习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。 已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=AD+BC,E 是
DC 中点
求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。 证明（同一法）：
设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。 ∵A D ∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B =90°
作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′,则 FE ′=2
1AB=AF=BF
∴∠2=∠A E ′F , ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥A D ∥BC
连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥A D ∥BC ∴E ′F 与 E F 共线 ∵FE ′=2
1AB=2
1(AD+BC), FE =2
1(AD+BC)
∴E ′F = E F ∴E ′与 E 重合。 证 毕 。
习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。
解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。
∴BF 2
1
AC
∴∠FBC=∠ACB
又∠ACB=∠ABC ，AB=AC
∴∠FBC=∠ABC ，BF=2
1
AB=BE
∴△EBC ≌△FBC （SAS ）
∴CE=CF=21CD=2
1
×10=5cm
即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。
习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。
已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作D F ⊥ AC 延长线于F 。
求证：D E －DF 为常量。
2
1
证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。 ∵∠3+∠B=90°，∠4+∠2=90°，∠B=∠ACB=∠2 ∴∠3=∠4
又CD 为公共边。 ∴Rt △DGC ≌Rt △DFC ∴DF=DG 。
∴D E －DF=DE －DG=EG=CH 。（常量）证毕
习题4.在△ABC 中，∠B=2∠C ，A D ⊥BC 于D 。M 是BC 的中点。
求证：DM=2
1
AB 。
证明：（Ⅰ）当∠B 为锐角时，作M E ∥AC 交AB 于E ，连结DE 。则E 为AB 的中点 ∴∠DME=∠C ，∠BEM=∠BAC
在Rt △ABD 中，有DE=2
1
AB=BE=AE
∴∠B=∠EDB=∠DEM+∠DME=2∠C
∠DME=∠C
∠DEM=2∠C －∠C=∠C ∠DEM=∠DME DE=DM DE=2
1AB
（Ⅱ）当∠B 为钝角时，作ME ∥AC 交AB 于E 。连结DE ，则E 为AB 的中点 在Rt △ADB 中
DE=2
1
AB=BE=AE ，E 和M 分别是AB 和BC 的中点
∴ME 是△ABC 的中位线 ∴∠C=∠BME ，∠BAC=∠BEM ∵∠BAC=180°-（∠B+∠C ） ∴∠BEM=180°-（∠B+∠C ） 又∵BE=DE
在△BDE 中∠ABD=∠EDB=180°-∠B ∴∠BED=180°-∠ABD-∠EDB =2∠B-180°
∴∠DEM=∠B-∠C ，又∠B=2∠C ∴∠DEM=∠BME
∴DM=2
1AB
（Ⅲ）当∠B 为直角时，易证DM=21
AB
（Ⅳ）当∠A 为直角时，易证DM=2
1
AB
习题5.AB 是圆的直径，引弦AC 使∠BAC=30°，过点C 引切线交AB 的延长线于D ，
求证：AC=CD
证明：如图，连结CB ∵AB 是⊙的直径 ∴∠ACB=90°
∵CD 为⊙O 的切线，∠BAC=30° ∴∠BCD=∠BAC=30°
又∵∠CBD=∠BAC+∠ACB=30°+90°=120° ∴在△BCD 中
∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD ）=30° ∴∠BAC=∠BDC 即AC=CD
习题6.两圆相交于两点A 和B ，在每一个圆中各作弦AC 和AD ，使切于另一圆。
求证：∠ABC=∠ABD
证明：如图，AC 和AD 分别是⊙ ，⊙ 的切线，交⊙ ，⊙ 于C 和D
∴∠CAB=∠ADB ，∠DAB=∠ACB 在△ABC 和△ABD 中
∠ABC=180°-（∠CAB+∠ACB ） =180°-（∠ADB+∠DAB ） =∠ABD 即∠ABC=∠ABD
习题7.四边形ABCD 中，设AD=BC ，且M 和N 是对角线AC 和BD 的中点。 证明：直线AD 和BD 与MN 成等角 证明：如图，四边形ABCD 中AD=BC
M 和N 点分别为对角线AC 和BD 的中点,MN 交AD 、BC 分别于G 和F. 下证：∠AGF=∠BFG
连结BM 并延长至E , BM=ME 。连结AE 和CE 显然：ABCD 为平行四边形。连结DE ∴∠BFG=∠AHG ∵AD=BC ，AD=AE
而M 和N 分别是BD 和BE 的中点，∴MN ∥DE ∴AG=AH
∴∠AGF=∠AHG=∠BFG
习题8.设延长△ABC 的边BA 至D ，使AD=AC ，则∠BCD=90°+2
1
（∠C-∠B ）
证明：∵2∠BCD=2∠BCA+2∠1 ①
AD=AC ，∠1=∠D
∴∠BAC = ∠1+∠D=2∠1 ∠B+∠BCA+2∠1=180°
即：2∠1=180°-∠B-∠BCA ② 将②代入①得：
2∠BCD=2∠BCA+180°-∠B-∠BCA
∴∠BCD=90°+2
1
（∠C-∠B ）
习题9.设O 为△ABC 内部任一点，则OA+OB ＜CA+CB
证明：连AO 延长交BC 于D
△ADC 中AC+CD ＞AD ① △OBD 中，OD+DB ＞OB ②
由①②有：CB+AC=AC+CD+DB ＞AD+DB=AO+OD+DB ＞AO+BO
习题10.三角形的一中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差
已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线
求证：21（AB+AC ）-21BC ＜AD ＜2
1
（AB+AC ）
证明：作DE 平行于AB 交AC 于E
则DE=21AB ，AE=2
1AC
在△ADE 中，则AD ＜AE+DE=2
1
（AB+AC ）
延长AD 至F ，使DF=AD ，则有AD+BD ＞AB ，AD+DC ＞AC ∴AF+BC ＞AB+AC
∴2AD ＞AB+AC-BC 即AD ＞21（AB+AC ）-2
1
BC
综上得：21（AB+AC ）-21BC ＜AD ＜2
1
（AB+AC ）
习题11.证明：梯形两条对角线中点的连线平行于底边
已知：如图所示，梯形ABCD 中，AD//BC,E,F 分别是BD,AC 中点。 求证：EF//AD 证明：过点A 做AG//BD ，并与CB 延长线相交于点G.
又因为AD//BC
所以四边形AGBD 是平行四边形 取AG 的中点H ，连结EH 由于E 是BD 的中点
所以EH//AD
又连结HF
所以HF//BC//AD
从而 H ，E ，F 三点共线 于是EF//AD
习题12.二圆外切于点P. AB 是一条外公切线（A ，B 为切点）. 则PA ⊥PB
证明：如图ΘO 1 ΘO 2外切于点P ，过点P 作ΘO 1 ΘO 2 的内公切线交AB 于C.
CP CA =
∴ CPA CAP ∠=∠
又 CP CB =
∴
CPB CBP ∠=∠
∴APB CPB CPA CBP CAP ∠=∠+∠=∠+∠
而0
180=∠+∠=∠APB CBP CPA
∴0
90=∠APB ∴AB PC ⊥
习题13.证明：三角形的三条外角平分线和对边相交所得三点共线。
已知：如图，AD ，BE ，CF 分别是?ABC 三个外角的平分线且分别交CB ，CA ，BA 于D ，
E ，
F 三点.
求证：D ，E ，F 三点共线.
证明： AD 是∠BAE 的角平分线 ∴AC
AB DC BD =
同理：
BA BC EA CE =，CB
CA
FB AF =
从而：
=FB AF EA CE DC BD ..1..-=CB
CA
BA BC AC AB ∴D ，E ，F 三点共线.
习题14.两圆有两条内公切线，证明这两线与连心线共点.
已知：如图所示ΘO 1与ΘO 2 外离，AB ，CD 是ΘO 1与ΘO 2 的两条内公切线且A ，B ，C ，D 分别为切点，O 1O 2 为连心线. 求证：AB ，CD ，O 1O 2 三点共线.
证明： AB ，CD 是ΘO 1与ΘO 2 两条内公切线，
则AB ，CD 必有交点.设AB ，CD 的交点为P. 下证 点P 在O 1O 2 上即可.
连结O 1 P ，O 2P. 此时PA ，PC 即为从ΘO 1外一点引ΘO 1
的两条切线.
则有P O 1平分APC ∠.即APC APO ∠=∠2
1
1 同理可得 D P B D P O ∠=
∠2
1
2 从而 =∠21PO O 21DPO APD APO ∠+∠+∠ =
DPB APD APC ∠+∠+∠2
1
21
=
APC APD APC ∠+∠+∠2
1
=APD APC ∠+∠
=1800
所以P ，O 1 ，O 2 三点共线 即P 在O 1O 2 所以AB ，CD ，O 1O 2三点共线.
习题15.利用锡瓦定理证明三角形下列三线共点 （1.） 三中线
已知：如图.AD ，BE ，CF 分别?ABC 边BC ，CA ，AB 上的中线.
求证：AD ，BE ，CF 三线共点
证明： D ，E ，F 分别是中点
∴1===FB
AF EA CE DC BD
从而
1..=FB
AF
EA CE DC BD 所以AD ，BE ，CF 三点共线.
（2.）三内角平分线.
已知：如图，AD ，BE ，CF 分别是?ABC 三内角
平分线.
求证：AD ，BE ，CF 三点共线.
证明：由AD ，BE ，CF 分别是?ABC 三内角平分线.
∴AC AB DC BD = ，BA BC EA CE = ，CB CA FB AF =
. ∴
1....==CB CA
BA BC AC AB FB AF EA CE DC BD 故：AD ，BE ，CF 三点共线.
习题16.已知： C 是Rt ?ABC 的直角顶点，以AB 为边
作正方形ABCD ，以AC 边作正方形ACFG ，它们都包含?ABC 求证：CE ⊥BG
证明： 四边形ABDE ，ACFG 为正方形.
∴0
90=∠=∠BAE GAC
以A 为旋转中心，有：G C A R ???→?)
90,(0，
B E A R ???→?)
90,(0
则：CE=BG ，GE ⊥BG .
习题17.已知：圆内接四边形中BC=CD.
求证：AB ?AD+ 2
BC =2
AC
证明：连接BD 交AC 于E
由于BC=CD ，则 21∠=∠ 在?ABC 和?AED 中
??→???→
?∠=∠∠=∠4321??ABC ~~?AED
AC AE AD AB AD
AC
AE AB ?=??=?
……..①
15∠=∠ , 21∠=∠
∴ 25∠=∠.
在?CDE 和?CAD 中
????→???→
?∠=∠∠=∠DCA
ECD 21
??CDE ~~?CAD
?
CD CE
AC CD = ?CD
BC CE
AC CD =?=2CE AC BC ?=?2 ………②
∴由①和②有CE AC AC AE BC AD AB ?+?=+?2
2
)(AC CE AE AC =+?=
∴ AB ?AD+ 2
BC
=2
AC
习题18.平行四边形ABCD 的底边BC 固定,另一边AB 长为a ,则其对角线交E 的轨迹为一
圆,圆心是BC 中点,半径是
2
a
. ( 假设: 平行四边形ABCD 底边BC 的中点O ,AB 边长为a ,P 为对角线AB,BD 的交
点,BC 为固定.)
求证:点P 的轨迹是ΘO(
2
a ) 证明: 10 若P 是平行四边形ABCD 对角线AC,BD 的交点,连接OP,由P,O 分别是BD,BC 的中点,故
OP=
CD 21=2
a . 故P ∈ΘO(2
a
), (完备性得证)
20.社P 为ΘO(
2
a
)上任意一点,连接OP,分别过B,C 作OP 的平行线21,l l .连接CP 并延长交1l 于A,连接BP 并延长交2l 于D,连接AD
则OP 是?CAB 和?BCD 的中位线,于是AB=a ,OD=a .且AD//CD, 从而P 点是平行四边形ABCD 对角线AC,BD 的交点 (纯粹性得证)
∴点P 的轨迹是ΘO(2
a ).
习题19.设定圆中互相垂直的两弦的平方和是常数，则此两弦所在直线交点的轨迹是圆。
假设AB 与CD 是⊙O （r ）中两条互相垂直的弦，且AB ⊥CD 于P,22a CD AB +=(常数),求点P 的轨迹.
证明:点P 关于O 的对称点也满足条件,故该轨迹为以O 为圆心,以OP 为半径的圆。 如图所示：连AO 延长交⊙O 于E,连AC 、DB 、CE ， 则∠1+∠2=90°∴∠2+∠3=90°, 从而∠1=∠
3? ,DE
CB DE EB CB EB =+=+ DB
CE ?= BD CE ?=?222222
(2)4r AC CE AC BD r +=?+=过
点P 作MN ⊥OP 有MP=NP
?2
2
22
()()
AP BP CP PD CD AB
+=+++
222222AP BP CP PD CP AP PB PD =++?+++?
