3.2立体几何中的向量方法（一）
学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．
知识点一直线的方向向量与平面的法向量
思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP
→
来表示．我们把向量OP
→
称为点P的位置向量．
(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．
②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP
→
＝tAB
→
，此方程称为直线的向量参数方程．(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP
→
＝x a＋y b.
②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．
梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方
向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α
的法向量
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行l∥m?a∥b?a＝k b (k∈R)
线面平行l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行α∥β?μ∥v?μ＝k v (k∈R)
线线垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝0
线面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)
面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0
知识点二
思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2?v 1∥v 2?v 1＝λv 2(λ∈R )．
(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．
梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系
例1 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，l 2的位置关系： ①a ＝(4,6，－2)，b ＝(－2，－3,1)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,1,0)；
(2)设μ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①μ＝(－1,1，－2)，v ＝(3,2，－12)；
②μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)；
(3)设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断平面α与l 的位置关系：
①μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)； ②μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0)．
解 (1)①∵a ＝(4,6，－2)，b ＝(－2，－3,1)， ∴a ＝－2b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.
②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,1,0)，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ， ∴l 1⊥l 2.
(2)①∵μ＝(－1,1，－2)，v ＝????3，2，－1
2， ∴μ·v ＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v ，∴α⊥β. ②∵μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)， ∴μ＝－3
2
v ，∴μ∥v ，∴α∥β.
(3)①∵μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)， ∴μ·a ＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a ，∴l ?α或l ∥α.
②∵μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0)． ∴μ＝1
4
a ，∴μ∥a ，∴l ⊥α.
反思与感悟 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性． 跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；
(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)． 解 (1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3) ∴a ＝－1
3
b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.
(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a ·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面，但不垂直． (3)∵μ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)， ∴μ·v ≠0且μ≠k v (k ∈R )，
∴μ与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直． (4)∵a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)， ∴μ＝－14a ，
∴μ∥a ，即l ⊥α. 类型二 求平面的法向量
例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2
，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．
解 ∵AD 、AB 、AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →、AB →
、
AS →
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ????12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，
AD →
＝????12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )， 则n ·DC →＝(1，λ，u )·????12，1，0＝12＋λ＝0， ∴λ＝－1
2
.
n ·DS →＝(1，λ，u )·????－12，0，1＝－12＋u ＝0， ∴u ＝1
2，∴n ＝????1，－12，12. 综上，
平面SCD 的方向量为n ＝(1，－12，1
2)，
平面SBA 的法向量为AD →＝(1
2
，0,0)．
反思与感悟 设直线l 的方向向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量υ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α?μ∥υ?μ＝k ν?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ， 平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，
②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标： a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，
③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组
?
????
n ·a ＝0，n ·b ＝0， ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证DB 1→
是平面ACD 1的一个法向量． 证明 设正方体的棱长为1，
分别以DA →，DC →，DD 1→
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→
＝(－1,0,1)， 于是有DB 1→·AC →
＝0， 所以DB 1→⊥AC →， 即DB 1⊥AC ， 同理DB 1⊥AD 1， 又AC ∩AD 1＝A ，
所以DB 1⊥平面ACD 1，
从而DB 1→
是平面ACD 1的一个法向量． 类型三 利用空间向量证明平行关系
例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F . 证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，
则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC →1＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →
＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →
，
即?????
n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·
AE →＝2y 1＋z 1＝0，得?????
x 1＝0，z 1＝－2y 1，
令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC →1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC →
1⊥n 1. 又因为FC 1?平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .
(2)因为C 1B →1＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC →1，n 2⊥C 1B
→1，
得?????
n 2·FC →1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·
C 1B →1＝2x 2＝0，得?????
x 2＝0，z 2＝－2y 2.
令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练3 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝
1
2AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，说明理由．
解 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， ∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设E (0，y ，z )，则PE →
＝(0，y ，z －1)，
PD →
＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，
∴y (－1)－2(z －1)＝0，①
∵AD →
＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →
＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →
，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝1
2，∴E 是PD 的中点，
∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .
1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1)
答案 A
解析 因为AB →＝(2,4,6)，所以与AB →
共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．
2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若两直线l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10 D ．6和10
答案 A
解析 由两直线l 1∥l 2，得两向量a ，b 平行，即2－4＝－3x ＝5
y ，所以x ，y 的值分别是6和－
10.
3．若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3,1) B ．(2,0,1) C ．(－2，－3,1) D ．(－2,3，－1)
答案 D
解析 能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3,1)共线，(－2,3，－1)＝－μ.
4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为????1，1
2，2，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8 答案 C
解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为???
?1，1
2，2， ∴(2，m,1)·???
?1，12，2＝0. ∴2＋1
2
m ＋2＝0.∴m ＝－8.
5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________． 答案 (1,1,1)(答案不唯一)
解析 不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则各点坐标为：A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，
设平面ACD 1的一个法向量a ＝(x ，y ，z )，
则a ·AC →＝0, a ·AD →1＝0.因为AC →＝(－1,1,0)，AD →1＝(－1,0,1)，
所以 ?????
(－1)·
x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·x ＋0·y ＋1·z ＝0， 所以?
????
x －y ＝0，x －z ＝0，
所以?
????
x ＝y ，x ＝z ，不妨取x ＝1，a ＝(1,1,1)．(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)
(1)空间中一条直线的方向向量有无数个．
(2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起到重要的作用．
(3)线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设
点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →
)，这就是线段AB 中点的向量表达式．
(4)利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标． (5)证明线面平行的方法
①设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ?α，则l ∥α.
②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要
证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． (6)证明面面平行的方法
①面面平行的证明可转化为线面平行的证明，即如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，那么这两个平面平行．
②利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.
一、选择题
1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( ) A ．l 1∥l 2
B ．l 1⊥l 2
C ．l 1与l 2相交但不垂直
D ．以上均不正确
答案 B
解析 ∵a·b ＝－12＋36－24＝0.∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.
2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以分别是( ) A ．2，12 B ．－13，1
2 C ．－3,2 D ．2,2
答案 A
解析 由题意知：????? λ＋16＝22λ，
2μ－1＝0，
解得????? λ＝2，μ＝12或?????
λ＝－3，μ＝12.
3．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ．－1,2 B ．1，－2 C ．1,2 D ．－1，－2 答案 A
解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，
m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得????? c ·a ＝0，c ·b ＝0，得?????
m ＝－1，n ＝2.
4．直线l 的方向向量为s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面π，则x 的值为( )
A ．－2
B ．－ 2 C. 2 D ．±2 答案 D
解析 ∵l ∥平面α，∴s ⊥n ，即s ·n ＝0.
∴(－1,1,1)·(2，x 2＋x ，－x )＝0，即－2＋x 2＋x －x ＝0， ∴x ＝±2.
5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l ∥α
答案 D
解析 当a ·b ＝0时，l ?α或l ∥α.
6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a
3
，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定 答案 B
解析 以C 1为坐标原点，分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 因为A 1M ＝AN ＝
2
3
a ， 所以M ????a ，23a ，a 3， N ????23a ，23a ，a .
所以MN →
＝????－a 3，0，23a . 又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)， 所以C 1D →
1＝(0，a,0)． 所以MN →·C 1D →1＝0， 所以MN →⊥C 1D →1.
因为C 1D →
1是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ?平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . 二、填空题
7．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11
解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2， 使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，
即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，
∴????? 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0.解得?????
k 1＝－4，k 2＝1.
∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7， 即x ＝11.
8．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)，平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________. 答案 12
解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8,1)与平面α的法向量(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝1
2
.
9．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________. 答案 4
解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2
k ，解得k ＝4.
三、解答题
10．已知A ????0，2，198，B ????1，－1，58，C ????－2，1，5
8是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．
解 AB →＝????1，－3，－74，AC →
＝????－2，－1，－74， 由?????
a ·
AB →＝0，a ·AC →＝0，得???
x －3y －7
4z ＝0，－2x －y －74
z ＝0，
解得???
x ＝23
y ，z ＝－4
3y ，
则x ∶y ∶z ＝2
3
y ∶y ∶????－43y ＝2∶3∶(－4)． 11．已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，求证：PQ ∥平面ACD . 证明 连接AP 并延长交BC 于点E ， 连接ED ，易知Q 在线段ED 上， ∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心， ∴PQ →＝EQ →－EP →
＝13ED →－13
EA →
＝13(ED →－EA →) ＝13
AD →， ∴PQ →∥AD →
，即PQ ∥AD ，
又AD ?平面ACD ，PQ ?平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD .
12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.
证明 以D 为原点，分别以向量DA →、DC →、DD 1→
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为1，则A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，D (0,0,0)， ∴A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1B →
＝(0,1，－1)， D 1B 1→＝(1,1,0)，D 1C →
＝(0,1，－1)，
设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则?????
n 1·A 1D →＝0，n 1·
A 1
B →＝0，??????
－x 1－z 1＝0，
y 1－z 1＝0，
令z 1＝1， 得x 1＝－1，y 1＝1.
∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CD 1B 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则?????
n 2·D 1B 1→＝0，n 2·
D 1C →＝0??????
x 2＋y 2＝0，
y 2－z 2＝0，
令y 2＝1，
得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)．∴n 1＝n 2， 即n 1∥n 2.
∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.
13．已知：四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且P A ＝AB ＝2，∠ABC ＝60°，BC ，PD 的中点分别为E ，F .在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF ∥平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．
解 由题意知P A ⊥平面ABCD ，又因为底面ABCD 是菱形，得AB ＝BC 且∠ABC ＝60°，所以△ABC 是正三角形，连接AE ，又因为E 是BC 的中点，由正三角形的性质有BC ⊥AE ，知
AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以点A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 因为P A ＝AB ＝2，
故A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)．假设在线段AB 上存在点G ，使得AF ∥平面PCG ， 则AG →＝λAB →
(0<λ≤1)， 因为AB →
＝(3，－1,0)， 所以AG →＝λAB →
＝(3λ，－λ，0)． 因为P A →
＝(0,0，－2)，
所以PG →＝P A →＋AG →＝(3λ，－λ，－2)，PC →
＝(3，1，－2)． 设平面PCG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????
n ·PG →＝0，n ·PC →＝0， 得n ＝? ????λ＋13(λ－1)，1，λλ－1. 因为AF →＝(0,1,1)，且AF →·n ＝0， 解得λ＝12
.
故当G 为线段AB 的中点时，有AF ∥平面PCG .
3.2立体几何中的向量方法（一）(学生版)
学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．
知识点一直线的方向向量与平面的法向量
思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP
→
来表示．我们把向量OP
→
称为点P的位置向量．
(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．
②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP
→
＝tAB
→
，此方程称为直线的向量参数方程．(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP
→
＝x a＋y b.
②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．
梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方
向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α
的法向量
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行l∥m?a∥b?a＝k b (k∈R)
线面平行l∥α?a⊥μ?a·μ＝0
面面平行α∥β?μ∥v?μ＝k v (k∈R)
线线垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝0
线面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)
面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0
知识点二
思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2?v 1∥v 2?v 1＝λv 2(λ∈R )．
(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．
梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系
例1 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，l 2的位置关系： ①a ＝(4,6，－2)，b ＝(－2，－3,1)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,1,0)；
(2)设μ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①μ＝(－1,1，－2)，v ＝(3,2，－12)；
②μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)；
(3)设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断平面α与l 的位置关系：
①μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)； ②μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0)．
反思与感悟 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．
跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；
(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)．
类型二 求平面的法向量
例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．
反思与感悟 设直线l 的方向向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量υ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α?μ∥υ?μ＝k ν?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ， 平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，
②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标： a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，
③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组
?
????
n ·a ＝0，n ·b ＝0， ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证DB 1→
是平面ACD 1的一个法向量．
类型三 利用空间向量证明平行关系
例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练3 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12
AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，
使CE∥平面P AB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由．
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为() A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若两直线l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10 D ．6和10
3．若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3,1) B ．(2,0,1) C ．(－2，－3,1) D ．(－2,3，－1)
4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为????1，1
2，2，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8
5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________．
(1)空间中一条直线的方向向量有无数个．
(2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起到重要的作用．
(3)线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →
，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设
点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →
)，这就是线段AB 中点的向量表达式．
(4)利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标． (5)证明线面平行的方法
①设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ?α，则l ∥α.
