教学过程
一、课堂导入
空间平行垂直问题
1．两条直线平行与垂直；
２．直线与平面平行与垂直；
３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题
1．两直线所成角；
２．直线和平面所成角；
３．二面角的概念；
空间距离问题
二、复习预习
（１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a = ，231(,,)b b b b =
，则
112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈
， 112233a b a b a b a b ?=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=
．
（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
（3）模长公式：若231(,,)a a a a = ，
则||a == ．
（4
）夹角公式：cos ||||a b a b a b ??==
?
（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则
221221221)()()(z z y y x x -+-+-==
．
三、知识讲解
考点1 平面法向量的求法
在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z =
，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有几种求平面法向量的办法也比较简便．
求法一：先来看一个引理：
若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ，0，0)、B (0，b ，0)、C (0，0，c )，定义三点分别
在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A ＝ a ， y B ＝ b ， z C ＝ c （a ,b ,c 均不为0），则平面ABC 的法向量为111
(,,)(0)n a b c
λλ=≠ ．参
数λ 的值可根据实际需要选取．
y
证明：→ AB ＝ (－a , b , 0), →
AC ＝ (－a , 0, c ),
∴ 0,0n AB n AC ?=?=
,
∴ 111
(,,)n a b c
λ= 是平面ABC 的法向量．
这种方法非常简便，但要注意几个问题：
（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为∞，法向量对应于该轴的坐标为0．比
如若和x 轴平行（交点坐标值为∞），和y 轴、z 轴交点坐标值分别为b 、c ，则平面法向量为11
(0,,)n b c
λ= ；若平面和x ,y
轴平行，和z 轴交点的坐标值为c ，则平面法向量为1
(0,0,)n c
λ= ．
（2）若平面过坐标原点O ，则可适当平移平面． 求法二：求出平面方程，得到法向量．
我们先求过点0P ),,(000z y x 及以n ＝{}C B A ,,为法向量的平面的方程． 设),,(z y x P 是平面上的动点，于是有?P P 0n ＝0， 即0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
整理得 0)(000=---+++Cz By Ax Cz By Ax
令=D 000Cz By Ax ---，有0=+++D Cz By Ax 这就是平面的一般方程.
平面的方程可用三元一次方程来表示．且z y x ,,的系数组成该平面的法向量．
注意：(1)有了平面的方程0=+++D Cz By Ax ，就能得到平面的法向量{}C B A ,,，可用平面内不共线的三点求出平面的方程．
(2)一些特殊情形的平面，方程会更简捷： 通过原点的平面，0=D ，方程为0=++Cz By Ax ； 平行于x 轴的平面，0=A ，方程为0=++D Cz By ； 通过x 轴的平面，0,0==D A ，方程为0=+Cz By ；
既平行于x 轴又平行于y 轴的平面,也就是一个平行于xoy 坐标面的平面，方程为0=+D Cz ； 类似地，可讨论其它特殊情形．
(3)两平面：01111=+++D z C y B x A 与02222=+++D z C y B x A 平行的充要条件是
21212121::::D D C C B B A A ≠== 求法三：用行列式求得法向量．
若{}1111,,z y x n =，{}2222,,z y x n =是平面内两个不共线向量，
计算行列式 2
2
2
111
z y x z y x k
j i
＝ck bj ai ++，
则平面的法向量为{}c b a
=．
n,,
考点2 用空间向量求解二面角
（一）用法向量解二面角
用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0, π ]，而两个向量的夹角取值范围也是[0, π ]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过
π
2 的那个角即可，但对二面角却是个难题. 笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.
用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？
对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量12,n n
则应分别垂直于
图一
该平面角的两边. 易知，当12,n n
同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为 . 所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可. 或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向. 两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.
对第二个问题，我们需要选取一个参照物. 在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z 轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy 平面的关系，是自下而上穿过xOy 平面呢，还是自上而下穿
过xOy 平面？若是第一种情形，则n 与→ OZ 所夹的角是锐角，只需取法向量的z 坐标为正即可；若是第二种情形，则n
y
图二
与→
OZ所夹的角是钝角，只需取法向量的z坐标为负即可．若法向量与xOy平面平行，则可以选取其它如yOz平面、zOx 平面观察．Array
（二）用半平面内的向量解二面角
由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小
带来的影响．
考点3 空间直线与空间平面的向量形式
在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、证明的目的．在立体几何中借用向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的．
1．空间直线：如果 l 为经过已知点A 且方向向量为a
的直线，那么点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等
式AP ta =
，或对任一点O （通常取坐标原点），有
OP OA ta =+
这是空间直线的向量形式．
2．空间平面：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对s 、t ，使
,MP sMA tMB =+
或对空间任一定点O （通常取坐标原点）
，有 .OP OM sMA tMB =++
这是空间平面的向量形式．
四、例题精析
【例题１】如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；
(Ⅱ)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的大小；
A B C
D
S
E
F
【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．
设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，
00222a a b E a F ???? ? ?????，，，，，，02b EF a ??=- ??
