相似三角形解题方法与技巧
一、相似三角形的判定： （比照全等三角形）
例1：如图，在△ABC 中，D 是AB 上任意一点，DF‖BC，延长BC 到点E 使CE=BC ，连结DE 叫AC 于点G ，
求证 : AD AB =DG GE
例2：如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：BE 2
=EF ?EG ．
例3：如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是
A B C D
例4：在正方形ABCD 中,E 是AB 的中点,AF=14
AD.求证：(1)△FAE ∽△EBC(2)FE ⊥EC
二、常见的相似三角形的类型：
（1）平行线型
（2）相交线型
（3）旋转型 （4）母子型 （5）K 形图
解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．
例：观察能力训练：指出下列图形中的相似三角形。
三、 相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形中对应三线之比等于相似比．
(3)相似三角形的周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积之比等于相似比的平方．
B C
B
C
A
D E
A B C
例：在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在AB,AC,BC 上,DE//BC,EF//AB,若△ADE 与△CEF 面积分别为9和4,求四边形DEFB 的面积。
四、如何确定对应边与对应角
（1）对应角所对的边是对应边，两对应角所夹的边是对应边；
（2）对应边所对的角是对应角，两对应边所夹的角是对应角；
（3）公共角是对应角，其对边是对应边；
（4）对顶角是对应角，其对边是对应边；
（5）最长（短）边对应最长（短）边，最大（小）角对应最大（小）角。
相似三角形解题方法与技巧
◆判定两个三角形相似的证题思路
1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；
2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；
3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；
找另一角
两角对应相等，两三角形相似
找夹边对应成比例
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似
找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似
找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4
找顶角对应相等 判定定理1
找底角对应相等 判定定理1
找底和腰对应成比例 判定定理3
e)相似形的传递性 ：若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3
a)已知一对等角 b)己知两边对应成比例
c)己知一个直角 d)有等腰关系
◆证明线段成比例
一、 “三点定形法”寻找相似三角形
例1、已知:如图,ΔABC 中, CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:
BA
AC AF AE
例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB
吗？说明理由。
1）先将积式______________
2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）
例3、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。 求证：CD 2=DE ·DF 。 分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）
二、代换法
1、 等线段代换
例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ．
2、等比代换
例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．
求证：AB DF AC AF
．
3、等积代换法
例3：已知，CE是RT△ABC斜边AB上的高，在EC延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP,垂足为G，交CE于点D.试证：CE2=ED·EP.
三、充分利用平行线，或巧作平行线，利用平行线分线段成比例解决比例问题.
在作辅助线时，往往作平行线。但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
例1:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC
A
B D
C B
D C B D G C
图（1）图（2）图（3）
例2：如图1，在的对角线BD上任取一点P，过P点引一直线分别与BA、DC两边的延长线交于
E、G，又与BC、AD两边交于
F、H.求证：PE
PG=PF
PH.
练习1：如图2所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AD上任一点，直线CF交AB于E.求证：AE：AB=EF：FC.
练习2：如图3,AD是Rt△ABC斜边上的高，点E是AC的中点，ED、AB的延长线交于F.求证:FB
BA=FD AC.
练习3：如图，在平行四边形ABCD中，AD∥EF∥BC，AE的延长线与DF的延长线相交于点H，BE的延长线与CF的延长线相交于点G．求证：AB∥GH．
练习4：已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，EF 经过点O 且和两底平行，交AB 于E ，交CD 于F 。求证：OE=OF
练习5： 过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E 。
求证：AE ：ED ＝2AF ：FB
四、面积法.
例：如图，AD 是△ABC 的角平分线，求证：BD DC =AB AC
.
【作业】
1.如图为一个1010?格点正方形组成的网格．△ABC 是格点三角形（顶点在网格交点处），请你在图中画出与△ABC 相似的格点△111A B C 和△222A B C ，且△111A B C 与△ABC 的相似比是2，△222A B C 与△ABC
的相似比是2
；
2．如图，在ABC △中，D 为AC 上一点，2A 45CD D BAC ==?，∠，60BDC =?∠，
CE BD ⊥，E 为垂足，连结AE ．
（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明．
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由．（12分）
3． 如图，△ABC 中，点DE 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形，∠BAC=120°
求证： （1）△ADB ∽△CEA;
（2）DE 2=BD ·CE;
(3)AB ·AC=AD ·BC.
A D
C
B E
4．如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,
求证：FC2=FG·EF.
5．如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM∥BE交DE于M.
求证：FM=CF.
6．如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD.AD= BD，过E作EF∥AB交AD于F.
试说明：（1）AF=BE;(2)AF2=AE·EC.
7．△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E为AC中点。求证：AB:AC=DF:AF。
8. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．
（1）求证：EG CG AD CD =
；
（2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．
9.如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =；
（2）.MN CN DN AN ?=?
F A
G
C E
D B
(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
相似三角形解题方法、技巧、步骤 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ①；②；③. 三、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对应 成比例，两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例判定定理1或判定定理 4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BA AC AF AE = （判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 例1、 已知：如图，△ABC 中，∠ ACB=900 ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。 求证：CD 2 =DE ·DF 。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 六、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1、 等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ． 分析： 2、 等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F ． 求证：AB DF AC AF =． a)已知一对等b)己知两边对应成比 c)己知一个直d)有等腰关
相似三角形解题思路赏析（3.29） 姓名_______ 评价 内容解读：人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时，全等和相似的感知是伴生的．在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系，形状相同是二者的共性．全等形是相似比等于1时的相似形；同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。 例题讲解： 1、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 2、已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的 1 9 ？ （2）是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △ 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 3、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△； （2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求 OF OE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出 OF OE 的值． 4、已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB = （如图1所示）． B A D E C O F 图2 B A C E D 图1 F
相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边E F 上的高为1h ， 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取163 x = ，8y =最大 86> ∴当163 x = 时，y 最大，8y =最大 M N C B E F A A 1
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ） a)已知一对等 b)己知两边对应成比 c)己知一个直角 d)有等腰关系
F 相似三角形解题技巧及口诀 A 字形，A ’形，8 旋转形 双垂直结论:射影定理：①直角三角形中， 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD ?BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD ?AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式 证明等积式(比例式)策略 直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若是四条线段，欲证，可先证得 （ 是两 条线段）然后证，这 里把叫做中间比。 ①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD ②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 求证： BD?CN=BM?CE ． ③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。 求证：BP ?PC=BM ?CN ?有射影，或平行，等比传递我看行 ①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB ?AF=AC ?DF
静力学解题方法2——相似三角形法 （非常好的方法，仔细分析例题，静力学受力分析三大方法之一） （1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。 （2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。 例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ） A 、N 变大，T 变小 B 、N 变小，T 变大 C 、N 变小，T 先变小后变大 D 、N 不变，T 变小 解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式： R N R h mg L T =+= 可得：mg R h L T += 运动过程中L 变小，T 变小。 mg R h R N += 运动中各量均为定值，支持力N 不变。正确答案D 。 例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前 悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ） A 、T 变小 B 、T 变大 C 、T 不变 D 、T 无法确定
相似三角形 一、知识概述 1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。 2.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 3.相似三角形的定义 对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形． 4.相似三角形的基本性质 ①相似三角形的对应边成比例、对应角相等． ②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形的周长比等于相似比 ④面积比等于相似比的平方 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC 的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 5. 相似三角形的判定定理 ①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似； ②三边对应成比例的两个三角形相似； ③两角对应相等的两个三角形相似； ④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 温馨提示： （1）判定三角形相似的几条思路： ①条件中若有平行，可采用判定定理1； ②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例； ③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必
相似三角形解题方法、步骤（教师版）