②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与
这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． (6)证明面面平行的方法
①面面平行的证明可转化为线面平行的证明，即如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，那么这两个平面平行．
②利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.
一、选择题
1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( ) A ．l 1∥l 2
B ．l 1⊥l 2
C ．l 1与l 2相交但不垂直
D ．以上均不正确
2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以分别是( ) A ．2，12 B ．－13，1
2 C ．－3,2 D ．2,2
3．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ．－1,2 B ．1，－2 C ．1,2 D ．－1，－2
4．直线l 的方向向量为s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面π，则x 的值为( )
A ．－2
B ．－ 2 C. 2 D ．±2
5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l ∥α
6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a
3
，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
二、填空题
7．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________．
8．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)，平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.
9．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.
三、解答题
10．已知A ????0，2，198，B ????1，－1，58，C ????－2，1，5
8是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．
11．已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，求证：PQ ∥平面ACD .
12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1． 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉． 2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 2． 点面距的求法 如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到 平面α的距离d ＝|AB → ·n | |n | . 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π 2]，二面角的 范围是[0，π]． ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α－a －β的两个半平面α、β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－ a －β的大小是π－θ. ( × ) 2． 已知二面角α－l －β的大小是π 3 ，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成 的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α，n ⊥β， ∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的范围为(0，π 2]， ∴m ，n 所成的角为π 3 . 3． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，
专题6.2 立体几何中的向量方法（A 卷基础篇）（浙江专用） 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·全国高二课时练习）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)- C ．? ? ? ??? D ．?? ? ??? 【答案】C 【解析】 (1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-, 设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量， 则00n AB n AC ??=??=? ，化简得00x y x z -+=??-+=?， ∴x y z ==，故选C. 2．（2020·全国高二课时练习）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中， A （1，2，3）， B （﹣1，0，5）， C （3，0，4）， D （4，1，3）， ∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1）， ∴AB =﹣2CD ， ∴直线AB 与CD 平行． 故选A ．
3．（2020·全国高二课时练习）已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 103，则x ＝( ) A ．－1 B ．－11 C ．－1或－11 D ．－21 【答案】C 【解析】 (2,2,4)PA x =+-，而103n d n PA ?= =， 103=，解得1x =-或－11. 故选：C 4．（2020·全国高二课时练习）已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若 1cos ,2 m n =-，则l 与α所成的角为（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 【答案】A 【解析】 设线面角为θ，则1sin cos ,,302 m n θθ=??==. 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若2,3a n π= ，则l 与α所成的角为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56 π 【答案】C 【解析】 结合题意，作出图形如下：
立体几何中的向量方法基础篇一（几何证明） 一．求直线方向向量 1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量，求y x ,。 二．平面的法向量 2.在空间中，已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ，求平面ABC 的一个法向量。 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形， 2,==⊥DC PD ABCD PD 平面，E 为PC 中点 （1）分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量； （2）求平面EDB 的一个法向量； （3）求平面ADE 的一个法向量。 三．向量法证明空间平行与垂直 1.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，M AF AB ,1,2== 为EF 的中点，求 证：BDE AM 平面//
2. 如图，正方体''''D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD BB ,'的中点，求证：ADE F D 平面⊥'。 3. 如图，在四棱锥ABCD E -中，BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥, 0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ，求证：平面ABE ADE 平面⊥。 巩固练习： 1. 如图，在正方体''''D C B A ABCD -中，P 是'DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心， （1）求证：O B '为平面PAC 的一个法向量；（2）求平面CD B A ''的一个法向量。
2. 如图，在直棱柱'''C B A ABC -中，4',5,4,3====AA AB BC AC （1）求证：'BC AC ⊥ （2）在AB 上是否存在点D ，使得'//'CDB AC 平面，若存在，确定D 点位置，若不存在，说明理由。 3. 如图，已知长方体''''D C B A ABCD -中，2==BC AB ，E AA ,4'=为'CC 的上的点，C B BE '⊥， 求证：BED C A 平面⊥' 4. 在三棱柱'''C B A ABC -中，1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面，E 为'BB 的中点，求证：C C AA AEC '''平面平面⊥
向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作 n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面α的法向量为(,,)n x y z =． ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组0 n a n b ??=???=??. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥ α，只需证明a u ⊥，即0a u ?=. ⑶面面平行。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ?=.⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=. ②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、 ，若
