立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
1． 空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.
(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小
1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．
2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 2． 点面距的求法
如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到 平面α的距离d ＝|AB →
·n |
|n |
.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．
( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．
( × )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．
( × )
(4)两异面直线夹角的围是(0，π2]，直线与平面所成角的围是[0，π
2]，二面角的围是[0，
π]．
( √ )
(5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°.
( √ )
(6)若二面角α－a －β的两个半平面α、β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －
β的大小是π－θ.
( × )
2． 已知二面角α－l －β的大小是π
3
，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的
角为
( )
A.2π
3 B.π3
C.π2
D.π6
答案 B
解析 ∵m ⊥α，n ⊥β，
∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的围为(0，π
2]，
∴m ，n 所成的角为π
3
.
3． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－
1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于
( )
A ．4
B ．2
C ．3
D ．1
答案 B
解析 P 点到平面OAB 的距离为
d ＝|OP →
·n||n |＝|－2－6＋2|9
＝2，故选B.
4． 若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l
与α所成角的正弦值为_________． 答案
411
33
解析 ∵n ·a ＝－8－3＋3＝－8，|n |＝16＋1＋1＝32， |a |＝4＋9＋9＝22，
∴cos 〈n ，a 〉＝n ·a |n|·|a |＝－832×22＝－411
33
.
又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝411
33
.
5． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝
∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为________． 答案 90°
解析 不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，如图， 作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ， ∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°， ∴PE ＝
22a ，PF ＝22
b ， ∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →
) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF → ＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22ab cos 45°＋22a ×22b ＝
ab 2－ab 2－ab 2＋ab
2
＝0，
∴EM →⊥FN →
，
∴二面角α－AB －β的大小为90°.
题型一 求异面直线所成的角
例1 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直
线BC 1与AE 所成角的余弦值为
( )
A.1010
B.3010
C.21510
D.31010
思维启迪 本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量BC 1→、AE →
所成的角来求． 答案 B
解析 建立坐标系如图，
则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．
BC 1→＝(－1,0,2)，AE →
＝(－1,2,1)，
cos 〈BC 1→
，AE →
〉＝
BC 1→·AE
→
|BC 1→|·|AE →|
＝3010.
所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为
3010
. 思维升华 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来
求解，而两异面直线所成角的围是θ∈? ??
??
0，π2，两向量的夹角α的围是[0，π]，所以要
注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.
已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形AA 1＝2AB ，
E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为
( )
A.1010
B.15
C.31010
D.35
答案 C
解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)， ∴BE →
＝(0，－1,1)，
CD 1→
＝(0，－1,2)，
∴cos 〈BE →，CD 1→
〉＝1＋22·5＝31010.
题型二 求直线与平面所成的角
例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，
垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点． (1)证明：PE ⊥BC ；
(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．
思维启迪 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量．
(1)证明 以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，
线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)， 则A (1,0,0)，B (0,1,0)．
设C (m,0,0)，P (0,0，n ) (m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E ? ????
12，m 2，0.
可得PE →＝? ??
??12，m
2，－n ，BC →＝(m ，－1,0)．
因为PE →·BC →＝m 2－m
2＋0＝0，所以PE ⊥BC .
(2)解 由已知条件可得m ＝－3
3
，n ＝1， 故C ?
????－
33，0，0，D ? ????0，－33，0，E ? ??
??12，－36，0， P (0,0,1)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量， 则?????
n ·HE →＝0，n ·HP →＝0，即???
12
x －36y ＝0，
z ＝0.
因此可以取n ＝(1，3，0)．又PA →
＝(1,0，－1)， 所以|cos 〈PA →
，n 〉|＝24
.
所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为2
4
. 思维升华 利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
(2013·)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，
AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
方法一(1)证明如图，因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.
又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，
而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D.
(2)解因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．
如图，连接A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，从而A1B1⊥AD1.
又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形．
于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.
由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.
故∠ADB1＝90°－θ，
在直角梯形ABCD中，
因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.
从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故AB
DA＝BC AB，
即AB＝DA·BC＝ 3.
连接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB21＋BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝21.
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝AD
B1D＝
3
21
＝
21
7，
即cos(90°－θ)＝
217.从而sin θ＝217
. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为
21
7
. 方法二 (1)证明 易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以
A
为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建
立空间直角坐标系．
设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，
C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，
D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．
从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →
＝(－t,3,0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →
＝－t 2＋3＋0＝0， 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．
于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →
＝(3，1,0)， 因为AC →·B 1D →
＝－3＋3＋0＝0， 所以AC →⊥B 1D →
，即AC ⊥B 1D .
(2)解 由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →
＝(3，1,0)，
B 1
C 1→
＝(0,1,0)．
设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量， 则?????
n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即???
3x ＋y ＝0，
3y ＋3z ＝0，
令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→
〉|＝
?
???????n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为21
7
. 题型三 求二面角
例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是
AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝
22
AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；
(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．
思维启迪 根据题意知∠ACB ＝90°，故CA 、CB 、CC 1两两垂直，可以C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量求二面角．
(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ?平面A 1CD ，BC 1?平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)解 由AC ＝CB ＝
2
2
AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB →
的方向为y 轴正
方向，CC 1→
的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
Cxyz .
设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，
CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→
＝(2,0,2)．
设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，
则?????
n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即???
x 1＋y 1＝0，
2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则?????
m ·CE →＝0，
m ·CA 1→＝0.
可取m ＝(2,1，－2)．
从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝6
3
.