?
，，．
取SD 的中点002b G ?
? ???，，，则02b AG a ??=- ??
? ，，．
EF AG EF AG AG =?
，∥，平面SAD EF ?，平面SAD ，
所以EF ∥平面SAD ．
（2）不妨设(100)A ，，，则11(11
0)(010)(002)100122B C S E F ????
? ?????
，，，，，，，，，，，，，，． 平面AEFG 与x 轴、z 轴的交点分别为A (1,0,0)、G (0,0,1)，与y 轴无交点，则法向量1(1,0,1)n =
，在CD 延长线上取点H ，使DH ＝AE ，则DH ∥ AE ，所以AH ∥ED ，由（1）可知AG ∥EF ，所以平面AHG ∥平面EFD ，平面AHG 与x
轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (1,0,0)、H (0,－ 1
2 ,0)、G (0,0,1)，则法向量2(1,2,1)n =- ，设二面角A －EF －D 的大小为α ，则
1212
cos n n n n α?==
? A －EF －D
的大小为．
【例题２】已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90?，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝DC＝1
AB
2
＝1，M是PB的中点.
（1）求二面角C-AM-B的大小；
（2）求二面角A-MC-B的大小.
【解析】如图建立空间直角坐标系，则对二面角C -AM -B 而言，→
AD 是平面AMB 的法向量（向内），易知平面ACM 符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy 平面，所以与→
AZ 所夹的角是锐角. 对二面角A -MC -B 而言，平面ACM 选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM 就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy 平面，与z 轴正向所夹的角是钝角.
（1）如图，以AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则平面AMB 的法向量为1n
＝(1,0,0), 设平面ACM 的法向量为2n
＝(x ,y ,z ).
由已知C （1, 1, 0), P (0, 0, 1), B (0, 2, 0)，则M (0, 1, 1
2 ),
y
∴ → AC ＝(1, 1, 0), →
AM ＝(0, 1, 12 ).
由220,0,1
0.0.2x y n AC y z n AM +=???=??
???+=?=???? 取y ＝ -1，则x ＝1, z ＝2， ∴ 2n ＝(1, -1, 2). （满足2n ·→
AZ >0）.
设二面角C -AM -B 的大小为θ ，则cos θ
＝1212n n n n ?=
? , ∴ 所求二面角的大小为
（2）选取（1）中平面ACM 的法向量2n
＝(1, -1, 2)，设平面BCM 的法向量为
3n
＝ (x ,y ,z ).
→ BC ＝ (1, -1, 0), →
BM ＝ (0, -1, 12 ),
由330,0,1
0.0.2
x y n BC y z n BM -=???=??
???-+=?=????
取z ＝－2，则y ＝－1, x ＝－1，3n ＝ (－1, －1, －2)，则2n ，3n
所夹的角大小即为二面角A －MC －B 的大小，设为? ， cos ?
＝2323
3n n n n ?=-
? ， ∴ 所求二面角的大小为π － arccos 6
3 .
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1． 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉． 2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 2． 点面距的求法 如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到 平面α的距离d ＝|AB → ·n | |n | . 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π 2]，二面角的 范围是[0，π]． ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α－a －β的两个半平面α、β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－ a －β的大小是π－θ. ( × ) 2． 已知二面角α－l －β的大小是π 3 ，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成 的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α，n ⊥β， ∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的范围为(0，π 2]， ∴m ，n 所成的角为π 3 . 3． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，
专题6.2 立体几何中的向量方法（A 卷基础篇）（浙江专用） 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·全国高二课时练习）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)- C ．? ? ? ??? D ．?? ? ??? 【答案】C 【解析】 (1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-, 设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量， 则00n AB n AC ??=??=? ，化简得00x y x z -+=??-+=?， ∴x y z ==，故选C. 2．（2020·全国高二课时练习）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中， A （1，2，3）， B （﹣1，0，5）， C （3，0，4）， D （4，1，3）， ∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1）， ∴AB =﹣2CD ， ∴直线AB 与CD 平行． 故选A ．
3．（2020·全国高二课时练习）已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 103，则x ＝( ) A ．－1 B ．－11 C ．－1或－11 D ．－21 【答案】C 【解析】 (2,2,4)PA x =+-，而103n d n PA ?= =， 103=，解得1x =-或－11. 故选：C 4．（2020·全国高二课时练习）已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若 1cos ,2 m n =-，则l 与α所成的角为（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 【答案】A 【解析】 设线面角为θ，则1sin cos ,,302 m n θθ=??==. 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若2,3a n π= ，则l 与α所成的角为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56 π 【答案】C 【解析】 结合题意，作出图形如下：
立体几何中的向量方法基础篇一（几何证明） 一．求直线方向向量 1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量，求y x ,。 二．平面的法向量 2.在空间中，已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ，求平面ABC 的一个法向量。 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形， 2,==⊥DC PD ABCD PD 平面，E 为PC 中点 （1）分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量； （2）求平面EDB 的一个法向量； （3）求平面ADE 的一个法向量。 三．向量法证明空间平行与垂直 1.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，M AF AB ,1,2== 为EF 的中点，求 证：BDE AM 平面//
2. 如图，正方体''''D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD BB ,'的中点，求证：ADE F D 平面⊥'。 3. 如图，在四棱锥ABCD E -中，BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥, 0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ，求证：平面ABE ADE 平面⊥。 巩固练习： 1. 如图，在正方体''''D C B A ABCD -中，P 是'DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心， （1）求证：O B '为平面PAC 的一个法向量；（2）求平面CD B A ''的一个法向量。
2. 如图，在直棱柱'''C B A ABC -中，4',5,4,3====AA AB BC AC （1）求证：'BC AC ⊥ （2）在AB 上是否存在点D ，使得'//'CDB AC 平面，若存在，确定D 点位置，若不存在，说明理由。 3. 如图，已知长方体''''D C B A ABCD -中，2==BC AB ，E AA ,4'=为'CC 的上的点，C B BE '⊥， 求证：BED C A 平面⊥' 4. 在三棱柱'''C B A ABC -中，1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面，E 为'BB 的中点，求证：C C AA AEC '''平面平面⊥