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-4 - 9上（ 5）相似三角形解题方法、技巧、步骤 相似三角形解题方法、技巧、步骤「 一、 相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等 形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广?因而 学习相似形要随时与全等形作比较、 明确它们之间的联系与区别; 相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础. 二、 相似三角形 （1）三角形相似的条件： ①；②；③. 三、 两个三角形相似的六种图形： ^1过上的高 求证 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔 加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1 ）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件 最简单； 2） 再而先找一对内角对应相等， 且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应 成比例两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似 a ）已知｛ 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对_ 知 两边 成比例，两三角形相似 上』边对应成比例，两个直角三角形相似 「找另一角两角对应相等，两三角形相似 c ） P 己知］ 找两边对应成比例判定定—或判定定理 戋 顶角对应相等判定定_ 找底角对应相等判定定_ 找底和腰对应成比例判定定_3 △ sA 2，3,则 dsA 3 ） g 似形的传 有 若 五、“三点定形法” 定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代 表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横 定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线 段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明 这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定” 。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而 去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并 不好， 例1、 求证： ,即由有关线段的三个不同的端点来确 应当运用基本规律去解决问题。 已知：如图，△ ABC 中 ,CE 丄AB,BF 丄 AC. AE AC AF " BA （判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，/ BAC 的 平分线分别交 BC 、CD 于点E 、F ，AC - AE=AF - AB 吗？ 说明理由。 分析方法: 1 ）先将积式 2） ______ （“横定”还是“竖定”？） 例1、 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=9（0,AB 的垂直平分线交AB 于D, 交BC 延长线于F 。 CD=DE ? DF O 分析方法： 1 ）先将积式 2） ______ （“横定”还是“竖定”？） 六、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活 地运用 过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明. 1、等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式 中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角 形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不 相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等 的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的 辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换 得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换 的线段再代换回来。 例1 :如图3，△ABC 中，AD 平分/ BAC ， AD 的垂直平 分线FE 交BC 的延长线于 E .求证：DE 2 = BE-CE . 分析： 2、等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换 时，可以考虑用等比代换法即考虑利用第三组线段的 比为比例式搭桥，也就是i 分析，找到与求证的结论 换，然后再用三点定形 过对已知条件或图形的深入 某 个比相目等的比，并进行代 形。 例2:如图4，在 BAC=9C ° , AD 丄 BC ，E 是 AC 的中 点, ED 交AB 的延长线于点F . 求证： =AB AC
相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1） 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2） 由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。 【解题技巧点拨】
相似三角形解题技巧及口诀 常见相似类型： A 字形，斜A 字形，8字形、斜8字形（或称X 型），双垂直（母子型），,旋转形 【双垂直结论，即直角三角形射影定理】： 【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 （1）ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD ?BD ⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD ?AB （3）CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD 结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式 【证明等积式(比例式)策略】: 1、直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形， 三点定形法 2、间接法： 对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明． ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 【口诀】： 遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边； 彼相似，我角等，两边成比边代换。 或： 遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积，化比例：横找竖找定相似； 不相似，不用急：等线等比来代替；三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替； ?遇等积，改等比，横看竖看找关系 ①△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BD?CN=BM?CE ． ②等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两 点。求证：BP ?PC=BM ?CN B C A D E
基于基本图形的问题导向式复习课例 ——以《相似三角形专题复习》为例 【课题】九年级总复习第二轮专题复习 《相似三角形专题复习》教学设计 【所需课时】1课时 【课标要求及分析】 课标要求:了解相似三角形的定义、判定定理、性质定理，并会解决简单的实际问题. 课标分析：《标准》的要求定位在“了解”和“简单”的层面，因此在复习过程中要注重对相似三角形相关基础知识和常见题型的把握. 【教材及学情分析】 北师大版九年级上册《图形的相似》是在研究“图形的全等”的基础上集中研究“图形的相似”.在前面的学习中，学生已经较为系统的学习了线段的比、成比例线段、平行线分对应线段成比例定理、相似图形、相似多边形、位似图形等，具备了一定的合情推理和演绎推理能力，为该章节中的重点内容《相似三角形专题复习》做好了知识和能力的准备. 【学习目标】 1.掌握相似三角形的定义、判定定理、性质定理； 2.能根据相似三角形的判定定理和性质定理以及已经学习过的其他知识解决简单的实际问题，进一步体会类比、分类、归纳、数形结合的思想方法. 【教学重、难点分析】教学重点为相似三角形的判定定理和性质定理，教学难点为相似三角形性质定理的灵活应用. 【教学方式与方法的选择】设疑引导、讲练结合 【教学设计思路】 首先通过小组合作把学生的个人课前作业进行讨论、完善和展示，总结出相似三角形的常见基本图形，为本节专题复习做好知识铺垫.接着以问题为导向，以“找”“选”“造”三道低起点、缓坡度的例题，引导学生自主探究相似三角形的相关问题，感受基本图形在相似三角形问题中的应用，并总结归纳出相关的解题方法.课后作业设计了两道有梯度的题目，既加深对知识本质的理解，又强化知识之间的联系，在巩固检测所学知识的同时，激发和提升学生的数学思维能力和创新意识。 【教学资源】学案图表资料、多媒体课件、几何画板 【教学过程设计】
相似三角形解题方法、技巧、步骤 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ①；②；③. 三、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对应 成比例，两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例判定定理1或判定定理 4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BA AC AF AE = （判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 例1、 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900 ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。 求证：CD 2 =DE ·DF 。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 六、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1、 等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ． 分析： 2、 等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F ． 求证：AB DF AC AF =． a)已知一对等b)己知两边对应成比 c)己知一个直d)有等腰关