=22222()()4CP AP PB PD MP ++++222
4AC BD MP =
++
2222444
a
a r MP MP r =+=?+
-? 2
222
24a OP r MP r =-=-
OP ∴=所求轨迹可能是以O 为圆心
1
2
习题20.将已知点到定圆上各点连线，求连线的中点E 的轨迹。
假设点C 为定点P 到定圆⊙O(r)上各成连线的中点,求C 点的轨迹. 探求：连接PO 交⊙O 于B 易见轨迹关于直线PO 对称 设PA 、PB 中点分别为C 、D ，作切线PT 、1
PT ，
中点分别为E 、F 则C 、D 、E 、F 不共线， 估计
轨迹为圆弧
B
P
E
A
设CD 中点为1
O ，连1
EO ，设PA=a 则
22a BC r =+
， 1(2)22a BD r a r =+=+ ? 2()22
a a CD BC BD r r r
=-=+-+= 故
112r DO CO ==
1
11
()2222
r a r a OP po =+=+= ?1
112
2
OT r EO ==
所以，轨迹是以CD 中点1
O 为圆心，
1
2
r 为半径的圆。 习题21.设两动圆各切同一直线于一定点，且保持互相切，求它们切点的轨迹。 假设动圆1O 切线l 于点A ，动圆2O 切直线l 于点B ，且⊙
1
O 与⊙2O 相切于点P ，求点P 的轨迹。 探求：⊙1O 与⊙2O 的圆心1O 、2O 分别在直线AO 、BO 上，故轨迹关于直线l 对称 当1O →A 、P →A 、2O →B 、P →B ，
过P 作⊙1O 与⊙2O 的公切线交AB 于点O ， 易见OP=OA=OB=
1
2
AB 故:所求轨迹应为以AB 为直径的圆。
习题22.给定直线l 及两圆w 及1
w ,在l 上求一点，
使从点向w 所引切线的夹角等于1
w 所引二切线的夹角。
分析：设所求点为P ，则P 要求满足：○
1∠CPA=∠DPB ○
2P 在直线l 上。 由○1有112
CPA
∠=
∠
1
22
DPB ∠=∠ 则∠1=∠2，
∠3=∠4=90°
?
1wAP PB w ??
1
1
1
Pw Aw
r Pw Bw r ?
=
=
l
P
P 点的轨迹应在一个阿氏圆上，使
1
1
1
Pw Aw r Pw Bw r =
=
即P 点在以EF 为直径的圆上。
作法：如分析过程作出E 、F 两点，以E 、F 为直径作圆W0、W2与l 交于点P ，P 为所求点。
证明：由○
1阿氏圆的性质，1
1
Pw r Pw r =
，∠3=∠4 ， 1wAP PB w ?? 12∴∠=∠ 双111,22
2
CPA DPB ∠=∠∠=∠ CPA DPB ∠=∠
P 在直线上，故P 为所求点。
讨论：当W0与直线相离时无解，当W0与直线相切时有一解，当W0与直线相交时，有两解。
习题23.定直线上有按A 、B 、C 、D 顺序排列的四定点，求一P 使 APB BPC CPD ∠=∠=∠
分析：假设P 点已求出，由于 APB BPC CPD ∠=∠=∠
所以BP 是∠APC 的角平分线，CP 是∠BPD 的角平分线，根据角平分线的性质有：
,AP AB a BP BC b CP BC b DP CD c
====，可见，P
点到A 、C 两定点的距离之比为常量a
b
P 到B 、
D 两定点的距离之比为常量b
c
，因此，P 点是
AP ﹕CP=a ﹕b 的阿氏圆与BP ﹕DP=b ﹕c 的阿氏圆的交点。
作法：○1在已知直线上取4点A 、B 、C 、D ，使得DAC EAC BAC ∴∠=∠=∠； ○
2作出到A 、C 两点距离之比等于a ﹕b 的点的轨迹,即阿氏圆1w
○3作出到B 、D 两点距离之比等于b ﹕c 的点的轨迹,即阿氏圆2w
1w 、2w 交于点P ，P 为所求。连结PA 、PB 、PC 、PD
证明：由作法知：AB ﹕BC=a ﹕b ，P 是阿氏圆
1
w 上的点，故有AP ﹕CP=a ﹕b ，所以AP ﹕CP= AB
﹕BC ，所以PB 是∠APC 的角平分线，即有APB BPC ∠=∠
同理可证：BPC CPD ∠=∠，所以APB BPC CPD ∠=∠=∠，所求点P 符合条件所求。
讨论：本题是否有解关键在于1
w 、2
w 是否有交点，相交或相切时有一角，否则无解。
习题24.求作△ABC ，已知顶角A ，高
a
h
，角平分线a t
。
D
C
B
分析：设△ABC 已作成，高AH=a h ，角平分线AT=a t
，顶角∠BAC=∠α，则AT 是∠BAC 的平分线。Rt △AHT 中，有两边AT 、AH 均已知，∠AHT=90°。故点H 在以AT 为直径的圆上，又AH=
a
h
，故H 又在圆A （
a
h
）上，故可确定点H ，延长TH 分别交∠BAC 两边于
B 、
C ，则△ABC 即为所求三角形。
作法：
○
1先求作∠BAC=∠α,作∠BAC 的平分线AT,在射线AT 上作点T,使AT=
a
t
。
○
2作AT 的中点O ，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，再以A 为中心，a h 为半径作一弧，交⊙O 于H ，则
AH ⊥HT 。
○
3连结TH 并两边延长，分别交AB 、AC 于B 、C 两点。∴△ABC 为所求. 证明:由作法及三角形全等的判定(SAS)知, △ABC 符合条件. 讨论:本题有无解,取决于⊙O(
2
a
t
)与OA(
a
h
)有无公共点H,两圆有公共点H 的条件是AT ≥
HA 即a t ≥a
h ,当a
t ＞a
h 时,有两解且合同,；a
t ＝a
h 时有一解,；a
t ＜a
h 时无解.
习题25.求作△ABC ，已知∠A ，
a
h
， a m
分析：设△ABC 已作出，中线AM=a m ，高AH=
a
h
，顶角∠BAC=α，在Rt △AHM 中，有
两边AH 、AM 为已知长，故可作出，顶点A 的位置就决定了，又B 、C 关于点M 对称，只要C 确定，则B 也确定，显然C 点不在直线HM 上，又M 为BC 中点，延长AM 到D ，使AM=MD ，则可得AB ∥CD ，故180180A C D B A C α∠=?-∠=?-，故C 点还在以AD 为弦，内接角为180°-α的弧上，故此C 可作出。
作法：若a m ≥a
h
任作直线l ，在l 上取一点H ，过H 作AH ⊥l ，在AH 上作一点A ，
使得AH=
a
h
，以A 为圆心，a m 为半径画弧，交直线l 于点M ，延长AM 至D ，使AM=MD ，再
以AD 为弦，定角为180°-α为内接角作弧，交射线MH 于点C ，以M 为心，MC 为半径作弧，交射线MH 于点B ，直线AB 、AC ，则△ABC 为所求。 证明：由作法知，M 为BC 中点，AM 为中线，又由AH ⊥BC ，知AH=
a
h
为高。
又∵BM=CM ，AM=DM ，∠AMB=∠CMD AMB DMC ???
1D AB CD ∠=∠?
180BAC ACD α∠=?-∠=
B
故△ABC 即为所要求的图。
讨论：有无解，取决于点M 是否存在，点M 为⊙A （a m ）与直线l 的交点，故：当a
m ﹥a h 时两解且合同，当a m =
a
h
时，有唯一解；当a m ﹤
a
h
时无解。
习题26.求作△ABC ，已知a,a m 、b m
分析：假设△ABC 已作出，底边BC=a ，中线BE=b m ，CF=a m ，则H 为△ABC 的重心，
故BH=
23b m ，CH=2
3a
m 在△BCH 中，三边均已知，故可作出，现只需点A 的位置即可，又由BE ，CF 为中线，得E 在AC 上，F 在AB 上取一点A 即在BF 上，又在直线CE 上，A 可确定。
作法：
（1）作△BCH ，使BC=a ，BH=23
b m ，CH=
2
3a
m ，延长BH 至E ，使BE=23BH=b m 延长
CH 交BA 于F ，使CF=a m ；
(2)连接BF 、CE 并延长交于A ，则△ABC 为所求。
证明：
由作法知，,2,,3b b a BC a BH BE CF m m m ====
则
21
33
b b b HE BE BH m m m =-=-=21,33a a a
HF CF CH m m m =-=-= ∴HE ﹕BH=HF ﹕CH=1﹕2 ,BHC EHF BHC EHF ∠=∠∴?? EF ∥BC 且EF ﹕BC= HE ﹕BH=1﹕2 ∴AF=BF AE=EC
即E 、F 分别为AC 、AB 的中点，故BE 、CF 是△ABC 的中线。 所以△ABC 为所求。
讨论：本题有无解，决定于△BCH 是否存在，所以三角形的条件是：
,222222,333333
b a b a a b a a a m m m m m m +=+>+> 所以，当a 、2
3
a m 、23
b m 满足上述条件时本题有解，否则无解。
习题27.求作一四边形，已知四边形长度，且角被对角线平分。 已知：线段a 、b 、c 、d 为定长
求作：四边形ABCD ，使得AB=a ，BC= b ，CD= c ，DA=d 是AC 平分∠BAD
分析：设四边形ABCD 已作出。先作AB= a ，由BC= b ，C 点的轨迹是圆B （b ），又由AC 平分∠DAB ，则DA 沿AC 对折后，与直线AB 重合，且D 点的对应点
可作出，及在AB 上作点后，使AE=AD ，则E 点固定，
C
d
c
b a
B
∴CE=CD= c ，故C 点的另一轨迹为圆E （c ），C 点也就确定，又CD= c ，DA= d ，故D 即在⊙A （d ）上，又在⊙C （c ）上，且与B 点位于AC 异侧，故四边形可作出。
作法：作线段AB=a,以A 为心，d 为半径画弧，交AB 或AB 延长线于点E ，分别以点E ，点B 为心，线段c 和b 为半径画弧，两弧相交于点C ，再分别以A 、C 为心，定长d 和c 为半径画弧。两弧相交于点D ，连结BC 、CD 、DA ，则四边形ABCD 即为所求。
证明：由作法知： ,,,AB a BC b CD c DA d ====
,,AC AC AE AD CD CD === ，ADC AEC ???
DAC EAC BAC ∴∠=∠=∠ 即AC 平分∠BAD
故四边形ABCD 合符条件。 讨论：
本题有无解决定于C 是否存在，即圆B （b ）与⊙E （C ）有无公共点，故：
当∣a-b ∣+b ﹥c, ∣a-b ∣+c ﹥b 且∣a-b ∣﹤ b +c 时，C 点唯一存在，两解且合同，关于AB 对称。
当∣a-b ∣+b ﹤c 或∣a-b ∣+c ﹤b 或∣a-b ∣﹥b +c 时无解。
当a=b 且 b=c 时，⊙B （b ）与⊙E （ c ）重合，此时有无穷多解。
习题28.给定直线XY 及异侧两点AB ，于XY 上求一点C ，使ACX ∠=BCX ∠
分析：假定C 点已作出，满足ACX ∠=BCX ∠，作A 点关于XY 的对称点A '，则ACX ∠=A CX '∠于是ACX ∠=BCX ∠，即A '、B 、C 三点共线，即点C 为直线XY 与直线A B '的交点
作法：作A 关于直线XY 的对称点A '，连接A B '并延长交直线XY 于点C ，则C 点即为所求 证明：由作法知ACX ∠=A CX '∠=BCX ∠即C 符合
讨论：本题有无解决定于直线XY 与直线A B '有无交点，故当A B '不平行与XY 即A 、B 两点到直线XY 距离不等时有唯一解当AB XY 即AB 到XY 距离相等时无解
X
Y
A
C A
B
习题29.求作四边形，已知一双对边及两对角线长度及两对角线的交角 已知：线段a.b.c.d 角α
求作：四边形ABCD 使得AD=a 、BC=b 、CA=c 、BD=d 对角线AC 与BD 的交角为α即 BEC ∠=α
分析：设四边形ABCD 已作出.过D 点作DF AC ，DF 可作出．故BD 可确定。而C 点分别B 、F 为圆心。b 、a 为半径的圆弧交点。当C 点确定后。点A
可确定。即A 分别在C （c ），D （a ）的交弧上。 作法：1 作BDF 使BD=d ，BDF ∠=α，DF=c 2 分别以B 、F 为圆心，b 、a 为半弧交于C
3 分别以点C 、D 为圆心，c 、a 为半径画弧交于A
4 连接AB 、BC 、DC 、DA 。则ABCD 为所求
证明：由作法可知：AD=a ，BC=b ，CA=c ，DB=d AD=CF=a ，CA=FD=a
∴四边形ACFD 是平行四边形
∴CF FD ，∴BDF ∠=BEF ∠=α
故四边形ABCD 符合条件。
讨论：1 若B （b ）和F （a ）相离，无解
2 若1O 与2O 相切，而分别以C 、D 为圆心，c 、a 为半径的3O 和4O 相离时也无解
3 当1O 与2O 相切，且3O 与4O 也相切时才有解：交点个数可能为1，2，4但是合同的
习题30.求作直角等腰三角形使其直角定点为定点A 余二定点分别在一定直线及一圆上 分析：假设Rt BAC 已作出，作(.90)
R A l l '???→，B 在l 上，(.90)
R A B C ???→，故C 在l '上：又由于C 必须在O 上。故C 点为直线l 与O 的交点，确定C 后相应得也确定B 点
作法：过A 作AH l ⊥于H ，作HAH '∠=90
且AH '=AH 过H '作直线l AH ''⊥。l '与O
交于C 。作CAB ∠=90
。且交l 于B ，则ABC 为所求。 证明：由作法知B 在l 上，C 在O 上在CAB ∠=90
在Rt AH C ' 中与Rt AHB 中
AH=AH '，90H AC CAH HAB '∠=-∠=∠
∴AH C ' ?AHB ∴AB=AC
A
D
B
F
C
即ABC 符合条件。
讨论：1.在A 到直线l 的距离AH 2.若A 到直线l 的距离AH=AB ，即l '与O 相切有一解 3.若AH >AB 时l '与O 相交有两解 习题31.在已知ABC 内作内接DEF ，使EF 与直线L 平行EDF ∠=定角α。且顶点D 是BC 边上的定点。 分析：设DEF 已作出作E F EF L '' ，E '、F 分别在AB 、AC 上分别过E '作DE 、DF 的平行线D E ''，D F ''则有D E F ''' DEF 而在E D F ''' 中E D F '''∠可 确定从而作出 DEF 作法：E F L '' 作，E '、F 分别在AB 、AC 上以E F ''为弦，连AD 交w 于D '连D E ''，D F ''的平行线DE ，DF '与AB 、AC 交于E 、F ，连接EF DEF 为所求作内接三角形 证明：由作法知：DE D E '' ，DF D F '' ∴EDF ∠=E D F '''∠=α∠ ∴D E F ''' DEF DEF ∠=D E F '''∠ ∴FEA ∠=F E A ''∠ ∴E F EF L '' 所以DEF 为符合条件的内接三角形 B 习题32.已知：弓形 ACB 求作：弓形 ACB 内接正方形EFGH 分析：设四边形EFGH 已作出E 、F 在AB 上G 、H 在 ACB 上ABCD 为正方形。先以AB 为边在 ACB 所在一侧正方形ABMN 。则ABMN 为正方形EFGH 以EF 的中点D 为心的放大图形则H 既 在 ACB 上又在DN 上，点G 既是 ACB 上的点又在DM 上，方可作出G 、H 当G 、H 分别作AB 的垂线垂足分别为F 、E 则正方形EFGH 可作出 作法：（1）当时 ACB ≤270 时 先作弦AB 中点D 以AB 为边在弓形 ACB 所在侧作正方形ABMN ，连接DM 、DN 分别交 ACB 于G 、H ，分别过点G 、H 作AB 垂线垂足分别为F 、E 则四边形EFGH 既为所求 （2）当时 ACB > 270 时 先作 ACB 的圆心O ，延长AO 交 ACB 于点G ，过O 作AG 的垂线分别交 AG 于点H 交 BG 于点F 。则四边形AFGH 既为所求，这是O 的内接四边形。显然 BF >0 的正方形AFGH ，可绕O 顺时针旋转使F 在 EF 上移动也满足条件 证明：（1）当 ACB ≤270 时，由作法知 MA ⊥ AB ，HE ⊥AB ， ∴HE NA ∴DA DE NA HE =，又D 为AB 的中点。 ∴DA=DB=12 AB 又AB=NA ， ∴DA DE NA HE ==1 2 ，∴ HE ⊥AB ∴四边形EFGH 为矩形，且EF=DF+DE=HE ∴四边形EFGH 为正方形 又由作法知：E 、F 在AB 上。GH 在 ACB 上， 故，正方形EFGH 符合条件。 （2）当 ACB >270 时， 的直径，且AG⊥HF AG与HF为O ∴AG与HF互相垂直平分，且AG=HF。 ∴四边形AFGH为正方形，合乎条件。 讨论：1 当 ACB≤270 时，有唯一解。 2 当 ACB>270 时，有无穷多解。 习题33.设ABCD是平面上的平行四边形O为其中心M为平面π外一点若MA=MC，MB=MD证明：MO⊥π 中 证明：如图，在AMC MA=MC，OA=OC， ∴MO⊥AC 中，MD=MO，BD=DO 同理在BMD ∴ MO⊥BD 又 AC?π，BD?π，AC?BD={}O， ∴ MO⊥π 习题34.一点到平面上两点的连线长是51CM和30CM这两线在平面上射影比为5：2求这点到平面的距离 已知：设M为平面α外一点，A、B为α内两点. MA=51CM ，MB=30CM ，MO ⊥平面α, 垂足为O.且AO=BO=5：2，求MO 解： MO ⊥ α，∴ MO ⊥ AO ，MO ⊥ BO 由AO ：BO=5：2，可设AO=5k ，BO=2k ，设MO=h 。 在Rt MAO 与Rt MBO 中，由勾股定理，得 222222MA MO AO MB MO BO ?=+??=+??，即222 222 51(5) 30(2) h k h k ?=+??=+?? ∴k=3， h= MO= 习题35.A 为平面α上一点.B 为α外一点.设 H 为B 在α通过直线AB 有一平面β与平面α成30 角.求平面α、β的交线和AB 的交角. 解：如图设αβ =AC 。在α内且过H 作HC ⊥AC 。 垂足为C 。 BH ⊥ α。由三垂线定理得 BC ⊥AC 。故∠BCH 即为平面α与β的交角的平面角 ∴∠BCH=30 ∴BC=2BH 在Rt ABC 中，BC ⊥AC 。BC=2BH ，∴sin ∠ BCH= BC AB = 2BH BH =2 ∴∠BAC=60 即所求平面α、β的交线和AB 所成角为60 习题36.证明：空间四边形（假设每一内角小于二直角）四角之和小于四直角. 已知：在空间四边形ABCD 中. 求证：A ∠+B ∠+C ∠+D ∠<4d 证明：在ABD 所在平面内作BC D ' ?BCD ，如图 设AC '与BD 交于点M ，连结MC ，则MC '=MC 在AMC ，有MA+MC >AC ，即AC '>AC 在ABC 与ABC ' 中，由AB=AB ，BC=BC '，AC '>AC ABC '∠>ABC ∠ 又CBD ∠=C BD '∠ 即ABD ∠+C BD '∠=ADB ∠+CDB ∠>ABC ∠ ① 同理可证ADC ∠ A ∠+ABD ∠+AD B ∠=180 ，BCD ∠+ C ∠+BC D ∠=180 ∴A ∠+ABD ∠+CBD ∠+C ∠+ADB ∠+CDB ∠=360 ③ 由①②③得A ∠+B ∠+C ∠+D ∠<360 习题37.证明：多面体中，发出奇数条棱的定点数必为偶数. 证：设在多面体中.有E 条边（棱）.V 个顶点.其中发出奇数条棱的顶点有m 个.不妨设为前m 个.设第1.2 .m 个顶点分别发出1u .2u m u 条棱.则有 1 m i i u =∑+1v i i m u =-∑=2E 即 1 m i i u =∑=2E-1 v i i m u =-∑ 上式右端两项均为偶数，即右边为偶数，故左端也是偶数 ∴m 为偶数 若不然，若m 为奇数，则 1 m i i u =∑是奇数个奇数之和，必为奇数，矛盾。 习题38.一凸多面体的棱数为30，面数为12，求它的各面角之和。 解：由欧拉公式V+F-E=2，得V=2+E-F=2+30-12=20 所以它的各面角之和为 4（V-2）d=4（20-2）d=76d 中学教学核心期刊名录数学中学数学月刊 数学中学数学教与学 数学中学数学教学参考 数学中等数学 数学通讯 数学教学 数学中学理科(数学) 数学数理天地(数学) E-mail : 《中学数学教学参考》（月刊）主办： 陕西师范大学 地址： 陕西师范大学《中学数学教学参考》编辑部 邮编：710062 电话： 主编： 石生民 网址： http: E-mail: 《数学教学》（双月刊）主办： 华东师范大学 地址： 上海中山北路3663号华东师范大学《数学教学》编辑部 邮编：200062 主编： 张奠宙 E-mail: 《中等数学》（月刊）主办： 天津师范大学 地址： 天津市和平区天津师范大学甘肃路校区《中等数学》杂志编辑部邮篇：300020 主编： 庞宗显 数学竞赛核心期刊 《数学通讯》主办： 华中师范大学等 地址： 武汉华中师范大学《数学通讯》编辑部 邮编：430079 电话： 主编： 邓引斌 《中学数学》（月刊）主办： 湖北大学等 地址： 湖北大学《中学数学》编辑部 邮编：430062 主编： 汪江松 E-mail: 《中学教研》，主办： 浙江师范大学 地址： 浙江师范大学《中学教研》杂志社邮编：321004 主编： 张维忠 《中学数学月刊》主办： 苏州大学等 地址： 苏州大学《中学数学月刊》编辑部 邮编：215006 主编： 唐忠明 《中学数学研究》，主办： 华南师范大学 地址： 广州华南师范大学数学系《中学数学研究》编辑部邮编：510631 主编： 曹汝成 《数学教学通讯》主办： 西南师范大学 地址： 西南师范大学《数学教学通讯》编辑部 邮编：400715 电话： 主编： 陈贵云 《中学数学教学》，安徽教育学院等 地址： 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D B P C G F B Q A D E 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B 初中数学几何基本图形初中数学图形与几何导读:就爱阅读网友为您分享以下“初中数学图形与几何”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对https://www.doczj.com/doc/7d10227223.html,的支持! 课程简介 初中数学图形与几何 【课程简介】 本模块主要研讨数学课程标准修订稿中“初中数学空间与图形”部分的内容要求，目的是通过研讨，使教师们明确本模块内容的具体要求，并提出教学实施过程中的一些建议。总体分为六个部分: 1. 图形与几何内容结构分析——主要探讨图形与几何部分的整体结构框架和三条主要线索; 2. 图形的性质内容与教学分析——主要探讨图形的性质部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问 1 题; 3. 图形的变化内容与教学分析——主要探讨图形的变化部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问题; 4. 图形与坐标内容与教学分析——主要探讨图形与坐标部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问题; 5. 空间观念与几何直观——主要探讨核心概念空间观念与几何直观的含义，以及在图形与几何的教学中如何培养学生的空间观念与几何直观能力; 6. 推理能力——主要探讨核心概念推理能力的含义，以及在图形与几何的教学中如何培养学生的推理能力。 课程既有理论指导，又有大量的教学实例，同时还有主讲教师间的相互交流，给教师们提供了较为广阔的思考空间。 【学习要求】 1(对“初中数学空间与图形”模块的内容结构和主线有清楚 2 的认识，能够说出这些线索之间的区别与联系; 2(了解图形的性质部分的研究的图形有哪些，认识图形的哪些方面，以及在这部分中是如何认识这些图形的; 3(体会图形的变化是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内容组成; 4(体会图形与坐标是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内容组成; 5(能够结合自己的教学实践，举出相应的实例，说明图形的性质、图形的变化和图形与坐标的教学经验和方法; 6(理解核心概念——空间观念、几何直观和推理能力的具体含义，体会它们与知识技能的区别和联系，能够借助具体实例说出培养学生上述能力的途径和方法。 专题讲座 初中数学图形与几何 刘晓玫(首师大数学，教授) 史炳星(北京教育学院，副教授 ) 章巍(河北保定三中分校，高级教师 ) 3 一、图形与几何内容结构分析 第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则 ????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 初中数学几何综合试题 班级____ 学号____ 姓名____ 得分____ 一、 单选题(每道小题 3分 共 9分 ) 1. 下列各式中正确的是 [ ] A.sin 1 2 =30 B.tg1=45C.tg30=3 D.cos60= 12 2. 如图,已知AB 和CD 是⊙O 中两条相交的直径,连AD 、CB 那么α和β的关系是 [ ] A B C D ....αβ βαβαβα => < =1 2 12 2 3. 在一个四边形中，如果两个内角是直角，那么另外两个内角可以 [ ] A ．都是钝角 B ．都是锐角 C ．一个是锐角一个是直角 D ．都是直角或一个锐角一个钝角 二、 填空题(第1小题 1分, 2-7每题 2分, 8-9每题 3分, 10-14每题 4分, 共 39分) 1. 人们从实践经验中总结出来的图形的基本性质,我们把它叫做_______． 2. 小于直角的角叫做______;大于直角而小于平角的角叫做________． 3. 已知正六边形外接圆的半径为R , 则这个正六边形的周长为_______． 4. 在中若则 Rt ABC,C=90,cosB= 2 3 ,sinA= ?∠ . 5. 如果圆的半径R增加10% , 则圆的面积增加_____________． 6. cos sin cos sin . 4530 6030 - + = 7. 已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分线,则∠a=___∠AOC． 8. 等腰Rt△ABC, 斜边AB与斜边上的高的和是12厘米, 则斜边AB= 厘米． 9. 已知：如图△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF 的度数为________． 10. 在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧 ______;所对的弦_______, 所对弦的弦心距_______． 11. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，D、E分别是AB、AC中点， AC=7，BC=4，若以C为圆心，BC为半径做圆，则ED与⊙o的位置关系是：D在______, E在_____． 12. 在△ABC中,∠C=90° 若a=5,则S △ABC =,则c=_________,∠A=_________ 13. 如图：CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90° 求证：DA⊥AB 证明：∵∠1+∠2=90°(已知) 初中数学知识点几何部分总结大全（初一、二部分） 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 推论2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（等 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。 初中数学几何证明试题 有答案 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 十二周培优精选 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ． 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形． 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 求证：CE ＝CF ．（初二） A P C D B A F G C E B O D 2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝ 求证：AE ＝AF ．（初二） 3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二） 经典题4 1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，求：∠APB 的度数．（初二） 2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠求证：∠PAB ＝∠PCB ． 4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（ D 经典题（一） 1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得 EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形 4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。 经典题（二） 1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD， 可得BH=BF,从而可得HD=DF， D C B A B A C B A βββα αα第3题图2016华师大版七年级数学《几何图形初步》期末试题 班级： 姓名： 一、选择题：将下列各题正确答案的代号填在下表中。每小题2分，共24分。 1.如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ） A.和 B.谐 C.社 D.会 2.下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成 的几何体，从上面看该几何体得到的图是（ ） A B C D 3.如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ） A. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 4.如图，对于直线AB ，线段CD ，射线EF ，其中能相交的是（ ） 5.下列说法中正确的是（ ） A.画一条3厘米长的射线 B.画一条3厘米长的直线 C.画一条5厘米长的线段 D.在线段、射线、直线中直线最长 6.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ） 7.点E 在线段CD 上，下面四个等式①CE ＝DE ；②DE ＝ 21CD ；③CD ＝2CE ； ④CD ＝2 1DE.其中能表示E 是线段CD 中点的有（ ） 1 乙甲N M P D C B A B ()D C A D C B A 第9题图B A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. C 是线段AB 上一点，D 是BC 的中点，若AB ＝12cm ，AC ＝2cm ，则BD 的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 9.如图是一正方体的平面展开图，若AB ＝4，则该正方体A 、B 两点间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.用度、分、秒表示91.34°为（ ） A. 91°20/24// B. 91°34/ C. 91°20/4// D. 91°3/4// 11.下列说法中正确的是（ ） A.若∠AOB ＝2∠AOC ，则OC 平分∠AOB B.延长∠AOB 的平分线OC C.若射线OC 、OD 三等份∠AOB ，则∠AOC ＝∠DOC D.若OC 平分∠AOB ，则∠AOC ＝∠BO C 12.甲、乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45°的角（如图），两人做法如下： 甲：将纸片沿对角线AC 折叠，使B 点落在D 点上，则∠1＝45°； 乙：将纸片沿AM 、AN 折叠，分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P ，则∠MAN ＝45°对于两人的做法，下列判断正确的是（ ） A.甲乙都对 B.甲对乙错 C.甲错乙对 D.甲乙都错 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。 13.下列各图形中， 不是正方体的展开图（填序号）. ① ② ③ ④ 14.已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM ＝6cm ，则AB ＝ cm. 15.已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC ＝2AB ，D 为AB 的中点，若BD ＝3cm ，则AC 的长为 cm. 16.若时针由2点30分走到2点55分，则时针转过 度，分针转过 度. 17.一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数是 . 18.如图，已知点O 是直线AD 上的点，∠AOB 、∠BOC 、∠COD 三个角从小到大依 次相差25°，则这三个角的度数分别为. 最新初中数学几何题解题技巧 初中数学几何题解题技巧一.添辅助线有二种情况 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此"添线"应该叫做"补图"!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： (1)平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 (2)等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整 时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 (6)全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 (7)相似三角形： 相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 (8)特殊角直角三角形 平面几何问题的复数解法.许兴华 复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证. 用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理. 1.用于证三角形为正三角形 典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必 为正三角形. 证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复 数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,033 21=++z z z 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得2 2123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+ 22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴ 故321,,z z z 在复平面上是正三角形. 2.用于证明几何中的角度相等 典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠2 1. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设 ,1||=OD 则,1=OD ,,4 31,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是 OD 与OE 的夹角，有 ),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又 )],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β ,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21. 3.用于证明几何中的不等式 典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CD AB ?≥?+?. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的 直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是 .,,321z z z 则|, ||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -= ||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ?-+-?=?+? ||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ?=-= 平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题，每题5分,共60分) １．已知直线l 过（１,2),（１，3),则直线l 的斜率（) A. 等于0 B ． 等于1 C ． 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是( ） Ａ．1 B ．-1 C ．０ D.７ 3. 已知A （x 1，y 1)、Ｂ（ｘ2,y 2）两点的连线平行y 轴,则｜ＡB ｜=（ ) Ａ、｜x 1－x 2|B 、|y 1-y 2|Ｃ、 x 2-ｘ1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限Ｂ.第一象限 Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3,９）、（-1，1）的直线在ｘ轴上的截距为（) A.23- B ．32- C ．32 D ．２ 6.直线2x －y=７与直线３ｘ+2ｙ-7＝0的交点是（ ） A (3,-１) B (－１，3) C (-3，-1) D (３,１) 7．满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是（ ） (1)1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，; （２)1l 经过点(33)P ，,(53)Q -，,2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点; (３)1l 经过点(10)M -，，(52)N --，,2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． A.(1)（2)B ．(２)(３) Ｃ.(1)(3)D.(１）(２）（3) ８．已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) Ａ 2 B －２ Ｃ．21 D ．2 1- ９. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =- 试卷代号：1098 中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试 中学数学教学研究试题 一、填空题（本题共20分，每个空2分） 1．确定中学数学教学目的的依据是------------、---------------、--------------、----------------------- 2．说课的内容包括---------、--------、---------、---------。 3．评价教育实验样本的要点为-----------、---------------、---------------- 二、简述题（本题共60分，每小题12分） 1．简述数学形象思维的功能。 2．简述奥苏伯尔有意义学习的基本观点。 3．如何理解数学的严谨性？在数学教学中如何贯彻严谨性和量力性相结合的教学原则？4．什么是归纳推理，说明它在数学学习中的作用。 5．简述计算机对数学教育产生的影响。 三、综合题（本题20分） 什么是数学能力？数学能力由哪些主要成分组成？结合自己的教学经验，阐述如何在数学教学中培养学生的数学能力。 试卷代号：1098 中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试 中学数学教学研究试题答案及评分标准 （供参考） 一、填空题（本题共20分，每个空2分） 1．党的教育总目标及普通中学的性质和任务数学的特点中学生的年龄特征和认识水平 2．说内容说教法说学法说教学程序 3．随机性代表性样本的容量 二、简述题（本题共60分，每小题12分） 1．答：数学形象思维有如下的功能： 第一，数学形象思维以形象的形式反映数学规律，从而提供数学问题生动而形象的整体显示。因此，易于把握整体。（4分） 第二，数学创造性往往从对形象的思维受到启发，以形象思维为先导。从古到今，形象思维给数学猜想、数学方法的提出以及数学创造都带来了活力。（4分） 第三，数学形象思维可以弥补抽象思维的不足。抽象思维是一种概念的运动，在认识真理方面具有无可怀疑的可感力与优越性。但由于在运动和发展中完全脱离具体的可感的材料，如果再加以绝对化，那也会陷入形而上学的泥潭。（4分） 2．答：奥苏伯尔把学习从两个维度上进行划分：根据学习的内容，把学习分为机械学习和有意义学习；根据学习的方式，把学习分成接受学习和发现学习。（3分）奥苏伯尔认为：在学校条件下，学生的学习应当是有意义的，而不是机械的。从这一观点出发，他认为好的讲授教学是促进有意义学习的唯一有效方法。探究学习，发现学习等在学校里不应经常使用。即奥苏伯尔提倡有意义的接受学习。（3分） 奥苏伯尔认为要产生有意义的接受学习，学习者必须具备两个条件： 第一，学习者必须具有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来。如果学生企图理解学习材料，有把新学习的和以前学过的东西联系起来的愿望，那么该生就是以有意义的方式学习新内容。如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来，那么 如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E． 求证：BE=CE 证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠EDC ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90° ∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE 如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，BC=10cm，半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； （2）当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。 （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； 相切分两种情况，如图， ①左图：当t=0时，原图中OB=9，此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm 则：t=4/2=2s； --------------- ②右图：设圆O与边AC的切点为F，此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC ==>O与B重合，此时圆移动的长即为OB的长，即9cm ==>t=9/2; ========= （2）如右图：由②得：∠AOE=90 ==>S阴=（90*π*5^2)/360=6.25π 不明之处请指出~~ ? ? ? ? ? ?第四章《几何图形初步》 基本概念 （一）几何图形 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等。 主（正）视图---------从正面看 2、几何体的三视图侧（左、右）视图-----从左（右）边看 俯视图---------------从上面看 （1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。 （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。 3、立体图形的平面展开图 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。 （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。 4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 （二）直线、射线、线段 1、基本概念 2、直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简单地：两点确定一条直线。 3、画一条线段等于已知线段 （1）度量法 （2）用尺规作图法 4、线段的大小比较方法 （1）度量法 （2）叠合法 5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。图形： A M B 符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=1 2 AB，AB=2AM=2BM。 6、线段的性质 两点的所有连线中，线段最短。简单地：两点之间，线段最短。 7、两点的距离 连接两点的线段长度叫做两点的距离。 8、点与直线的位置关系 （1）点在直线上（2）点在直线外。 （三）角 1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。 初中数学公理和定理 一、公理（不需证明） 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理：两点之间，线段最短。 8、直线公理：过两点有且只有一条直线。 9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行 10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条 直线与已知直线垂直 以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类： 一、直线与角 1、两点之间，线段最短。 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等 二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定： （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 10、平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转） 11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 15、轴对称的性质： （1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）对应线段相等、对应角相等。 16、平移：经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等 17、旋转对称： (1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度(2)对应点到旋转中心的距离相等； (3)对应线段相等、对应角相等 18、中心对称： （1）具有旋转对称的所有性质： （2）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对 称中心平分 四、三角形： （一）一般性质 19、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° 20、三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； ③三角形的外角和等于360° 21、三边关系： （1）两边之和大于第三边； （2）两边之差小于第三边 22、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 23、三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心），这点 到三个顶点的距离（外接圆半径）相等。 24、三角形的三条角平分线交于一点（内心），这点到三 边的距离（内切圆半径）相等。 （二）特殊性质： 25、等腰三角形、等边三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也相等．（简写成“等角对等边”） （3）“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线和底边上的高互相重合 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等 于60°． （5）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 26、直角三角形： （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方； （3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半. （6）三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直 角三角形。 五、四边形 27、多边形中的有关公理、定理： （1）四边形的内角和为360° （2）N边形的内角和：（ n－2）×180°. （3）任意多边形的外角和都为360° 28、平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分。 2016-2017 学年度七年级上期末复习分类几何图形初步 知识点 1：立体图形与平面图形 知识回顾： （1）物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容。 （ 2）长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、四边形等，它们都 是几何图形。几何图形是数学研究的主要对象之一。 （3）有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面 内，它们是立体图形。 （4）有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内， 它们是平面图形。 （5）对于一些立体图形的问题， 常把它们转化为平面图形来研究和处理。 从不同方向 （从 正面看、从左面看、从上面看）看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。 （6）有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面 图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 巩固练习： 1．（2015-2016 吕梁市孝义市七上期末） 如图是以长为 120cm ，宽为 80cm 的长方形硬纸， 在它的四个角处各剪去一个边长为 20cm 的正方形后， 将其折叠成如图所示的无盖的长方 体，则这个长方体的体积为 ． 2．（ 2015-2016 重庆市南岸区七上期末）一个正方体的六个面上分别涂有红、 白、黄、 绿、蓝、紫六种不同的颜色，其中红、白、黄、绿、蓝、紫，分别代表的是数字 -3 、-4 、-5 、-6 中的一个数，如图是这个正方体的三种放置方法，若三个正方体下底面 3．（ 2015-2016 清远市连州市七上期末）下列说法错误的是 （ ） A ．长方体、正方体都是棱柱； B ．六棱柱有六条棱、六个侧面； C ．三棱柱的侧面是三角形； D ．球体的三种视图均为同样的图形。 4．（2015-2016 广东省深圳市七上期末）在正方体、长方体、球、圆柱、圆锥、三棱柱 这些几何体中，不属于柱体的有 ，属于四棱柱的有 -1、-2、 所标颜色代表的数字分别是 a ， b ，中学数学核心期刊名录
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