第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量 一、空间向量的坐标运算 1． 若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则 （1）112233(,,)a b a b a b a b +=+++； （2）112233(,,)a b a b a b a b -=---； （3）123(,,),a a a a R λλλλλ=∈； （4）112233a b a b a b a b ?=++； （5）112233//,,,(0,)a b a b a b a b b R λλλλ?===≠∈； （6）1122330a b a b a b a b ⊥?++=； （7 ）a == （8 ）cos ,a b a b a b ?<>= = ?. 例1 已知(2,3,5),(3,1,4),a b =-=-- 求,,8,,a b a b a a b +-? 的坐标. 2.若111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则212121(,,)AB x x y y z z =--- 练习1: 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB,PC 的中点，且PA=AD=1， 求向量MN 的坐标. 二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、 方程法 利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。 例1 已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC == 求平面ABC 的法向量。 解：设(,,)n x y z = ，则由,,n AB n AC ⊥⊥ 得=0=0n AB n AC ??????? 即220453=0x y z x y z ++=?? ++? 不妨设1z =，得12 =-1 x y ?=? ???， 取1(,1,1)2n =-
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）．
利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos
则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二 方法一：在α内
面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a 、 b 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则 异面直线a 、b 的距离
向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作 n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面α的法向量为(,,)n x y z =． ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组0 n a n b ??=???=??. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. ⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明 a u ⊥，即0a u ?=. ⑶面面平行。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ?=. ⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明
a ∥u ，即a u λ=. ②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、 ，若0 ,.0 a m l a n α??=?⊥? ?=??则 ⑶面面垂直。 若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ?=. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD θ?= ⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为?， 则θ为?的余角或?的补角 的余角.即有：cos s .in a u a u ?θ?== ⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角. 如图： 求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、 ，再设m n 、的夹角为?，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、 的夹角?或其补角.π?- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m n θ??== ， 即arccos m n m n θ?=； O A B O A B l
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v
的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线
立体几何中的向量方法 Prepared on 22 November 2020
教学过程 一、课堂导入 空间平行垂直问题 1．两条直线平行与垂直； ２．直线与平面平行与垂直； ３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题 1．两直线所成角； ２．直线和平面所成角； ３．二面角的概念；
空间距离问题 二、复习预习 （１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a =，231(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=． （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标． （3）模长公式：若231(,,)a a a a =， 则 21||a a a a =?=+ （4）夹角公式： 2 1cos |||| a b a b a b a ? ?= = ?+ （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 221221221)()()(z z y y x x -+-+-== ． 三、知识讲解 考点1 平面法向量的求法 在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z =，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有几种求平面法向量的办法也比较简便． 求法一：先来看一个引理： 若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ，0，0)、B (0，b ，0)、C (0，0，c )，定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A ＝ a ， y B ＝ b ， z C ＝ c
中山二中2011届空间向量解立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底 叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 {,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正 方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -， 点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 （3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规 定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 （5）空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐 标系和向量 a ，设,,i j k 123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 作向量a 在空间直角坐标系O xyz -123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任 一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的 坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,) a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 2、模长公式 2| |a a a x =?=+3、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2 ||(AB AB = =， 或,A B d = 4、夹角：cos |||| a b a b a b ??= ?． 注：①0(,a b a b a b ⊥??=是两个非零向量）； ②2 2||a a a a =?=。 5、 空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<>．②0a b a b ⊥??=．③2||a a a =?．
