授课题目专题二相似三角形的存在性问题解题策略
授课日期2015年3月8日教师柳娜
授课学时 1 时 00 分学生
课型复习课学科组长柳娜
师生活动
一、要点归纳
相似三角形的存在性问题是苏州中考数学的热点问题．
解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．
二、课前热身
△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，如果△ADE与△ABC相似，请确定点E的位置.
三、例题讲解
1.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，BC＝10cm，CD＝6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．
（1）求AD的长；
（2）点F、E在运动过程中，如果△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．
图1 备用图
2.如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于点C ．已知B （8，0），tan ∠ABC ＝0.5，△ABC 的面积为8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个长度单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．联结FP ，设运动时间t 秒．是否存在t 的值，使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．
图1
3.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212
y x bx c =-
++，经过点A (1,3)，B (0,1)．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ．
①求△ABC 的面积；
②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标．
图1
4.如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
5.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．
（1）求直线AD和抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写
．．．出．点Q点的坐标．
图1
6.如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝
3
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．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作
DE//BC交射线CA于点E.．
(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(2) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
图1 备用图备用图
专项训练：
1.直线113
y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点． (1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；
(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；
(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
2.Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k
y k x
=
≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．
（1）求m 与n 的数量关系；
（2）当tan ∠A ＝
1
2
时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．
图1
3.如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2
2y mx mx n =++上．
（1）求m 、n ；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．
图1
4.如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．
,
图1
5.如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝
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．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．
(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；
(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．
图1 备用图 备用图
6.如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2
tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．
（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ?=2
？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝
2
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，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．
图1
学科组长审核签字：