ) 二、选择题 1.若1 1 131--+= x x x D ,2 1 1122-+= x x D ,则1D 与2D 的大 小关系是( ). (A)21D D <; (B)21D D >;(C)21D D =;(D)随x 值变化而变化. 答案:C 2.行列式 {})2,1,1,,,(-∈d c b a d c b a 的所有可能值中, 最大的是( ). (A) 0; (B)2; (C)4; (D)6. 答案:D 三、填空题 1. ? ???40cos 20sin 40sin 20cos = . 解析: ??-??=? ???40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos 2 160cos = ?=. 2.若y y x x y x -= -1 12 2,则x+y = . 解析:由y y x x y x -=-1 122,得xy y x 22 2-=+ 即0)(2 =+y x ,从而x+y =0. 3.已知 111, 01 12==y x x ,则y = . 解析:由11 1, 01 12==y x x ,得x =2,x-y =1,从而y =1 4. 若222222222 6 4 2 5 31 C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析:24 2312=- =C . 5.设x x x x x x f 1 11 12 3111212)(-= ,则4 x 的系数为 ;3 x 的 系数为 . 解析:当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4 x ,系数为2;含3 x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积,系数为-1. 答案:2,-1. 6.设0 123411222641232 21115 4321=D , 则(1)333231A A A ++= ; (2)3534A A + ; (3)5554535251A A A A A ++++ . 解析:0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A 于是0333231=++A A A ,03534=+A A . 5554535251A A A A A ++++1 111111222641232 21115 4321= 01 111133333641232 211154321==. 即0555*******=++++A A A A A . 四、解答题 1.计算下列行列式. (1) 4 43 42 41 4433323134 23222124131211 1y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++; 解:原式= 1 41 31 21 41413121 31 413121 21413121 1y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+ = 00 000000001 413121 41 31 211=------+x x x x x x y y y y y y y x . (2)432 11111 11111 1 111111x x x x ++++; 解:原式= 4 321111 1 0010011x x x x x x x ---+ =4 3211141 312110 0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++ + =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++. (3) 2007 000 0020060002005000200 01000Λ ΛΛM M M M M ΛΛ. 解:原式=!2006)1(20072 2005 2006?-?=!2007- 2.已知1 23452 2211 273 12451112243150 D ==, 求(1)434241A A A ++;(2)4544A A +. 解:27)(21114544434241=++?+?+?A A A A A 0)()(24544434241=++++A A A A A 得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式. (1)n n n n n n n D Λ M M M Λ ΛΛ22 2 333222111=; 解:(利用范德蒙行列式计算) 1 1221333 21 111!--==n n n T n n n n n D D Λ M M M Λ ΛΛ [])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n ΛΛΛ !2)!2()!1(!Λ--=n n n . (2) 2 111 21112Λ M M M ΛΛ ; 解:原式= 2111 21111Λ M M M ΛΛ +++n n n =2 111 21111)1(Λ M M M Λ Λ +n =1100010111) 1(+=+n n Λ M M M ΛΛ . (3)m x x x x m x x x x m x D n n n n ---= Λ M M M Λ Λ 2 1 2121 解:将第2列,L ,第n 列分别加到第一列,并提取第一列的 公因子,得 m x x m x x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++= Λ ΛM M M Λ ΛΛ Λ221221221 m x x x m x x x m x x x n n n n ---+++=Λ M M M Λ Λ Λ2 22211 11 ) ( m m m x x x n ---+++=Λ M M M ΛΛΛ0 1 01001) (21 1 21))((---+++=n n m m x x x Λ (4)n n n n n a a a a a a b b b b b D 1 3221 13210 000 000-----=Λ M M M M M Λ Λ Λ (其中n i a i ,,2,1,0Λ=≠) 解: 12211000 00000)1(-+----=n n n n a a a a b D ΛM M M M ΛΛ 1 2 22 1 122100 000 00------+n n n n n a a a a a b b b b a Λ M M M M ΛΛ Λ 121-+? =n n n n n D a a b a a a Λ ??? ? ??==∑=n i i i n a b a a a 121ΛΛ. 三、证明题 1.试证:如果n 次多项式n n x a x a a x f +++=Λ10)(对n+1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零. (提示:用范德蒙行列式证明)