13—立体几何中的向量方法 【基础巩固】 1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a ∥b,则λ与μ的值可以是( ) (A)2, (B)-, (C)-3,2 (D)2,2 2.如图所示,PD 垂直于正方形ABCD 所在平面,AB=2,E 为PB 的中点,cos< , >=,若以DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为( ) (A)(1,1,1) (B)(1,1,) (C)(1,1,) (D)(1,1,2) 3.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a,点M 在AC 1上且= ,N 为B 1B 的中点,则| |为( ) (A) a (B) a (C) a (D) a 4.如图所示,已知PA ⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则| |等于( ) 5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为,则λ= . 6.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC 内,则x= . 【空间三种角】 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n | |a ||n |． 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． 平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2 |，如图(2)(3)． 考点一 异面直线所成角 [典例引领] (2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC ．(1)证明：
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 立体几何中的向量方法复习 一、选择题 1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)，则( ) A. l ∥α B. l ⊥α C. l ?α D. l 与α斜交 答案：B 解析：因为直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择B. 2. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝1 3AC ，则( ) A. EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直 B. EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC C. EF 与BD 1相交 D. EF 与BD 1异面 答案：B 解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，1 3 ，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→ ＝(－1，－1,1)， EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·E F → ＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .故选B. 3. 若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A. 48585 B. 6985 C. －15 15 D. 0 答案：C 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515 . 4.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( ) A. 64 B. －64 C. 104 D. －10 4 答案：A
3.2立体几何中的向量方法（一） 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题． 知识点一直线的方向向量与平面的法向量 思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP → 来表示．我们把向量OP → 称为点P的位置向量． (2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量． ②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP → ＝tAB → ，此方程称为直线的向量参数方程．(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP → ＝x a＋y b. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方 向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α 的法向量 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行l∥m?a∥b?a＝k b (k∈R) 线面平行l∥α?a⊥μ?a·μ＝0 面面平行α∥β?μ∥v?μ＝k v (k∈R) 线线垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝0 线面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R) 面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0 知识点二 思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．
立体几何中的向量方法 适用学科高中数学适用年级高中二年级 适用区域通用课时时长（分钟）90 知识点用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题. 教学目标 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量； 2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）． 4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作用．教学重点用向量方法解决立体几何中的有关问题 教学难点用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
教学过程 一、课堂导入 空间平行垂直问题 1．两条直线平行与垂直； ２．直线与平面平行与垂直； ３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题 1．两直线所成角； ２．直线和平面所成角； ３．二面角的概念； 空间距离问题
二、复习预习 （１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a =，231(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=． （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （3）模长公式：若231(,,)a a a a =， 则 222 123 ||a a a a a a =?=++． （4）夹角公式： 112233 2 2 2 22 2 123 123 cos |||| a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++??= = ?++++． （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2212212212 )()()(z z y y x x AB AB -+-+-== ．
向量法解立体几何 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点(),P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：
方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 实例分析
《立体几何中的向量方法（一）》教学设计 慈溪中学岑光辉 一、教材分析 立体几何中的向量方法被安排在新课标《数学》选修2–1的第三章第二节，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。在此之前安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓展为三维，为学生学习本节知识作了必要的铺垫。立体几何中的向量方法既是前面内容的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的课程基本理念。 二、教学目标 （1）知识与技能 了解点的位置向量的概念，理解直线的方向向量与平面的法向量的概念，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，掌握用向量法证明这些位置关系。 （2）过程与方法目标 【 通过概念的理解和应用，可以提高学生感知和梳理知识的能力；由具体问题的解决到解题方法的总结，可以培养学生的探索、操作和归纳能力；用数学语言描述几何知识，可以提高学生的数学表达和交流能力，发展独立获取数学知识的能力。 （3）情感、态度与价值观目标： 通过对立体几何中的向量方法的学习过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生良好的学习习惯和思维品质，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神，渗透唯物辩证法的思想，引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学涵养和综合素质。 三、学情分析 通过《数学》必修2中的“立体几何”和《数学》选修2–1中“空间向量及其运算”的学习，学生已具备了一定的空间想象能力和代数运算能力，很自然就过渡到二者综合运用的层次；但也有部分学生的数学底子薄，数学思维能力有所欠缺，认知结构不太健全，会对向量和几何的综合运用产生畏惧感，担心学不好。 四、教学策略 实施主体性教学，发挥学生的主动性。让学生经历直观感知、自主探索、合作交流的过程，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的自信心。 这节课我设计制作了多媒体课件，形象、直观，再现了知识产生的过程，突破学生在旧知和新识形成过程的障碍，增大了教学容量，提高了教学效率，培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 …
用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .