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高考数学秒杀必备：涂色问题的常见解法及策略

高考数学中涂色问题的常见解法及策略

与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法

一、区域涂色问题

1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，

相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240???=

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出

不同的涂色方法种数。

例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44

A ；

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有4

4A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；

所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120

例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？

分析：依题意至少要用3种颜色

1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，

4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有

A 种，故用四种颜色时共有244A 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2?

24=72

① ②③ ④ ⑤

⑥

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，

分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

分析：可把问题分为三类：

（1）四格涂不同的颜色，方法种数为45A ；

（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只

有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为

12542C A ；

5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，

因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++= 4、根据相间区使用颜色的种类分类

例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域

涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有

1解

（1）当相间区域

A 、C 、E 着同一种颜色时，

有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法，

此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4333108???=

种方法。

（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、

F 有322??种着色方法，故共有2234322432C A ???=种着色方法。

（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F

各有2种着色方法。此时共有34222192A ???=种方法。

故总计有108+432+192=732种方法。

说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。

如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之

一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？

解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种

（1）当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12 （2）当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同色，

，1n A -

与n A 不同色，共有143n -?种染色方法，但由于n A 与1A 邻，所以应排除n A 与1A 同

色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：

1143n n n a a --=?-

1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+?=--+?+?

21321

234343434343n n n n n n n a a -------=-?+?=-+?-?+?124[33(1)3](1)33n n n n n --==?-+

+-?=-?+

二、点的涂色问题

方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，

（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中

任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有125460C A =种

方法。

（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的

四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜

色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种方法。

（3）若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法

综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。

解法二：设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有54360??=种染色方法。

由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：

C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），

D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有13227?+?=种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法是607420?=

解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，

对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？

解答略。

三、线段涂色问题

对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：

1) 根据共用了多少颜色分类讨论

2) 根据相对线段是否同色分类讨论。

例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色，

且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

解法一：（1）使用四颜色共有44A 种

（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有112423C C A 种，

（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A 种

因此，所求的染色方法数为411224423484A C C A A ++=种

解法二：涂色按AB －BC －CD －DA 的顺序进行，对AB 、BC 涂色有4312?=种涂色方

法。

由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨

论：

当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可

供选择CD 与AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有两种可供选择的颜色，从而对CD 、DA 涂色有13227?+?=种涂色方法。

由乘法原理，总的涂色方法数为12784?=种

例8、用六种颜色给正四面体A BCD -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？

解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，

故有36A 种方法。

（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同

色，故有3466C A 种方法。

（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536C A 种方法。

（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A 种不同的方法。

综上，满足题意的总的染色方法数为4080665613462336=+++A A C A C A 种。

四、面涂色问题

例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？

分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论

解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论

（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理30!351=?=n

（2）共用五种颜色，选定五种颜色有656=C 种方法，必有两面同色（必为相对面）

，确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）

9035562=??=C n ；(3)共用四种颜色,仿上分析可得

9024463==C C n ；(4)共用三种颜色,20364==C n

例10、四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？

解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：

（1）最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A 种；

（2）当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424C A ；

故满足题意总的涂色方法总方法交总数为31442472A C A +=

2020高考数学核心考点解题方法与策略

免费下载站 2020-06-04原文一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向； 2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性； 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。二、解题策略选择 1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答； 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答题卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。（1）直接法直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．

由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果. 直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义（或）、性质（若，则或）、通项公式（或）、前n项和公式（等差数列、，等比数列）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态. （2）排除法排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，比如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这个数的范围选项，即：如果有两个选项A（）、B（），你就可以选取1这个数看是否符合题意，如果1符合题意，你就排除B，如果1不符合题意，你就排除A，这样就能快速找到正确选项，当然，选取数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对熟悉的知识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论证，看是否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项. 而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！（3）特例法

数学选修2-3-涂色问题

涂色问题解题通法定理1(直线型结构)：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的直线型结构图涂色，则总的不同涂法有 () 1 1n m n L m m -=-种. 证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。定理2(星型结构)：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的星型结构图涂色，则总的不同涂法有() 1 1n m n S m m -=-种. 证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。定理3(环形结构)：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(3)n n ≥个区域组成的环形结构图涂色，则总的不同涂法有 ()()()111n n m n R m m =-+--种. 证明：1m m m n n n R R L -+=(m n L 中头尾不同的涂法数为m n R ，头尾相同时, 头尾看作一个区域，涂法数为1m n R -)，即()111n m m n n R R m m --+=-， ∴()() 1 111n n m m n n R m R m --??--=---? ? ，求通项即可或()()1221m m m n n n R m R m R --=-+- 定理4(全连通型结构)：用()m m n ≥种颜色给由n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个区域都连通，如图)涂色，则总的不同涂法有m n n m T A =种. 证明：任何两个区域都连通，所以颜色各不相同。方法应用例1.将三种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植一种作物，不同的种植方法有种.(以数字作答) 答：结构抽象如右图，涂法数为：() () 51 51 3 2 255333122148642L L C ---=?--??-=-= 例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.(以数字作答)

2020届江苏高考数学应用题专题复习

高三数学应用题专题 1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满足u ＝? ??100v ＋23，050.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时为300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元． (1) 设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式； (2) 卡车应该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？ 2. 某城市受雾霾影响严重，现欲在该城市中心P 的两侧建造A ，B 两个空气净化站（A ，P ， B 三点共线），A ，B 两站对该城市的净化度分别为1a a -，，其中(01)a ∈，．已知对该城市总净化效果为A ，B 两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心P 到净化站距离成反比．若1AB =，且当 34AP =时，A 站对该城市的净化效果为3a ，B 站对该城市的净化效果为1a -．（1）设AP x =，(01)x ∈，，求A ，B 两站对该城市的总净化效果()f x ；（2）无论A ，B 两站建在何处，若要求A ，B 两站对该城市的总净化效果至少达到2 5，求a 的取值集合． 3. 如图,直线1l 是某海岸线，2l 是位于近海的虚拟线，12l l ⊥于点P,点A,C 在2l 上，AC 的中点为O ，且km AC PA 2==. （1）原计划开发一片以AC 为一条对角线,周长为8 km 的平行四边形水域ABCD,建深水养殖场.求深水养殖场的最大面积; （2）现因资金充裕,计划扩大开发规模,开发如图五边形水域QABCD,建养殖场,其中ABCD 是周长为8 km 的平行四边形,点Q 在1l 上,且在点P 的上方,AD OQ ⊥, ?≤∠90OCD . 养殖场分两个区域,四边形QAOD 区域内养殖浅水产品,其他区域内养殖深水产品,要求养殖浅水产品区域的面积最大.求点Q 与点P 的距离.

高考数学中选择题的解法

高考数学中选择题的解法一、选择题的解法 1.直接法 (1)直接计算法; (2)直接推理法; (3)直接判断法; (4)数形结合法。 2。间接法 (1)验证排除法; (2)特例排除法; (3)逻辑排除法。二、举例与练习 1.直接法 (1)直接计算法例题1：如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( ) A 18倍 B 12倍 C 9倍 D 4倍例题2：某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒状磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法共有( ) A 5种B 6种C 7种D 8种练习题1：用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的四位数，那么在这些四位数中，是偶数的共有( ) A 120个 B 96个 C 60个 D 36个练习题2：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积的比是( )

A B C D 练习题3：在各项均为正数的等比数列{ }中，若=9，则……+ 等于( ) A 12 B 10 C 8 D 2+ (2)直接推理法例题3：如果AC0，且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限练习题4：的最小正周期是( ) A π B 2π C D 4π 练习题5：在等比数列{ }中，1，且前n项和满足，那么的取值范围是( ) A (1，+∞) B (1，4) C (1，2) D (1，) (3)直接判断法例题4：“ 0”是方程“ 表示双曲线”的( ) A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 即不是充分条件也不是必要条件练习题6：函数(a0且a≠1)是( ) A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 (4)数形结合法例题5：曲线(-2≤x≤2)与直线有两个交点时，实数k的取值范围是( )

江苏高考数学专题练习函数(含解析)

江苏高考数学专题练习——函数 1. 已知函数，，则的解集是． 2. 设函数，则满足的的取值范围为． 3. 已知函数，不等式对恒成立，则．* 4. 已知函数f (x )＝e x -1 －tx ，?x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围． 5. 已知函数f (x )＝2x 3 +7x 2 +6x x 2+4x ＋3，x ∈0,4］，则f (x )最大值是．* 6. 已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数的取值范围是 . 7. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ，，值域为2 0am ????，，则实数a 的取值范围是 . * 8. 若存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为． 9. 设函数，若关于的不等式在实数集上有解，则实数的取值范围是．* 10. 已知函数f (x )＝???x 2 －1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数 k 的取值范围是． 11. 设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈1 2，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是． 2()||2 x f x x += +x R ∈2 (2)(34)f x x f x -<-???≥<-=1 ,21,13)(2x x x x x f 2 ))((2))((a f a f f =2()()()(0)f x x a x b b =--≠()()f x mxf x '≥x R ?∈2m a b +-=222101, ()2 1,x mx x f x mx x ?+-=?+>? ，，≤≤()f x [)0,+∞m 2e 2e 10x x a +≥-()33,2,x x x a f x x x a ?-<=?-≥? ，()4f x a >R

2015届高考数学(理)二轮练习：选择题的解法(含答案)

选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．方法一直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1 3，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若 S n