第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量 一、空间向量的坐标运算 1． 若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则 （1）112233(,,)a b a b a b a b +=+++； （2）112233(,,)a b a b a b a b -=---； （3）123(,,),a a a a R λλλλλ=∈； （4）112233a b a b a b a b ?=++； （5）112233//,,,(0,)a b a b a b a b b R λλλλ?===≠∈； （6）1122330a b a b a b a b ⊥?++=； （7 ）a == （8 ）cos ,a b a b a b ?<>= = ?. 例1 已知(2,3,5),(3,1,4),a b =-=-- 求,,8,,a b a b a a b +-? 的坐标. 2.若111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则212121(,,)AB x x y y z z =--- 练习1: 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB,PC 的中点，且PA=AD=1， 求向量MN 的坐标. 二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、 方程法 利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。 例1 已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC == 求平面ABC 的法向量。 解：设(,,)n x y z = ，则由,,n AB n AC ⊥⊥ 得=0=0n AB n AC ??????? 即220453=0x y z x y z ++=?? ++? 不妨设1z =，得12 =-1 x y ?=? ???， 取1(,1,1)2n =-
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）．
利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos
则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系
线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：
用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二 方法一：在α内
面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a 、 b 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则 异面直线a 、b 的距离
中山二中2011届空间向量解立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底 叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 {,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正 方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -， 点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 （3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规 定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 （5）空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐 标系和向量 a ，设,,i j k 123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 作向量a 在空间直角坐标系O xyz -123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任 一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的 坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,) a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 2、模长公式 2| |a a a x =?=+3、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2 ||(AB AB = =， 或,A B d = 4、夹角：cos |||| a b a b a b ??= ?． 注：①0(,a b a b a b ⊥??=是两个非零向量）； ②2 2||a a a a =?=。 5、 空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<>．②0a b a b ⊥??=．③2||a a a =?．
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v
的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线
立体几何中的向量方法 Prepared on 22 November 2020
教学过程 一、课堂导入 空间平行垂直问题 1．两条直线平行与垂直； ２．直线与平面平行与垂直； ３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题 1．两直线所成角； ２．直线和平面所成角； ３．二面角的概念；
空间距离问题 二、复习预习 （１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a =，231(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=． （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标． （3）模长公式：若231(,,)a a a a =， 则 21||a a a a =?=+ （4）夹角公式： 2 1cos |||| a b a b a b a ? ?= = ?+ （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 221221221)()()(z z y y x x -+-+-== ． 三、知识讲解 考点1 平面法向量的求法 在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z =，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有几种求平面法向量的办法也比较简便． 求法一：先来看一个引理： 若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ，0，0)、B (0，b ，0)、C (0，0，c )，定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A ＝ a ， y B ＝ b ， z C ＝ c
13—立体几何中的向量方法 【基础巩固】 1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a ∥b,则λ与μ的值可以是( ) (A)2, (B)-, (C)-3,2 (D)2,2 2.如图所示,PD 垂直于正方形ABCD 所在平面,AB=2,E 为PB 的中点,cos< , >=,若以DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为( ) (A)(1,1,1) (B)(1,1,) (C)(1,1,) (D)(1,1,2) 3.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a,点M 在AC 1上且= ,N 为B 1B 的中点,则| |为( ) (A) a (B) a (C) a (D) a 4.如图所示,已知PA ⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则| |等于( ) 5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为,则λ= . 6.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC 内,则x= . 【空间三种角】 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n | |a ||n |． 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． 平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2 |，如图(2)(3)． 考点一 异面直线所成角 [典例引领] (2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC ．(1)证明：