相似三角形解题方法与技巧 一、相似三角形的判定： （比照全等三角形） 例1：如图，在△ABC 中，D 是AB 上任意一点，DF‖BC，延长BC 到点E 使CE=BC ，连结DE 叫AC 于点G ， 求证 : AD AB =DG GE 例2：如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：BE 2 =EF ?EG ． 例3：如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是 A B C D 例4：在正方形ABCD 中,E 是AB 的中点,AF=14 AD.求证：(1)△FAE ∽△EBC(2)FE ⊥EC
二、常见的相似三角形的类型： （1）平行线型 （2）相交线型 （3）旋转型 （4）母子型 （5）K 形图 解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形． 例：观察能力训练：指出下列图形中的相似三角形。 三、 相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形中对应三线之比等于相似比． (3)相似三角形的周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积之比等于相似比的平方． B C B C A D E A B C
例：在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在AB,AC,BC 上,DE//BC,EF//AB,若△ADE 与△CEF 面积分别为9和4,求四边形DEFB 的面积。 四、如何确定对应边与对应角 （1）对应角所对的边是对应边，两对应角所夹的边是对应边； （2）对应边所对的角是对应角，两对应边所夹的角是对应角； （3）公共角是对应角，其对边是对应边； （4）对顶角是对应角，其对边是对应边； （5）最长（短）边对应最长（短）边，最大（小）角对应最大（小）角。 相似三角形解题方法与技巧 ◆判定两个三角形相似的证题思路 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 ：若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 a)已知一对等角 b)己知两边对应成比例 c)己知一个直角 d)有等腰关系
精锐教育名师课堂讲义 初三数学第一讲 相似三角形的解题方法与技巧 讲师：胡军 ● 学习要求 ● 考点透视 ● 方法点拨 1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°,延长BA 至点E ，延长AB 至点F ，若∠ECF ＝135°. 求证：△AEC ∽△BCF. 2、如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似的三角形共有（ ）。 (A) 3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对 3、(1)如图，P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 两点的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得得三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有_____条。 （2）在△ABC 中，AB=9,AC=12,BC=18,D 为AC 上一点，,32AC DC 在 AB 上取一点E ，得到△ADE.若图中 的两个三角形相似，则DE 的长是_________. (3)已知 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC=a,AC=b ，以AB 为直角边的Rt △ABD 中，∠ABD ＝90°，当Rt △ABD 的斜边上的高h=_______时，图中的两个直角三角形相似。 4、如图，DE 是△ABC 的中位线，∠B ＝90°，AF//BC 。在射线AF 上是否存在点M ，使得△MEC 与△ADE 相似？若存在，请先确定点M,再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由。 C E A B F B A C ● P A B C G F E D A D E B C F
5、如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，过点C 的射线CE 交AD 的延长线于E ，且∠BCE=∠BAD. 求证：（1）A D ·DE=BD ·DC; (2)AB ·AC=AD ·AE. 6、如图，O 是△ABC 中∠A ，∠B, ∠C 的平分线的交点，过O 作D E ⊥AO,交AB,AC 于D ，E. 求证：（1）△BDO ∽△BOC ∽△OEC; (2)CE BD DO ?=2 7、如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，AB=,6,3=BC BD 与AM 相交于点E 。 求证：（1）△BCD ∽△ABM;(2)AM ⊥BD. 8、如图，四边形ABCD 中，A B ⊥BC,DC ⊥BC,点E 在BC 上，且∠AED=90°,又在BC 上取点F ，连结FD ，使∠CDF=∠ADE. 求证：BE=FC 9、如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线上，且AC AB DF ED =. 求证：BE//FC A B D C E A D B E O C A B M C D E A B E F C D A B E D C F
初中数学相似三角形口诀归纳，文末附解题 思路，童鞋学起来 许多平时记不住、记不牢、不好记、很抽象的知识，通过朗朗上口的口诀来学习，就能变得轻松有趣，还能收到事半功倍的效果，这种寓教于乐的学习方式，对于需要大量掌握学科知识的孩子来说，是一条难得的捷径。 今天老师分享的是初中数学相似三角形的口诀。可能有的同学对何为相似三角形还有所不解，我们先来看看相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。下面我们正式进入口诀学习时刻，注意文末还附有解题思路哦~~~ 相似三角形终极策略口诀： 第一首【原始】 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 第二首【整理】 遇等积，化比例，横找竖找定相似；
不相似，不用急：等线等比来代替； 有射影，或平行，等比传递我看行； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边； 彼相似，我条件，创造边角再相似。 相似判定条件： 两边成比夹角等、两角对应三边比 一、相似三角形的概念 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 二判定定理 常用的判定定理有以下6条： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。）（AA） 判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。）（SAS） 判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。）（SSS）
授课题目专题二相似三角形的存在性问题解题策略 授课日期2015年3月8日教师柳娜 授课学时 1 时 00 分学生 课型复习课学科组长柳娜 师生活动 一、要点归纳 相似三角形的存在性问题是苏州中考数学的热点问题． 解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快． 二、课前热身 △ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，如果△ADE与△ABC相似，请确定点E的位置. 三、例题讲解 1.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，BC＝10cm，CD＝6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）． （1）求AD的长； （2）点F、E在运动过程中，如果△CEF与△BDC相似，求线段BF的长． 图1 备用图
2.如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于点C ．已知B （8，0），tan ∠ABC ＝0.5，△ABC 的面积为8． （1）求抛物线的解析式； （2）若动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个长度单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．联结FP ，设运动时间t 秒．是否存在t 的值，使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1 3.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212 y x bx c =- ++，经过点A (1,3)，B (0,1)． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ． ①求△ABC 的面积； ②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标． 图1