平面几何问题的复数解法.许兴华
复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证.
用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理.
1.用于证三角形为正三角形
典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必
为正三角形.
证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复
数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,033
21=++z z
z 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得2
2123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+
22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴
故321,,z z z 在复平面上是正三角形.
2.用于证明几何中的角度相等
典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠2
1. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设
,1||=OD 则,1=OD ,,4
31,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是
OD 与OE 的夹角，有
),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又
)],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β
,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21.
3.用于证明几何中的不等式
典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CD
AB ?≥?+?.
证明思路分析 建立如图所示的复平面上的
直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是
.,,321z z z 则|,
||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -=
||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ?-+-?=?+?
||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ?=-=
4.用于求解几何中的轨迹问题
典型4.如图，A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正三角形APQ ，求点Q 的轨迹.
证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设
,||a AC =圆的半径为r,),,(,1R y x yi x z AQ z AP ∈+===则
).60sin 60(cos ,||11?±?==-i z z r a z 于是，
,|)60sin 60(cos |r a i z =-?±?即
,|)2
321)((|r a i yi x =-±+整理得： (*))23()2(222 r y a x =±+-
因此，点Q 的轨迹是圆：当点Q 在AP 上方时，(*)式取“－”号； 当点Q 在AP 下方时，(*)式取“＋”号.
典型5.设A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正方形APMN ，求点M 的轨迹.
此题的证明思路分析完全类似于“典型4”，有兴趣的读者可试一试。
新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位：它的平方等于,即; .对于复数： 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系：. 一一对应 .复数几何意义： 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知
探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么： 提出问题： ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 （交换律）, （结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：
利用复数妙解三角几何等问题 摘要 复数在高中涉及的知识点较少，在高考中占据的分数也不多，但却是很有特色的内容。因为复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式与三角、几何、代数等学科有着密切的联系。本文罗列了复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式，从解三角函数、几何、不等式、方程等几个问题论述复数在解决非复数数学问题的具体应用，充分认识、深刻理解、熟悉掌握和灵活运用复数的几个表示形式去解答，对学生的创新性思维素质和能力的培养具有重要意义。 关键字：复数；形式；解题；妙解 复数是高三最后一章的内容，短短几页，只有三节，但在高考中却占着一定的分值。高考中复数主要是以选择题与填空题的形式出现，只要掌握了复数的概念以及运算规律，就很容易得出答案。因此，教材的编排只简单介绍了复数的概念，复数的运算以及数系的扩充，没有作过多的介绍，其三角形式和指数形式只是在背景材料中提到过，并没有作详细的介绍。但在实际应用中，很多的数学问题，比如：三角问题、几何问题等我们也可以用复数的知识去解答。在高中数学中，复数把三角、平面几何、解析几何、代数在一定的程度上相互链接起来了，那我们应该如何巧妙地利用复数的不同表示形式去解答这类问题呢下面分别对这几方面进行探究。 1复数的不同表示形式简介 复数的代数形式 =+（其中x、y为实数），其中“i”叫做虚数复数的代数形式表示为z x yi
单位，21i =-，x 和y 分别叫做复数的实部和虚部。 复数的几何形式 图 在复平面上，每一个复数z x yi =+都能够由复平面上坐标为（x ，y ）的点 来表示，复数集C 和复平面上的点所称的集合之间建立了一个一一对应的关系：“任何一个复数z x yi =+都可以由复平面的唯一的一个点（x ，y ）来表示，反之，复平面内的任何一个点（x ，y ）都可以表示唯一的复数z x yi =+。” 复数z x yi =+←???→一一对应复平面内的点（x ，y ），这就是复数的几何表示形式。 复数的向量形式 我们知道，任何一个复数都与平面直角坐标系中的点构成一一对应的关系， 即：复数z x yi =+←???→一一对应复平面内的点M （x ，y ），而点M （x ，y ） ←???→一一对应平面向量。所以，复数z x yi =+←???→一一对应平面向量OM ，也就是说复数z x yi =+也可以用起点为原点，点M （x ，y ）为终点的向量OM 表示，OM 这个向量即是复数的向量表示形式。
五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？ 例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） （例1图） （例2图） 例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、 BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 【部分题目解答】 例1、(难度相当于高考压轴题) ； ，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+ 、；则，、，C B )()(4433y x E y x D , 1 - ;12-2-)1,{)-(22 2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222 243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得： ),-(---23 23 22x x x x y y y y CD = 方程为：直线 ,--Q 3 23 223Q y y y x y x x = 点横坐标：由此得 , --P 1 41441P y y y x y x x = 点横坐标：同理得 ,------1 41441323223P Q y y y x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明 N B
复数与平面几何 本篇着重讨论三角形巧合点的复数表示以及计算彼此之间的距离复数方法，复数方法虽然很少用到，但是但凡用到无不是一击制胜。最经典的自然是那个将垂心变幻的那个IMO 题，不过自这一题之后除了解析性质比较明显，或者是涉及到变换之类的多有用复数证法，原汁原味的复数证法已鲜见，笔者在那道IMO 题之后感触颇深，经过研究，对三角形巧合点的复数形式做了一个小结。 引论： 已知△ABC ，以外心O 为原点的复平面A,B,C 对应点的复数为,,A B C z z z 则重心G 对应点复数3 A B C G z z z z ++=(可以通过重心的性质易得，或者通过重心坐标容易 得到) 2 1××1 221312 B C B C A A B C G z z BC z z z z z z z +++++==+中点为 由定比分点公式 垂心H 对应点的复数z H A B C z z z =++下面我们来证明这个性质，无妨令A,B,C 在平面上逆时针排列（这个性质验证是极其容易的，直接得到却要费些功夫） 证法一：由欧拉定理G 在O,H 连线上，而且HG=2OG 以下就直接得到 证法二： 2222222 2 2cos tan tan tan tan cos 2,sin 2, +=++B C A H Ai A H B C A H B C A H B C A H B C A H B C A H B C A AH R A z z i A A A z z e A A A z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z =-==-=----+------= --∑∏C B C B 利用垂心性质即易得 （利用该式易证） z 考虑与A 有关的量：z 利用万能代换表示出（） （）2（）（）z 则z （）-（）（）-（）（） （）（++H B C A H B C H A B C A H B C z z z z z z z z z z z z z z z --+--= ?=+--+） (也可因此易得欧拉公式) 最后推导z I 的表示 z I 的推导一度十分困难，笔者尝试良久仍未见效，最终在向量表示方法中找到了影子，可
解析法在几何中的应用 姓名：周瑞勇 学号：201001071465 专业：物理学 指导教师：何巍巍
解析法在几何的应用 周瑞勇 大庆师范学院物理与电气信息工程学院 摘要：通过分析几何问题中的各要素之间的关系，用最简练的语言或形式化的符号来表达他们的关系，得出解决问题所需的表达式，然后设计程序求解问题的方法称为解析法。 关键词：几何问题，表达关系，表达式，求解问题 一前言 几何学的历史深远悠久，欧几里得总结前人的成果，所著的《几何原本》。一直是几何学的坚固基石，至今我国中学教学的几何课本仍未脱离他的衣钵。长期的教学实践证明，采用欧式体系学习几何是培养学生逻辑思维能力的行之有效的方法。 但是，事物都有两重性。实践同样证明，过多强调它的作为也是不适当的。初等几何的构思之难，使人们为此不知耗费了多少精力，往往为寻求一条神奇、奥秘的辅助线而冥思苦索。开辟新的途径，已是势在必行。近些年来，用解析法、向量法、复数法、三角法证明几何问题，受到越来越多的数学工作者的重视。 由于平面几何的内容，只研究直线和园的问题，所以我们完全可以用解析法来研究几何问题。解析法不仅具有几何的直观性，而且也还有证明方法的一般性。综合几何叙述较简，但构思困难，而解析法思路清晰，过程简捷，可以作为证明几何问题中一种辅助方法，两者课去唱补短，想得益彰。 二解析法概述 几何数学主要是从几何图形这个侧面去研究客观事物的，其基本元素是点，代数学则主要是从数量关系这个侧面来研究客观事物，其基本元素是数。笛卡尔综合了前人的成果，创立了坐标概念，把代数学和几何学结合起来，于是产生了以研究点的位置和一对有序实数的关系、方程和曲线以及有研究连续运动而产生
§3.1.2复数的几何意义 一、 教学目标： 1、 知识与技能： （1） 理解复数能用点表示的道理，并能准确用点来表示任何一个复数。 （2） 理解复平面及其相关的概念 ，以及复平面内的点对应复数的特点。 （3） 理解复数能用向量表示的道理，并能准确用向量来表示任何一个复数。 （4） 掌握复数三种表示方法：代数形式、点和向量表示，并能理解它们之间的相互 转化。能将复数问 题转化为平面几何和解析几何问题来灵活求解。 2、 过程与方法： （1） 让学生类比实数能用数轴上的点来表示的道理，理解复数也能用点来表示。 （2） 启发学生理解复平面及其相关的概念 ，以及复平面内的点对应复数的特点。 （3） 启发学生类比实数能用数轴上的点来表示的道理， 理解复数也能用向量来表示。 3、 情感与价值： 通过创设问题情景，让学生体验数学活动中充满了探索性和创造性，感悟数学的 奇妙及魅力，并通过交流，培养学生敢于发表自己的观点，勇于探索的精神。 二、 教学重点、难点： 重点：复数的三种表示方法。 难点：对复数的三种表示方法及其相互转化的理解。 三、 学法与教学用具： 1、 学法：学生通过阅读教材，自主学习、质疑、交流等探究活动，逐步理解复数能用 点和向量来表示的道理，并能准确表示。 2、 教学用具：多媒体或投影仪、三角板。 四、 教学思路： （一）、以境激情，引入新课： 1、 师：在初中我们学习过实数， 知道所有实数与数轴上的所有点之间是一一对应 的，因此实数能用数轴上的点来表示，那么复数是不是也能用点来表示 呢？用什么样的点来表示才准确呢？ 2、 让学生通过阅读教材，自主学习、质疑、交流等探究活动，逐步理解复数能用 点和向量来表示的道理，并能准确表示。 【设计意图：激活学生记忆中的原有相关知识，为认知结构的正向迁移作好准备。 （二）、强化新知，形成知识网络： 1 、复平面及其相关概念： （1） 、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。 （2） 、x 轴叫做实 轴， 2 、复数能用点来表示： 一—議度 b € L 复平面内的点Z （a , b ） 3、 复平面内的点对应复数的特点： （启发学生自己总结） （1） 实轴上的点都表示实数； （2） 虚轴的点（除原点外）都表示纯虚数； （3） 各象限内的点都表示非纯虚数。 4、 复数能用向量来表示： y 轴叫做虚轴。 复数Z = a + bi (a 、
平面几何证明题的一般思路及方法简述 【摘要】惠特霍斯曾说过,“一般地,解题之所以成功,在很大程度上依赖于选择一种最适宜的方法。”灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题,都要应用这样或那样的方法,而选择哪一种方法,就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。 【关键词】平面几何证明题思路方法 平面几何难学,是很多初中生在学习中的共识,这里面包含了很多主观和客观因素,而学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过,“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确,哪一个方向可接近它,就要试探各种方向和思路。”由此可见,掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。常见的证题思路有直接式思路和间接式思路。 一、直接式思路 证题时,首先应仔细审查题意,细心观察题目,分清条件和结论,并尽量挖掘题目中隐含的一些解题信息,以在缜密审题的基础上,根据定义、公式、定理进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的证明,这种证题的思路被称为直接式思路。由于思维方式的逆顺,在证题时运用的方法主要有“分析法”和“综合法”。 1.分析法。分析法是从命题的结论入手,先承认它是正确的,执果索因,寻求结论正确的条件,这样一步一步逆而推之,直到与题设会合,于是就得出了由题设通往结论的思维过程。在由结论向已知条件的寻求追溯过程中,则由于题设条件的不同,或已知条件之间关系的隐含程度不同等,寻求追溯的形式会有一定差异,因而常把分析法分为以下四种类型。 (1)选择型分析法。选择型分析法解题,首先要从题目要求解的结论A出发,逐步把问题转化为分析要得出结论A需要哪些充分条件。假设有条件B,就有结论A,那么B就成为选择找到的使A成立的充分条件,然后再分析在什么条件下能选择得到B……最终追溯到命题中的某一题设条件。 (2)可逆型分析法。如果再从结论向已知条件追溯的过程中,每一步都是推求的充分必要条件,那么这种分析法又叫可逆型分析法,因而,可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形。用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明,反之用选择型分析法证明的命题,用可逆型分析不一定能证明。 (3)构造型分析法。如果在从结论向已知条件追溯的过程中,在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处,需采取相应的构造型措施:如构造一些条件,作某些辅助图等,进行探讨、推导,才能追溯到原命题的已知条件的分析法叫做构造型分析法。 (4)设想型分析法。在向已知条件追溯的过程中,借助于有根据的设想、假定,形成“言之成理”的新构思,再进行“持之有据”的验证,逐步地找出正确途径的分析法称为设想型分析法。 2.综合法。综合法则是由命题的题设条件入手,由因导果,通过一系列的正确推理,逐步靠近目标,最终获得结论。再从已知条件着手,根据已知的定义、公式、定理,逐步推导出结论。在这一过程中,由于思考角度不同,立足点不同,综合法常分为四种类型: (1)分析型综合法。我们把分析法解题的叙述倒过来,稍加整理而得到的解法称为分析型综合法。 (2)奠基型综合法。当由已知条件着手较难,或没有熟悉的模式可供归纳推导,就可转而寻找简单的模式,然后再将一般情形化归到这个简单的模式中来,这样的综合法称为奠基型综合法。 (3)媒介型综合法。当问题给出的已知条件较少,且看不出与所求结论的直接联系时,或条
平面几何问题的复数解法.许兴华 复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证. 用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理. 1.用于证三角形为正三角形 典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必 为正三角形. 证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复 数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,033 21=++z z z 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得2 2123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+ 22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴ 故321,,z z z 在复平面上是正三角形.
2.用于证明几何中的角度相等 典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠2 1. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设 ,1||=OD 则,1=OD ,,4 31,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是 OD 与OE 的夹角，有 ),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又 )],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β ,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21. 3.用于证明几何中的不等式 典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CD AB ?≥?+?. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的 直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是 .,,321z z z 则|, ||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -= ||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ?-+-?=?+? ||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ?=-=
第56讲解析法证 几何题
第56讲解析法证 几何题 解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A类例题 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
斜边AB及直角边BC为边向三角形两 侧作正方形ABDE、CBFG． 求证：DC⊥FA． 分析只要证k CD·k AF＝－1，故只要求点D的坐标． 证明以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标 系．设A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)． 则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0． 故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0， 即bx－ay－b2＝0． ED方程设为ax＋by＋C＝0． 由AB、ED距离等于|AB|，得 |C＋ab| ＝a2＋b2， a2＋b2 解得C＝±(a2＋b2)－ab． 如图，应舍去负号． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0． 解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)． 即D(b－a，－b)． 因为k AF＝b－a b，k CD＝ －b b－a，而k AF·k CD＝－1．所以 DC⊥FA． 例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角． 证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是 BH：x b＋ y h＝1 AC：x c＋ y a＝1 x
3.1.3 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，x 轴叫做实轴 ，y 轴叫做 虚轴 ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R) 复平面内的点 Z(a ，b) ； ②复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R) 平面向量____OZ → ＝(a ，b)_____． 2．复数的模 复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模，记作|z|，且|z|＝_a 2＋b 2_____. 3．共轭复数 当两个复数实部 相等 ，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示，即z ＝a ＋bi ，那么z ＝a －bi ，当复数z ＝a ＋bi 的虚部b ＝0时，有__ z ＝z __，也就是说，任一实数的共轭复数仍是 它本身 . 小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？ 答 复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)的模就是向量OZ → ＝(a ，b)的模，记作|z|或|a ＋bi|. |z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2可以表示点Z(a ，b)到原点的距离． 例2 已知复数z ＝3＋ai ，且|z|<4，求实数a 的取值范围． 解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a∈(－7，7)． 方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知， z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4为半径的圆内(不包括边界)， 由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB(除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7 复数的减法及其几何意义 教学目标 1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义． 2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提升分析、解决问题水平． 3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）． 教学重点和难点 重点：复数减法法则． 难点：对复数减法几何意义理解和应用． （一）引入新课 上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义） （二）复数减法 复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+i）-（+i）=（-）+（-）i， 1．复数减法法则 （1）规定：复数减法是加法逆运算； （2）法则：（+i）-（+i）=（-）+（-）i（，，，∈R）．把（+i）-（+i）看成（+i）+（-1）（+i）如何推导这个法则． （+i）-（+i）=（+i）+（-1）（+i）=（+i）+（--i）=（-）+（-）i． 推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算． 推导：设（+i）-（+i）=+i（，∈R）．即复数+i为复数+i减去复数+i的差．由规定，得（+i）+（+i）=+i，依据加法法则，得（+）+（+）i=+i，依据复数相等定义，得 故（+i）-（+i）=（-）+（-）i．这样推导每一步都有合理依据．我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数． 复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（+i）±（+i）=（±）+（±）i． （三）复数减法几何意义 我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？ 设z=+i（，∈R），z1=+i（，∈R），对应向量分别为， 如图 因为复数减法是加法的逆运算，设z=（-）+（-）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（-）+（-）i对应，如图． 用复数解平面几何题的尝试 宿迁市泗洪县育才实验学校 周文化 文武光华数学工作室 潘成华 【摘要】用复数法解决某些平面几何题往往显得简洁而特别，尤其是那些规则的，容易得出较简洁表达式的问题。本文通过具体的问题谈谈对复数解平面几何题的若干尝试。 关键词 复数，共轭复数，平面几何 为使符号表示简明，文中约定使用复数时，①用AB 表示“A B -”，代替通常的写法AB ，②AB 表示复数AB 的共轭复数，③引入符号“1≡”及“i ≡”： y x 1≡表示Re(x)=Re(y),即复数x,y 的实部相等；y x i ≡表示Im(x)=Im(y),即复数x,y 的虚部部相等. 由此约定不难得出，“p 是实数”等价于“p i ≡0” ，“p 是纯虚数”等价于“p 1≡ 0”. 命题1. 设i b a x 11+=，i b a y 22+=，其中R ∈i i b a ，，2,1=i ； (1)y x ⊥? 011≡?≡?y x y x ； (2) y x //? 0i i y x y x ≡?-≡?. 证明：只证充分性 （1）当y x ⊥时，易知02121=+b b a a ；由i b a x 11+=可得i b a x 11-=， 故i b a b a b b a a i b a i b a y x ?-++=+?-=?)()()()(122121212211， 于是Re (y x ?)=2121b b a a +=0，即01≡?y x ，再由共轭复数的性质可得01≡?y x . (2)由(1)可知i b a b a b b a a y x ?-++=?)()(12212121， 当y x //时，易知01221=-b a b a ， ∴Im (y x ?)=1221b a b a -=0，即0i y x ≡?，再由共轭复数的性质可得0i y x ≡?-. 注：实际上y x ?的实部、虚部分别对应于向量)(11b a ，及)(22b a ，的内积、外积. 复数·复数的减法及其几何意义·教案 教学目标 1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义． 2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力． 3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）． 教学重点和难点 重点：复数减法法则． 难点：对复数减法几何意义理解和应用． 教学过程设计 （一）引入新课 师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义） （二）复数减法 师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板书） 1．复数减法法则 （1）规定：复数减法是加法逆运算； （2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推导这个法则呢？ 生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）． （学生口述，教师板书） （a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 师：说一下这样推导的想法和依据是什么？ 生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则． 师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题． 生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导． （学生口述，教师板书） 推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得 故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 师：这样推导每一步都有合理依据． 我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？ 生：仍是复数． 师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？ 生：不会． 师：这说明什么？ 生：两个复数的差是唯一确定的复数． 师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i． 复数问题的题型与方法 复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等． 一、数学规律： 1．共轭复数规律， 2．复数的代数运算规律i4n 1=i，i4n 2= 1，i4n 3= i； 1）i 4n=1 n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 （3）i · i · i ·i = 1，i ＋i ＋i ＋i =0； ； 3．辐角的运算规律 （1）Arg（z1·z2）＝Argz1＋Argz 2 3）Argzn=nArgz （n∈N） ?，n 1。 或z∈R 。 要条件是|z|＝|a|。 （6）z 1·z 2 ≠0，则 4．根的规律 复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根，实系数一元 n 次方程的虚根成对共轭出现。 5．求最值 时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式 ||z 1| |z 2 ||≤|z 1± z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |的运用。 即|z 1±z 2 |≤ |z 1 |+|z 2 |等号成立的条件是： z 1 ， z 2所对应的向量共线且同向。 |z 1±z 2 |≥|z 1| |z 2 |等号成立的条件是： z 1，z 2 所对立的向量共线且异向。 二、 主要的思想方法和典型例题分析： 1．化归思想 复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有 机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这 种化归的思想方法应贯穿复数的始终。 分析】这是解答题，由于出现了复数 z 和 z ，宜统一形式，正面求解。 解】解法一 设 z ＝x ＋yi （ x ， y ∈R ），原方程即为 x 2 y 2 3y 3xi 1 3i 用复数相等的定义得： ∴ z 1= 1， z 2 = 1+3i. 解析法 一、 方法介绍 解析法是把几何问题转化为代数问题来处理的更一般方法，用解析法解平面几何题时，要特别注意选择适当的坐标系，同时还要灵活利用几何图形的性质及代数、三角知识的综合运用。 二、 例题精讲 例1、 如图，O 是正方形ABCD 内的一点，且?=∠=∠15OCB OBC ，求证：OAD ?是等边三角形。 例2、在锐角三角形ABC ?中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交与点H ，以DE 为直径的圆分别交 AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交与点 已知25=BC ，20=DB ，7=BE ，求AK A B B C A D 例3、 知直线l 与⊙O 相离，l OP ⊥于点P ，Q 是l 上异于P 的一点，QB QA ,分别 切⊙O 于B A ,。直线AB 交OP 于点K 。BQ PN ⊥于点N ，AQ PM ⊥于点M 。求证：MN 平分线段PK 。 练习 1、 设M 、N 分别是ABC ?的边AC 、BC 上的点，且?=∠90ACB 。设AN 与BM 交 于点L 。证明：AML ?、BNL ?的垂心与点C 三点共线。 l C B A N M 2、 一张纸上画有半径为R 的⊙O 和圆内一定点A ，且a OA =，折叠纸片，使圆周上某点 A '刚好与点A 重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线的点的集合。 3以ABC ?的边BC 为直径作半圆，与AC AB ，分别交于点D 和E ，过D 、E 作BC 的垂线，垂足分别为G F ，，线段DG 、EF 交于点M 。求证：BC AM ⊥。 4如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。求证：∠GAC =∠EAC . G F C B A C B 高中平面几何 (叶中豪) 知识要点 几何变换及相似理论 位似及其应用 复数与几何 （1） 复数的意义及运算 （2） 复数与复平面上的点一一对应 （3） 复数与向量 （4） 定比分点 （5） 重心和加权重心，三角形的特殊点 （6） 面积 （7） 90°旋转与正方形 （8） 相似与复数乘法的几何解释 （9） 三次单位根与正三角形 例题和习题 1．（Sylvester ）已知P 是△ABC 所在平面上任一点。求证：3PA PB PC PG ++=，其中G 是△ABC 的重心。 2．（Lami 定理）已知P 是△ABC 所在平面上任一点，P 点对于△ABC 的重心坐标为 123::μμμ。求证：12 3 0PA PB PC 。 3．（Gergonne ）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间 的两组中点所构成的三角形的重心重合。 4．（von Aubel ）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂 直。 5．以△ABC 的AB 、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠ABD ＝∠ACE ＝90°。求证线段DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关。 6．已知△ABC ，在给定线段MN 的同侧作三个彼此相似的三角形，使得 △A ′MN ∽△NB ′M ∽△MN C ′∽△ABC 。求证：△A ′B ′C ′∽△ABC 。 7．（1）如图，在已知△ABC 的周围作三个相似三角形：△DBC ∽△ECA ∽△FAB 。求证： AFDE 是平行四边形。 E B （2）如图，在四边形ABCD 周围作四个相似三角形：△EAB ∽△FCB ∽△GCD ∽△HAD 。求证：EFGH 是平行四边形。 G 8．在△ABC 的外围作三个相似三角形：△DCB ∽△EAC ∽△FBA 。求证：△DEF 的重心是 定点。 9．若在四边形ABCD 内存在一点P ，使得△PAB 、△PBC 都是以P 为直角顶点的等腰直角 三角形。求证：必存在另一点Q ，使得△QBC 、△QDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形。 10．（上海市高中竞赛）设△ABC 是锐角三角形。在△ABC 外分别作等腰直角三角形： △BCD 、△ABE 、△CAF ，这三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CFA 是直角。又在 四边形BCFE 形外作等腰直角三角形△EFG ，∠EFG 是直角。求证：（1）GA AD ；（2）∠GAD ＝135°。 11．（第17届IMO ）已知任意△ABC ，在其外部作△ABR 、△BCP 、△CAQ ，使得 ∠PBC ＝∠CAQ ＝45°， ∠BCP ＝∠QCA ＝30°， ∠RBA ＝∠RAB ＝15°。 求证：（1）∠QRP ＝90°；（2）QR ＝RP 。 12．在复平面上，△ABC 是正三角形的充要条件： （1）2 0A B C 或2 0A B C ； （2）2 2 2 A B C BC CA AB ； 解析法巧解中考压轴题 在平面几何题中，适当的建立直角坐标系，利用代数的方法解决几何问题，即解析法，有时会显得更简洁高效．现以近年中考压轴题为例，分析说明解析法之妙．例1 （2013泰州）如图1，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连结PQ，M为PQ中点． 若AD＝10，AB＝a，DP＝8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M 落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围． 分析本题将矩形、三角形、动点、参数相结合，考察学生利用相似解决问题的综合能力，难度较大，区分度高，按照参考答案给出的解题思路，如图2所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE>MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围． 由△ADP∽△ABQ，解得QB＝4 5 a． 由△QBE∽△QCP，同样由比例关系得出BE＝ () 28 225 a a a - + ． 又因为MN为QCP的中位线，得出 MN＝1 2 PC＝ 1 2 （a－8）． 再由BE>MN， 即 () 28 225 a a a - + () 1 8 2 a >- 得出a> 12.5． 当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为a>12.5． 这种解法不仅要想到添加辅助线，还两次运用了相似比，计算量大，易出错．比较稳妥而简洁的做法是将图形放进直角坐标系中，利用数形结合的方法来解决此类问题． 一如何建立合适、恰当的坐标系呢？通常需要考虑以下两点： 第一，让尽可能多的点落在直角坐标系上，这些点的坐标含有数字O，可以起到简化运算的功效； 第二，考虑图形的对称性，同样，也能起到简化运算的作用． 解答如图3所示，建立以B点为原点，BC方向为x轴正半轴，BA方向为y轴正 问题解决与问题信息 我们通常把数学问题（常见的习题）的结构分为两部分。题设条件(已知部分)和结论(未知部分)。这种认识是针对问题的组成结构而言的，远离了问题解决的过程。其实，问题解决是问题与人的思维活动相互作用的结果，人在认识和解决一个问题时，并不十分关注问题的结构，而是重视问题呈现的有意义的材料，特别是主观认为与问题解决有关的问题信息。 信息加工理论认为：“人的大脑是一台类似计算机的信息处理装置，我们在解题时，就如一台计算机那样，接受信息，加工信息，作出反应。”当然，人脑远非计算机可比，除了能进行思维活动外， ，这 从而，左边8 331)tan tan tan tan tan (tan 3+++≤A C C B B A (2) 可见，要解答此题，只需证明1tan tan tan tan tan tan ≤++A C C B B A 即可。（这是中学熟知的结论） 从此题的解答来看。条件信息只是保证根式有意义和式子+B A tan tan +C B tan tan 1tan tan ≤A C 成立而已，对探求解题思路的作用不大；而结论信息反而为解题提供明确的思路──去根号。就提供解题策略而言，条件作用弱，结论作用大。于是我们可以得到一点解题经验：对于题 设简单，结论复杂的数学综合题，挖掘问题结论所隐藏的信息，是寻找解题思路的一条途径。 （二）问题结论不一定是问题解决过程中追求的重点目标 问题的结论既是一组信息，也是我们解题时所追求的终极目标，但并不一定是解题过程中追求的重点目标。重点目标有可能是问题结论的反面，或者是一个矛盾，或者是与结论相关的等价的另一问题……只要我们对问题的所有信息进行综合加工处理，重点目标必将浮现出来。 例2 设+∈R z y x ,,且1=++z y x ，求证2772≤ -++xyz zx yz xy 。 结论信息是关于z y x ,,的对称轮换式，易知当1= ==z y x 时不等式取“=”.于是我们联想到磨 令'x z x =''1(= 探求到如几何图形，函数图象，坐标系，表格等，呈现给我们的是直观形象的感性材料。 2．符号信息。 用字母、数字、数学式子等形式表达的信息。呈现给我们的是抽象的数学符号，通常称为数的信息。 3．语词信息。 就是用有意义的语词来表达的信息，也就是用汉语、数学语言来表达的数量关系、概念和数学问题中的解释、说明。 这三类信息既有区别又有联系。虽然在表达形式上不同，但在解题过程中是可以互相转化的。在解答平面几何和解析几何问题时，我们常常根据题意作出草图，这就是把语词信息向形象信息转化。又如，用解析法解答平面几何问题时，又把形象信息转化为符号信息和语词信息。解题者总是根据自复数的减法及其几何意义1
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