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 立体几何中的向量方法复习 一、选择题 1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)，则( ) A. l ∥α B. l ⊥α C. l ?α D. l 与α斜交 答案：B 解析：因为直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择B. 2. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝1 3AC ，则( ) A. EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直 B. EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC C. EF 与BD 1相交 D. EF 与BD 1异面 答案：B 解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，1 3 ，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→ ＝(－1，－1,1)， EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·E F → ＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .故选B. 3. 若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A. 48585 B. 6985 C. －15 15 D. 0 答案：C 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515 . 4.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( ) A. 64 B. －64 C. 104 D. －10 4 答案：A
3.2立体几何中的向量方法（一） 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题． 知识点一直线的方向向量与平面的法向量 思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP → 来表示．我们把向量OP → 称为点P的位置向量． (2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量． ②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP → ＝tAB → ，此方程称为直线的向量参数方程．(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP → ＝x a＋y b. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方 向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α 的法向量 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行l∥m?a∥b?a＝k b (k∈R) 线面平行l∥α?a⊥μ?a·μ＝0 面面平行α∥β?μ∥v?μ＝k v (k∈R) 线线垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝0 线面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R) 面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0 知识点二 思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．
立体几何中的向量方法 适用学科高中数学适用年级高中二年级 适用区域通用课时时长（分钟）90 知识点用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题. 教学目标 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量； 2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）． 4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作用．教学重点用向量方法解决立体几何中的有关问题 教学难点用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
教学过程 一、课堂导入 空间平行垂直问题 1．两条直线平行与垂直； ２．直线与平面平行与垂直； ３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题 1．两直线所成角； ２．直线和平面所成角； ３．二面角的概念； 空间距离问题
二、复习预习 （１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a =，231(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=． （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （3）模长公式：若231(,,)a a a a =， 则 222 123 ||a a a a a a =?=++． （4）夹角公式： 112233 2 2 2 22 2 123 123 cos |||| a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++??= = ?++++． （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2212212212 )()()(z z y y x x AB AB -+-+-== ．
向量法解立体几何 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点(),P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：
方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 实例分析
《立体几何中的向量方法（一）》教学设计 慈溪中学岑光辉 一、教材分析 立体几何中的向量方法被安排在新课标《数学》选修2–1的第三章第二节，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。在此之前安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓展为三维，为学生学习本节知识作了必要的铺垫。立体几何中的向量方法既是前面内容的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的课程基本理念。 二、教学目标 （1）知识与技能 了解点的位置向量的概念，理解直线的方向向量与平面的法向量的概念，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，掌握用向量法证明这些位置关系。 （2）过程与方法目标 【 通过概念的理解和应用，可以提高学生感知和梳理知识的能力；由具体问题的解决到解题方法的总结，可以培养学生的探索、操作和归纳能力；用数学语言描述几何知识，可以提高学生的数学表达和交流能力，发展独立获取数学知识的能力。 （3）情感、态度与价值观目标： 通过对立体几何中的向量方法的学习过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生良好的学习习惯和思维品质，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神，渗透唯物辩证法的思想，引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学涵养和综合素质。 三、学情分析 通过《数学》必修2中的“立体几何”和《数学》选修2–1中“空间向量及其运算”的学习，学生已具备了一定的空间想象能力和代数运算能力，很自然就过渡到二者综合运用的层次；但也有部分学生的数学底子薄，数学思维能力有所欠缺，认知结构不太健全，会对向量和几何的综合运用产生畏惧感，担心学不好。 四、教学策略 实施主体性教学，发挥学生的主动性。让学生经历直观感知、自主探索、合作交流的过程，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的自信心。 这节课我设计制作了多媒体课件，形象、直观，再现了知识产生的过程，突破学生在旧知和新识形成过程的障碍，增大了教学容量，提高了教学效率，培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 …
用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ?? ??1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF u u u r ＝? ????－12，0，0，PB u u u r ＝(1,0，－1)，PD u u u r ＝(0,2，－1)，AP u u u r ＝(0,0,1)，AD u u u r ＝(0,2,0)，DC u u u r ＝(1,0,0)，AB u u u r ＝(1,0,0)． (1)因为EF u u u r ＝－12AB u u u r ，所以EF u u u r ∥AB u u u r ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP u u u r ·DC u u u r ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD u u u r ·DC u u u r ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP u u u r ⊥DC u u u r ，AD u u u r ⊥DC u u u r ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC .